IL TRIANGOLO
Il triangolo è un poligono avente tre lati.
FORMULE
AREA: Il triangolo è equivalente a metà parallelogramma.
A = (b x h) : 2
da cui:
b= 2A : h e h= 2A : b
TRIANGOLO RETTANGOLO (a, b cateti; c ipotenusa)
Interpretazione geometrica delle formule
Teorema di Pitagora
a=
√
c
2−
b
2b=
√
c
2−
a
2c=
√
a
2+
b
2Tr. rettangolo emiquadrato (α=β=45°; γ=90°; a=b)
c=a
√
2 da cui a=
c
√
2
2
A=
a
22
oppure A=
c
24
Tr. rettangolo emiquilatero (α=30°; β=60°; γ=90°)
b=a
√
3 c= 2a da cui
a=b√
3 3A=a
2√
3
2
oppure A=b
2√
3
6
oppure A=
ab
2
Cioè 0,866 il quadrato di lato a
cioè 0,288 il quadrato di lato b. Il quadrato di lato b contiene quasi 3,5 volte il triangolo (verifica con un quadrato di lato con b=10 cm, rispettando gli angoli di 30° e 60°)
l'area del triangolo è metà del quadrato di lato a
l'area del triangolo è, anche, un quarto del quadrato di lato c
TRIANGOLO EQUILATERO (
α=β=γ=60° a=b=c=l)
h=
l
2
√
3 da cui l=2 h
√
3
3
cioè 0,432 l² ovvero il 43% del quadrato costruito sul lato
A=a
2√
3
2
=0,866 a
2A=b
2√
3
6
=0,288 b
2A=
c
24
A=
a
22
A=1 2( l 2√
3 x l)=l 2√
3 4ANGOLI DI UN TRIANGOLO
ANGOLI DI UN TRIANGOLO QUALSIASI
In un triangolo qualsiasi ( α+β +γ) = 180° e (δ+λ+ε) = 360° quindi:
α=180° - (β+γ) β =180° - (α+γ) γ =180° - (α+β)
Ogni angolo esterno è adiacente all'angolo interno aventi lo stesso vertice:
δ= 180° - α λ= 180° - γ ε= 180° - β
Ogni angolo esterno è uguale ai due angoli interni non adiacenti ad esso:
δ= (β+γ) λ= (α+β) ε= (α+γ)
ANGOLI DI UN TRIANGOLO ISOSCELE
In un triangolo isoscele due angoli sono congruenti:
α = γ = (180° - β) : 2 β = 180° - 2 α
Il triangolo equilatero ha:
α = γ = β = 60° δ= λ= ε= 120°
ANGOLI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari:
γ = 90° - β β = 90° - γ
In un triangolo rettangolo isoscele:
γ = β = 45°
LATI DI UN TRIANGOLO
TRIANGOLO QUALSIASI
In un triangolo qualsiasi ogni lato è minore della somma e maggiore della
differenza degli altri due lati:
a< b +c e a > b– c
b< a+c e b >a–c
c < b–a e c > b+a
TRIANGOLO ISOSCELE
In un triangolo isoscele due lati sono congruenti e sono detti lati:
a=c
il lato diverso è detto base
TRIANGOLO RETTANGOLO
In un triangolo rettangolo due lati sono perpendicolari e sono detti cateti
Il lato diverso è detto ipotenusa
Nel triangolo rettangolo isoscele l'ipotenusa a= 1,41 b =
b
√
2
Nel triangolo rettangolo emiquilatero
PUNTI NOTEVOLI DEL TRIANGOLO
LE ALTEZZE DEL TRIANGOLO
GLI ASSI DEL TRIANGOLO
Il triangolo ha tre altezze che si
incontrano in punto detto
Ortocentro (O).
L'Ortocentro è esterno nel
triangolo ottusangolo, interno
nel triangolo acutangolo e
coincide con il vertice
dell'angolo retto nel triangolo
rettangolo
Il triangolo ha tre assi che si
incontrano in un punto detto
Circocentro (G)
Il circocentro è il centro della
circonferenza passante per i
tre vertici
Il circocentro è equidistante
dai vertici del triangolo
Il circocentro è esterno, tr. Ottusangolo, interno tr. Acutangolo, sul punto
medio dell'ipotenusa tr. Rettangolo.
LE BISETTRICI DEL TRIANGOLO
LE MEDIANE DEL TRIANGOLO
Il triangolo ha tre bisettrici
che si incontrano in un punto
detto Incentro.
L'incentro è sempre interno
L'incentro è il centro della
circonferenza tangente ai lati.
L'incentro è equidistante dai
lati
Il triangolo ha tre mediane
che si incontrano in un punto
detto Baricentro.
Il baricentro è sempre interno
Il baricentro divide ciascuna
mediana i due parti di cui
una è la metà dell'altra.
L'Ortocentro, il Circocentro, l'Incentro e il Baricentro sono detti Punti notevoli del triangolo.
Nel triangolo Isoscele l'altezza è anche mediana, bisettrice e asse e i punti notevoli sono tutti sulla stessa retta.
Nel triangolo equilatero le tre altezze sono, anche, mediane, bisettrici e assi e i quattro punti notevoli coincidono.
CRITERI DI CONGRUENZA
1° CRITERIO
2° CRITERIO
Due triangoli sono congruenti se hanno
due lati corrispondenti e l'angolo
compreso congruenti
Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e i due angoli adiacenti
congruenti
3° CRITERIO
TRIANGOLO RETTANGOLO
Due triangoli sono
congruenti se hanno i lati
corrispondenti congruenti
1° Criterio – Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i due cateti
2° Criterio – Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un cateto e l'angolo acuto adiacente
3° Criterio – Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un cateto e l’angolo acuto opposto.
4° Criterio –Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti l’ipotenusa e un angolo acuto.
CLASSIFICAZIONE
TRIANGOLI
SCALENO
Ha i tre lati e e i tre angoli diversi
ISOSCELE
Due lati congruenti (lati) e uno diverso (base). Due angoli congruenti, angoli alla base e l'altro, angolo al vertice
EQUILATERO
Ha i lati e gli angoli congruenti
ACUTANGOLO
Ha tutti gli angoli acuti
ACUTANGOLO SCALENO
ACUTANGOLO ISOSCELE
ACUTANGOLO EQUILATERO
RETTANGOLO
Un angolo retto e due acuti fra loro complementari. Due lati perpendicolari (cateti); il terzo, più lungo, ipotenusa
RETTANGOLO SCALENO
RETTANGOLO ISOSCELE
OTTUSANGOLO
Ha un solo angolo ottuso
OTTUSANGOLO SCALENO
OTTUSANGOLO ISOSCELE
COME COSTRUIRE UN TRIANGOLO ...
Data la misura dei tre lati
Data la misura di due angoli
equilatero
rettangolo data l'ipotenusa
Disegnare il primo lato AB; puntare il compasso in A con apertura AC e tracciare un arco; puntare il compasso in B con apertura BC e tracciare il secondo arco. L'intersezione fra i due archi è il punto C
Disegnare il primo lato AB. Dal punto A, con il goniometro, individua il primo angolo e traccia una semiretta; dal punto, con il goniometro individua il secondo angolo e traccia l'altra semiretta. Il punto di incontro delle due
Disegna il primo lato AB. Punta il compasso in A e traccia un arco di apertura AB e poi, con la stessa apertura, in B traccia un altro arco. Il punto di intersezione è il punto C.
Disegna l'ipotenusa AB e individua il punto medio O. Traccia una
semicirconferenza di raggio AO=OB. Qualsiasi triangolo nella
SIMILITUDINE NEI TRIANGOLI
QUALSIASI TRIANGOLO
TRIANGOLI RETTANGOLI
1° Criterio – Due triangoli sono simili se hanno rispettivamente congruenti gli angoli corrispondenti
α=α' β=β' γ=γ'
2° Criterio – Due triangoli sono simili se hanno due lati corrispondenti proporzionali e l'angolo compreso congruente.
AB : A'B'= BC : B'C' e β= β'
3° Criterio – Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali.
AB : A'B'= BC : B'C' =AC : A'C'
1° Criterio – Due triangoli rettangoli sono simili se hanno rispettivamente congruente un angolo acuto
2° Criterio – Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i due cateti corrispondenti proporzionali oppure se hanno un cateto e l'ipotenusa proporzionali e l'angolo l'angolo compreso congruente.
3° Criterio – Due triangoli rettangoli sono simili se hanno almeno i cateti corrispondenti proporzionali.
TEOREMI DI EUCLIDE
L'altezza relativa all'ipotenusa divide sempre il triangolo in tre triangoli rettangoli simili perché hanno gli angoli corrispondenti congruenti (terzo criterio)
AHC BHC ABC
AH, HC, AB sono rispettivamente cateti minori dei tre triangoli HC, HB, BC sono rispettivamente cateti maggiori dei tre triangoli AC, BC, AB sono rispettivamente ipotenuse dei tre triangoli AH è proiezione di AC su AB
HB è proiezione di BC su AB
1° teorema di Euclide – In un triangolo rettangolo ABC ciascun cateto è medio proporzionale fra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.
AH : AC = AC : AB da cui
AC=
√
AHxAB
BH : BC = BC : AB da cui
BC=
√
BHxAB
2° teorema di Euclide – In un triangolo rettangolo ABC l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
AH : CH = CH : BH da cui
CH=
√
AHxBH
Le proporzioni, dalle quali si hanno le tre formule principali, vengono utilizzate per calcolare la lunghezza di un elemento conoscendone due. Ad esempio, dalla prima proporzione AH : AC = AC : AB ricaviamo AH= AC²:AB e AB= AC²:AH.
