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Asteroid rotation and orbit control via laser ablation

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Academic year: 2021

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http://hdl.handle.net/11311/1006466

RE.PUBLIC@POLIMI

Research Publications at Politecnico di Milano

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This is the accepted version of:

M. Vetrisano, C. Colombo, M. Vasile

Asteroid Rotation and Orbit Control via Laser Ablation

Advances in Space Research, Vol. 57, N. 8, 2016, p. 1762-1782 doi:10.1016/j.asr.2015.06.035

The final publication is available at https://doi.org/10.1016/j.asr.2015.06.035

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© 2016. This manuscript version is made available under the CC-BY-NC-ND 4.0 license

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(5)

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τ

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e

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Ϯ͘ϭ KƉƚŝŵĂůĚŝƐƚĂŶĐĞĨƌŽŵƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚĂŶĚĨŽƌĐĞĚƵĞƚŽƚŚĞĂďůĂƚŝŽŶ

dŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚ͛ƐŽƌďŝƚĂůǀĞůŽĐŝƚLJǀĂƌŝĂƚŝŽŶŐŝǀĞŶďLJƚŚĞĂďůĂƚŝŽŶƉƌŽĐĞƐƐĐĂŶďĞĐŽŵƉƵƚĞĚĂƐ͗ 

( )

( )

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³

 ;ϴͿ ǁŚĞƌĞŵĂŝƐƚŚĞŵĂƐƐŽĨƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚǁŚŝĐŚŝƐĚĞĐƌĞĂƐŝŶŐĚƵĞƚŽƚŚĞĂďůĂƚŝŽŶƉƌŽĐĞƐƐ͘&ƌŽŵƚŚĞĂďůĂƚŝŽŶ ŵŽĚĞůƉƌĞƐĞŶƚĞĚŝŶƚŚĞƉƌĞǀŝŽƵƐƐĞĐƚŝŽŶŽŶĞĐĂŶƐĞĞƚŚĂƚƚŚĞƚŚƌƵƐƚ&>ŝƐĂĨƵŶĐƚŝŽŶŽĨďŽƚŚƚŚĞƉŽǁĞƌŝŶƉƵƚ ƚŽƚŚĞůĂƐĞƌĂŶĚƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞĨƌŽŵƚŚĞƐƉŽƚ͕ĂƐƚŚĞĐŽŶƚĂŵŝŶĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞƐŽůĂƌĂƌƌĂLJƐĚĞƉĞŶĚƐŽŶƚŚĞŵĂƐƐ ĨůŽǁƌĂƚĞ͘&ŝŐƵƌĞϭƌĞƉƌĞƐĞŶƚƐƚŚĞĐŽŶƚŽƵƌůŝŶĞŽĨƚŚĞƚŚƌƵƐƚŝŶŐƚŝŵĞ͕ŝŶĚĂLJƐ͕ƌĞƋƵŝƌĞĚƚŽĂĐŚŝĞǀĞĂ

δ

vIŽĨϭ ŵͬƐǁŝƚŚƚŚĞůĂƐĞƌƉŽƐŝƚŝŽŶĞĚĂƚĂĚŝƐƚĂŶĐĞŽĨϱϬŵĞƚĞƌƐĨƌŽŵĂŶ^ͲĐůĂƐƐĂƐƚĞƌŽŝĚǁŝƚŚĂŵĞĂŶƌĂĚŝƵƐŽĨϮ͘ϭϴ ŵ͕ Ă ƐƉŝŶŶŝŶŐ ƌĂƚĞ ŽĨ ϭϵ͘ϰϳ ƌŽƚĂƚŝŽŶƐ ƉĞƌ ŚŽƵƌ ĂŶĚ Ă ŵĂƐƐ ŽĨ ϭϯϬϬϬϬ ŬŐ͘ dŚĞ ƚŚƌƵƐƚŝŶŐ ƚŝŵĞ ŝƐ ƉůŽƚƚĞĚ ĂŐĂŝŶƐƚƚŚĞƉŽǁĞƌŝŶƉƵƚƚŽƚŚĞůĂƐĞƌĂŶĚƚŚĞƌĂĚŝƵƐŽĨƚŚĞůĂƐĞƌƐƉŽƚ͘

(6)

dĂďůĞϭ͘>ĂƐĞƌƐLJƐƚĞŵĐŽĞĨĨŝĐŝĞŶƚƐĂŶĚĂďůĂƚŝŽŶƉĂƌĂŵĞƚĞƌƐ͘  WĂƌĂŵĞƚĞƌ sĂůƵĞ ůďĞĚŽĂƚƚŚĞĨƌĞƋƵĞŶĐLJŽĨƚŚĞůĂƐĞƌ αƐ Ϭ͘ϭϲ ĨĨŝĐŝĞŶĐLJŽĨƚŚĞƉŽǁĞƌƐLJƐƚĞŵ ηW Ϭ͘ϴϱ ĨĨŝĐŝĞŶĐLJŽĨƚŚĞůĂƐĞƌ η> Ϭ͘ϱϱ ĨĨŝĐŝĞŶĐLJŽĨƚŚĞƐŽůĂƌĂƌƌĂLJƐ η^ Ϭ͘ϯ ďƐŽƌďĂŶĐĞƉĞƌƵŶŝƚůĞŶŐƚŚ η ϮͼϭϬͲϰĐŵͲϭ ,ĞĂƚĐĂƉĂĐŝƚLJŽĨƚŚĞƐŽůŝĚƉŚĂƐĞ Cv ϭϯϲϭ:ͬ;<ͼŬŐͿ ,ĞĂƚĐĂƉĂĐŝƚLJŽĨƚŚĞǀĂƉŽƵƌƉŚĂƐĞ Cp ϭϯϱϬ:ͬ;<ͼŬŐͿ ŽŶĚƵĐƚŝǀŝƚLJ

κ

A ϰ͘ϱϭtͬ;ŵͼ<Ϳ DĞĂŶĚĞŶƐŝƚLJŽĨƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚ

ρ

A ϯϱϬϬŬŐͬŵ ϯ  &ŝŐƵƌĞϭƐŚŽǁƐƚŚĂƚĂǀĂƌŝĂƚŝŽŶŽĨϯϴйŝŶƚŚĞƌĂĚŝƵƐŽĨƚŚĞƐƉŽƚĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚƐƚŽĂŶŝŶĐƌĞĂƐĞŝŶƚŚĞĚĞĨůĞĐƚŝŽŶ ƚŝŵĞďĞƚǁĞĞŶϭϰϬĂŶĚϭϴϬĚĂLJƐ͘ǀĂƌŝĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞƌĂĚŝƵƐŽĨƚŚĞƐƉŽƚĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚƐƚŽƚŚĞĚĞĨŽĐƵƐŝŶŐŽĨƚŚĞ ďĞĂŵ ĂŶĚ ŝƐ ĚƵĞ ƚŽ ƚǁŽ ƌĞĂƐŽŶƐ͗ ƚŚĞ ĞdžĐĂǀĂƚŝŽŶ ŽĨ Ă ŐƌŽŽǀĞ ĂůŽŶŐ ƚŚĞ ƐƵƌĨĂĐĞ ŽĨ ƚŚĞ ĂƐƚĞƌŽŝĚ ĂŶĚ ƚŚĞ ǀĂƌŝĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞƌĞůĂƚŝǀĞƉŽƐŝƚŝŽŶŽĨƚŚĞƐƉŽƚĨƌŽŵƚŚĞůĂƐĞƌƐŽƵƌĐĞĚƵĞƚŽƚŚĞƌŽƚĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚĂŶĚ ƚŚĞƌĞůĂƚŝǀĞŵŽƚŝŽŶŽĨƚŚĞƐƉĂĐĞĐƌĂĨƚ͘dŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞĨƌŽŵƚŚĞĨŽĐĂůƉŽŝŶƚ͕ĂůŽŶŐƚŚĞďĞĂŵ͕ĂƚǁŚŝĐŚƚŚĞďĞĂŵ ƌĂĚŝƵƐŝƐw0 2;ŬŶŽǁŶĂƐZĂLJůĞŝŐŚůĞŶŐƚŚ͕ůZĂLJůĞŝŐŚ͕^ŝĞŐĂŵĂŶϭϵϴϲͿ͕ǁŝƚŚǁϬƚŚĞƌĂĚŝƵƐĂƚƚŚĞĨŽĐĂůƉŽŝŶƚ͕ŝƐ ĂďŽƵƚϯŵ͕ĂƐƐƵŵŝŶŐĂϱϬŵŵŝŶĚŝĂŵĞƚĞƌĨŽĐƵƐŝŶŐŵŝƌƌŽƌ͕ĂƚĂŶŽŵŝŶĂůĚŝƐƚĂŶĐĞŽĨϱϬŵĨƌŽŵƚŚĞůĂƐĞƌ ƐŽƵƌĐĞƚŽƚŚĞƐƉŽƚ͘tŝƚŚƌĞĨĞƌĞŶĐĞƚŽ&ŝŐƵƌĞϭ͕ŝĨƚŚĞŶŽŵŝŶĂůƌĂĚŝƵƐŝƐϬ͘ϴŵŵĂƚϯŵĨƌŽŵƚŚĞĨŽĐĂůƉŽŝŶƚ ƚŚĞ ďĞĂŵ ƌĂĚŝƵƐ ǁŽƵůĚ ďĞ ϭ͘ϭϯ ŵŵ͘ dŚŝƐ ŵĞĂŶƐ ƚŚĂƚ Ăƚ ƚŚĞ ƌĂƚĞ ŽĨ ϭϵ͘ϰϳ ƌŽƚĂƚŝŽŶƐ ƉĞƌ ŚŽƵƌ͕ ǁŝƚŚ ƚŚĞ ĐƵƌƌĞŶƚŵŽĚĞů͕ĂĨůƵĐƚƵĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞǁŝƚŚŝŶƚŚĞZĂLJůĞŝŐŚůĞŶŐƚŚǁŽƵůĚLJŝĞůĚĂǀĂƌŝĂƚŝŽŶŽĨĂďŽƵƚϲϬй ŽĨ ƚŚĞ ĚĞĨůĞĐƚŝŽŶ ƚŝŵĞ͘ /ƚ ĨŽůůŽǁƐ ƚŚĂƚ ƚŚĞ ZĂLJůĞŝŐŚ ůĞŶŐƚŚ ĐĂŶ ďĞ ƵƐĞĚ ƚŽ ĚĞƌŝǀĞ Ă ƌĞƋƵŝƌĞŵĞŶƚ ŽŶ ƚŚĞ ĐŽŶƚƌŽůŽĨƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞďĞƚǁĞĞŶƚŚĞƐƉĂĐĞĐƌĂĨƚĂŶĚƚŚĞƐƵƌĨĂĐĞŽĨƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚ͕ǁŚŝĐŚĐĂŶďĞĐŽŶǀĞƌƚĞĚŝŶĂ ƌĞƋƵŝƌĞŵĞŶƚŽŶƚŚĞ ĐŽŶƚƌŽů ŽĨƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞďĞƚǁĞĞŶƚŚĞƐƉĂĐĞĐƌĂĨƚĂŶĚƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚĐĞŶƚƌĞŽĨŵĂƐƐĂƐŝƚ ǁŝůůďĞŝůůƵƐƚƌĂƚĞĚŝŶ^ĞĐƚŝŽŶϯ͘ϭ͘ 220 240 240 260 260 260 280 280 280 300 300 300 320 320 320 340 340 340 360 360 360 380 380 400 400 420 440 460

Thrust time [days] distNEO = 50 m

Radius spot [mm]

Power input laser [W]

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 860 880 900 920 940 960 980 250 300 350 400 450  &ŝŐƵƌĞϭ͘dŚƌƵƐƚŝŶŐƚŝŵĞ͕ŝŶĚĂLJƐ͕ƌĞƋƵŝƌĞĚƚŽĂĐŚŝĞǀĞϭŵͬƐǀĞůŽĐŝƚLJĐŚĂŶŐĞǁŝƚŚĂƐŚŽŽƚŝŶŐĚŝƐƚĂŶĐĞŽĨϱϬ ŵ͘

(7)

dŚĞǀĂƌŝĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞĚĞĨůĞĐƚŝŽŶƚŝŵĞǁŝƚŚƚŚĞĚĞĨŽĐƵƐŝŶŐŽĨƚŚĞďĞĂŵŝƐŚŽǁĞǀĞƌĂĨƵŶĐƚŝŽŶŽĨƚŚĞƌŽƚĂƚŝŽŶ ƌĂƚĞ͘/ŶĨĂĐƚ͕ŝĨŽŶĞĂƐƐƵŵĞƐĂĐŽŶƐƚĂŶƚŝŶƉƵƚƉŽǁĞƌŽĨϴϲϬt͕ĂŶŽŵŝŶĂůƐƉŽƚƐŝnjĞŽĨϬ͘ϴŵŵ;sĂƐŝůĞĞƚĂů͕͘ ϮϬϭϯͿ͕ĂŶĚĂŶŽƉƚŝĐƐ ĚĞƐŝŐŶĞĚ ƚŽĨŽĐƵƐ ƚŚĞďĞĂŵĂƚ ĂŶŽŵŝŶĂůĚŝƐƚĂŶĐĞŽĨϱϬ ŵĨƌŽŵƚŚĞůĂƐĞƌƐŽƵƌĐĞ͕Ă ǀĂƌŝĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞǁŝůůƉƌŽĚƵĐĞĂďŝŐŐĞƌĐƌŽƐƐƐĞĐƚŝŽŶAspotŽĨƌĂĚŝƵƐwŽŶƚŚĞƐƵƌĨĂĐĞŽĨƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚ ĐŽŶƐŝƐƚĞŶƚůLJǁŝƚŚƚŚĞZĂLJůĞŝŐŚůĞŶŐƚŚ͕ĂƐƐŚŽǁŶŝŶƚŚĞĨŽůůŽǁŝŶŐĞƋƵĂƚŝŽŶ͗ 

π

π

− = − = = ƐŝŶ Ϭ Ϯ ƐŝŶ Ϯ Ϯ Ϭ Ϯ Ϯ; Ϳ ; Ϳ ; Ϳ Ϯ ĨŽĐƵ Ő ZĂLJůĞŝŐŚ ĨŽĐƵ Ő ƐƉŽƚ ZĂLJůĞŝŐŚ ů ů ǁ ů ǁ ů ů ů  ǁ ǁ ů  ;ϵͿ ǁŚĞƌĞlŝƐƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞĨƌŽŵƚŚĞƐƉŽƚ͕ůĨŽĐƵƐŝŶŐŝƐƚŚĞĨŽĐƵƐŝŶŐůĞŶŐƚŚ͘dŚŝƐŵĞĂŶƐƚŚĂƚƚŚĞůŝŐŚƚŝŶƚĞŶƐŝƚLJĂƚ ƚŚĞƐƉŽƚĚĞĐƌĞĂƐĞƐĂƐƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞŽĨƚŚĞůĂƐĞƌƐŽƵƌĐĞĨƌŽŵƚŚĞƐƵƌĨĂĐĞĚĞƉĂƌƚƐĨƌŽŵƚŚĞĨŽĐƵƐŝŶŐĚŝƐƚĂŶĐĞ͘ &ƵƌƚŚĞƌŵŽƌĞ͕ƋƐ;ϮͿĂŶĚ;ϲͿŐŝǀĞĂŵĂƐƐĨůŽǁ ƚŚĂƚĚĞĐƌĞĂƐĞƐŝĨƚŚĞƐƵƌĨĂĐĞƵŶĚĞƌƚŚĞůĂƐĞƌŵŽǀĞƐĨĂƐƚĞƌ͘ dŚĞƌĞĨŽƌĞ͕ ŝĨ ŽŶĞ ĂƐƐƵŵĞƐ Ă ĨůĂƚ ƐƵƌĨĂĐĞ ŵŽǀŝŶŐ ǁŝƚŚ ǀĞůŽĐŝƚLJVrot ƚƌĂŶƐǀĞƌƐĂůůLJ ƚŽ ƚŚĞ ŝŶĐŝĚĞŶƚ ůŝŐŚƚ ĂŶĚ ƉŽƐŝƚŝŽŶĞĚĂƚĂĚŝƐƚĂŶĐĞůĨƌŽŵƚŚĞůĂƐĞƌƐŽƵƌĐĞƚŚĞƌĞƐƵůƚŝŶŐƚŚƌƵƐƚŝƐƚŚĞŽŶĞƌĞƉƌĞƐĞŶƚĞĚŝŶ&ŝŐƵƌĞϮ͘ Ɛ ŽŶĞ ĐĂŶ ƐĞĞ͕ ƚŚĞ ĨŽƌĐĞ ŝŶĐƌĞĂƐĞƐ ĂƐ ƚŚĞ ǀĞůŽĐŝƚLJVrotĚĞĐƌĞĂƐĞƐ ĂŶĚ ĂŶ ĂďƐŽůƵƚĞ ŵĂdžŝŵƵŵ ŝƐ ƌĞĂĐŚĞĚ ǁŚĞŶVrot ŝƐ njĞƌŽ ĂŶĚ ƚŚĞ ĚŝƐƚĂŶĐĞ ĞƋƵĂůƐ ƚŚĞ ĨŽĐƵƐŝŶŐ ůĞŶŐƚŚ͘ DŽƌĞŽǀĞƌ͕ ĨŽƌ ŚŝŐŚĞƌ ǀĂůƵĞƐ ŽĨ ǀĞůŽĐŝƚLJ͕ ŵŽǀŝŶŐďLJϯŵǁŝƚŚƌĞƐƉĞĐƚƚŽƚŚĞĨŽĐƵƐŝŶŐůĞŶŐƚŚĐĂƵƐĞƐĂƌĞĚƵĐƚŝŽŶŽĨĂďŽƵƚϳϱйŽĨƚŚĞŶŽŵŝŶĂůǀĂůƵĞ͘ tŝƚŚƌĞĨĞƌĞŶĐĞƚŽ&ŝŐƵƌĞϮď͕ƚŚĞƚƌĞŶĚŝƐĂůŵŽƐƚůŝŶĞĂƌŝŶƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞĂůƚŚŽƵŐŚĂĐƵƌǀĂƚƵƌĞĐĂŶďĞƐĞĞŶ͘&Žƌ ůŽǁĞƌǀĞůŽĐŝƚŝĞƐ͕ƚŚĞǀĂƌŝĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞĨŽƌĐĞǁŝƚŚƚŚĞĚŝƐƚĂŶĐĞŝƐůĞƐƐƉƌŽŶŽƵŶĐĞĚ͕ďĞĐĂƵƐĞƚŚĞƐƵƌĨĂĐĞƌĞƐŝĚĞƐ ƵŶĚĞƌ ƚŚĞ ůĂƐĞƌ ĨŽƌ ůŽŶŐĞƌ ƚŝŵĞ͘ EŽƚĞ ƚŚĂƚ ƚŚĞ ƌĞƐƵůƚƐ ŝŶ &ŝŐƵƌĞ Ϯ ĂŶĚ ŝŶ &ŝŐƵƌĞ ϭ ĚĞƉĞŶĚ ŽŶ ƚŚĞ ůĂƐĞƌ ŝŶƚĞŶƐŝƚLJĂŶĚŽŶƚŚĞŵĂƚĞƌŝĂůƉƌŽƉĞƌƚŝĞƐ͘,ĞŶĐĞ͕ĚŝĨĨĞƌĞŶƚĞdžĂĐƚĐŽŶƚƌŽůƌĞƋƵŝƌĞŵĞŶƚƐǁŽƵůĚďĞĚĞƌŝǀĞĚĨŽƌ ĚŝĨĨĞƌĞŶƚůĂƐĞƌƐ͕ŵĂƚĞƌŝĂůƉƌŽƉĞƌƚŝĞƐďƵƚĂůƐŽĨŽƌĂŵŽƌĞĂĐĐƵƌĂƚĞŵŽĚĞůůŝŶŐŽĨƚŚĞĂďůĂƚŝŽŶƉƌŽĐĞƐƐ͘ 0 0.05 0.1 0.15 0.2 46 48 50 52 54 0 5 10 15 20 V rot [m/s] Distance [m] F L [mN] 47 48 49 50 51 52 53 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Distance [m] F L [mN]  &ŝŐƵƌĞϮ͘ĂͿ&ŽƌĐĞĚƵĞ ƚŽƚŚĞĂďůĂƚŝŽŶƉƌŽĐĞƐƐǁŝƚŚ ƌĞƐƉĞĐƚƚŽƚŚĞůĂƐĞƌĚŝƐƚĂŶĐĞĨƌŽŵƚŚĞƐƉŽƚĂŶĚƚŚĞ ǀĞůŽĐŝƚLJŽĨƚŚĞƐƵƌĨĂĐĞƵŶĚĞƌƚŚĞƐƉŽƚůŝŐŚƚ͖ďͿĐŽŶƚŽƵƌƉůŽƚƐŚŽǁŝŶŐƚŚĞĨŽƌĐĞƚƌĞŶĚǁŝƚŚƌĞƐƉĞĐƚƚŽƚŚĞ ĚŝƐƚĂŶĐĞĂƚŝŶĐƌĞĂƐŝŶŐƚĂŶŐĞŶƚŝĂůǀĞůŽĐŝƚLJ͘ /ĨƚŚĞŝŶĐŝĚĞŶƚůĂƐĞƌďĞĂŵŝƐŶŽƚƉĞƌƉĞŶĚŝĐƵůĂƌƚŽ ƚŚĞƐƵƌĨĂĐĞ ƚŚĞƐƉŽƚĚĞĨŽƌŵƐĨƌŽŵĂĐŝƌĐůĞƚŽĂŶ ĞůůŝƉƐĞ ĂŶĚŝƚƐĂƌĞĂŝŶĐƌĞĂƐĞƐ͘dŚĞƚƌĂǀĞůƚŝŵĞŽĨĂƉŽŝŶƚƵŶĚĞƌƚŚĞƐƉŽƚůŝŐŚƚƚŽƵƚͲƚŝŶƚŚĞŶĐŚĂŶŐĞƐĚĞƉĞŶĚŝŶŐŽŶƚŚĞ ĚŝƌĞĐƚŝŽŶŽĨƚŚĞǀĞůŽĐŝƚLJVrotǁŝƚŚƌĞƐƉĞĐƚƚŽƚŚĞůŽĐĂůŶŽƌŵĂůĂŶĚƋ͘;ϮͿŶĞĞĚƐƚŽďĞŵŽĚŝĨŝĞĚƚŽĂĐĐŽƵŶƚŽĨ ĂͿ ďͿ

(8)

ƚŚĞĂĐƚƵĂůŐĞŽŵĞƚƌLJ͘/ŶƚŚŝƐƉĂƉĞƌĂƐŝŵƉůĞƌĂŶĚŵŽƌĞĐŽŶƐĞƌǀĂƚŝǀĞĂƉƉƌŽĂĐŚŝƐƚĂŬĞŶ͘/ŶƐƚĞĂĚŽĨĐĂůĐƵůĂƚŝŶŐ ƚŚĞĞdžĂĐƚƚƌĂǀĞůůŝŶŐƚŝŵĞƚŚĞůŝŐŚƚŝŶƚĞŶƐŝƚLJŝƐƐŝŵƉůLJƌĞĚƵĐĞĚďLJŵŽĚŝĨLJŝŶŐƋ͘;ϵͿĂƐĨŽůůŽǁƐ͗ 

π

θ

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θ

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(9)

dŚĞ ŐƌĂǀŝƚLJ ĨŝĞůĚ ŽĨ ƚŚĞ ĂƐƚĞƌŽŝĚ ŝƐ ĞdžƉƌĞƐƐĞĚ ĂƐ ƚŚĞ ƐƵŵ ŽĨ Ă ƐƉŚĞƌŝĐĂů ĨŝĞůĚ ƉůƵƐ Ă ƐĞĐŽŶĚͲĚĞŐƌĞĞ ĂŶĚ ƐĞĐŽŶĚͲŽƌĚĞƌĨŝĞůĚ;,Ƶ͕ϮϬϬϮͿ͗ Ϯ Ϯ ϮϬ ϮϮ ϯ ϮϬ ϮϮ ϯ ; Ϳ ;ϭ ĐŽƐ Ϳ ϯ ĐŽƐ ĐŽƐϮ Ϯ  ď h   ƌ μ δ γ γ ψ δ + = §¨ − + ·¸ © ¹ ƌ ;ϭϭͿ ǁŚĞƌĞƚŚĞŚĂƌŵŽŶŝĐĐŽĞĨĨŝĐŝĞŶƚƐ ĂŶĚϮϬ  ĂƌĞĂĨƵŶĐƚŝŽŶŽĨƚŚĞƐĞŵŝͲĂdžĞƐ͗ϮϮ Ϯ Ϯ Ϯ ϮϬ Ϯ Ϯ ϮϮ ϭ ;Ϯ Ϳ ϭϬ ϭ ; Ϳ ϮϬ / / / / /  Đ Ă ď  Ă ď = − − − = −  ;ϭϮͿ ĂŶĚμĂŝƐƚŚĞŐƌĂǀŝƚĂƚŝŽŶĂůĐŽŶƐƚĂŶƚŽĨƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚ͘dŚĞĂŶŐůĞƐγ ĂŶĚψ ĂƌĞĚĞĨŝŶĞĚĂƐ Ϯ Ϯ ĂƌĐ ĂƌĐƚĂ ƚĂŶ Ŷ ď ď ď ď ď LJ dž nj dž LJ γ ψ § · ¨ ¸ ¨ + ¸ = § · = ¨ ¸ © ¹ ¹ ©  ;ϭϯͿ ǁŚĞƌĞƚŚĞƐƵďƐĐƌŝƉƚďƌĞĨĞƌƐƚŽƚŚĞƉŽƐŝƚŝŽŶŽĨƚŚĞƐƉĂĐĞĐƌĂĨƚŝŶƚŚĞďŽĚLJĨŝdžĞĚƌĞĨĞƌĞŶĐĞĨƌĂŵĞ͘dŚĞŵŽƚŝŽŶ ŽĨƚŚĞƐƉĂĐĞĐƌĂĨƚŝŶƚŚĞƉƌŽdžŝŵŝƚLJŽĨƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚŝƐŐŽǀĞƌŶĞĚďLJƚŚĞĨŽůůŽǁŝŶŐƐĞƚŽĨĞƋƵĂƚŝŽŶƐ͗  μ μ δ δ δ δ δ δ δ δ μ δ δ δ δ − = − − × − × − × × − + − +∇ + = = − − × − × − × × − + +              ϯ ϯ ϯ ; ͕ Ϳ Ϯ ; Ϳ ; Ϳ Ϯ ; Ϳ ; Ϳ Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś ƐƵŶ Ś Ś Ă Ś ƐĐ Ă Ă Ă ƐĐ Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś ƐƵŶ Ś Ś Ă Ő Ă Ɖ h ŵ ƌ ƌ ƌ & ƌ ƌ ƌ ƌ ɽ ƌ ɽ ƌ ɽ ɽ ƌ ƌ ƌ ƌ ƌ ɽ ƌ ɽ ƌ ɽ ɽ ƌ ƌ ƌ Ă  ;ϭϰͿ ǁŚĞƌĞƚŚĞƐƵƉĞƌƐĐƌŝƉƚŚƌĞĨĞƌƐ ƚŽƚŚĞƉƌŽũĞĐƚŝŽŶ ŽŶƚŽƚŚĞ,ŝůů͛ƐůŽĐĂůĂdžĞƐ͘dŚĞĨŽƌĐĞ ǀĞĐƚŽƌ ;δ Ś͕ ͿŚ ƐĐ Ă & ƌ ƌ ŝƐ ĚĞĨŝŶĞĚ ďĞůŽǁ ŝŶ Ƌ͘;ϭϴͿ͘ dŚĞ ĂĐĐĞůĞƌĂƚŝŽŶ ƌ ͕ ǁŚŝĐŚ ƚŚĞ ĂƐƚĞƌŽŝĚ ŝƐ ƐƵďũĞĐƚĞĚ ƚŽ͕ ŝŶ ƚŚĞ ŝŶĞƌƚŝĂů ĨƌĂŵĞ ŝƐĂ ĚĞĨŝŶĞĚĂƐ͗  μ μ δ δ − = − − + = +   ϯ ϯ ƐƵŶ Ă Ă > Ă Ő > Ă ƌ ƌ ƌ ƌ ƌ Ă ƌ Ă  ;ϭϱͿ − ƌĂ Ő ƌĞƉƌĞƐĞŶƚƐ ƚŚĞ ĚLJŶĂŵŝĐƐ ŽĨ ƚŚĞ ĂƐƚĞƌŽŝĚ ƚƌĂũĞĐƚŽƌLJ ƵŶĚĞƌ ŐƌĂǀŝƚĂƚŝŽŶĂů ĞĨĨĞĐƚƐ ŽŶůLJ͘ dŚĞ ƐĞĐŽŶĚ ĐŽŵƉŽŶĞŶƚŽŶƚŚĞƌŝŐŚƚŚĂŶĚƐŝĚĞŽĨƋ͘;ϭϱͿƌĞƉƌĞƐĞŶƚƐƚŚĞƚƵŐŐŝŶŐĞĨĨĞĐƚĞdžĞƌƚĞĚďLJƚŚĞƐƉĂĐĞĐƌĂĨƚŽŶƚŚĞ ĂƐƚĞƌŽŝĚ͕ĂŶĚĂ>=&> ŵĂŝƐƚŚĞĂĐĐĞůĞƌĂƚŝŽŶĚƵĞƚŽƚŚĞůĂƐĞƌĂďůĂƚŝŽŶƉƌŽĐĞƐƐ;ƐĞĞ^ĞĐƚŝŽŶϮͿ͘EŽƚĞǁĞĚŝĚ ŶŽƚĐŽŶƐŝĚĞƌƚŚĞƐŽůĂƌƌĂĚŝĂƚŝŽŶƉƌĞƐƐƵƌĞĂĐƚŝŶŐŽŶƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚďĞĐĂƵƐĞŝƚƐĂƌĞĂƚŽŵĂƐƐƌĂƚŝŽŝƐĂůŵŽƐƚƚǁŽ ŽƌĚĞƌƐŽĨŵĂŐŶŝƚƵĚĞƐŵĂůůĞƌƚŚĂŶƚŚĞƐƉĂĐĞĐƌĂĨƚŽŶĞ͘dŚŝƐĚŝĨĨĞƌĞŶƚŝĂůĂĐĐĞůĞƌĂƚŝŽŶŝƐǁĞůůǁŝƚŚŝŶƚŚĞƐLJƐƚĞŵ ŶŽŝƐĞǁĞŝŶĐůƵĚĞĚŝŶŽƵƌƐŝŵƵůĂƚŝŽŶƐ͘ dŚĞ ƋƵĂŶƚŝƚLJ ɽ  ŽĨ Ƌ͘ ;ϭϰͿ ŝƐ ƚŚĞ ĂŶŐƵůĂƌ ǀĞůŽĐŝƚLJ ǁŝƚŚ ǁŚŝĐŚ ƚŚĞ ƌĞĨĞƌĞŶĐĞ ĨƌĂŵĞ ƌŽƚĂƚĞƐ͘ /Ŷ ƚŚĞ ůŽĐĂů ƌĞĨĞƌĞŶĐĞĨƌĂŵĞƚŚĞǀĂƌŝĂƚŝŽŶŽĨ ɽ ĐĂŶďĞĚĞƌŝǀĞĚĨƌŽŵ͗  ƌĂŚ×;ɽŚ×ƌĂŚͿ Ϯ+ ƌĂŚ×;ɽŚ×ƌĂŚͿ= ×ƌĂŚ Ă>Ś ;ϭϲͿ

(10)

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(11)

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(12)

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(13)

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(14)

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(15)

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Rotation along xh [deg]

Rotation along zh [deg]

Mω [mN*m] 0 100 200 300 400 0 50 100 150 2000 20 40 60 80

Rotation along xh [deg]

Rotation along zh [deg]

Angle between M ω and ω [deg] 0 100 200 300 400 0 50 100 150 2000 5 10 15

Rotation along xh [deg]

Rotation along zh [deg]

Mω [mN*m] 0 100 200 300 400 0 50 100 150 2000 10 20 30 40

Rotation along xh [deg]

Rotation along z h [deg] Angle between M ω and ω [deg]  &ŝŐƵƌĞ ϲ͘ DĂdžŝŵƵŵ ĂĐŚŝĞǀĂďůĞ ƚŽƌƋƵĞ͗ ĂͿ ŽƉƚŝŵŝnjŝŶŐ ŵĂdžŝŵƵŵ ƚŽƌƋƵĞ Mω ĐͿ ŽƉƚŝŵŝƐŝŶŐ ƌĞƋ͘ ŶŐůĞ ďĞƚǁĞĞŶĐŽŶƚƌŽůƚŽƌƋƵĞĂŶĚƚŚĞĂŶŐƵůĂƌǀĞůŽĐŝƚLJ͗ďͿŽƉƚŝŵŝƐŝŶŐŵĂdžŝŵƵŵƚŽƌƋƵĞMωĚͿŽƉƚŝŵŝƐŝŶŐƌĞƋ͘ &ŝŐƵƌĞϳĂƐŚŽǁƐƚŚĞŵŽĚƵůƵƐŽĨƌĞƋĂŶĚƚŚĞƉŽŝŶƚŽĨĂƉƉůŝĐĂƚŝŽŶŽĨƚŚĞůĂƐĞƌĨŽƌĂƉĂƌƚŝĐƵůĂƌĐŽŶĨŝŐƵƌĂƚŝŽŶŽĨ ƚŚĞĂƐƚĞƌŽŝĚĂƚĂŶŝŶƐƚĂŶƚŽĨƚŝŵĞŝŶǁŚŝĐŚƚŚĞďŽĚLJĂdžĞƐĂƌĞĂůŝŐŶĞĚǁŝƚŚƚŚĞ,ŝůů͛ƐĂdžĞƐĂŶĚƚŚĞĂŶŐƵůĂƌ ǀĞůŽĐŝƚLJ ŝƐ ĂůŝŐŶĞĚ ǁŝƚŚzˆh͘ dŚĞ ĐŽůŽƵƌ ƐĐĂůĞ ŝŶ &ŝŐƵƌĞ ϳď ĐŽƌƌĞƐƉŽŶĚƐ ƚŽ ƚŚĞ ŵĂŐŶŝƚƵĚĞ ŽĨƌĞƋ ĨŽƌ ĞĂĐŚ ůŽĐĂƚŝŽŶŽŶƚŚĞƐƵƌĨĂĐĞŽĨƚŚĞĞůůŝƉƐŽŝĚ͘EĞŐĂƚŝǀĞ ǀĂůƵĞƐƌĞĨĞƌƚŽĂƚŽƌƋƵĞƐŝŶĐƌĞĂƐŝŶŐƚŚĞĂŶŐƵůĂƌǀĞůŽĐŝƚLJ͘ dŚŝƐŝƐĂƚƌŝǀŝĂůĐĂƐĞĨŽƌǁŚŝĐŚŶŽĐŽŶƐƚƌĂŝŶƚŐŝǀĞŶďLJƚŚĞĐŽŶĨŝŐƵƌĂƚŝŽŶĂŶĚƚŚĞǀŝƐŝďŝůŝƚLJĨƌŽŵƚŚĞƐƉĂĐĞĐƌĂĨƚ ŝƐŝŵƉŽƐĞĚ͘dŚĞŵĂdžŝŵĂĂƌĞůŽĐĂůŝƐĞĚĂůŽŶŐƚŚĞĞƋƵĂƚŽƌŽĨƚŚĞĞůůŝƉƐŽŝĚǁŝƚŚĂnjŝŵƵƚŚĂŶŐůĞƐŽĨϭϯϮĂŶĚϯϭϮ ĚĞŐƌĞĞƐ͕ǁŚŝĐŚĚĞƉĞŶĚŽŶƚŚĞǀĂůƵĞŽĨƚŚĞƌĂƚŝŽďĞƚǁĞĞŶĂ ĂŶĚ/ ď ͘/ ĂͿ ďͿ ĐͿ ĚͿ

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