La parabola tangente a tre rette
Francesco Daddi
1In questo articolo vogliamo affrontare il seguente problema: assegnate nel piano cartesiano tre rette non parallele all’asse , con pendenze distinte e non appartenenti allo stesso fascio, si determini l’equazione della parabola con asse verticale e tangente alle tre rette.
Il problema può essere risolto utilizzando più metodi, qui ne vengono presentati sette. Per rendere più agevole la lettura viene affrontato un caso particolare, a partire dalle rette
Primo metodo
Imponiamo che la parabola sia tangente alle tre rette;
ad esempio la tangenza alla retta si ha se e solo se il relativo
discriminante è nullo: . Si ottiene quindi il
sistema
da cui ricaviamo La parabola richiesta,
pertanto, ha equazione cartesiana
Secondo metodo
Ricordando che le parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate e tangenti alla retta hanno equazione del tipo
dove è l’ascissa del punto di tangenza, l’equazione della parabola da
determinare può essere scritta in tre modi diversi:
dove indica l’ascissa del punto di tangenza con la retta . I coefficienti di secondo grado coincidono, quindi uguagliamo quelli di grado :
sommando le ultime due equazioni si trova , da cui
Poiché le relative ordinate sulle rette sono ,
, , dobbiamo individuare i
coefficienti della parabola in modo che passi per i tre
punti , , . Avendo già il valore di , è possibile
e quindi ritroviamo la parabola .
Terzo metodo
Le parabole tangenti alla retta hanno equazione
in cui è l’ascissa del punto di tangenza.
Se imponiamo la tangenza alla retta , si ottiene la
condizione
allo stesso modo, la tangenza alla retta si esprime
algebricamente con Risolvendo il sistema
e sostituendo nell’equazione iniziale i due valori trovati si trova
Si evidenzia infine come la scelta della retta da cui partire (nel nostro caso ) sia del tutto arbitraria.
Quarto metodo
È noto che la retta tangente alla parabola nel suo
generico punto ha pendenza (si può
ottenere per via algebrica oppure ricorrendo alla derivata), quindi la sua equazione cartesiana in forma esplicita è
Indicando al solito con l’ascissa del punto di tangenza con la retta , è
sufficiente uguagliare le rispettive pendenze e intercette all’origine, arrivando perciò al sistema in 6 incognite
dalle ultime due equazioni si ricava . Ne segue , ,
, , e quindi l’equazione della parabola.
Quinto metodo
Seguiamo ora il procedimento esposto in [3] a pag. 107. Indicata con
l’ascissa del punto di tangenza della parabola con la retta , si dimostra
(si veda ad esempio [1] a pag. 33) che l’ascissa del punto di
Nel nostro caso, dopo aver preliminarmente calcolato le ascisse dei punti
, e (rispettivamente uguali a , , ), possiamo determinare
le ascisse dei punti di tangenza risolvendo il sistema
Le relative ordinate sulle rette sono , , , per cui si
tratta di determinare i coefficienti della parabola
in modo che passi per i punti , , .
Risolvendo il sistema
si ritrova così la parabola di equazione .
Sesto metodo
L’idea di base consiste nell’operare un’opportuna affinità del piano, mediante la quale la retta di pendenza intermedia abbia come immagine una retta parallela all’asse delle ascisse. Se i tre coefficienti angolari sono
, l’affinità
manda la retta nella retta orizzontale . Nel nostro caso, essendo , se applichiamo l’affinità
alle tre rette date si ottengono le immagini
Poiché l’affinità conserva tutte le tangenze ed il parallelismo tra gli assi di parabole corrispondenti, si tratta di determinare la parabola di
equazione tangente alle rette , , . Il
problema è così ricondotto a trovare la parabola tangente a una retta orizzontale e a due rette, di pendenze discordi.
L’ascissa del vertice della parabola tangente alle tre rette si trova osservando che la pendenza della retta tangente nel generico punto di ascissa è direttamente proporzionale a ; il vertice divide
quindi il segmento orizzontale di estremi e in due parti aventi
lunghezze proporzionali ai valori assoluti dei coefficienti angolari
rispettivamente delle rette e , per cui abbiamo
Poiché l’affinità considerata non altera le ascisse dei punti, nel nostro
caso particolare risulta , e dunque
A questo punto dobbiamo cercare, tra le parabole di vertice e
con asse verticale, di equazione generale , quella
tangente alla retta (oppure a ).
Affinché il sistema abbia due soluzioni coincidenti, il discriminante dell’equazione di secondo grado deve essere nullo:
La parabola ha quindi equazione . La sua
controimmagine mediante la trasformazione è la parabola richiesta all’inizio:
È infine opportuno osservare come il vertice della parabola
non sia l’immagine (mediante l’affinità considerata) del vertice
della parabola , ma lo sia del punto di contatto con .
Settimo metodo
Per quest’ultimo metodo si fa riferimento all’articolo [2]. Si trova prima di
tutto una parabola tangente a due delle rette date (ad esempio e ) e
successivamente, operando mediante un’opportuna omotetia di centro il
loro punto comune , si determina quella che risulta tangente alla terza
retta (nel nostro caso a ).
È opportuno osservare che le omotetie di centro mantengono la
tangenza alle due rette , . Scelta come partenza la parabola di
equazione , dato che l’omotetia di rapporto e di
la sua immagine è
La tangenza alla retta si ottiene se e solo se risulta
da cui . Con tale valore si trova .
Conclusioni
Nel presente articolo sono riportati solo alcuni metodi per risolvere il problema, senza naturalmente avere la presunzione di esaurire il “ventaglio” delle sue possibili soluzioni. Si invitano i lettori a trovarne altre, magari sfruttando ulteriori proprietà geometriche della parabola.
Bibliografia
[1] Daddi F., Luogo dei punti che vedono una parabola sotto lo stesso
angolo, pubblicato sulla rivista Periodico di Matematiche - ISSN
1582-8832, n. 2, vol. 6, serie XI, anno CXXIV, pp. 33-36, 2014.
[2] Daddi F., Le affinità elettive, pubblicato sulla rivista Archimede - ISSN 0390-5543, vol. 1, pp. 19-23, 2017.
[3] Prodi G., Foà D., Scoprire la matematica. Il metodo delle coordinate, Ed. Ghisetti e Corvi, 2003.
