Traces de fonctions régulières de plusieurs variables quaternionniennes

Source gallica.bnf.fr / Archives de l'Académie des sciences

Comptes rendus de

l'Académie des sciences.

Série 1, Mathématique

Académie des sciences (France). Auteur du texte. Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série 1, Mathématique. 1990/06-1990/12.

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C

R. Acad. Sci. Paris,

_t.

311, Série I, _p. 37-40, 1990 37 Analyse complexe/Complex Analysis

Traces

de

fonctions régulières

de

plusieurs variables

quaternionniennes

Donato

PERTICI

Résumé_— On donne des conditionsdifférentielles nécessaires _et suffisantes _pour l'extension

régu-lière (au _sens de Fueter) de fonctionsdéfinies _{sur une hypersurface}de Hn.

Traces

of

regular functions

of

several quaternionic variables

Abstract_{— Some necessary} andsuffïcient differential conditions_aregiven for the regularextendibility

(in _{the sense} ofFueter) offunctionsdefined_{on a} hypersurface

of

1. INTRODUCTION. _— Désignons

_par

H l'algèbre des quaternions et considérons un

élément

de

Posons,

_pour

où _{Parfois nous écrirons} Si A est un ouvert de _et si

est

une fonction de classe C1, nous définissons,

pour

les

opérateurs

en

posant

Si désigne l'opérateur de Fueter (de dimension n), _{on dit que la}

fonction

F

est régulière à gauche (ou plus simplementrégulière) dans A, si

.

Pour

les résultats généraux de la théorie des fonctions régulières _{de la variable}

quater-nionnienne nous renvoyons aux travaux originels [1] _et [2] de Fueter et aux

travaux

[3] à

[8]

_pour

les développementsplus récents.

2. L'ÉQUATION Nous désignons

_par

A _et

_par

respectivement, le laplacien ordinaire de et le laplacien partiel

_{par rapport}

_{aux variables} réelles de On vérifie que

et

_par

conséquent

En plus, puisque A;, _{est un opérateur} réel, _on

_a

Considérons

maintenant

_{une fonction}

Si

l'équation

a

une solution, alors, à cause de (1) et (3), la

fonction/

doit

satisfaire les conditions

Note présentée par Paul MALLIAVIN.

38 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 311, Série I, _{p. 37-40, 1990}

suivantes _:

Si la fonction

/

_{est à support compact,} (4) _{est une} condition suffisante

_pour

l'existence de solutionsde l'équation

.

En effet, _{on a} le

THÉORÈME 1. _—

Soit

.L'équation

admet

une solution si et seulement si les composantes de

f

satisfont (4).

Dans [4] _{on a montré un théorème analogue dans} lequel la condition (4) _{est remplacée}

par

des conditions intégrales plus compliquées. En fait la démonstration du théorème 1

consiste

à

_{prouver que} (4) implique les conditionsintégrales mentionnées.

3. _{EXTENSIONS RÉGULIÈRES DE FONCTIONS ANALYTIQUES. —} Considérons_une hypersurface analytique orientée S de définie

_par

_{une fonction}

,

à savoir où

grad _sur S.

Soit

:

_{une fonction} analytique. Il est naturel de _se demander

quelles conditions

f

doit satisfaire _{pour que} f soit la restriction d'une fonction régulière

sur un voisinage de S. Dans [4] _{on a prouvé quef doit} nécessairement satisfaire certaines

conditions différentielles, nommées,

à

_{cause de} l'analogie _avec la variable complexe, conditionsde Cauchy-Riemann-Fueter.De telles conditions_peuvent s'exprimerde la façon suivante _: si _on désigne

_{par F}

_{une extension différentiable quelconque}

de/

_{sur un}

voisinage de S, _{on a :} (5)

où A _{et sont} des fonctions

à

valeurs dans H _et dans Hn respectivement. Dans _{ce cas}

on dit même que est une CRF-fonction à gauche sur S. Il est clair que la définition_ne

dépend ni de F, ni de

.

On verra que les conditions seules de Cauchy-Riemann-Fueter ne suffisent pas en général

_pour

_assurer l'existence de l'extension régulière.

Nous définissons

_pour

les formes suivantes à valeurs dans H _:

Si l'on note _{v et co,} respectivement, le _{vecteur normal et} la forme volume de S,

et

la fonction déterminée

_par

l'équation

on peut prouver ([5]) que où F est une extension régulière de

f.

En plus, compte tenu de (2), chaque fonction régulière est harmonique. Donc il s'ensuit _que la

seule extension régulière possible de

f

_est la solution

F

du problème

Soit donc F la solution de (7). Dans [5] _{on a prouvé que} sif _{est une} CRF-fonction à

gauche, alors on a Toutefois, en général,

F

n'est pas régulière. En effet si,

par

exemple, S _est l'hyperplande H2

d'équation

_et

si

_{on trouve}

C. R. Acad. Sci. Paris, _t. 311, Série I, _{p. 37-40, 1990} 39

qui

n'est pas une fonction régulière.

Doncf

_{est une}

CRF-fonction à gauche qui

n'admet

_{pas une extension régulière. Afin que} la solution

F

de (7)

soit une fonction régulière, il faut ajouter aux conditions de Cauchy-Riemann-Fueter d'autres conditionsdifférentielles

d'ordre

supérieur.

Pour cela considérons

et

écrivons

où _{est tangent à} S

et

_{est normal}

à

produit scalaire

ordinaire dans

Définissons

_en

posant

Il _{est clair que et que} si

F

_est régulière il _{en est de même}

_pour

est

donc une CRF-fonction à gauche. _{On a alors} le

THÉORÈME 2. _— Soit S _une hypersurface _connexe, orientable et analytique de Hn

.

Soient choisies de telle façon _que le _{champ de vecteurs}

ne soitpas

partout

tangent à S. Unefonctionanalytiquef:s _{admet une extension}

régulière _{sur un voisinage de} S si _et seulementsi

f

_{et sont} des CRF-fonctions

à

gauche

sur S.

En effet comme on

l'a

_{déjà vu plus}

haut,

_{on a}

,

puisquef _{est une CRF-fonction.} à gauche; également l'hypothèse

que

_{est aussi une} CRF-fonction à gauche implique que est donc une fonction harmonique, nulle sur S _{avec sa} dérivée

normale.

Du

théorèmede Cauchy-Kowalewski il _{en découle}

que

_et

_par

conséquent que

F

est l'extension régulière def cherchée.

L'énoncé du théorème 2 _peut être simplifié dans le _{cas où} l'hypersurfaceS _est définie

par

une fonction de classe C2 qui vérifie

ou chms est une fonction a valeurs dans H indépendante de p, Vm,

s,

.

..,

n,

0, 1, 2, 3. En effet on _{peut démontrer} le théorème suivant _:

THÉORÈME 3. _— Soit S _une hypersurface analytique orientable de 1), définie

_par

une fonction qui vérifie (8). Une fonction analytique

admet

une extension

régulière_{sur un voisinage de} S si et seulementsi

f

et

grad

_sont des CRF-fonctions

à gauche _sur S.

Observons que parmi les hypersurfaces définies

_par

_{une fonction} O qui vérifie (8), il _y a les hyperplans,les hypersphères et les hyperellipsoïdes.

4. EXTENSIONS_{RÉGULIÈRES DE FONCTIONSDIFFÉRENTIABLES. —} Soit

U

_un ensemble ouvert

borné de Hn _avec le bord de classe C7, _{tel que Hn—U} soit _{connexe, et soit une fonction}

de classe C7 _{qui définit}

Soit

_{une fonction de classe} C7. Dans _{[4] on a}

trouvé des conditions intégrales qui _sont nécessaires _et suffisantes

_pour

la résolution du problème

(9)

De telles conditions intégrales _peuvent être remplacées

_par

les conditionsdifférentielles du paragraphe précédent. En _{fait, on a} le

THÉORÈME 4. _— Si

f

_et chaque _pour

_a

₌

0, 1, 2,

3,

. .

.,

n, sont des

CRF-fonctions à gauche, alors il existe

F

_eC2_{(U) régulière dans U qui est la solution de} (9). Pour des domainesparticuliers les conditions

surf

peuvent être simplifiées.

40 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 311, Série I, _p. 37-40, 1990 A _{ce propos on a} les théorèmes suivants _:

THÉORÈME 5. _— Supposons _que

existent

de façon _que

soit

dense dans _{sont des} CRF-fonctions à gauche,

alors il existe régulière dans U _{qui est} la solution de (9).

THÉORÈME 6.

-

Supposons_que satisfait (8). Alors si

et

.

grad

sont des

CRF-fonctions

à

gauche, il existe régulière dans

U

qui est la solution de (9). Les points essentiels de la démonstration dans les trois _{cas sont} les mêmes _: (a) existence d'une extension F1 de f qui

satisfait

(b) existence d'une extension F2 de

/

telle _que (et _pour cela on utilise l'hypothèse que

les

ou

sont des CRF-fonctionsà gauche);

(c) existence d'une extension F3 de

f

qui satisfait [et

_pour

cela _on

utilise (4)].

Ceci

étant,

la fonction _{u qui vaut dans U et} 0 dans

est

de classe C2,

satisfait la condition (4), et donc, compte tenu du théorème 1, il existe telle

que La

fonction

—v est l'extension régulièredef cherchée.

Note remise le 9 avril 1990, acceptée le 24 avril 1990.

RÉFÉRENCES_{BIBLIOGRAPHIQUES}

[1] R. FUETER, Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen 0 mit vier reellen

Variablen, Comment. Math. Helv., 1, 1935, _p. 307-330.

[2] R. FUETER, Uber die analytische Darstellung der regulären Funcktioneneiner Quaternionenvariablen,

Comment.Math. Helv., 8, 1936, _p. 371-378.

[3] K. NÔNO, Hyperholomorphic Functions of _{a Quaternion}variable, Bull. Fukuoka Univ. Educ, part III,

32, 1982, _p. 21-37.

[4] D. PERTICI, Funzioni regolari di più variabili quaternioniche, Ann. Mal. Pur. Appl., série IV, C.L.I.,

1988, _{p. 39-65.}

[5] D. PERTICI, Teoria delle funzioni di più variabiliquaternioniche, Tesi di dottorato, Università degli Studi

di Firenze, 1987-1988.

[6] S. M. SALAMON, Quaternionic Manifolds,Symp. Math., 26, 1982,_p. 139-151.

[7] S. M. SALAMON, Quaternion Kähler Manifolds,Invent. Math., 67, 1982,_p. 143-171.

[8] A. SUDBERY,QuaternionicAnalysis, Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 85, 1979,_p. 199-225.