Progettazione, ottimizzazione e verifica sperimentale di un robot spaziale a cinematica parallela

(1)

Dipartimento di Ingegneria Civile e Industriale

Tesi di Laurea Magistrale in

Ingegneria Meccanica

Progettazione, ottimizzazione e verifica

sperimentale di un robot spaziale a

cinematica parallela

Relatori Studente

Prof. Marco Beghini

Massimiliano Gabardi

Prof. Antonio Frisoli

Ing. Massimiliano Solazzi

(2)

A Victoria, ai miei famigliari, agli amici e a tutti coloro

che mi sono stati vicino in questo lungo percorso.

(3)

Riassunto analitico

In questa tesi è stata studiata la cinematica di un manipolatore parallelo a quat-tro gradi di libertà (tre traslazioni ed una rotazione) avente quattro gambe, ciascu-na realizzata mediante la sequenza di giunti Universale-Prismatico-Universale con il giunto prismatico attuato (4-UPU). L’indagine della cinematica è volta all’indi-viduazione dei luoghi di singolarità del manipolatore e del suo comportamento nel caso in cui le gambe stesse del manipolatore si trovassero in condizioni singolari. Successivamente è stato definito un parametro di performance con cui valutare il comportamento del manipolatore nello spazio di lavoro e poter analizzare come determinati parametri geometrici influissero su tale caratteristica. Attraverso delle osservazioni è stata poi modificata lievemente la geometria del manipolatore al fine di migliorarne le prestazioni nello spazio di lavoro desiderato. Al termine di tali analisi è stata descritta la progettazione di un primo prototipo di interfaccia aptica tattile per il singolo polpastrello, cercando di seguire i parametri di ottimizzazione rilevati in precedenza nonchè la specifica data. Infine è stata riportato il processo di realizzazione di un mock-up attuato del prototipo progettato su cui sono state eseguite delle prove sperimentali.

(4)

Indice

Riassunto analitico i

1 Introduzione 1

1.1 Interfacce aptiche . . . 1

1.2 Manipolatori paralleli . . . 2

2 Cinematica parallela 4-UPU 4 2.1 cinematica 4-UPU . . . 4

2.2 Analisi dei wrench di vincolo . . . 7

2.3 Singolarit`a di gamba . . . 9

2.4 Analisi del Jacobiano . . . 12

3 Ottimizzazione 16 3.1 Ottimizzazione delle grandezze dimensionali . . . 16

3.1.1 Parametro di performance e metrica . . . 16

3.1.2 Spazio di lavoro . . . 17

3.1.3 Dimensioni e prestazioni . . . 18

3.2 Ottimizzazione dello spazio di lavoro . . . 20

3.2.1 La rotazione . . . 20

4 Nuova configurazione 24 4.1 Ricerca di migliori prestazioni . . . 24

4.2 Singolarit`a della nuova configurazione . . . 26

4.2.1 Jacobiano di attuazione della nuova configurazione . . . 29

4.3 Ricerca della coordinata θ che permette migliori prestazioni . . . 30

(5)

5 Progettazione 33

5.1 Definizione della specifica tecnica . . . 33

5.1.1 Spazio di lavoro . . . 33

5.1.2 Forze richieste all’end-effector . . . 34

5.1.3 Ingombri . . . 34

5.2 Scelta degli attuatori . . . 34

5.3 Analisi dei carichi strutturali . . . 35

5.4 Progettazione dei componenti . . . 37

5.4.1 Guide lineari . . . 37

5.4.2 Giunti . . . 38

5.5 Definizione delle gambe . . . 41

5.5.1 Definizione delle lunghezze delle gambe . . . 41

5.5.2 Montaggio dei motori . . . 44

5.6 Definizione del manipolatore . . . 45

5.7 Verifiche strutturali . . . 46

6 Mock-up e verifica sperimentale 51 6.1 Realizzazione del Mock-up . . . 51

6.2 Verifica sperimentale . . . 52

7 Conclusioni e sviluppi futuri 58

Allegato A 59

Allegato B 62

Allegato C 65

(6)

Elenco delle figure

2.1 Cinematica del manipolatore parallelo a 4 gradi di libert`a . . . 5 2.2 Configurazione singolare della cinematica avente tutti i wrench di

vincolo paralleli . . . 10 2.3 Gambe in singolarit`a . . . 13 2.4 Configurazione singolare della cinematica che comporta Det J−T= 0 15 3.1 Andamento del parametro V medio nello spazio di lavoro in funzione

dei rapporti α1 e α2 . . . 18

3.2 Andamento del parametro V in funzione di theta nel punto x = ₃l, y = ₂l, z = 2l, α1 = 1.7 e α2 = 0.7; da notare che la curva non `e

perfettamente simmetrica rispetto a θ = 180 Deg . . . 19 3.3 Valori della coordinata θ che massimizano V nel piano x-y per z_l = 2 22 3.4 Valori della coordinata θ che massimizano V nel piano x-y in

fun-zione del rapporto z_l . . . 23 4.1 Wrench di attuazione della vecchia configurazione posta in x = 0,

y = 0 e θ = π/3, mentre equilibra un carico in direzione z . . . 25 4.2 Nuova configurazione adottata per il manipolatore . . . 25 4.3 Forza richiesta al giunto pi`u sollecitato affinch`e il manipolatore sia

in grado di equilibrare un carico unitario all’end-effector comunque orientato nello spazio . . . 27 4.4 Forza richiesta al giunto pi`u sollecitato affinch`e il manipolatore sia

in grado di equilibrare un carico unitario all’end-effector comunque orientato nello spazio, nell’intorno dell’origine . . . 28

(7)

4.5 Valori del parametro V per la nuova configurazione del manipolatore

nel punto x = 5, y = −3 e z = 30 . . . 31

4.6 Valori del parametro θ che massimizzano il parametro V sullo spazio di lavoro . . . 32

5.1 Modello CAD del sistema di attuazione . . . 35

5.2 Grafico forza-velocit`a relativo all’accoppiamento scelto guida-motore 36 5.3 Sezione del modello CAD della guida lineare interfacciata al sistema di attuazione . . . 39

5.4 Dettaglio della parte denominata forchetta in sezione lungo il piano passante per entrambe gli assi di rotazione del primo e secondo giunto della gamba . . . 40

5.5 Sezioni della gamba secondo piani perpendicolari tra loro . . . 42

5.6 Sezione delle guide lineari con particolari del montaggio del sistema di attuazione . . . 44

5.7 Modello CAD del prototipo progettato e mock-up realizzato . . . . 48

5.8 Wrench strutturale massimo cui `e soggetta la gamba pi`u sollecitata, nell’ipotesi che ciascuna gamba eserciti sola tutta la coppia strut-turale nella direzione del proprio piano di gamba, durante l’eserci-zio di una forza di 1 N comunque orientata da parte del prototipo realizzato nello spazio di lavoro designato. . . 49

5.9 Equilibrio del perno e reazioni esercitate sulla forchetta mentre il manipolatore `e in esercizio. . . 50

6.1 Manipolatore connesso all’elettronica . . . 53

6.2 Sinusoide lungo l’asse z . . . 55

6.3 Acquisizione del moto rotatorio del manipolatore . . . 56

6.4 Immagine del mock-up in fase di aquisizione dei dati con il sensore magnetico vincolato all’end effector . . . 57

(8)

Elenco delle tabelle

5.1 Lunghezze minime e massime tra gli assi di rotazione del primo e

quarto giunto necessarie affinch`e il manipolatore possegga un dexte-rous workspace che soddisfi la specifica data e la lunghezza minima di una gamba pari a 30,3 mm . . . 43 5.2 Parametri dimensionali adottati per la progettazione del prototipo

di interfaccia aptica . . . 45

6.1 Parametri dimensionali adottati per la realizzazione del mock-up

attuato . . . 51

(9)

Introduzione

1.1 Interfacce aptiche

La categoria delle interfacce aptiche racchiude l’insieme di dispositivi che per-mettono a chi li utilizza di comunicare con un sistema virtuale per mezzo di stimoli sensoriali non solo visivi. Nel nostro caso si tratta di progettare un’ interfaccia ap-tica in grado di trasferire uno stimolo tattile al polpastrello di chi la indossa. Un’ interfaccia aptica per polpastrello a due gradi di libertà è descritta in [9], tale in-terfaccia è in grado di eseguire due traslazioni sollecitando il polpastrello mediante stretch della pelle fornendo in tal modo un feedback riguardante l’attrito direzio-nale del contatto; un altro esempio di interfaccia aptica per polpastrello, descritta in [8], permette, mediante tre g.d.l., di indagare la forma di oggetti virtuali for-nendo grazie ad una catena cinematica seriale di due rotazioni ed una traslazione, un contatto con il polpastrello avente normale sempre differentemente orientata nello spazio. Come accennato in queste poche righe, il contatto tra polpastrello e un oggetto genera due tipi di azioni sul dito; azioni normali e tangenziali rispetto al piano definito dalla normale di contatto. Le azioni tangenziali trasmettono le informazioni riguardo all’attrito che la dinamica del contatto genera, mentre la possibilità di eseguire contatti secondo direzioni normali differentemente orientate nello spazio permette di restituire un feedback riguardo l’indagine di forme virtuali. Nel tentativo di creare un dispositivo in grado di replicare completamente le azioni tangenziali agenti sul polpastrello durante un contatto, nonchè modulare la

(10)

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 2 forza normale di contatto, creando cos`ı un buon feedback per il rendering della forza esercitata, `e stata studiata la cinematica del manipolatore parallelo a 4 g.d.l. 4-UPU.

In riferimento alla figura 2.1(a) tale manipolatore permette tutte le traslazioni nello spazio e la rotazione attorno all’asse z.

Definendo la normale di contatto parallela all’asse z, le traslazioni nel piano x-y e la rotazione permettono di generare le azioni tangenziali volute, mentre la traslazione lungo l’asse z permette di generare e modulare la forza normale di contatto.

Infine, i dati riportati nell’articolo [5] sono stati utilizzati in sede di progetta-zione per la realizzaprogetta-zione di una specifica riguardo le forze che il manipolatore deve essere in grado di esercitare sul polpastrello.

1.2 Manipolatori paralleli

I manipolatori paralleli sono stati largamente studiati in quanto grazie alle loro buone caratteristiche di rigidezza, elevate prestazioni dinamiche e precisione nel posizionamento risultano particolarmente adatti per molte applicazioni pratiche, ed è per queste loro caratteristiche che si vuole realizzare un’interfaccia aptica sfruttando queta tipologia di manipolatori. La classe di manipolatori paralleli maggiormente nota è quella a tre gradi di libertà (3-gdl) totalmente traslaziona-li, o totalemente rotazionali. Le possibili strutture cinematiche parallele spaziali aventi numero di g.d.l. minore di sei sono state studiate in [4], mentre in [1] e [6] vengono proposte catene cinematiche parellele aventi tutte 4-gdl. In [12], [7] e [10] viene proposto lo studio di specifici manipolatori paralleli a 4-gdl. L’analisi della cinematica e delle singolarità dei manipolatori paralleli rappresenta una delle mag-giori difficoltà connesse all’utilizzo dei manipolatori paralleli, non essendo sempre facile da risolvere analiticamente; un utile strumento per la ricerca di tali soluzioni è la teoria degli screw descritta in [2]. Un ulteriore esempio dell’applicazione della teoria degli screw per l’analisi di singolarità di un manipolatore parallelo a 4-gdl è riportato in [3]. Di particolare interesse è l’analisi di un manipolatore parallelo di tipo Schoenflies avente quattro gambe a catena cinematica UPU riportata in [11].

(11)

Per quanto riguarda la presente tesi, nella prima parte dell’elaborato si esegue l’analisi cinematica del manipolatore parallelo 4-UPU sfruttando la teoria degli screw ed andando ad analizzare le singolarità di quello che verrà definito Jacobiano di vincolo e il comportamento del manipolatore quando una o più gambe si trovano in condizione di singolarità.

Tale cinematica `e particolarmente interessante in quanto con una struttura relativamente semplice permette il controllo indipendente di tre traslazioni ed una rotazione attorno ad un asse perpendicolare al piano dell’end-effector.

Nel capitolo 5, sar`a proposto un primo prototipo di un’ interfaccia aptica tattile per un singolo polpastrello, realizzata basandosi sullo studio cinematico e sull’analisi di ottimizzazione effettuate nei capitoli precedenti.

Infine un’ultima parte descriver`a la realizzazione di un mock-up attuato del pro-totipo progettato, su cui saranno svolte delle prove sperimentali al fine di rilevare gli spostamenti effettivi, durante il suo utilizzo, del modello realizzato.

(12)

Capitolo 2

Cinematica parallela 4-UPU

La cinematica parallela 4-UPU analizzata, nasce dalla più nota cinematica pa-rallela 3-UPU completamente traslazionale. Il grado di libertà aggiuntivo viene ricavato grazie all’aver vincolato gli assi di rotazione del primo e dell’ultimo giunto di ogni gamba a rimanere paralleli tra loro e paralleli anche a quelli di tutte le altre gambe. Tale configurazione di montaggio comporta l’aggiunta un grado di libertà rotazionale attorno ad un asse parallelo agli assi di rotazione dei giunti allineati; l’aggiunta di un’ulteriore gamba permette di ottenere una struttura isostatica ri-dondante nel suo normale funzionamento, con la possibilità di controllare anche il grado di libertà di rotazione aggiunto oltre alle tre traslazioni presenti.

2.1 cinematica 4-UPU

La cinematica proposta consiste in un manipolatore parallelo a quattro gambe.

Ogni gamba `e composta da un giunto prismatico attuato posto tra due giunti

universali, montati quindi, in una configurazione UPU (figura 2.1(b)). Riferendosi alla figura 2.1(a) si pu`o notare che per come `e stato deciso di disporre i giunti vincolati al telaio il manipolatore risulta simmetrico rispetto al piano x-y e al piano y-z. I giunti posti sull’asse y sono posizionati ad una distanza D1 dall’origine

O, mentre quelli sull’asse x ad una distanza D2. Gli assi di rotazione di tutti i

giunti vincolati al telaio sono paralleli all’asse z, inoltre, gli assi di rotazione del secondo e quarto giunto di ogni gamba rimangono sempre paralleli tra loro. Ogni

(13)

x y z O D1 D2

l

O₅₁ O₁₁ i₁₁ j11 k₁₁ leg1 E W_c1 W_a1

(a) Cinematica 4-UPU

leg i

(b) Cinematica della singola gamba

(14)

CAPITOLO 2. CINEMATICA PARALLELA 4-UPU 6 gamba `e vincolata al coupler mediante un giunto rotoidale avvente asse di rotazione perpendicolare alla superficie del coupler stesso e posto ad una distanza l/2 dal centro E; i quattro giunti al coupler sono posti ai vertici di un quadrato di diagonale l.

Il parallelismo tra gli assi di rotazione tra i giunti di base e i giunti al coupler fa si che ogni gamba vincoli una rotazione nel piano x-y, pertanto, in una configurazione non singolare del manipolatore, l’unica rotazione permessa rimane quella attorno all’asse z.

La posa dell’end-effector (e.-e.), ovvero la terna E, `e definita rispetto al s.d.r di base Oxyz mediante le coordinate OE = [x y z] per quanto riguarda la

posizio-ne mentre l’orientazioposizio-ne attorno all’asse z `e definita dall’unica coordinata θ. Le posizioni dei giunti al coupler dell’i-esima gamba sono calcolate come:

OO5i = OE + EO5i con EO5i = l 2[sin(θ + (i − 1) π 2) − cos(θ + (i − 1) π 2) 0], i = 1, . . . , 4. (2.1) dove i rappresenta il numero della gamba.

La posizione dei giunti alla base sono definiti dalla geometria del manipolatore, mentre la direzione e lunghezza di ciascuna zampa sono funzione della posa dell’e.-e., risulta quindi:

O1iO5i= OO5i− OO1i.

Definiamo ora il piano di gamba (definito dai versori ˆj1i kˆ1i) come il piano

perpendicolare al piano x-y e contenente il segmento O1iO5i.

I versori corrispondenti a ciascuna terna O1isono noti in quanto ˆk1i`e il versore

parallelo all’asse z, ˆj1i `e ottenuto normalizzando la proiezione O1iO5ixy di O1iO5i sul piano x-y, infine il versore perpendicolare al piano di zampa e definito dal prodotto ˆi1i = ˆj1i∧ ˆk1i.

Dalle precedenti relazioni `e quindi nota la posizione di ciascun giunto e del relativo asse in funzione della posa dell’e.-e..

(15)

ogni giunto j-esimo della gamba i-esima il twist $ji prendendo come polo l’origine

O del s.d.r. di base.

Tutti i twist associati a giunti appartenenti alla stessa gamba possono essere scritti nel sistema di twist $i nel seguente modo:

$i =

$1i $2i $3i $4i $5i

(2.2) Il wrench di vincolo di ciascuna gamba Wci, viene quindi calcolato come il

reciproco del sistema $i, in modo che risulti:

Wci⊗ $ji = 0, per j = 1 . . . 5, (2.3)

dove ⊗ rappresenta il prodotto reciproco tra screw.

Analogamente il wrench di attuazione, Wai, di ciascuna gamba `e calcolato come

il wrench reciproco al sistema di twist dei giunti della gamba stessa escludendo il twist associato al giunto attuato:

   Wai⊗ $ji = 0 f or j = 1 . . . 5, j 6= 3 Wai⊗ $ji 6= 0 f or j = 3 (2.4)

essondo il giunto attuato il terzo giunto.

Dal sistema di due screw ottenuto, uno risulter`a essere il wrench di vincolo Wci

e l’altro il wrench di attuazione Wai.

2.2 Analisi dei wrench di vincolo

Definiamo ora il Jacobiano di vincolo Jccome la matrice che raccoglie i wrench

(16)

CAPITOLO 2. CINEMATICA PARALLELA 4-UPU 8 Jc=            0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x + ₂l sin θ x − D2+₂l cos θ x − ₂l sin θ x + D2− ₂l cos θ

y + D1 −₂l cos θ y +₂l sin θ y − D1 +₂l cos θ y − ₂l sin θ

0 0 0 0           

Tale formulazione della matrice Jc risulta valida solo nel caso in cui nessuna

gamba del manipolatore si trovi in singolarità. I diversi casi di singolarità di una o più gambe saranno trattati in seguito. Poichè i wrench di vincolo sono sul piano x-y e hanno pitch infinito il rango della matrice Jcnon può essere superiore a due.

Se tutti i wrench di vincolo si dovessero allineare, come rappresentato in figura 2.2, il rango del Jacobiano di vincolo diverrebbe unitario ed il manipolatore si troverebbe in singolarit`a.

La condizione appena descritta si verifica quando tutti i parametri soddisfano il seguente sistema: x + l 2sin θ y + l 2sin θ− y + D1− l 2cos θ x − D2+ l 2cos θ = 0 (2.5) xl cos θ + yl sin θ − 2xD1 = 0 (2.6)

−xl sin θ + yl cos θ − 2yD2 = 0 (2.7)

Le tre equazioni di questo sistema sono state ottenute effettuando il prodotto vettoriale rispettivamente tra la prima e la seconda colonna della matrice Jc, la

prima e la terza e la seconda e la quarta colonna.

Isolando i termini xD1 e yD2 dall’eq. (2.6) e (2.7) rispettivamente e

sostituen-doli nell’eq. (2.5), si ottiene la seguente condizione di singolait`a:

D1D2− D1 l 2cos θ − D2 l 2cos θ + l2 4 = 0 (2.8)

(17)

2D1 ≤ l ≤ 2D2 se D1 ≤ D2 o 2D2 ≤ l ≤ 2D1 se D2 ≤ D1 (2.9)

Questo `e un risultato rilevante, in quanto possiamo affermare che i wrench di vincolo Wci non raggiungono condizioni di singolarit`a per nessuna posa del

manipolatore purch`e le condizioni (2.9) non siano verificate.

Quando invece si verifica una delle condizioni espresse in (2.9), la soluzione all’eq. (2.5) `e data da D1, D2, l e θ che soddisfano:

θ = ± arccos l 2_{+ 4D} 1D2 2l(D1+ D2) ! (2.10) Quando è verificata l’eq. (2.10), l’eq. (2.6) e l’eq. (2.7) descrivono due rette nel piano x-y passanti per l’origine, pertanto il luogo di singolarità per il manipolatore sarà dato dalla retta ortogonale al piano x-y e passante per l’origine oppure uno dei seguenti casi:

• D1 = ₂l 6= D2, ⇒ θ = 0 e y = 0. Il luogo di singolarit`a `e il piano x-z.

• D2 = ₂l 6= D1, ⇒ θ = 0 e x = 0. Il luogo di singolarit`a `e il piano y-z.

• D1 = D2 = ₂l, ⇒ θ = 0. Il luogo di singolarit`a `e l’intero spazio.

In questi casi particolari almeno una gamba si trova in singolarit`a nella posi-zione x = 0, y = 0 e θ = 0 in quanto il primo e l’ultimo giunto sono allineati, questo comporta un indetermiabilit`a del wrench di vincolo e dell’orientazione della gamba stessa.

2.3 Singolarit`

a di gamba

In questa sezione vengono esposti i possibili casi in cui una o più gambe del manipolatore si trovino in condizioni di singolarità, cioè che la gamba si allinei con l’asse z. In questa configurazione l’asse di rotazione del primo e quarto giunto si trovano sulla stessa retta rendendo indeterminata l’orientazione della gamba stes-sa.

(18)

CAPITOLO 2. CINEMATICA PARALLELA 4-UPU 10

𝐖

_𝐜𝟏

𝐖

𝐜𝟐

𝐖

_𝐜𝟑

𝐖

_𝐜𝟒

Figura 2.2: Configurazione singolare della cinematica avente tutti i wrench di vincolo paralleli

(19)

Una sola gamba in singolarità. Quando una gamba raggiunge una configu-razione di singolarità come mostrato in figura 2.3(a), si aggiunge un wrench di vincolo a quelli già noti dalla precedente trattazione:

Wb =a b 0 0 0 c a, b, c ∈ R (2.11)

Il rango della matrice Jcdiventa quindi tre, e il manipolatore perde un grado di

libertà. I termini a, b e c non sono univocamente determinati in quanto non è più definito un piano di gamba e la gamba può ruotare attorno all’asse z vincolando arbitrariamente una direzione nel piano x-y.

La condizione di singolarit`a del manipolatore permane se l’end effector ruota attorno all’asse della gamba in singolarit`a.

Due gambe in singolarit`a. Due gambe si possono trovare

contemporanea-mente in singolarit`a se D1 = ₂l 6= D2 or D2 = ₂l 6= D1 , θ = 0 e x = y = 0,

condizione che rappresenta gi`a una singolarit`a per il jacobiano di vincolo Jc

pre-cedentemente presentato. Con due gambe in singolarit`a si aggiungono due wrench di vincolo Wbi del tipo presentato in (2.11).

Anche in questo caso non è possibile determinare univocamente l’orientazione delle gambe in singolarità, si hanno quindi diverse singolarità possibili:

• se le gambe in singolarit`a vincolano la stessa traslazione lungo due direzioni non coincidenti, allora il manipolatore perde due gradi di libert`a in quanto una traslazione nel piano x-y e la rotazione vengono vincolate.

• se le gambe in singolarità vincolano la stessa traslazione lungo due direzioni coincidenti, allora la rotazione attorno all’asse z è permessa solo attorno a punti appartenenti a tale direzione mentre la traslazione nel piano x-y è comunque persa.

• In entrambe i casi precedenti se la direzione vincolata è parallela alla pro-iezione sul piano x-y delle restanti gambe non in singolarità il manipolatore aquista un grado di libertà di rotazione attorno alla direzione vincolata. • se le gambe in singolarità non vincolano la stessa traslazione nel piano x-y il

(20)

CAPITOLO 2. CINEMATICA PARALLELA 4-UPU 12 dove a `e l’asse parallelo a z e passante per l’intersezione dei wrench aggiuntivi Wbi (figura 2.3(b)).

Quattro gambe in singolarità. A causa della geometria del manipolatore, se tre gambe sono allineate lungo l’asse z anche la quarta è allineata alle precedenti. Ciò accade se D1 = D2 = ₂l, θ = 0 e x = y = 0 e causa l’indeterminabilità

dell’orientazione di tutte le gambe e dei rispettivi wrench di vincolo.

Nel caso generale in cui tutte le gambe hanno differenti orientazioni, si aggiun-gono quattro differenti wrench di vincolo permettendo al manipolatore unicamente di traslare lungo la direzione z.

Se i wrench Wbi aggiunti si intersecano in uno stesso punto, all’end effector `e

permessa anche la rotazione attorno all’asse parallelo a z e passante per il punto di intersezione. Nel caso particolare che le direzioni vincolate siano tutte parallele, la rotazione attorno a z la traslazione parallela a Wbisono vincolate, ma la rotazione

attorno alla direzione vincolata `e permessa.

2.4 Analisi del Jacobiano

Assumendo che i giunti prismatici siano i giunti attuati, si ottengono quattro wrench Wai applicati nei punti di contatto tra le gambe e l’e.-e. e aventi ciascuno

la stessa direzione della gamba da cui `e provocato. Questi rappresentano le forze che ciacuna gamba esercita sull’end effector.

Possiamo definire il Jacobiano di attuazione J come la matrice che lega le coppie ai giunti attuati τi con i wrench all’e.-e. We valutati nel medesimo polo E,

secondo la relazione: We = J−Tτ .

J−T =Wa1 Wa2 Wa3 Wa4

τ = [τ1 τ2 τ3 τ4]T (2.12)

Poich`e la quarta e quinta riga di tale matrice rappresentano le coppie di reazione della struttura, non sono rilevanti per l’analisi dell’attuazione e possono essere eliminate ottenendo una matrice 4x4. Il determinante di tale matrice risulta essere il seguente:

(21)

(a) Una gamba in singolarit`a

a

(b) Due gambe in singolarit`a

(22)

CAPITOLO 2. CINEMATICA PARALLELA 4-UPU 14 Det J−T= −z(D1− D2) l 2sin θ D1D2− D1 l 2cos θ − D2 l 2cos θ + l2 4 ! (2.13)

imponendo Det J−T= 0 si pu`o determinare i luoghi di singolarit`a per l’attua-zione. Se Det J−T= 0 significa che esiste un vettore non nullo di coppie ai giunti attuati τ che produce un vettore di forze all’e.-e. We nullo o un particolare carico

all’e.-e. che non pu`o essere bilanciato dalle forze esercitate dagli attuatori. Finch`e per valori finiti di z, D1, D2 e l, Det J−T rimane limitato superiormente, si ha

che Det JT_{6= 0 . Ci`o signifca che non esiste in nessuna configurazione un carico}

We che sia completamente bilanciato da wrench strutturali e non dagli attuatori,

o che il manipolatore non perde mai mobilit`a nello spazio di lavoro.

La condizione precedentemente menzionata si verifica quando nessuna gamba si trova in singolarit`a.

Quando il rango di J−T `e minore di quattro, i wrench Waiin generale si trovano

disposti sul regolo di un iperboloide, come mostrato in figura 2.4. Det J−T= 0 avviene nei seguenti casi:

• z = 0; • θ = 0; • D1 = D2;

• 4D1D2− 2l cos θ(D1+ D2) + l2 = 0.

L’ultima condizione, come per l’analisi di Jc`e verificata se e solo se le condizioni

espresse dall’eq. (2.9) sono verificate, e il valore di θ soddisfa l’eq. (2.10).

Si pu`o notare come le condizioni singolari per J includano anche tutte le condi-zioni singolari per Jc. Inoltre per il Jacobiano di attuazione non `e possibile evitare

tutte le singolarit`a scegliendo opportunamente i valori di D1, D2 e l in quanto il

determinante di J−T si annulla per z = 0 o θ = 0 per qualsiasi combinazione di valori dei parametri geometrici della struttura.

(23)

𝐖

_𝐚𝟏

𝐖

_𝐚𝟑

𝐖

_𝐚𝟒

𝐖

_𝐚𝟐

(24)

Capitolo 3

Ottimizzazione

Ora che `e stata studiata la cinematica del manipolatore si vuole definire un parametro di performance nel tentativo di ottimizzare i parametri progettuali del manipolatore stesso. Nei paragrafi seguenti sono riportati i risultati delle indagini numeriche condotte sullo spazio di lavoro, al fine di definire le prestazioni del manipolatore in funzione dei parametri principali.

3.1 Ottimizzazione delle grandezze dimensionali

3.1.1 Parametro di performance e metrica

Un possibile parametro di performance da utilizzare `e il volume dell’ellissoide di manipolabilit`a ricavabile da J−T come: 4₃πkDet J−Tk.

Affinch`e il parametro di performance abbia un senso, occorre definire una ma-trice, detta metrica, che moltiplicata per J−T uniformi le dimensioni dei valori contenuti nel Jacobiano stesso. Infatti i valori contenuti nella matrice J−T non sono omogenei dimensionalmente, in quanto i termini appartenenti all’ultima riga di J−T hanno la dimensione di una lunghezza mentre gli altri sono adimensionali.

Assumiamo la metrica M cos`ı definita:

(25)

M =       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2_l       (3.1)

la lunghezza ₂l utilizzata per adimensionalizzare la quarta riga di J−T, `e una scelta del tutto soggettiva effettuata nell’ottica di dare il medesimo peso, nelle valutazioni prestazionali, ad un momento unitario in direzione z piuttosto che ad una forza unitaria tangente alla circonferenza passante per il quinto giunto di ciascuna gamba.

Sfruttando la matrice M appena definita, possiamo effettuare l’analisi di per-formance sfruttando il Jacobiano omogeneo JM = M J−T e il parametro di

perfor-mance V = 4₃πkDet J_M−Tk.

3.1.2 Spazio di lavoro

Lo spazio di lavoro di analisi per ora utilizzato per valutare le prestazioni gene-rali del manipolatore studiato, sar`a un cubo nello spazio x − y − z, proporzionato alla dimensione l scelta ed avr`a le seguenti estensioni:

−1 ≤ x l ≤ 1 − 1 ≤ y l ≤ 1 1 ≤ z l ≤ 3 − π ≤ θ ≤ π. (3.2)

Essendo il manipolatore simmetrico si ha che una generica posa x, y, z, θ `e identica alla posa −x, −y, z, θ, mentre risulta simmetrica alle pose −x, y, z, −θ e x, −y, z, −θ rispetto ai piani z-y e z-x rispettivamente .

Quanto detto consente di analizzare una porzione ridotta dello spazio di lavoro riducendo cos`ı l’onere computazionale dell’analisi. Si analizza infatti solo lo spazio ridotto: −1 ≤ x l ≤ 1 0 ≤ y l ≤ 1 1 ≤ z l ≤ 3 0 ≤ θ ≤ π. (3.3)

(26)

CAPITOLO 3. OTTIMIZZAZIONE 18 1 1.5 2 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 alpha 1 alpha 2 V

Figura 3.1: Andamento del parametro V medio nello spazio di lavoro in funzione dei rapporti α1 e α2

3.1.3 Dimensioni e prestazioni

Il manipolatore, per come `e stato definito possiede tre grandezze principali, D1,

D2 ed l. Per valutare che influenza abbiano sulle prestazioni del manipolatore, si `e

scelto di effettuare un analisi numerica andando a vedere come varia il valore medio del parametro V sullo spazio di lavoro definito in 3.2, in funzione delle grandezze adimensionalizzate α1 = D_l1 e α2 = D_l2.

Compiendo tale analisi si ottiene il risultato riportato in figura 3.1.

Come si pu`o notare dall’ immagine il volume dell’ellissoide di manipolabili-t`a tende a 0 avvicinandosi alla retta α1 = α2 essendo questa una condizione di

singolarit`a per il manipolatore.

L’analisi `e stata compiuta unicamente sulla porzione inferiore alla bisettrice del primo e terzo quadrante in quanto, su quella superiore, la superficie risulterebbe

(27)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 0.5 1 1.5 theta (Deg) V

Figura 3.2: Andamento del parametro V in funzione di theta nel punto x = ₃l, y = ₂l, z = 2l, α1 = 1.7 e α2 = 0.7; da notare che la curva non `e perfettamente

(28)

CAPITOLO 3. OTTIMIZZAZIONE 20 simmetrica rispetto alla bisettrice stessa, data la geometria del manipolatore.

Inoltre sono stati presi in considerazione solo i valori di α1 e α2 entrambe

supe-riori a 0.5, in modo da evitare le possibili singolarit`a del Jacobiano di vincolo Jcnel

normale funzionalmento del manipolatore; non sono stati considerati i valori entra-be inferiori a 0.5 in quanto il grafico risulta simmetrico rispetto alla retta passante per α1 = α2 = 0.5 e parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

3.2 Ottimizzazione dello spazio di lavoro

3.2.1 La rotazione

Considerando che un manipolatore reale non `e in grado di far compiere all’end-effector un angolo giro e nella fattispecie lo spazio di lavoro necessario per applica-zioni pratiche rappresenti solo un arco di circonferenza, si indaga in questa sezione su quale sia l’angolo che comporta le migliori prestazioni e come quest’angolo cambi modificando la posizione dell’end-effector all’interno dello spazio di lavoro.

Per compiere tale analisi si assumono i seguenti rapporti adimensionali:

α1 = 0.7 α2 = 1.7

essendo questi due valori che, come dedotto dall’analisi precedente, garantisco-no buone prestazioni medie del manipolatore su tutto lo spazio di lavoro.

Come si pu`o notare dalla figura 3.2 il volume dell’ellissoide di inerzia presenta due massimi per una rotazione completa del manipolatore.

La figura sembra simmetrica rispetto θ = 0, in realtà, la disparità è molto lieve in quanto le due pose corrispondenti del manipolatore risultano differenti, ma la lunghezza delle gambe nei due casi sono simili; tale disparità verrà chiarita in seguito e risulterà maggiormente evidente dalle successive immagini.

Per il manipolatore studiato due pose si possono considerare identiche se le lunghezze delle gambe aventi il primo giunto vincolato rispettivamente all’asse x e all’asse y coincidono, seppur invertite tra gambe vincolate allo stesso asse.

Le permutazioni di tali coincidenze possibili rappresentano le quattro configu-razioni di simmetria precedentemente esposte.

(29)

Dopo aver visto che esiste un massimo nell’intervallo tra 0 e π della coordinata θ, per il parametro di prestazione V , si riporta in figura 3.3 il valore di θ che comporta tale massimo per diversi punti del piano x-y ed un’altezza z_l = 2 per ora costante. Avendo condotto l’analisi tra 0 e π si ottiene una figura non simmetrica rispetto al piano x-z in quanto, posture del manipolatore simmetriche rispetto al piano x-z presentano un andamento della curva θ − V analogo a quello riportato in figura 3.2 ma simmetrico rispetto al valore θ = π. Ci`o significa che per due posture tra loro simmetriche rispetto al piano x-z si ricava per l’una il valore di θ corrispondente al massimo assoluto mentre per l’altra il valore corrispondente al massimo relativo.

Infine, in figura 3.4 l’analisi precedentemente condotta per la coordinata z_l = 2 `e stata estesa a diversi valori di tale coordinata, in maniera tale da poter apprezzare l’effetto che quest’ultima ha sui valori di θ che comportano le migliori prestazioni. Risulta evidente come per valori maggiori del rapporto z_l = 2 si abbia una minore dispersione nel pianox-y del valore di θ cercato, nonch`e un aumento del valore medio mentre, per valori minori di z_l = 2 avvenga l’opposto.

Dall’analisi condotta risulta evidente che potendo sfruttare un intervallo ri-dotto della coordinata θ per realizzare un’applicazione basata su tale cinematica, non avendo altri vincoli, conviene che questa si muova attorno ad un valore della coordinata θ dipendente dal rapporto dimensionale z_l adottato. Per le successive analisi verr`a presa come 0 per la rotazione la coordinata θ = 102.5 deg.

(30)

CAPITOLO 3. OTTIMIZZAZIONE 22 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 106.5 107 107.5 108 108.5 109 109.5 110 110.5 111 Y/l X/l theta (Deg)

(31)

-1 -0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 90 95 100 105 110 Y/l X/l th e ta ( D e g ) z/l=1 z/l=1.66 z/l=2.33 z/l=3

Figura 3.4: Valori della coordinata θ che massimizano V nel piano x-y in funzione del rapporto z_l

(32)

Capitolo 4

Nuova configurazione

4.1 Ricerca di migliori prestazioni

Osservando la forza di cui necessita il maniplatore ai giunti attuati al fine di ottenere una forza all’end-effector, secondo la relazione τ = JT_{w, con τ vettore}

delle coppie ai giunti attuati e w wrench all’end-effector, si `e notato che la confi-gurazione adottata risulta sistematicamente svantaggiosa nell’esercitare una forza in direzione z. Dalla figura 4.1 si pu`o notare che le gambe si trovano tutte ruotate nello stesso verso rispetto alla direzione z, pertanto per esercitare una forza lungo tale direzione le forze ai giunti necessarie risultano molto elevate e non concordi (due spingono mentre due tirano) al fine di compensare la coppia in questa stessa direzione.

Al fine di migliorare tale condizione si `e pensato ad una configurazione avente un coupler rettangolare riportata in figura 4.2. In questo modo si ottiene un arco di circonferenza, la cui ampiezza dipende dall’entit`a del rapporto tra i lati del rettangolo adottato e dalla posizione del coupler nello spazio di lavoro, in cui due gambe successive del manipolatore si trovano ruotate rispetto all’asse z in versi opposti.

Questa particolare configurazione permette di ottenere migliori prestazioni nel-l’intorno dell’origine, a discapito delle prestazioni lontano da questa.

Nelle figure 4.3(a) e 4.3(b) si riporta, rispettivamente per le configurazioni a coupler quadrato e rettangolare la minima forza richiesta al giunto pi`u

(33)

Figura 4.1: Wrench di attuazione della vecchia configurazione posta in x = 0, y = 0 e θ = π/3, mentre equilibra un carico in direzione z

(34)

CAPITOLO 4. NUOVA CONFIGURAZIONE 26 to affinch`e il manipolatore sia in grado di equilibrare un carico unitario all’end-effector, comunque orientato nello spazio e per qualunque posa esso assuma nello spazio ridotto definito in 3.3 per quanto riguarda le traslazioni, mentre si conside-ra per la coordinata θ un angolo di ampiezza 15 deg cercando di limitarsi all’arco di migliori prestazioni del manipolatore. A tale scopo si sono assunti i seguenti intervalli: per la configurazione a coupler quandrato 95 deg ≤ θ ≤ 110 deg; mentre per la configurazione a coupler rettangolare −85 deg ≤ θ ≤ −70 deg.

La giustificazione dell’assunzione di tali intervalli sar`a desritta per quanto ri-guarda l’ampiezza, nel capitolo 5, mentre per quanto riri-guarda l’intervallo scelto per la nuova configurazione, nella sezione 4.3.

Dove sono richieste forze maggiormente elevate significa che parte della forza esercitata da un attuatore serve a compensare parte della forza esercitata dagli altri attuatori non risultando quindi direttamente impiegata alla realizzazione della forza all’end-effector.

4.2 Singolarit`

a della nuova configurazione

Avendo modificato la geometria del manipolatore si effettua una nuova analisi cinematica. Tenendo conto che la catena cinematica seriale delle gambe non `e stata modificata, si possono effettuare le seguenti considerazioni:

• Anche in questo caso le condizioni di singolarit`a del Jacobiano di vincolo (Jcnew) sono incluse nelle condizioni di singolarit`a del Jacobiano di attuazione (Jnew) in quanto, quando i wrench di vincolo sono paralleli, anche le

proiezio-ni dei wrench di attuazione sul piano x-y sono allineate secondo la medesima direzione ed il manipolatore non sar`a quindi in grado di equilibrare una for-za all’end-effector perpendicolare a tale direzione; pertanto si analizzeranno solamente le condizioni di singolarit`a del Jacobiano di attuazione.

• Considerando che la catena cinematica delle gambe `e la medesima per le due configurazioni, si ha che anche le conseguenze della singolarit`a di gamba sa-ranno le stesse pertantanto si considera valido quanto precedentemente detto, tenendo anche conto che di maggiore interesse sono le caratteristiche del

(35)

ma-(a) configurazione a coupler quadrato -1 _-0.5 0 _0.5 ₁ 0 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 Y/l X/l F ( N )

(b) configurazione a coupler rettangolare

Figura 4.3: Forza richiesta al giunto pi`u sollecitato affinch`e il manipolatore sia in grado di equilibrare un carico unitario all’end-effector comunque orientato nello spazio

(36)

CAPITOLO 4. NUOVA CONFIGURAZIONE 28

(a) vecchia configurazione

-1.5 _-1 -0.5 ₀ 0.5 ₁ 1.50 0.5 1 1.5 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 Y X F ( N ) (b) nuova configurazione

Figura 4.4: Forza richiesta al giunto pi`u sollecitato affinch`e il manipolatore sia in grado di equilibrare un carico unitario all’end-effector comunque orientato nello spazio, nell’intorno dell’origine

(37)

nipolatore al di fuori delle configurazioni singolari delle gambe e singolari in generale.

4.2.1 Jacobiano di attuazione della nuova configurazione

Seguendo la procedura descritta in sezione 2.4, per la nuova configurazione otteniamo il seguente determinante per J_new−T:

Det J_new−T = −z2D1D2+ hl − D1h + D2lcos(θ) + D2h + D1lsin(θ)

D1h − D2lcos(θ) + D1l − D2hsin(θ)

(4.1) dove h e l sono le lunghezze dei lati del coupler.

Si pu`o quindi affermare che le seguenti rappresentano le condizioni di singolarit`a della nuova configurazione del manipolatore:

• z = 0; • 2D1D2+ hl − D1h + D2lcos(θ) + D2h + D1lsin(θ) = 0; • θ = arctanD2l−D1h D1l−D2h +kπ con k ∈ N.

Si pu`o notare come in questo caso vi sia sempre almeno un valore per la

coordinata θ che comporta singolarit`a per il manipolatore.

Per quanto riguarda il secondo punto si verifica che l’equazione non ha sempre soluzione per parametri dimensionali casuali. Infatti affinch`e abbia soluzione reale deve essere verificata la seguente condizione:

(D1h + D2l)2+ (D2h + D1l)2− (2D1D2+ hl)2 > 0 (4.2)

Nella fase di progettazione si ha cura di verificare che non vi siano singolarit`a all’interno dello spazio di lavoro.

(38)

4.3 Ricerca della coordinata θ che permette

mi-gliori prestazioni

Come gi`a fatto in precedenza per la configurazione a coupler quadrato si vuole anche in questo caso determinare quale sia il valore della coordinata θ, che ga-rantisce nel suo intorno delle buone prestazioni del manipolatore all’interno dello spazio di lavoro.

Per eseguire tali valutazioni si `e utilizzato un coupler di dimensioni h = 10 ed l = 30 utilizzando la dimensione maggiore per normalizzare le grandezze dimen-sionali.

Come si pu`o notare dalla figura 4.5 il manipolatore riporta un massimo rela-tivo per circa −80 deg; il massimo assoluto non viene preso in considerazione in quanto una rotazione del manipolatore per valori di θ positivi comporta un ecces-sivo attorcigliamento delle gambe rendendo tale configurazione inutile allo scopo prefissato.

Volendo verificare la variazione di tale valore sul piano x-y e per diversi valori di z si riporta in figura 4.6 il risultato dell’analisi numerica effettuata. Da tale immagine si pu`o notare come il valore della coordinata θ che garantisce il massimo valore di V sia molto variabile sullo spazio di lavoro. Pertanto si assume un valore di −77,5 deg come coordinata centrale dello spazio di lavoro relativo a θ.

(39)

-2000 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 theta V

Figura 4.5: Valori del parametro V per la nuova configurazione del manipolatore nel punto x = 5, y = −3 e z = 30

(40)

Figura 4.6: Valori del parametro θ che massimizzano il parametro V sullo spazio di lavoro

(41)

Progettazione

5.1 Definizione della specifica tecnica

Al fine di realizzare un prototipo in grado di essere utilizzato come interfaccia aptica per dito, si definisce una specifica riguardo le caratteristiche che tale strut-tura deve rispettare. Per la realizzazione di tale specifica ci si `e avvalsi di dati sperimentali riportati nell’articolo [5].

5.1.1 Spazio di lavoro

Per quanto riguarda il dexterous workspace si vuole che il manipolatore sia in grado di muovere il proprio end-effector di almeno 3 mm nelle direzioni x e y mentre per la direzione z si richiede uno spostamento di 4,5 mm almeno. L’entità degli spostamenti richiesti in direzione z risultano maggiori in quanto, per come si è pensato di realizzare la struttura, tale direzione richiederà un breve appostamento derivante dalle differenti dimensioni delle dita su cui verrà applicato. L’entità degli spostamenti nel piano x-y necessari a trasmettere uno stimolo riconoscibile, in termini di direzione, dall’utente sono stati dedotti dallo studio riportato in [5] e lievemente ampliati per garantire la possibilità di diversicare le prove realizzabili. Infine per la rotazione è richiesta un’ampiezza minima di 15 deg, in quanto sempre in [5] si fa riferimento a studi che riportano un angolo per la soglia di riconoscimento della direzione di slittamento comprese tra 3,6 deg e 11,7 deg.

(42)

CAPITOLO 5. PROGETTAZIONE 34

5.1.2 Forze richieste all’end-effector

Le forze minime richieste all’end-effector per realizzare gli stimoli necessari sul polpastrello, sono dedotte dal medesimo articolo, in cui si riporta per il contatto dito-tastatore un coefficiente di attrito maggiore di 1.6 in ogni direzione avendo sfruttato per il contatto un IBM ThinkPad Track-Point tactor e una forza di contatto esercitata dall’utente di massimo 0,7 N, ma in media molto minore.

Considerando di utilizzare per la superficie di contatto con il polpastrello lo stesso materiale, avente dunque lo stesso coefficiente di attrito, da quanto detto si può dedurre che affinchè non si abbia slittamento il manipolatore dovrà esercitare sul dito una forza massima pari a:

((0.7 · 1.6)2+ (0.7)2)1/2= 1,15 N

Volendo garantire la possibilit`a da parte del manipolatore di realizzare forze maggiori si richiede che il manipolatore sia in grado di esercitare una forza di almeno 2 N comunque orientata nello spazio, per qualunque posa esso assuma all’interno del dexterous workspace.

5.1.3 Ingombri

Affinchè la struttura risulti portabile dovrà possedere i minori ingombri possi-bili. Si vorrebbe quindi realizzare una struttura che una volta indossata rimanga molto aderente al dito nell’ottica di poter effettuare delle rilevazioni sperimentali attaccandone diverse su più dita. Un’altra ragione per cui si vuole una struttura piccola è relativa al peso della struttura stessa ed alla sua portabilità, in sede di progettazione si cercherà infatti per quanto possibile di sfruttare materiali aventi basso peso specifico.

5.2 Scelta degli attuatori

Per dimensionare gli attuatori ci si è avvalsi del grafico riportato in figura 4.4(b). Come si può notare la massima forza richiesta ad un attuatore affinchè il manipolatore sia in grado di esercitare una forza pari ad 1 N comunque orientata

(43)

Figura 5.1: Modello CAD del sistema di attuazione

nello spazio su uno spazio di lavoro di estensione pari a 3 mm in direzione x e y è pari a 0,77 N. Ciò significa che affinchè il manipolatore sia in grado di rispettare la specifica data, di 2 N, gli attuatori dovranno essere in grado di esercitare almeno 1,54 N.

Dovendo realizzare l’attuazione di un giunto prismatico, si `e scelto di definire una struttura a cinematica lineare su cui implementare un sistema di attuazione.

Tra la vasta gamma di articoli commerciali a disposizione, si è scelto di adottare un sistema vite-madrevite integrato di fabbrica con un motore stepper proposto da Faulhaber. Si riporta in figura 5.2 il grafico forza-velocità realizzabile con la combinazione guida-motore scelta. Come si può notare tale soluzione è in grado di sviluppare forze maggiori di 1,54 N dovrebbe quindi garantire il rispetto della specifica in quanto parte della forza in eccesso sarà usata per vincere gli attriti del sistema.

5.3 Analisi dei carichi strutturali

Come mostrato anche dall’analisi cinematica, le gambe del manipolatore strut-turalmente dovranno resistere ad un momento applicato all’estremit`a di ciascuna gamba e giacente sulla retta parallela a quella definita dall’intersezione tra il piano

(44)

CAPITOLO 5. PROGETTAZIONE 36                    

(45)

di gamba ed il piano x-y. Scomponendo tale momento lungo la direzione della gamba e quella perpendicolare, rimanendo nel piano di gamba si ha che la prima componente sollecita la gamba a torsione, mentre la seconda a flessione. Trattan-dosi di progettazione di una struttura dimensionalmente piccola soggetta a carichi non molto elevati, si ha che la progettazione del manipolatore in termini di fun-zionalit`a cinematica risulta pi`u critica della progettazione a resistenza, in quanto i componenti risultano poco sellecitati, come mostrato nelle verifiche riportate in sezione 5.7.

5.4 Progettazione dei componenti

5.4.1 Guide lineari

Come detto in precedenza il giunto da attuare è il terzo della catena cinematica della gamba, cioè il giunto prismatico. Avendo definito in precedenza il sistema di attuazione si vuole progettare una guida lineare strutturale in grado di accogliere le interfacce di montaggio del motore e di ricevere e sopportare il carico torsionale derivante dalla componente del wrench di vincolo lungo la direzione della gamba. Le soluzioni più comuni per la realizzazione di una guida lineare, individuate come possibili anche in questa sede, sono le seguenti:

• un profilo scanalato ad una o pi`u scanalature;

• due guide cilindriche parallele eventualmente di diametri differenti in modo tale che la guida pi`u sottile abbia l’unica funzione di reggere la torsione cui `e soggetta la gamba, mentre il resto dei carichi si scarichi attraverso la guida a diametro maggiore.;

• una guida prismatica a sezione quadrata.

Poichè realizzare un profilo scanalato di cos`ı piccole dimensioni risulta molto difficile, cercando di limitare il più possibile gli attriti e volendo mantenere una buona tolleranza sugli accoppiamenti tra i profili, si è scelto di scartare tale opzione. Anche la possibilità di realizzare due guide cilindriche parallele è stata scartata in

(46)

CAPITOLO 5. PROGETTAZIONE 38 quanto risulta una soluzione maggiormente ingombrante ed anch’essa richiede una complessit`a realizzativa elevata.

Si `e dunque optato per la realizzazione di una guida prismatica a sezione quadrata. Il risultato ottenuto dalla progettazione `e illustrato in figura 5.3.

Come si può notare dalla figura il componente interno della guida è stato rea-lizzato in modo da accogliere il motore al suo interno, pertanto gli ingombri fina-li risultano fortemente influenzati da tale scelta, mentre nel componente esterno è alloggiato l’elemento filettato fornito insieme al motore in modo da realizzare l’accoppiamento attuato vite-madrevite.

Al fine di limitare l’attrito tra le guide si `e optato per l’inserimento di strisce di teflon (parti in giallo in fig. 5.3) incollate sul componente interno mediante apposite colle per PTFE. In questo modo si ottiene un basso attrito tra gli elementi di scorrimento a contatto.

Per quanto riguarda la connessione dei giunti agli estremi della guida lineare si sono realizzati due fori in cui verranno forzati i perni che andranno a rappresentare gli assi di rotazione del secondo e quarto giunto. Dalla figura 5.4 `e possibile notare le formagelle create attorno al foro in cui sar`a forzato il perno al fine di limitare l’area di contatto di strisciamento della guida lineare alla sola superficie della boccola durante il movimento del secondo giunto della gamba.

5.4.2 Giunti

I giunti universali localizzati all’estremità di ciascuna gamba, sono stati realiz-zati ciascuno mediante due perni rappresentanti gli assi di rotazione incidenti ed un elemento strutturale denominato forchetta e mostrato in figura 5.4 che manterrà la perpendicolarità tra i perni stessi .

In riferimento alla figura 5.4 si pu`o notare come per la progettazione dei singoli giunti rotoidali si sia scelto di realizzarne uno mediante un perno sorretto agli estremi da boccole (il secondo giunto della gamba) ed uno mediante un perno filettato a sbalzo (il primo giunto della gamba). Il perno sorretto da boccole non `e vincolato assialmente in quanto si ritiene che le forze di attrito dovute al lieve forzamento nel componente interno della guida lineare sia sufficiente a mantenerlo in posizione, considerando che su di esso non gravano carichi in direzione assiale.

(47)

Figura 5.3: Sezione del modello CAD della guida lineare interfacciata al sistema di attuazione

(48)

Figura 5.4: Dettaglio della parte denominata forchetta in sezione lungo il piano passante per entrambe gli assi di rotazione del primo e secondo giunto della gamba

(49)

Il perno filettato invece, `e solidale alla forchetta mediante un incollaggio della testa nella sede preventivamente realizzata.

La scelta di realizzare il fissaggio mediante dado e controdado piuttosto che per mezzo di un anello seeger, porta il vantaggio di permettere una regolazione dei giochi assiali del primo ed ultimo giunto, permettendo di ottenere un manipolatore stabile nell’ esercitare forze in direzione z. L’utilizzo di un anello seeger sarebbe stata una soluzione pi`u elegante dal punto di vista estetico, ma avrebbe comportato dei giochi inevitabili lungo l’asse del giunto.

Per quanto riguarda le forchette relative al quarto e quinto giunto della catena cinematica delle gambe, si è osservata la medesima procedura realizzativa, ma poichè non risultano in commercio boccole di diametro esterno pari a 3 mm si è scelto di realizzare delle bocole direttamente sulla sede della forchetta mediante il forzamento di tondini di teflon che saranno forati successivamente al montaggio.

5.5 Definizione delle gambe

Le gambe sono state progettate per inglobare il sistema di attuazione scelto mantenendo il minor ingombro possibile in tutte le direzioni. La lunghezza mini-ma ottenibile tra gli assi del secondo e quarto giunto per come `e stato deciso di realizzare la gamba, risulta pari a 30,3 mm.

5.5.1 Definizione delle lunghezze delle gambe

Per determinare la lunghezza necessaria delle gambe e dunque delle guide li-neari, si `e effettuata un analisi numerica per definire quali fossero le lunghezze minime e massime necessarie per ciascuna gamba affich`e il manipolatore risultasse in grado di raggiungere ogni punto del dexterous workspace.

Essendoci una dipendenza reciproca tra dexterous workspace e lunghezza delle gambe si `e considerato di voler ottenere un dexterous workspace avente le seguenti estensioni:

(50)

(a) Sezione della gamba lunga montata

Accoppiamento vite e madrevite

Guida in teflon Motore

(b) Sezione della gamba corta attraverso tutti i giunti rotoidali

(51)

Numero Gamba Lunghezza min. (mm) Lunghezza max. (mm) corsa (mm)

1 39.3 48.3 9

2 30.4 36.4 6

3 39.3 48.3 9

4 30.4 36.4 6

Tabella 5.1: Lunghezze minime e massime tra gli assi di rotazione del primo e quarto giunto necessarie affinch`e il manipolatore possegga un dexterous workspace che soddisfi la specifica data e la lunghezza minima di una gamba pari a 30,3 mm

−1,5 mm ≤ x ≤ 1,5 mm −1,5 mm ≤ y ≤ 1,5 mm

−85 deg ≤ θ ≤ −70 deg; (5.1)

non avendo posto vincoli sulla coordinata z, `e stato possibile eseguire analisi numeriche aventi zmin sempre inferiore, fino a raggiungere una lunghezza minima

necessaria tra il secondo e quarto giunto pari alla lunghezza minima realizzabile di 30,3 mm.

In questo modo si ottengono i valori estremi di lungezza per ciascuna gamba (riportati in tabella 5.1) necessari affich`e il manipolatore possegga un dexterous workspace pari a quello riportato in 5.5.1 ed avente la coordinata z compresa tra 27,6 mm e 32,2 mm; rispettando in questo modo la specifica data che richiedeva un’estensione di almeno 4,5 mm in direzione z.

Dalla tabella 5.1 è possibile definire anche la lunghezza necessaria alla vite del sistema di attuazione per essere in grado di garantire la corsa necessaria. Si sceglie una corsa pari a 10 mm per la vite, in questo modo si ha che nel punto di massima estensione delle gamba più lunga, questa avrà ancora quattro filetti in presa nella madrevite.

A questo punto risulta quindi evidente la necessit`a di diversificare le lunghezze delle guide lineari delle gambe. Infatti, le gambe sono state divise in gambe lunghe e gambe corte dove le prime sono state realizzate sfruttando una guida lineare 8,9 mm pi`u lunga delle seconde.

(52)

Figura 5.6: Sezione delle guide lineari con particolari del montaggio del sistema di attuazione

La necessit`a di tale diversificazione deriva dal fatto che D1 e D2 sono differenti

e lo spazio di lavoro adottato `e simmetrico rispetto all’ origine nel piano x-y.

5.5.2 Montaggio dei motori

Facendo riferimento alla figura 5.6, riguardo il sistema adottato per vincolare i motori alla guida prismatica si pu`o dire che: i motori presentano di fabbrica un collare filettato ed una superficie di riferimento mediante i quali eseguirne il montaggio, pertanto, come detto in precedenza, il componente interno della guida lineare `e stato realizzato cavo al fine di alloggiarvi il sistema di attuazione ed avente ad un estremo una superficie per accogliere il riferimento del motore e su cui possa quest’ultimo venire vincolato mediante un dado.

I motori vengono forniti insieme ad un elemento filettato per eseguire l’accop-piamento vite-madrevite della guida lineare, ci`o permette di realizzare il giunto prismatico vincolando il dado all’interno del componente esterno della guida li-neare. Per realizzare il montaggio `e stato predisposto un alloggiamento su tale componente, sfruttando la presenza sull’ elemento filettatto di una superficie pia-na utilizzabile per eseguire un montaggio mediante chiavetta; il blocaggio assiale

(53)

Parametro dimensionale valore Unit`a di misura

l 30 mm

h 10 mm

α1 1.23

-α2 1

-Tabella 5.2: Parametri dimensionali adottati per la progettazione del prototipo di interfaccia aptica

della madrevite viene eseguito per mezzo di una piastrina imbullonata. Infine, la forma esteriore della guida lineare `e stata realizzata nell’ottica di mantenersi il pi`u aderenti possibile al sistema di attuazione interno.

5.6 Definizione del manipolatore

Il manipolatore `e quindi composto di una base (telaio) di un coupler e delle quattro gambe precedentemente descritte.

Nella base sono stati predisposti gli alloggiamenti muniti di boccole per il mon-taggio delle gambe mediante i perni sopra descritti. La disposizione di tali alloggia-menti `e stata pensata per ridurre al minimo necessario l’ingombro attorno al dito, garantendo lo spazio necessario alla movimentazione del manipolatore evitando collisioni tra le gambe ed il dito stesso.

In tabella 5.2 sono riportate le misure dei parametri dimensionali principali adottate per la realizzazione del prototipo.

Inoltre la base `e stata realizzata predisponendo un’interfaccia in cui l’utente potr`a posizionare il proprio dito durante l’utilizzo.

Per quanto riguarda il coupler il sistema di montaggio delle gambe avviene analogamente a quanto descritto per la base. Pertanto sul coupler saranno rea-lizzati quattro fori passanti su cui saranno forzate due boccole flangiate all’estre-mit`a di ciascun foro. In tabella 5.2 sono riportate le dimensioni utilizzate per la realizzazione del coupler.

Infine, come mostrato in figura 5.7(a), poich`e il piano passante per l’ultimo giunto di ciascuna gamba risulta eccessivamente elevato rispetto alla superficie del polpastrello, si `e realizzata una sporgenza di 28 mm sul coupler al fine di permettere

(54)

CAPITOLO 5. PROGETTAZIONE 46 il contatto tra end-effector e polpastrello stesso e dunque la trasmissione delle forze di contatto necessarie al corretto funzionamento dell’interfaccia aptica.

5.7 Verifiche strutturali

Le verifiche strutturali nella realizzazione di progetti di dimensioni piccole sog-gette a forze non molto elevate non risultano normalmente una fase critica. Le difficoltà maggiori si concentrano, nel nostro caso, nella progettazione di un cine-matismo realizzabile ed in grado di rispettare le specifiche. In questa sezione si verifica il componente ritenuto più critico dal punto di vista strutturale, ovvero la forchetta relativa ai giunti al coupler, eseguendo un rapido calcolo per stimare l’entità delle tensioni cui è soggetto.

Come spiegato in precedenza, l’unico carico cui è soggetta la gamba è un mo-mento nel piano x-y. Attraverso un’indagine numerica è stato calcolato quale fosse il momento massimo cui è soggetta la gamba più sollecitata durante la realizzazione di una forza unitaria comunque orientata nello spazio da parte del manipolatore. Nel fare ciò, si è ipotizzato che ciascuna gamba sorreggesse il momento senza es-sere aiutata in nessun modo dalle altre, ciò non è chiaramente vero ma poichè la struttura risulta iperstatica rispetto a tale carico non essendo possibile defi-nire la rigidezza delle gambe per ciascuna postura del manipolatore si è deciso di sovrastimare di molto il carico in questo modo e considerare solo la compo-nente di momento trascurando invece la compocompo-nente relativa al carico esercitato direttamente dall’attuatore sulla forchetta.

Tale momento `e composto di due componenti:

• una derivante dalle forze interne che si generano per equilibrare le forze esercitate dagli attuatori;

• un momento di trasporto relativo al fatto che il contatto con il polpastrello avvine su un piano distante 21,5 mm rispetto al piano passante per l’ultimo giunto di ciascuna gamba.

Come si pu`o notare dall’immagine 5.8 il momento massimo che la

forchet-ta dovr`a reggere per l’esercizio di 1 N all’end-effector risulta sempre minore di 40 Nmm.

(55)

In riferimento alla figura 5.9 si ha che: essendo l’interasse medio della forchetta tra gli appoggi del perno pari a 5,5 mm si ottiene che la forza cui l’arco `e soggetto a trazione risulta pari a 7,3 N, che comporta una tensione uniforme pari a 2,15 MPa. Supponendo che l’attuazione sia in grado di sviluppare forze pari a 3 N comun-que orientate nello spazio si considera che le tensioni nel materiale raggiungano il valore teorico di 6,5 MPa.

Dalle considerazioni fatte risulta evidente che il materiale sia ampiamente verifi-cato a resistenza, anche in relazione al fatto che i carichi iniziali si sono sovrastimati ampiamente.

(56)

(a) Primo prototipo di interfaccia aptica per dito basato su cinematica parallela 4-UPU

(b) Mock-up attuato del prototipo progettato

(57)

-1 0 1 0 0.5 1 1.5 37 37.5 38 38.5 39 Y X W c (N m m )

Figura 5.8: Wrench strutturale massimo cui `e soggetta la gamba pi`u sollecitata, nell’ipotesi che ciascuna gamba eserciti sola tutta la coppia strutturale nella dire-zione del proprio piano di gamba, durante l’esercizio di una forza di 1 N comunque orientata da parte del prototipo realizzato nello spazio di lavoro designato.

(58)

1mm

1.7mm

5.5mm

Figura 5.9: Equilibrio del perno e reazioni esercitate sulla forchetta mentre il manipolatore `e in esercizio.

(59)

Mock-up e verifica sperimentale

6.1 Realizzazione del Mock-up

Al fine di verificare la validit`a pratica della cinematica proposta per realizzare l’interfaccia aptica desiderata si `e realizzato un mock-up attuato del prototipo progettato.

Le dimensioni principali ovvero D1, D2 h ed l del prototipo sono state

moltipli-cate per il fattore 1.3 per ottenere le dimensioni del modello realizzato, mantenedo cos`ı le proporzioni costanti. In tabella 6.1 si riportano i valori risultanti.

Per la realizzazione delle guide lineari ci si `e avvalsi di attuatori lineari firgelli PQ-12 dotati di fori ad assi paralleli alle estremit`a in modo da facilitare il montag-gio ed allo stesso tempo definire l’asse di rotazione per il secondo e quarto giunto della gamba.

I giunti del mock-up sono stati realizzati secondo la stessa logica costruttiva

Parametro dimensionale valore Unit`a di misura

l 39 mm

h 13 mm

α1 1.23

-α2 1

-Tabella 6.1: Parametri dimensionali adottati per la realizzazione del mock-up attuato

(60)

CAPITOLO 6. MOCK-UP E VERIFICA SPERIMENTALE 52 precedentemente illustrata e materialmente costruiti mediante una stampante 3D. Risultando l’interfaccia alla base dei motori pi`u stretta dell’ampiezza delle forchette, si `e realizzato un bloccaggio assiale del motore mediante distanziali realizzati appositamente per ridurre al minimo il gioco assiale di ciascun motore.

I perni sono stati realizzati al tornio, in alluminio, ed incollati alle forchette, mentre le boccole in cui scorrono sono articoli commerciali di marca igus.

A causa di vincoli dimensionali i perni del secondo e quarto giunto non scorrono su boccole ma sono lievemente forzati nelle forchette realizzate, mentre, la rotazione relativa, avviene tra i perni e gli anelli dei motori preventivamente alesati.

Per quanto riguarda il basamento si è realizzato delle dimensioni più conso-ne, all’unico scopo di sorreggere la struttura, non avendo in questo caso vincoli dimensionali e non dovendosi interfacciare con alcunchè.

Infine il coupler è stato realizzato cavo, per ridurre il carico derivante dal peso proprio nonchè i tempi necessari alla realizzazione mediante stampante 3D, la stessa tecnica realizzativa è stata adottata per costruire anche il basamento.

In figura 5.7(b) `e riportata un’immagine del mock-up costruito.

6.2 Verifica sperimentale

Una volta pronto il mock-up `e stato connesso ad un sistema di elettronica (figura 6.1) che permette di eseguire un controllo in posizione delle coordinate dei giunti attuati del manipolatore. Inoltre, l’elettronica connessa al PC riceve da questo un riferimento da far seguire ai giunti attuati, mentre, un’interfaccia Simulink permette all’utente di comandare il manipolatore in termini di posizione x, y, θ e z.

Per poter eseguire delle prove sperimentali `e stata fissata la sonda di un sensore di posizione al coupler del mock-up (fig. 6.4), al fine di rilevare con buona approssi-mazione gli spostamenti effettivamente realizzati dal manipolatore, paragonandoli poi al riferimento in entrata al controllo.

Il fatto che la posizione sia rilevata direttamente da un sensore applicato all’end-effector invece che ricavata da un segnale di feedback relativo alla posizione dei giunti attuati all’interno della catena cinematica, permette di visualizzare i

(61)

(62)

CAPITOLO 6. MOCK-UP E VERIFICA SPERIMENTALE 54 menti che effettivamente compie il coupler del mock-up invece che doverli ricavare indirettamente.

Una prima verifica è stata realizzata facendo eseguire al manipolatore una sinusoide lungo l’asse z, ottenendo i risultati riportati in figura 6.2. La figura 6.2(a) rappresenta come il sensore vincolato al coupler segue il riferimento dato, mentre la figura 6.2(b) rappresenta le oscillazioni nel piano x-y compiute durante il moto, causate da giochi nei giunti e nei motori stessi nonchè a vibrazioni dovute al sistema di attuazione nel suo complesso. Un’ulteriore prova eseguita è stata la misurazione degli spostamenti effettuati dal coupler in risposta ad un riferimento oscillante del grado di libertà rotazionale, ottenendo i risultati in figura 6.3.

(63)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 asse z step p o si zi o n e e n d e ff e ct o r [m m ] posizione rilevata riferimento

(a) Oscillazioni lungo l’asse z

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 piano x-y step p o si zi o n e e n d e ff e ct o r [m m ] posizione rilevata riferimento

(b) Vibrazioni rilevate nel piano durante il moto oscillatorio lungo l’asse z

(64)

CAPITOLO 6. MOCK-UP E VERIFICA SPERIMENTALE 56 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 rotazione step p o si zi o n e e n d e ff e ct o r [d e g ] posizione rilevata riferimento

(65)

Figura 6.4: Immagine del mock-up in fase di aquisizione dei dati con il sensore magnetico vincolato all’end effector

(66)

Capitolo 7

Conclusioni e sviluppi futuri

In questa tesi è stata eseguita l’analisi cinematica del manipolatore parallelo 4-UPU individuandone le condizioni singolari ed i rispettivi luoghi di singolarità; è stata condotta un’ottimizzazione dei parametri costruttivi e cinematici del ma-nipolatore valutando anche i risultati ottenibili da una diversa configurazione al fine di riproporre tale cinematica nella creazione di un’interfaccia aptica per dito. La progettazione è avvenuta cercando di interfacciare prodotti commercialmen-te reperibili con parti progettacommercialmen-te per l’otcommercialmen-tenimento della specifica voluta, nonchè seguendo le linee di ottimo tracciate nelle precedenti analisi.

Infine, `e stato realizzato un mock-up, in scala ed attuato, del prototipo proget-tato, le cui parti sono state realizzate avvalendosi di tornio, mola e stampante 3D. Dopo aver costruito il modello sono state effettuate delle rilevazioni dei movimenti del modello in risposta a dei riferimenti in ingresso e mediante tali acquisizioni `e stato rilevato che i movimenti eseguiti dalla cinematica scelta sono coerenti con quanto desiderato per la trasmissione degli stimoli tattili voluti al polpastrello.

Possibili sviluppi futuri per tale interfaccia aptica riguardano il ridimensiona-mento degli ingombri e la portabilità; un differente posizionamento degli attuatori, nonchè una modifica sostanziale del sistema di attuazione, permetterebbero la rea-lizzazione di gambe più sottili e dunque necessariamente una maggiore aderenza della struttura al dito.

(67)