Verifica di Matematica del 28 maggio 2019
5F
Equazioni differenziali
1. Risolvere le seguenti equazioni differenziali e il problema di Cauchy usando il metodo ritenuto più oppor-tuno. y0= sin x + 2 y00=√3x y0 =y + 4 x y 0+ 3yx = y2x y00+ 4y0+ 10y = 0 3y00+ 4y = 0 y00+ 4y0= 0 y(0) = 0 y0(1) = 1
2. Dimostrare che y = sin(3x) è una soluzione dell’equazione differenziale 9y + y00+ 9y0+ y000 = 0.
Problemi
Nota. Risolvere uno dei due problemi qui sotto proposti.
(Problema MAT). Sia data la funzione:
y =ax
2+ 5x + b
x − c
Determinare i parametri a, b, c di modo che la funzione passi dall’origine e che sia asintotica alla retta di equazione y = 3x + 8. Una volta appurato che a = 3, b = 0, c = 1, studiare la funzione. Dimostrare inoltre che la funzione cambia concavità ma non ha punti di flesso. La linea formata dalla funzione compresa fra le due intersezioni con l’asse x e l’asse x stesso rappresenta il profilo di una spira metallica, la quale viene immersa in un campo magnetico costante B0. La spira viene fatta ruotare con l’asse di rotazione perpendicolare alle
linee di campo magnetico con una velocità angolare non costante pari a ω = ω0+ αt, dove α è una costante.
Calcolare la fem idotta e la corrente sapendo che la spira possiede una resistenza totale R.
(Problema FIS). Una nube temporalesca può essere ben approssimata da una lastra di un condensatore carico, dove l’altra lastra è rappresentata dalla superficie terrestre. Supponiamo che la nuvola sia carica posi-tivamente. Una gocciolina sferica di pioggia di massa m cade dalla nuvola, e cadendo acquista una carica Q negativa per effetto triboelettrico; fra la nuvola e la superficie terrestre è presente un campo elettrico E, ed inoltre l’aria produce una forza viscosa che si oppone al moto della goccia (tale forza è della forma FA= −βv,
dove il meno indica che la forza si oppone sempre al moto). • Disegnare il diagramma di forze che agiscono sulla goccia;
• Scrivere (senza risolverla) l’equazione differenziale del moto della goccia, partendo dal secondo principio della dinamica Ftot= m¨y e considerando come unica direzione del moto della goccia l’asse y;
• Dimostrare che la goccia raggiunge una velocità limite che vale vlim= mg−QEβ ;
• Se il campo elettrico generato dalla nuvola è sufficientemente forte, la goccia può in teoria fermarsi e fluttuare a mezz’aria senza né scendere né salire. Calcolare in questo caso il campo elettrico necessario; • Nella condizione del punto precedente, calcolare la differenza di potenziale (∆V ) che si instaura fra la
terra e la nuvola, sapendo che la base della nuvola dista h dalla superficie della terra.