Università di Pisa
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corso di Laurea in Matematica
Anno Accademico 2007/2008
Il problema inverso di Galois
Candidato: Vincenzo Luca Mantova
Relatore: Chiarissimo Prof. Roberto Dvornicich
Il problema inverso di Galois è, come dice il nome, la domanda opposta alla risposta classica data dalla teoria di Galois: invece di associare alle estensioni normali il gruppo di automor smi, si cerca di costruire un'opportuna estensione di campo di modo che abbia gruppo di Galois assegnato. Mentre per alcuni casi semplici, quali i campi niti, si conosce una risposta esaustiva, il caso in cui il campo base sia Q è ancora lungi dall'essere risolto. L'approccio moderno che studieremo per Q si avvale di tre strumenti principali: il teorema di irriducibilità di Hilbert, il teorema di esistenza di Riemann e i criteri di rigidità. Da questi discenderanno anche risultati in generale più forti per Qab.
Il teorema di irriducibilità di Hilbert ci garantisce che dato un polinomio a coe cienti in Q(x) irriducibile esistono in niti valori v ∈ Q per cui la specializ-zazione x 7→ v mantenga il polinomio irriducibile. Se il polinomio considerato è il polinomio minimo di un generatore di un'estensione normale, la specializ-zazione lascia intatto il gruppo di Galois associato. Otterremo quindi che la ricerca di gruppi di Galois tra le estensioni di Q(x) fornisce automaticamente gli stessi gruppi anche su Q.
La proprietà di hilbertianità di Q, ovvero di conservare l'irriducibilità dei polinomi per in nite specializzazioni, si estende facilmente alle estensioni nite; lo stesso risultato si può ottenere, sotto opportune condizioni, su estensioni al-gebriche in nite tramite il teorema di Weissauer (la cui dimostrazione originale, facente uso di modelli non standard, è trattata brevemente in appendice). Da quest'ultimo risultato dedurremo l'hilbertianità di Qab, come pure il fatto che la
ricerca di gruppi di Galois su k(x), con k hilbertiano, è equivalente alla ricerca di gruppi di Galois su k(x1, . . . , xm) per qualsiasi m ≥ 2, qualora si imponga
che l'estensione L/k(x1, . . . , xm)soddis L ∩ k = k.
Grazie al teorema di esistenza di Riemann classi cheremo invece tutte le estensioni di C(t); per la precisione considereremo un luogo di rami cazione ssato S ⊂ P1
(C), di cardinalità s < ∞, e vedremo che il gruppo di Galois della massima estensione C(t) rami cata solo in S sarà il gruppo pro nito:
Γs:= hγ1, . . . , γs| γ1· · · γs= ei
Ricaveremo da questo la classi cazione di Hurwitz: le estensioni di C(t) con gruppo di Galois G saranno in relazione biunivoca con le possibili scelte di s generatori σ1, . . . , σs, con σ1· · · σs= e, a meno di automor smi di G. Tramite
principio di Lefschetz, che veri cheremo per questo caso speci co, otterremo una classi cazione completa dei gruppi realizzabili su k(t) con k sottocampo
algebricamente chiuso di C. Il caso particolare che ci interesserà sarà ovviamente k = Q.
Tramite i criteri di rigidità ci sarà in ne concesso di ridurre il campo base per le estensioni di Q(t), ottenendo estensioni regolari con lo stesso gruppo di Galois su L(t), con L estensione nita su Q contenuta in Qab. Si sfrutterano
le sole proprietà algebriche del gruppo G desiderato, in particolare la rigidità, che si ha quando esiste un unico insieme di s generatori σ1, . . . , σs, a meno di
automor smi interni, per il quale vale σ1· · · σs = e. Con le condizioni
aggiun-tive che G abbia complementare per il suo centro e che le classi di coniugio dei generatori σi siano razionali, ovvero Cm = C per ogni m - |G|, otterremo
rea-lizzazioni su Q stesso. Vedremo come tale criterio si potrà migliorare scegliendo opportunamente il luogo di rami cazione S, mentre si potrà generalizzare per alcuni casi speciali studiando il gruppo degli automor smi di Q(t)/Q.
Analizzando i problemi più generali di immersione, ovvero dato un omomor- smo surgettivo H → Gal(L/K) trovare un'estensione F/L di Galois su K tale per cui H ∼= Gal(F/K) e la restrizione a L coincida con l'omomor smo, ve-dremo come sarà possibile realizzare gruppi complessi a partire dai loro fattori di composizione più semplici. In particolare studieremo le realizzazioni GAL dei gruppi, che permettono di risolvere i problemi di immersione che hanno co-me kernel dell'omomor smo il gruppo studiato. Vedremo coco-me le condizioni di rigidità stesse forniscono in alcuni casi delle realizzazioni GAL.
Vedremo in ne come tutte queste tecniche possono essere implementate in via algoritmica con opportuni accorgimenti che hanno di recente permesso la costruzione esplicita di estensioni di Q per tutti i gruppi transitivi di ordine minore o uguale a 15. Applicheremo anche i criteri visti ad alcune famiglie notevoli di gruppi per i quali si riescono a costruire terne di generatori che soddis no la condizione di rigidità.
