Esempio: Il costo delle cene a Manhattan

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Ottenere quello per cui si paga: prezzi delle cene a

Manhattan

Manhattan è famosa nel mondo per i suoi grandi ristoranti. È anche famosa per i prezzi dei pasti nei suoi ristoranti! Questi prezzi sono davvero legati alla qualità dei ristoranti?

Abbiamo a disposizione dei dati estratti dalla Guida Zagat 2003 dei ristoranti di Man-hattan, che si riferiscono a 300 ristoranti nella città e includono una stima del prezzo di una cena normale (che include anche una bevanda e la mancia ai camerieri che in USA costituisce sostanzialmente il loro stipendio), e una classicazione di cibo, decoro, e servizio (no a un massimo di 30 punti per ciascun aspetto) per ogni ristorante. Vogliamo stimare un modello che leghi il prezzo alle misure di qualità. Inizialmente diamo un'occhiata ai dati

Food Decor Service Price

Min. : 9.00 Min. : 3.00 Min. : 8.00 Min. : 8.00 1st Qu.:16.00 1st Qu.:13.00 1st Qu.:14.00 1st Qu.:25.00 Median :19.00 Median :16.00 Median :16.00 Median :35.00 Mean :19.39 Mean :15.72 Mean :16.90 Mean :36.55 3rd Qu.:22.00 3rd Qu.:19.00 3rd Qu.:20.00 3rd Qu.:47.00 Max. :28.00 Max. :27.00 Max. :26.00 Max. :80.00

Una cena tipica costa circa $35-$37; la più cara del campione ($80) si osserva nel ristorante Veritas. I punteggi assegnati variano da un massimo 27 o 28, per una cena superba, a un minimo di 3 nel punteggio al decoro osservata nel ristorante Big Wong. Il prezzo è legato alle variabili che misurano la qualità?

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Come ci aspettavamo, ristoranti di maggiore qualità (su una qualsiasi delle misure con-siderate), tendono a costare di più, anche se sembra un po' sorprendente che la relazione più debole sia con la qualità del cibo. Una gura che comprende i tre graci appena visti e ne aggiunge altri è il seguente da cui appare come non sembrano esserci problemi di collinearità tra le variabili esplicative (ciò ci sorprende un po', perché sembra dirci che nei ristoranti di New York, qualità di cibo, decoro e servizio non si accompagnano necessariamente).

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Cibo

5 10 20 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 10 30 50 70 10 15 20 25 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 20 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

Decoro

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Servizio

10 15 20 25 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 10 15 20 25 10 30 50 70 ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 10 15 20 25 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●

Prezzo

Di seguito il riassunto ottenuto dalla stima di un modello che mette in relazione il prezzo con le tre variabili insieme.

Call:

lm(formula = Price ~ Food + Decor + Service) Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-24.985 -3.831 0.461 3.976 25.945 Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -21.1952 2.2708 -9.334 < 2e-16 ***

Food -0.1073 0.1656 -0.648 0.518

(4)

Service 2.6032 0.2325 11.197 < 2e-16 ***

---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 7.069 on 296 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.7765, Adjusted R-squared: 0.7742 F-statistic: 342.8 on 3 and 296 DF, p-value: < 2.2e-16

La relazione sembra essere ragionevolmente forte. È abbastanza curioso (almeno per me) che, dati gli altri tue punteggi, la qualità del cibo non sembra aggiungere capacità previsiva per il prezzo del pasto!. Ciò suggerisce una sorta di arbitrarietà nella scelta del dove cenare  si potrebbe infatti denire quanto importanti sono per noi Decoro e Servizio e quindi si può identicare il maggior punteggio per il cibo possibile, dal momento che apparentemente non costerà di più avere cibo di migliore qualità! Ad esempio, si considerino due ristoranti con lo stesso prezzo previsto di $51: Michael's (un ristorante con cucina californiana, sulla 55esima strada Ovest con un punteggio per il Cibo di 21, per il Decoro di 20, per il servizio di 21 e un prezzo medio di $58 per un pasto, più di 6 dollari maggiore del prezzo previsto) e Norma's (un ristorante con cucina americana, sulla 57esima strada Ovest con lo stesso punteggio di Decoro e di Servizio e un 25 sul Cibo, con un prezzo medio di $33 per un pasto, che però presenta una previsione del prezzo più di 18 dollari superiore a quanto realmente osservato.

I graci dei residui rispetto ai valori stimati e il normal probability plot dei residui mo-strano tre ristoranti che sembrano avere un comportamento moderatamente inusuale: due di questi hanno un prezzo un po' troppo alto rispetto al previsto (Elaine's, dove la cena costa $46  con punteggi: per il Cibo, 11, per il Decoro, 12, per il Servizio, 13  e Nello, dove il pasto costa $60  punteggio per Cibo, 18, Decoro, 18, e Servizio, 15) e uno con un prezzo un po' troppo basso (Vatan, dove la cena costa solo $31 e i punteggi sono 21 per il Cibo, 21 per il Decoro e 22 per il Servizio). Elaine's e Nello sono entrambi famosi per essere frequantati da celebrità (il primo da personaggi come Woody Allen e Barbra Streisand, il secondo da su-permodelle, seguendo le indicazioni del sito Cititour, per forse il Decoro in questi ristoranti è maggiore di quanto riportato dal nostro punteggio, mentre Vatan è un ristorante di cibo vegetariano indiano, e forse per questo si può permettere prezzi non troppo alti. Il graco dei residui rispetto ai valori interpolati ci suggerisce anche la possibilità di una varainza non costante:

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● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0 10 20 30 40 50 60 70 −20 −10 0 10 20 Valori Adattati Residui Elaine's Nello Vatan ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −3 −2 −1 0 1 2 3 −20 −10 0 10 20 Normal Q−Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles

Ci chiediamo ora se questo modello possa essere semplicato. La più ovvia modica consiste nell'eliminare la variabile che misura il punteggio per la qualità del Cibo, ma (per il momento) seguiremo un'altra strada. Possiamo infatti ipotizzare che sia la somma dei tre punteggi che inuenza il prezzo e non i singoli valori. Per vericare tale ipotesi creiamo una nuova varaibile

Punteggio totale=Punteggio per il Cibo + Punteggio per il Decoro + Punteggio per il Servizio

E stimiamo un modello di regressione con questa variabile come esplicativa. Possiamo poi chiederci anche se il modello con i tre punteggi distinti sia signicativamente migliore del modello con solo il punteggio totale. Questo è possibile perché il modello con Punteggio totale è un sottoinsieme del modello con Punteggio per il Cibo, Punteggio per il Decoro e Punteggio per il Servizio.

Il modello completo è

Prezzoi= β0+β1[PunteggioperilCibo]i+β2[PunteggioperilDecoro]i+β3[PunteggioperilServizio]i+εi.

Il modello ridotto è

Prezzoi = γ0+ γ1([Punteggio per il Cibo]i+ [Punteggio per il Decoro]i

+ [Punteggio per il Servizio]i) + εi,

Prezzoi = γ0+ γ1[Punteggio totale]i+ εi.

Il secondo modello è semplicemente il primo con β1 = β2 = β3 = γ1. Così, possiamo usare

una statistica F parziale per vericare l'ipotesi nulla H0 : β1 = β2 = β3,

che ha la forma

F = ([Somma dei Quardati dei Residui]ridotto− [Somma dei Quadrati dei Residui]completo)/2 [Somma dei Quadrati dei Residui]completo/(n − 4)

con 2 e n − 4 gradi di libertà. Prima però potremmo dare un'occhiata al diagramma di dispersione con il punteggio totale:

(6)

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C'è una chiarissima relazione. Di seguito il riassunto delle informazioni legate al modello di regressione sul punteggio totale

Call:

lm(formula = Price ~ totale) Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-23.6760 -4.2507 0.5404 4.4939 28.9215 Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -26.71422 2.30048 -11.61 <2e-16 *** Totale 1.21646 0.04338 28.05 <2e-16 ***

---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 7.811 on 298 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.7252, Adjusted R-squared: 0.7243 F-statistic: 786.5 on 1 and 298 DF, p-value: < 2.2e-16

Osserviamo che il modello basato sul Punteggio Totale ha un R2 di circa 5 punti percentuali

inferiore rispetto al modello che considera tutti e tre i punteggi, ma questo calo è bilanciato dalla maggiore semplicità del modello? Vediamo:

F = (7.811

2· 298 − 7.0692· 296)/2

7.0692· 296/296 =

(18181 − 14791)/2

(7)

alla cui destra l'area della distribuzione F (il valore-p) vale 0.0001. Così un modello basato solo sulla somma dei tre punteggi non è adeguato. Se anche si omettessero i 3 ristoranti che potrebbero essere anomali queste implicazioni non verrebbero modicate.

Da un punto di vista pratico, il modello con i tre punteggi prevede il prezzo con un errore di circa ±$14 (il 95% delle volte), mentre il modello che usa il punteggio totale prevede il prezzo con un errore di circa±$15.60.

Una più ecace semplicazione coniste nell'omettere la variabile Cibo. Call:

lm(formula = Price ~ Decor + Service) Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-24.7853 -4.0366 0.4691 3.9209 25.8357 Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -21.9094 1.9835 -11.046 < 2e-16 ***

Decor 1.0334 0.1200 8.608 4.41e-16 ***

Service 2.4982 0.1666 14.996 < 2e-16 ***

---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 7.062 on 297 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.7762, Adjusted R-squared: 0.7747 F-statistic: 514.9 on 2 and 297 DF, p-value: < 2.2e-16

Le implicazioni di questo modello sono simili a quelle relative al modello che include il punteggio sulla qualità del Cibo. I graci dei residui sono simili ai precedenti, con i tre valori `anomali' forse leggeremnte meno visibili rispetto al caso precedente:

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0 10 20 30 40 50 60 70 −20 −10 0 10 20 Valori Adattati Residui ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −3 −2 −1 0 1 2 3 −20 −10 0 10 20 Normal Q−Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles

(8)

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 25 −20 −10 0 10 20 Decoro Residui ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 10 15 20 25 −20 −10 0 10 20 Servizio Residui

I valori considerati `particolari' cambiano qualcosa? Se proviamo ad eliminarli osser-viamo che le misure di adattamento migliorano, anche se i coecienti non cambiano di molto

Call:

lm(formula = Price ~ Food + Decor + Service) Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-19.1640 -3.7539 0.4982 4.0235 18.2402 Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -22.68733 2.15694 -10.518 < 2e-16 *** Food -0.07874 0.15736 -0.500 0.617 Decor 0.98948 0.11960 8.274 4.63e-15 *** Service 2.67069 0.22008 12.135 < 2e-16 *** ---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 6.652 on 293 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.802, Adjusted R-squared: 0.8 F-statistic: 395.7 on 3 and 293 DF, p-value: < 2.2e-16 e

Call:

lm(formula = Price ~ Decor + Service) Residuals:

(9)

-19.2593 -3.8428 0.5581 4.0561 18.0050 Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -23.2165 1.8775 -12.366 <2e-16 ***

Decor 1.0085 0.1132 8.906 <2e-16 ***

Service 2.5939 0.1575 16.473 <2e-16 ***

---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: 6.644 on 294 degrees of freedom

Multiple R-Squared: 0.8019, Adjusted R-squared: 0.8005 F-statistic: 595 on 2 and 294 DF, p-value: < 2.2e-16

I beneci di un modello più semplice non sono solamente legati al fatto che semplica la descrizione dei dati a disposizione. In generale modelli più semplici tendono a prevedere in maniera più accurata rispetto a modelli più complicati, visto che si richiede che un minor numero di aspetti del processo sottostante rimangano stabili nel tempo. Tale caratteristica può essere investigata nel nostro problema considerando come i due modelli discussi qui (quello con i tre punteggi e quello con solo due di essi) prevedono i prezzi per un pasto in altri ristoranti.

Abbiamo applicato i due modelli a un nuovo campione di ristoranti estratto dalla guida Zagat 2003 (si osservi che noi non abbiamo stimato di nuovo il modello a questi dati, ma usiamo i modelli stimati precedentemente per fare previsione su questi nuovi dati). Ecco la lista dei nuovi ristoranti:

Nome Cibo Decoro Servizio Prezzo

1 88 Palace 16 12 11 23 2 Babalu 20 20 17 44 3 baci 22 19 22 38 4 Bellini 22 19 21 52 5 Bombay Place 18 17 18 35 6 Brother BBQ 15 14 14 26 7 Bruno ristorante 21 17 22 52 8 caf\350 abana 21 12 13 23 9 Campagnola 23 18 22 58 10 Canaletto 21 17 22 48 11 Cicus 19 17 17 43 12 City Grill 15 14 15 27 13 Cyclo 20 14 16 30 14 Del Frisco's 23 23 21 64 15 della femina 19 19 19 54 16 delta grill 20 15 17 29 17 Diner 21 16 17 26 18 Divino 17 13 18 36 19 dizzi's 16 12 14 20 20 do hwa 21 20 18 38 21 Dolphins 18 20 19 34 22 Due 21 17 20 37 23 Ebisu 22 23 22 38 24 El cid 22 12 16 34

(10)

25 El rio grande 16 14 14 30 26 elmo 15 22 15 33 27 Ernie's 15 14 15 32 28 Esperanto 21 17 17 28 29 ESPN zone 13 19 12 27 30 Fiamma Osteria 23 25 23 55 31 Fiorello's 19 16 18 44 32 Firebird 21 26 22 58 33 Fleur de Sel 23 18 21 62 34 Flor de Mayo 19 7 14 18 35 Flor's Kitchen 19 8 15 19 36 Frendihouse 18 18 17 23 37 Fujiyama Mama 19 17 17 37 38 Gam mee ok 23 14 16 21 39 Gene's 17 12 19 34 40 Hangawi 23 25 23 41 41 hasaki 25 14 18 37 42 Iso 24 14 17 38

43 Jekyll & Hyde Club 9 20 12 30

44 Joe's shangai 20 8 12 23 45 Johnny Rockets 14 15 14 15 46 John's pizzeria 21 12 14 20 47 Junior's 17 10 13 20 48 Les Halles 21 15 16 42 49 Leshko's 16 17 14 27 50 Marks 25 25 25 63 51 Mars 9 21 13 29

52 Massimo al ponte vecchio 20 15 22 37

53 Mayrose 15 10 11 21

54 Maz Mezcal 21 17 18 33

55 McHales 17 9 13 19

56 Mediterraneo 18 14 14 36

57 Mee Noodle Shop 17 4 13 14

58 Meltemi 20 14 19 42 59 Merge 19 16 18 40 60 Meskerem 23 10 16 23 61 Metro Fish 19 14 19 41 62 Metronome 16 22 16 41 63 Metropolitan cafe 15 15 15 33 64 Minnow, the 20 16 20 37 65 Miracle grill 20 18 16 33 66 Mocca 18 9 15 25 67 Montparnasse 20 19 18 42

68 Morrel wine bar 18 17 16 44

69 Moustache 21 11 14 21 70 Mr. K's 24 24 25 52 71 Nam 23 21 18 36 72 Natine's 18 15 18 31 73 New Pasteur 19 5 13 15 74 Novit\340 23 19 21 48 75 Nyonya 21 11 13 20 76 Odeon, the 18 17 17 39 77 Ollie's 15 9 12 19 78 One c.p.s. 21 21 19 55

(11)

79 Osso Buco 16 14 16 32

80 Osteria al doge 19 16 18 42

81 Osteria del circo 21 23 21 55

82 Ouest 24 23 21 54 83 pellegrino's 22 16 20 38 84 prune 23 15 19 47 85 Punch 18 18 17 35 86 Quattro Gatti 18 15 17 40 87 South West Ny 13 17 10 29 88 Starbucks 12 10 10 9 89 Tomoe sushi 27 8 15 36 90 topaz thai 22 11 16 27 91 Tuscany grill 23 17 20 41 92 Veselka 18 11 13 17 93 vine 20 19 18 52 94 wo hop 19 3 12 16 95 Wollensky's grill 21 15 19 43 96 Yama 25 11 15 36 97 Yuka 18 10 17 27 98 Yura & Co 19 12 14 23 99 Zitoune 20 19 19 41 100 Zutto 22 18 18 36

Di seguito per ciascun nuovo ristorante si fornisce la lista dei prezzi osservati e di quelli previsti dai due modelli (usando i modelli che omettevano i 3 valori anomali)

Nome Prezzo Prev Prev.

3 var. 2 var. 1 88 Palace 23 17.30426 17.41812 2 Babalu 44 40.92932 41.04938 3 baci 38 53.13583 53.01019 4 Bellini 52 50.46514 50.41632 5 Bombay Place 35 40.78905 40.61771 6 Brother BBQ 26 27.37405 27.21673 7 Bruno ristorante 52 51.23561 50.99317 8 caf\350 abana 23 22.25196 22.60585 9 Campagnola 58 52.06761 52.00168 10 Canaletto 48 51.23561 50.99317 11 Cicus 43 38.03962 38.02385 12 City Grill 27 30.04474 29.81059 13 Cyclo 30 32.32174 32.40446 14 Del Frisco's 64 54.34433 54.45036 15 della femina 54 45.35997 45.22860 16 delta grill 29 35.98192 36.00683 17 Diner 26 36.89266 37.01534 18 Divino 36 36.90986 36.58368 19 dizzi's 20 25.31635 25.19971 20 do hwa 38 43.52128 43.64324 21 Dolphins 34 46.42819 46.23711 22 Due 37 45.89422 45.80544 23 Ebisu 38 57.09376 57.04423 24 El cid 34 30.18530 30.38744 25 El rio grande 30 27.29531 27.21673 26 elmo 33 37.96059 37.87867

(12)

27 Ernie's 32 30.04474 29.81059 28 Esperanto 28 37.88214 38.02385 29 ESPN zone 27 27.13754 27.07155 30 Fiamma Osteria 55 61.66468 61.65511 31 Fiorello's 44 39.72083 39.60921 32 Firebird 58 60.14094 60.06975 33 Fleur de Sel 62 49.39692 49.40782 34 Flor de Mayo 18 20.13272 20.15717 35 Flor's Kitchen 19 23.79290 23.75954 36 Frendihouse 23 39.10784 39.03236 37 Fujiyama Mama 37 38.03962 38.02385 38 Gam mee ok 21 32.08552 32.40446 39 Gene's 34 38.59108 38.16903 40 Hangawi 41 61.66468 61.65511 41 hasaki 37 37.26944 37.59219 42 Iso 38 34.67748 34.99832

43 Jekyll & Hyde Club 30 28.44198 28.08006

44 Joe's shangai 23 15.70208 15.97795 45 Johnny Rockets 15 28.44227 28.22524 46 John's pizzeria 20 24.92265 25.19971 47 Junior's 20 20.58795 20.58883 48 Les Halles 42 33.23248 33.41297 49 Leshko's 27 30.26375 30.24226 50 Marks 63 66.84859 66.84284 51 Mars 29 32.10215 31.68243

52 Massimo al ponte vecchio 37 49.33539 48.97615

53 Mayrose 21 15.40404 15.40110

54 Maz Mezcal 33 40.55283 40.61771

55 McHales 19 19.59847 19.58032

56 Mediterraneo 36 27.13783 27.21673

57 Mee Noodle Shop 14 14.65106 14.53777

58 Meltemi 42 40.33382 40.18605 59 Merge 40 39.72083 39.60921 60 Meskerem 23 28.12760 28.37042 61 Metro Fish 41 40.41256 40.18605 62 Metronome 41 40.55255 40.47253 63 Metropolitan cafe 33 31.03422 30.81910 64 Minnow, the 37 44.98348 44.79693 65 Miracle grill 33 36.27967 36.43849 66 Mocca 25 24.86112 24.76805 67 Montparnasse 42 42.61054 42.63473

68 Morrel wine bar 44 35.44766 35.42999

69 Moustache 21 23.93317 24.19120 70 Mr. K's 52 65.93785 65.83433 71 Nam 36 44.35328 44.65175 72 Natine's 31 38.81009 38.60070 73 New Pasteur 15 15.48307 15.54628 74 Novit\340 48 50.38640 50.41632 75 Nyonya 20 21.26248 21.59734 76 Odeon, the 39 38.11836 38.02385 77 Ollie's 19 17.08525 16.98646 78 One c.p.s. 55 47.18145 47.24561 79 Osso Buco 32 32.63670 32.40446 80 Osteria al doge 42 39.72083 39.60921

(13)

81 Osteria del circo 55 54.50180 54.45036 82 Ouest 54 54.26559 54.45036 83 pellegrino's 38 44.82600 44.79693 84 prune 47 41.08709 41.19456 85 Punch 35 39.10784 39.03236 86 Quattro Gatti 40 36.13939 36.00683 87 South West Ny 29 19.81719 19.86680 88 Starbucks 9 12.96956 12.80724 89 Tomoe sushi 36 23.16299 23.75954 90 topaz thai 27 29.19582 29.37893 91 Tuscany grill 41 45.73675 45.80544 92 Veselka 17 21.49869 21.59734 93 vine 52 42.61054 42.63473 94 wo hop 16 10.83341 10.93540 95 Wollensky's grill 43 41.24457 41.19456 96 Yama 36 26.28891 26.78507 97 Yuka 27 31.19199 30.96429 98 Yura & Co 23 25.08013 25.19971 99 Zitoune 41 45.28123 45.22860 100 Zutto 36 41.46358 41.62622

Quale modello prevede meglio? Usando qualsiasi misura il modello con due variabili prevede megli orispetto a quello con tre, anche se il miglioramente non è particolarmente rilevante. Per esempio, per il 52% delle previsioni, l'errore basato sul modello con i due punteggi è inferiore a quello ottenuto col modello a tre variabili; l'errore mediano assoluto per il modello più semplice é di $4.10, confrontato col $4.24 del modello più complicato; la deviazione standard degli errori per il modello più semplice è $6.64, da confrontare con i $6.68 di quella del modello più complicato.

figura

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