Lezione 8 cons energ Ing civ amb 2015-2016

Dinamica

Dinamica Lavoro di un forza costante

Joule dy F dx F W B A B A Y Y Y X X X 6 0 3 2 2       





2

1

W

W 

x y A(0,0) 2 1 P (3,0) B(3,3) x

F





2

 Joule s s d F W B A 6 ) 2 3 / 3 ( 2 6 cos 2 3 2 cos 2 1            



   

Se la forza è costante (modulo, direzione e verso),

Dinamica Dinamica

Più in generale, se F costante

_F



s

d



A B 1

r



2

r









B A

s

d

F

W





)

(

r

₂

r

₁

F

r

F

s

d

F

W

B A

































r





Il lavoro dipende solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo ed è indipendente dalla traiettoria





0 90 cos 0 cos             PB PB A B AP AP mg W y y mg mg W



_{B A}



PB AP AB

W

W

mg

y

y

W











1 Dinamica

Dinamica Il lavoro della forza peso

A AB B A B A

r

g

m

s

d

g

m

s

d

F

W





























) ( ) )( ( _{B A} AB mg y mg y y r g m W           B mg 1

r



2

r



r





2

y

mg

F





ˆ

x y P A B

Dinamica

Dinamica Energia potenziale



_{B A}



AB

mgy

mgy

W







mgy

U 



U

U



U

W

_AB





_B



_A







Finale Iniziale Esiste una funzione della posizione del punto materiale P

U(P) = U(x,y,z)

U

W

_AB



















B A B A AB

F

d

s

F

d

s

W

2 , 1 ,









0

2 , 1 ,















B A B A AB

F

d

s

F

d

s

W









₀

2 , 1 ,















A B B A AB

F

d

s

F

d

s

W









0









F

d

s

W

_AB





Il lavoro effettuato da una forza conservativa su _{un percorso chiuso è nullo}

Dinamica

L’energia potenziale U(x,y,z) viene sempre definita a meno di una costante iniziale, che risulta legata alla scelta del sistema di riferimento e che in ogni caso non va a modificare il calcolo di U.

W

_P1P2

 U  U(P

₁

)  U(P

₂

)

W_PoP  U  U(P_o)  U(P)

Considerando i punti P_o, iniziale, e P, il generico punto dello spazio:













P P o P P o o o

U

P

F

d

s

W

P

U

P

U

(

)

(

)

(

)





P_o punto punto dello spazio a cui viene assegnato un valore arbitrario dell’energia potenziale. La funzione U (P) definito rispetto alla costante U(P₀)

costante

Dinamica

Le forze centrali sono conservative

F sempre nella direzione ed in

generale può dipendere da

r

uˆ

r













B A B A

dr

r

F

s

d

r

F

W



(

)



(

)

La soluzione di questo integrale dipende solo da

r



A

,

r



B

)

(

U

r_A

U

r_B

W









r

U

Energia potenziale r

uˆ

)

dr

/

dU

(

F 





Dinamica Dinamica

Esempio: Energia elastica

Calcoliamo il lavoro svolto per spostare il corpo da x_i ad una x generica

2 2

2

1

2

1

kx

kx

dx

kx

dx

F

L

_i x x x x e i i















_



_

Definisco quindi l’Energia Potenziale Elastica come:

 

x

kx

C

U

_e



2



2

1

_{ }

_{ }

x

U

x

U

U

L







_e



_{e i}



_e

Se scelgo come posizione iniziale l’origine del sistema di riferimento ovvero:

0



i

x

U

_e

 

x

_i



0

 

2

2

1

kx

x

U

_e



e assumo

Esempio: Energia potenziale gravitazionale

Calcoliamo il lavoro svolto per spostare il corpo da y_i ad una y generica

mgy

mgy

dy

mg

dy

F

L

_i y y y y G i i















_



_

Definisco quindi l’Energia Potenziale Gravitazionale come:

 

y

mgy

C

U

_G





_L







_U

_G



_U

_G

 

_y

_i



_U

_G

 

_y

Se scelgo come posizione iniziale l’origine del sistema di riferimento ovvero:

0



i

y

U

_G

 

y

_i



0

U_G

 

y  mgy y e assumo

Dinamica

Dinamica Piano inclinato

La forza spostamento non produce lavoro

N  ET si conserva !! Punto di partenza Punto di arrivo Punto generico EK = 0 U=mgho EK = ½ mVf2 U = 0 EK = ½ mV 2 U = mgh mgh0 = ½ mV_f2 V_f = 2gh0 V = 2gh0 V = 2gh0 V = 2gh0 1 t t 1 t2 t 2 t3

Dinamica

Dinamica Piano inclinato

Z Zi Zf

)

(

U

f

U

i

L







)

(

*

)

(

mgh

j

mgh

i

mg

Z

j

Z

i

L













Conta solo la differenza di quota !! 0

1

mgh

L 

0

2



L

Forza peso allo spostamento



   mg Fest mg 

?

3



L



   o h mgh dz mg L 0 0 3 ( )











L

L

m

g

d

r

L

1 2 3





Sistema Corpo + Molla

Per l’energia potenziale e la forza vale:

kx

F

kx

U



2







2

1

Con accelerazione

x

m

k

dt

x

d

a



₂





2 e se definisco

m

k





si ha 2 2

2

1

x

m

U





Potenziale parabolico con concavità verso l’alto

Il MOTO ARMONICO SEMPLICE avviene sempre in presenza di Potenziale Parabolico... e viceversa se (con concavità

verso l’alto) avremo un moto armonico

2

x

U 

Vediamo ora di seguire l’alternanza delle energie in funzione di x anziché di t (cioè in base a “dove” si trova il punto materiale

L’energia potenziale assume valore massimo agli estremi di oscillazione dove

l’energia cinetica è nulla

Mentre nel centro di oscillazione l’Energia potenziale è nulla e l’energia

cinetica assume valore massimo

Da ₂ ( ) 1 2 1 _kx2  _mv2  _E costante ricavo 2 2 2 1 2 1 kx E mv K    ) ( 2 2 max x x m k v    e

La seconda equazione mi dice che v=0 negli estremi di oscillazione (x= ±x_max), mentre assume valore massimo per x=0

2

2

1

kx

E

K





2

2

1

kx

U 

Quindi si ha:

E sono entrambi descritti da parabole

K

Queste considerazioni energetiche discendono dalla forma delle energie e della legge oraria e possono essere estese anche ad altri casi di MOTO ARMONICO SEMPLICE, come ad esempio il

moto del pendolo

U e K sono in “controfase”. La loro somma è sempre costante. L’energia si alterna tra potenziale (Molla) e

Conservazione dell’Energia

nel moto Elastico

In questo caso le forze sono di tipo conservativo (FORZA ELASTICA).

Dunque l’energia totale E si conserva nel tempo (in ogni configurazione del sistema)

La legge oraria è:





m k con t x x  _Max cos    

 

t  kx

 

t  kx



t 



U 2 _Max2 cos2 2 1 2 1 Ora si ha che

 

  x 



t 



dt dx t v _Max sin Quindi

 

t  mv

 

t  mx  



t 



 kx



t 



K 2 _Max2 2 2 _Max2 sin2

2 1 sin 2 1 2 1 Dunque:

 

 

2 2





2 2





2 2 1 sin 2 1 cos 2 1 Max Max Max t kx t kx kx t K t U E         

Conservazione dell’Energia

nel moto del Pendolo

Dinamica Dinamica Il pendolo g m

T



Forza conservativa

Forza non conservativa, ma non compie lavoro

ET Si conserva ! U=0 0  0  l Z₀=l(1-cos₀

Punto più alto

Punto più basso

Punto generico ) cos 1 ( 0 0 0      mgl mgz U E_k 0 2 1 ₂ 0   U mv E_k ) cos ( 2 1 ₂      mgl mgz U mv E_k

(E_k + U) punto generico = (E_k + U) punto più alto

Nel punto più basso, la velocità è massima:

)

cos

(cos

2

v



gl







0

)

cos

1

(

2

v

o



gl





0 E 0   _

)

cos

)(cos

2

(

2

1

v

2

1

0 2

_



_





m

m

gl

E

_k U=mgl(1-cos )



E_k + U = costante





_v2



_{1 cos 0}



2 1 cos 1



 m  mgl 



mgl Dinamica Dinamica Il pendolo 0 

Dinamica

Da quale altezza si deve partire per fare correttamente il giro?

gh

v

_B



2

mgh

mv

_B2



2

1

mgh

mv

E

_kB



_B2



2

1

0



B

U

E 

_kc

1

/

2

mv

_c2

gRm

U

c



2

Dinamica

Dinamica Il giro della morte

h

0



c

0



N

Altrimenti il corpo si stacca!!

F

_centr.

= mg+N

mg+N=(mv

2 C

)/R

In C : mg+N= (mv

2 C

)/R

Condizione limite: N

diventa nullo in C

mg=(mv

2 C

)/R

v

_c



gR

Conservazione dell’energia tra A e C

mgh=1/2 mv

2

C

+2gRm

h=5/2R

Dinamica

Dinamica Il giro della morte

0



c

Ancora sull’energia potenziale

)

(

)

(

W

d

U

d

U

W













dU

s

d

F

dU

dW















dU

cos

Fds







F

_T

ds





dU

ds

/

dU

F

_T





La componente della forza nella direzione dello spostamento, si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata relativa

Dinamica Dinamica

Ancora sull’energia potenziale In generale U(x,y,z)

F

X





(



U

/



x

)

u

ˆ

x y Y

U

y

u

F





(



/



)

ˆ

z Z

U

z

u

F





(



/



)

ˆ

)

/

(



U



x

Significa derivare solo rispetto a X Dinamica Dinamica

mg

u

dz

dU

F

X





(

/

)

ˆ

x





mgz

U 

Ancora sull’energia potenziale

Percorso 1 : W = 0

Percorso 2 : W = mg(h₂-h₁) Percorso 3 : W = mg(h₂-h₁)

Superficie “equipotenziale”

La forza è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie equipotenziale diretta nel verso in cui essa decresce.

g m z z

dU

dZ

u

F





(

/

)

ˆ

Dinamica Dinamica

mgz

U 

Le curve di energia potenziale

Forza elastica

Kx

dx

dU

F





(

/

)





Dinamica Dinamica

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica Generale Prof. G. Iaselli

2 0

2

1

Kx

U 

0

0

₁





F

x

Se

0

0

₂





F

x

Se

Le curve di energia potenziale In generale Dinamica Dinamica

)

/

(

dU

dx

F 



Min

Max

U

dx

dU

Se

/



0





/

Curve dell’energia potenziale

x U(x) E_mec K=E_mec-U A Regione proibita (K<0) Equilibrio stabile (U minima) B D C Equilibrio instabile (U massima) E Equilibrio indifferente (U costante)

Forze Conservative, Sistema Isolato

costante



 K

U





U



K





0

Forze Conservative + Dissipative, Sistema Isolato











0



U

K

E

_Int

Ad Es. Riscaldamento per frizione

[Se consideriamo come

sistema: il blocco più il piano inclinato, che si scaldano

durante il processo] Sistema non Isolato

A) Agiscono Forze dall’esterno sul sistema (Lavoro fatto sul sistema)

B) Il sistema agisce sull’ambiente con una Forza (Lavoro fatto dal Sistema)



U



K



E

_Int





L

_ext



Ad Es.





U



K



E

_Int





F



_ext



d



F_ext

Se agiscono anche forze non conservative: k

E

W





U

W

_c







c nc

W

W

W





nc k

U

W

E









L’energia meccanica non resta costante e la sua variazione è pari al lavoro delle forze non conservative.

Dinamica Dinamica

33

forze non conservative?

è sempre valida

Fa Tin

Tfin

E

W

Sistema non Isolato, con attrito dinamico

N

f



_k







_k

mgd

d

F

L

L

E



_F



_Attr









_k



Valgono le seguenti formule:

Se cambio la definizione di sistema si ha:

d

F

E

K

U









_Int







Con:



E

_Int







_k

mgd

E quindi Ext Int

L

E

E







(

)

Più in generale si ha:

...)

(













_{Int Chim ElettrMagn}

Ext

E

E

E

E

L

Un esempio

)

sin

/

(

cos







mg

h

W

Fa





_d 

)

sin

/

(

cos

2

/

1

mv

2_f



mgh





d

mg



h



)

/

1

(

2

gh



tg



v

_f





d

Senza attrito sarebbe

v

f



2

gh

Dinamica Dinamica

?

0





f i

v

v

0

2

/

1

0

2

_







f f kfin i kin

U

mv

E

mgh

U

E

Fa Tin Tfin

E

W

E



