38- ESERCIZIO POMPE CENTRIFUGHE

Giulio Cazzoli

Aprile 2013 v1.2

Si chiede di eettuare il dimensionamento di massima di una pompa centrifuga destinata a trasferire acqua tra due serbatoi, entrambi a pressione ambiente e posti a una quote dierenti. La pompa è trascinata da un motore elettrico alimentato a frequenza di rete.

Sono dati:

Dierenza di quota H = 50 m Portata richiesta Q = 100 m3_/h

Velocità di rotazione n = 2940 r/min

Si procederà nel dimensionamento richiesto secondo i seguenti passi:

• calcolo degli indici caratteristici della macchina e delle sue dimensioni principali • analisi e progetto dei triangoli di velocità

• tracciamento del prolo delle pale • dimensionamento della chiocciola.

Nel seguito faremo sempre riferimento allo schema di gura 1

1 Indice caratteristico

Il primo passo consiste nel calcolare la velocità di rotazione: ω = 2πn

60 =

2 · π · 2940

60 ≈ 307, 876 rad/s ed esprimere la portata (Q) in unità del sistema internazionale:

Q = 100  m 3 h  = 100 1 [m 3_] 3600 [s] ≈ 0.028 m 3_/s

Optando per un dimensionamento che sfrutti macchine simili si calcola il valore dell'indice caratteristico (k): k = ω Q 1 2 (g H)34 quindi: k = 307, 876 0.028 1 2 (9.81 · 50)34 = 0.494 ≈ 0.5

Dalla gura 2 si osserva che la macchina è a usso prevalentemente radiale, adatta quindi a prevalenze medio-elevate e a portate modeste.

2 Rendimenti

2.1 Rendimento totale

Noto l'indice caratteristico e la portata dal graco di gura 3 si ottiente un rendimento pari a:

ηp = 0.78

2.1.1 Potenza assorbita

Con i dati a disposizione la potenza assorbita dalla pompa vale: P = ρgHQ

ηp

= 1000 · 9.81 · 50 · 0.0292

0.78 ≈ 18362.3 W ≈ 18.4 kW

Figura 2: Variazione della tipologia della macchina al variare dell'indice caratteristico

Figura 3: Valori del rendimento al variare dell'indice caratteristico e della portata

2.2 Rendimento volumetrico

Assumeremo un redimento volumetrico (riservandoci una eventuale verica) pari a:

ηv =

Q

Q0 = 0.96

2.2.1 Portata uente

La portata che attraversa eettivamente la pompa vale:

Q0 = Q ηv

= 0.028

0.96 = 0.0292 m

3_/s

Nel seguito useremo Q al posto di Q0 _{per semplicità di scrittura}

2.3 Rendimento idraulico

Assunto ηm = 0.95, il rendimento idraulico si ottiene dal rendimento globale:

ηi =

ηp

ηvηm

= 0.78

0.96 · 0.95 = 0.86

Considereremo un rendimento inferiore (ηi = 0.8) per tener conto delle dimensioni

contenute della macchina.

3 Dimensionamento sezioni

3.1 Sezione di uscita

Dal diagramma di gura 4 si ricavano i due parametri adimensionali Φ e ψ, detti rispetti-vamente numero di portata e numero di prevalenza, correlazioni che deniscono le caratte-ristiche sulla sezione di uscita nelle condizioni di miglior progetto:

Figura 4: Variazione di φ e ψ con l'indice caratteristico

ricordando la denizione di ψ è immediato calcolare la velocità periferica in uscita (u2):

u2 = s gH ψ = r 9.81 · 50 0.54 ≈ 30.14 m/s

Da questo valore dipende la scelta del materiale per la girante; poiché la velocità sop-portata dalla comune ghisa da fusione si aggira attorno ai 40 m/s, si può senza esitazione scegliere questo tipo di materiale.

Nota la velocità periferica e la velocità di rotazione, è immediato il calcolo del diametro della sezione di uscita d2:

u2 = ω d2 2 =⇒ d2 = 2 u2 ω quindi: d2 = 2 · 30.14 307.876 = 0.196 m ≈ 0.2 m

senza commettere signicativi errori approssimiamo il diametro1 _{ad un valore comodo.}

Il numero di portata letto dal diagramma vale: Φ = 0, 123

ricordando la denizione di Φ si calcola la velocità media di portata nella sezione mediana di uscita cm2:

cm2= Φu2 = 0, 123 · 30, 14 ≈ 3.71 m/s

3.2 Sezione ingresso

Si sceglie di dimensionare la sezione di ingresso in modo da minimizzare le perdite uidodi-namiche.

1_{Nel caso di una macchina a usso misto (k > 1) il valore di d}

Scegliamo un rapporto tra i diametri sulla sezione di ingresso ν elevato per l'elevato momento torcente da trasmettere:

ν = dh do

= 0.4 quindi il coeciente di portata in ingresso vale:

Φi = r 1 − ν2 2 = r 1 − 0, 42 2 = 0, 65 e il diametro esterno: do = 2 3 s Q πΦiω (1 − ν2) = 23 s 0, 0292 π0, 65 · 307, 876 · (1 − 0, 42₎ ≈ 0, 0762 m e quello di ingresso dh = νdo = 0, 4 · 0, 0762 ≈ 0, 0305 m

Assumiamo inoltre il diametro meridiano come la media dei diametri appena trovati:

d1 =

dh+ do

2 ≈ 0, 0534 m

3.3 Mozzo

Per denire completamente la struttura della zona di imbocco è opportuno denire il dia-metro del mozzo. Dimensioneremo quindi l'albero a torsione, per semplicità non dimensio-neremo il collegamento albero mozzo e supporremo che il diametro dell'albero e del mozzo coincidano.

Nota la potenza assorbita e la velocità di rotazione, la coppia motrice vale:

Mt=

P ω =

18362.3

307.876 = 59.64 Nm

Per precauzione e per sicurezza si assume, per il dimensionamento, un valore superiore di momento torcente:

M_t0 = (1 + c)Mt= 1.2 · 59.4 ≈ 72 Nm

Costruiamo l'albero in acciaio tipizzato da bonica 36CrNiMo4 UNI EN 10083-1 con carico massimo Rm = 930 N/mm2 e carico di snervamento Re = 765 N/mm2. Assumendo

come coeciente di sicurezza cs = 12, la tensione ammissibile vale:

τamm = Re cs √ 3 = 765 15√3 ≈ 36.8 MPa

Nota la tensione ammissibile del materiale pari a τamm = 44 MPa, si ricava il diametro

minimo da fornire all'albero:

d =r 16M3 t πτamm = 3 r 16 · 72 · 1000 π36.8 ≈ 21.52 mm ≈ 22 mm

Figura 5: Triangoli di velocità alle sezioni di ingresso e uscita di una pala

4 Analisi e progetto dei triangoli di velocità

4.1 Triangolo in ingresso

Assumendo la condizione di massimo lavoro utile, il usso in ingresso deve essere ortogonale alla velocità di trascinamento (che si suppone normale al piano di sezione):

α1 = 90◦

pertanto la componente della velocità assoluta lungo la velocità di trascinamento è nulla: cu1= 0 m/s

La componente ortogonale della velocità assoluta nella sezione 1 si calcola mediante la conservazione della portata:

cm1= Q π 4 (d 2 o− d2h) = _π 0.0292 4(0.0762 2_{− 0.0534}2₎ = 7.62 m/s

Il modulo della velocità assoluta sulla sezione 1 vale pertanto: c1 =

q c2

m1+ c2u1= cm1 = 7.62 m/s

Nota la velocità di trascinamento: u1 = ω

d1

2 = 307.876

0.0534

2 = 8.22 m/s

Dall'analisi geometrica del triangolo di velocità (gura 13), si ricava il modulo della velocità relativa w1 :

e il suo angolo di inclinazione β0 1: β₁0 = arctanc1sin α1 u1 = arctan7.62 sin 90 8.22 = 42.83 ◦

4.2 Triangolo nella sezione di uscita

Per il triangolo nella sezione di uscita si osserva che devono valere due condizioni contempo-raneamente:

1. il lavoro secondo Eulero deve essere uguale alla prevalenza teorica richiesta dalla macchina

2. la componente radiale della velocità assoluta deve garantire lo smaltimento della por-tata

Le due condizioni portano a scrivere, ricordando il valore assunto per il rendimento idrau-lico, per il coeciente di portata e di lavoro e per la velocità tangenziale precedentemente calcolata: cu2 = u2ψ ηi = 30.14 · 0.54 0.8 ≈ 20.34 m/s e cm2 = Φu2 = 30.14 · 0.123 ≈ 3.71 m/s

Pertanto il modulo della velocità assoluta vale: c2 = q c2 m2+ c2u2 = √ 20.342_{+ 3.71}2 _{= 20.68 m/s}

Dalle denizioni delle due componenti della velocità assoluta: cm2= c2sin α2 cu2= c2cos α2

dividendo membro a membro le due relazioni, si ottiene:

α2 = arctan  cm2 cu2  = arctan 3.71 20.34  ≈ 10.34◦

La chiusura del triangolo di velocità è ora immediata. Con riferimento alla gura 13 si ha: w2 = q c2 2 + u22− 2u2c2cos α2 sostituendo w2 = √ 20.682_{+ 30.14}2_{− 2 · 20.68 · 30.14 · cos 10.34 ≈ 10.47 m/s}

e per l'angolo di uscita

β₂0 = arctan  c2sin α2 u2 − c2cos α2  = arctan  3.71 30.14 − 20.34  ≈ 20.73◦

Figura 6: Deviazione della velocità re-lativa al variare del numero di pale e dell'angolo costruttivo di uscita (secondo Ventrone)

Figura 7: Distorsione dei triangoli di velo-cità dovuta alla dierenza tra l'angolo di uscita della velocità relativa e quello della pala

4.3 Numero di pale

Scegliamo il numero di pale utilizzzando la formula proposta da R. Bettocchi in Turbomac-chine:

Z = 2 k rg e sin β

0 m

Approssimando il raggio baricentrico con la media dei raggi di uscita e ingresso:

rG = 1 2  d2 2 + d1 2  = 1 2  0.2 2 + 0.0534 2  = 0.063 m La lunghezza dell'arco ¯12con la dierenza tra gli stessi raggi

e = d2 2 − d1 2 = 0.2 2 − 0, 0534 2 = 0.073 m inne: βm = β01 + β02 2 = 42.83 + 20.73 2 = 31.78 ◦ si ottiene: Z = 2 · 6.50.063 0.073sin 31.78 = 5.9 =⇒ Z = 6

4.4 Eetto della deviazione

L'angolo di uscita eettivo della corrente uida risulta minore di quello costruttivo per eetto della inerzia del uido. Per tanto per rispettare β0

2sarà necessario realizzare un angolo

costruttivo β0

2,∞ maggiore (vedi gura 7).

Il rapporto tra l'angolo di usso e quello costruttivo è denito difetto di deviazione. Ventrone propone, per denire il difetto di deviazione, l'uso del diagramma di gura 6, in

cui viene riportato il rapporto ∆c2,u/u in funzione del numero di pale (Z) e dell'angolo di uscita costruttivo (β0 2,∞). Essendo: β_2,∞0 = 30◦ Z = 6 =⇒ ∆c2,u u2 = 0.23 e β_2,∞0 = 40◦ Z = 6 =⇒ ∆c2,u u2 = 0.26 assumiamo ∆c2,u u2 = 0.245 quindi: Ψ∞= ψ ηi +∆c2,u u2 = 0.54 0.8 + 0.245 = 0.92 pertanto (con riferimento alla gura 7):

β_2,∞0 = arctan  w2sin β20 u2(1 − Ψ∞)  = arctan 10.47 · sin 20.73 30.14 (1 − 0.905)  ≈ 56.95◦

Nella pratica costruttiva si preferisce avere un angolo costruttivo di uscita basso per ridurre gli eetti di deviazione della vena.

Ricalcolando il numero di pale con l'angolo β0 2,∞:

Z = 2 · 6.50.063 0.073sin

42.83 + 52.3

2 = 8.28

viene richiesto un numero superiore di pale, ma dal graco di gura 14 si nota, come a parità di angolo costruttivo, aumentando il numero di pale il difetto di deviazione cala,

Scegliamo dunque un numero di pale pari a Z = 8 si ha: β_2,∞0 = 30◦ Z = 8 =⇒ ∆c2,u u2 = 0.18 quindi: Ψ∞= ψ ηi +∆c2,u u2 = 0.54 0.8 + 0.18 = 0.855 pertanto β_2,∞0 = arctan 10.47 · sin 20.73 30.14 (1 − 0.855)  = 40.3◦ Ricalcolando il numero di pale

Z = 2 · 6.50.063 0.073sin

42.83 + 40.3

2 = 7.44 ≈ 8 giusticando la scelta di 8 pale.

5 Denizione della larghezza delle sezioni di passaggio

La larghezza di una generica sezione si ricava dalla conservazione della portata:

b = Q ζπdcm

avendo indicato con ζ il coeciente di ingombro delle pale (ζ).

Sia ζ che b dipendono dall'angolo β0_{, quindi avendo denito i triangoli di velocità è}

possibile rieseguire il calcolo degli stessi.

Nel calcolo del coeciente di ingombro, quindi della sezione di passaggio, assumeremo che le pale siano realizzate (per semplicità costruttiva) a spessore s costante pari a:

s = 5.0 mm

5.1 Sezione di ingresso

Nella sezione di ingresso lo spessore misurato in direzione circonferenziale vale

s0 = s sin β0

1

= 5

sin 42.83 ≈ 7.35 mm Il coeciente di ingombro dunque diventa:

ζ1 = πd1 Z − s 0 πd1 Z = 1 − 0.00735_π0.0534 8 = 0.65 e la larghezza del condotto palare:

b1 = Q ζ1πd1cm1 = 0.0292 0.65 · π · 0.0534 · 7.62 ≈ 0.035 m = 35 mm

5.2 Sezione di ingresso

Per la sezione di uscita considerando l'angolo costruttivo β0 2,∞:

s0₂ = s sin β_2,∞0 =

5

sin 38.4 ≈ 8.05 mm Il coeciente di ingombro dunque diventa:

ζ2 = πd2 Z − s 0 2 πd2 Z = 1 − 0.00805_π0.2 8 ≈ 0.996 La larghezza del condotto palare in uscita:

b1 =

0.0292

Figura 8: Metodo di tracciamento delle pale in ipotesi di singola curvatura ad arco di cerchio

6 Disegno delle pale

Si procede ora ad illustrare un metodo semplice di tracciamento del prolo delle pale, usato spesso per macchine a basso indice caratteristico [13].

• Si assume che la pala sia a singola curvatura, in particolare conformata ad archi di cerchio.

• Con riferimento alla gura 8, si considerino le due circonferenze relative alle sezioni di ingresso e uscita della girante in vista frontale.

• Dal punto A, scelto sulla circonferenza di raggio r2 = d2/2, siano tracciate due semirette

inclinate rispetto ad AO di β0 1 e β

0

2c rispettivamente.

• Si individui il punto B sulla semiretta inclinata di β0

2c, in modo che AB = r1.

• Si unisca dunque il punto B con il centro di rotazione O, così da identicare il punto T.

• Il punto C è ora identicato dall'intersezione della retta tangente la circonferenza di raggio r1 in T con la semiretta inclinata di β10.

• Il punto C è il centro di curvatura della pala, che si ottiene quindi tracciando un arco di cerchio centrato in C da A no all'intersezione con la circonferenza di raggio r1,

7 Disegno della chiocciola

Come ultimo punto si procede ora al dimensionamento di massima della chiocciola. Si sup-pone per semplicità che abbia uno sviluppo angolare di 360◦ _{e che abbia sezione circolare (o}

che abbia un'area equivalente a quella circolare calcolata). Un criterio semplice di dimensio-namento prevede che ogni 90 si raddoppi la sezione di passaggio per il uido. Si ritiene inoltre che nei primi 90◦ _{di chiocciola il usso venga deviato in direzione dell'asse del condotto, senza}

rallentamenti; in questa zona inoltre la sezione passa da rettangolare a circolare. Si ssa una distanza tra chiocciola e sezione di uscita della girante di circa 5 mm, ricavata dalla pratica costruttiva. La prima sezione che si prende in considerazione è quindi quella contrassegnata con il pedice 90 (si veda gura 9). Si potrà scrivere che la portata nella sezione iniziale (90) della chiocciola vale:

Q = πc2r2g,90

da cui si ricava il raggio della sezione iniziale

rg,90= r Q πc2 = r 0.0292 π · 20.68 ≈ 0.0212 ≈ 21 mm

Anché l'area di passaggio raddoppi nei successivi 90◦ _{occorre che il raggio della sezione}

valga: Ag,180 = 2Ag,90⇒ rg,1802 = 2r 2 g,90 ⇒ rg,180 = √ 2rg,90 quindi rg,180 = √ 2 · 21 ≈ 30 mm

Analogamente si possono calcolare i raggi delle sezioni a 270 e 360: rg,270 = √ 2rg,180 = √ 2 · 30 ≈ 43 mm e rg,360 = √ 2rg,270 = √ 2 · 43 ≈ 61 mm

Si ssa inoltre l'angolo di divergenza del condotto di mandata in 10◦ _{per evitare distacchi}

di vena che penalizzerebbero la prevalenza ottenibile dalla macchina.

A Indici caratteristici e Coecienti adimensionali

Mediante la teoria della similitudine idraulica le caratteristiche uidodinamiche delle tur-bomacchine (sia motrici che operatrici) possono essere descritte mediante dei coecienti adimensionali che si sostituiscono ai parametri fondamentali di portata, lavoro e velocità di rotazione, solitamente l'adimensionalizzazione viene eettuata sulla velocità di rotazione e sul diametro esterno della macchina. Le relazioni che legano tra loro i parametri adimensio-nalizzati sono determinabili sperimentalmente e hanno la stessa forma delle curve caratteri-stiche tradizionali. Inoltre i coecienti di due macchine diverse che onorano il principio di similitudine avranno gli stessi valori.

I principali coecienti usati nella denizione delle turbomacchine operatrici sono: Coeciente di portata (Φ), la portata è proporzionale alla velocità orientata secondo

il usso, quindi al numero di giri (attraverso la velocità periferica) e alla sezione di passaggio, quindi al diametro esterno:

Φ = Q n D3 =

cm

u

Coeciente di prevalenza (ψ) (o di carico o di pressione), l'eetto utile di una turbo-macchina è denibile, nel caso di una turbo-macchina a uido incomprimibile, con la caduta utile nel caso di turbine o la prevalenza nel caso di pompe. A sua volta l'eetto utile, per l'equazione di Eulero, è proporzionale al quadrato di una velocità. Assumendo co-me velocità di riferico-mento la velocità periferica, si lega l'energia specica al nuco-mero di giri ed ad un diametro caratteristico:

ψ = gh n2_D2 =

gh u2

Velocità specica (ωs) identica la capacità della macchina di trattare portate più o meno

grandi in relazione ad un determinato lavoro, senza esprimere dipendenza dal diametro della girante:

ωs= ω

Q12

(gH)34

Spesso la velocità specica viene indicata come indice caratteristico (k), prassi che seguiremo nella applicazione numerica. Manipolando la denizione di indice caratteri-stico, ricordando i parametri adimensionali, deniti sul diametro massimo si ha:

k = Φ 1 2 ψ34 = Φ 1 2 (ηiΨ) 3 4

Altri coecienti di uso comune sono:

Coeciente di lavoro (Ψ), considerando l'eetto utile come generico lavoro specico scam-biato si può denire, analogamente a quanto fatto per ψ:

Ψ = l n2_D2 =

l u2

Per una macchina operatrice, ricordando la denizione di rendimento idraulico, si ha: ψ = ηiΨ

Se si suppone che il rendimento idraulico dipenda solamente dalla forma dei triangoli di velocità e non dal numero di Reynolds, allora i due parametri possono essere usati alternativamente.

Coeciente di potenza (Λ), la potenza (P ) è legata alla portata, al carico e alla densità. Sfruttando i legami delle precedenti cifre si lega la potenza a densità, numero di giri e diametro:

Λ = P ρ n3_D5

Numero di giri specico (ns) concettualmente analogo e derivabile dalla velocità

speci-ca:

ns= n

Q12

(gH)34

Diametro specico (Ds) identica la capacità della macchina di scambiare più o meno

lavoro con il uido in corrispondenza di una determinata portata, indipendentemente dalla velocità angolare:

Ds = D

(gH)14

Q12

I valori degli indici specici riportati in letteratura possono essere anche molto diversi tra loro per l'abitudine di esprimere le grandezze coinvolte con unità di misura fra loro non coerenti, si denisce ad esempio il numero di giri caratteristico (nq) analogamente al

numero di giri specico, esprimendo la velocità di rotazione in giri/minuto anziché in giri/secondo:

nq= n[giri/min]

Q12

(gH)34

in questo caso l'indice risultante non è più adimensionale. Analogamente l'indice non risulta adimensionale se al posto della prevalenza gH si utilizza la vecchia prevalenza H:

nq = n

Q12

(H)34

Il confronto tra macchine appartenenti a famiglie dierenti passa attraverso l'esame di almeno tre parametri adimensionali, usualmente Φ e Ψ e k.

La velocità specica (o il numero di giri) permette, inoltre, di classicare la pompa in base alla direzione del usso (assiale, radiale o misto) (vedi gura 10).

A.1 Legame indice caratteristico e coecienti adimensionali

può essere espresso in funzione dei coecienti di prevalenza ψ e di portata Φ riferiti alla sezione di uscita (2).

Riferendosi alla sezione di uscita la portata, considerando la componente radiale della velocità assoluta (cm2), vale:

Q = πD2b2cm2

ricordando l'espressione del coeciente di portata: Φ = cm2

u2

è possibile scrivere:

Q = ΦπD2b2u2

Sostituendo Q nella espressione di k:

k = ω(ΦπD2b2u2)

1 2

(gH)34

La velocità angolare ω può essere scritta con: ω = 2u2

D2

quindi sostituendo in k e riordinando:

k = 2 (πD2b2) 1 2 D2 u 3 2 2 (gH)34 Φ12 = 2 √ πr b2 D2  u2 2 gH 3₄ Φ12

Inne, ricordando la denizione di coeciente di prevalenza: ψ = gH u2 2 si ottiene: k = 2√πr b2 D2 Φ12 ψ34

In linea di principio esistono innite combinazioni di Φ, ψ, b2/D2 in grado di fornire un

assegnato k. Anni di esperienza hanno consentito il tracciamento di diagrammi statistici che riportano in funzione di k i valori di Φ e ψ delle pompe che hanno mostrato i più alti rendimenti e che conviene, quindi, adottare per il dimensionamento di una macchina.

Figura 10: Variazione della tipologia della macchina al variare dell'indice caratteristico

Figura 11: Valori del rendimento al variare

dell'indice caratteristico e della portata Figura 12: Valori del rendimento idraulico alvariare dell'indice caratteristico

B Rendimento

Il rendimento di una pompa centrifuga si denisce come rapporto tra l'energia realmente fornita al uido in termini di prevalenza e l'energia spesa per alimentare la pompa stessa.

ηp =

gH lf

Al rendimento totale contribuiscono il rendimento idraulico (ηi), che tiene conto delle

perdite energetiche dovute alla uidodinamica, il rendimento meccanico (ηm), che tiene conto

sia delle perdite per attrito degli organi meccanici che di quelle per ventilazione, e di un rendimento volumetrico (ηv), che conteggia le portate di fuga ricircolate.

ηp = ηiηmηv

Il rendimento dipende, quindi, dalla taglia della macchina e dalla prevalenza fornita, è possibile denire un diagramma statistico (che raccoglie i risultati ottenuti da pompe realmente prodotte e ben progettate ) come quello riportato in gura 11 che relaziona il rendimento alla portata e all'indice caratteristico.

B.1 Rendimento volumetrico

Una pompa centrifuga è soggetta a perdite di uido sia verso l'esterno che verso l'interno. Le perdite per tralamento dalle tenute cilindriche (portate di fuga) comportano un ricircolo interno di acqua, quindi ad un aumento della portata da smaltire.

Si denisce rendimento volumetrico ηv il rapporto tra la portata di progetto Q e la portata

che eettivamente attraversa la pompa (Q0_):

ηv =

Q

Q0 = 0.94 ÷ 0.96

B.2 Rendimento idraulico

Il rendimento idraulico dipende oltre che dall'indice caratteristico, quindi dalla architet-tura, anche dal numero di Reynolds e dalla scabrezza delle supercie bagnate, a parità di lavorazione macchine di grande taglia permettono di ottenere una scabrezza relativa inferiore e quindi un rendimento maggiore. In gura 12 è riportato un diagramma (statistico) che lega il rendimento idraulico all'indice caratteristico (e quindi alla architettura della pompa)

C Ottimizzazione della sezione di ingresso

Per denire completamente la geometria della girante sono necessarie delle indicazioni sulla sezione di ingresso.

Indicando con r1e e r1ii raggi, rispettivamente, esterno (alla carcassa) ed interno (al

moz-zo) nella sezione di ingresso e con c1e la velocità assoluta giacente su di un piano meridiano,

la portata sulla sezione di ingresso si calcola con: Q = c1eπ r21e− r

2 1i

Introducendo il coeciente di portata riferito alla sezione di ingresso (Φi), praticamente

indipendente da k e poco variabile da pompa a pompa: Φi =

c1e

u1e

la portata si può esprimere in funzione di Φi con:

Q = Φiu1eπ r21e− r1i2
= Φiu1eπr21e " 1 − r1i r1e 2# denendo: u1e = u2 r1e r2 e sostituendo: Q = Φiu2 r1e r2 πr2_1e " 1 − r1i r1e 2#

Introducendo la portata così calcolata nella espressione dell'indice caratteristico:

k = ω Q

1 2

(gH)34

in maniera analoga a quanto già visto:

k = u2 r2 ( Φiu2 r1e r2 πr_1e2 " 1 − r1i r1e 2#) 1 2 1 (gH)34 riorganizzando: k = u 3 2 2 (gH)34  r_1e r2 3_{2 √} π " 1 − r1i r1e 2# 1 2 Φ 1 2 i inne: k =√π r1e 3₂ 1 − ν2
1 2 Φ 1 2 i

dove si è denito:

ν = r1i r1e

= 0.3 ÷ 0.5

Il rapporto ν varia in un campo molto ristretto di valori, i valori più alti sono caratteri-stici delle pompe multi-stadio in cui l'albero deve resistere a momenti torcenti e essionali maggiori.

Noto il coeciente Φi si può risalire ai raggi sezione di ingresso:

Φi = c1e u1e = Q πr2 1e(1 − ν2) 1 ωr1e

quindi il raggio esterno varrà:

r1e = 3 s Q πΦiω (1 − ν2) e quello interno: r1i = νr1e

Altrimenti noti ν e Φi si può ottenere direttamente il rapporto:

r1e r2 = √₃1 π  k 1 − ν2 2₃ ψ34 Φ 1 2 i

C.1 Ottimizzazione per riduzione degli urti

Consideriamo una girante che non abbia problemi di cavitazione e cerchiamo, assegnato il dia-metro D1i, il valore del diametro D1eche renda minima la velocità relativa media di ingresso

al ne di limitare, insieme alla energia cinetica, le perdite per urto che si manifesteranno in condizioni di funzionamento fuori progetto.

Supponiamo che la girante sia a usso misto radioassiale e che il prolo di velocità c1

giacente sul piano meridiano sia uniforme.

La portata sulla corona circolare di ingresso si esprime con: Q = π(r2_1e− r2

i1)c1

Il massimo valore di velocità relativa (essendo c1 costante) si ha in coincidenza con l'apice

della palettatura, limitare questa velocità signica limitare anche tutte quelle no al mozzo. Quindi riscriveremo la portata in funzione della w1e:

Q = π(r_1e2 − r2 i1)

q w2

1− ω2r21e

massimizzare la portata in funzione del raggio esterno, porta a minimizzare la velocità relativa nel caso in cui la portata sia costante:

dQ dr1e

= 0 =⇒ min w1e

semplicando: 2 w2₁− ω2_r2 1e
= ω 2_(r2 1e− r 2 i1)

il termine tra parentesi al primo membro è c2

1 e ricordando la denizione di ν: 2c2₁ = ω2r2_1e(1 − ν2) = u2_1e(1 − ν2) ed inne: Φi,u = r 1 − ν2 2

C.2 Ottimizzazione per riduzione del rischio di cavitazione

La minima pressione statica che si può avere sulla faccia in depressione della pala dipende dal prolo della pala stessa, comunque può essere correlata alla pressione statica (p1) e alla

velocità relativa (w1) in prossimità del bordo di ingresso, il punto più a rischio della sezione

sarà in corrispondenza del raggio esterno:

pmin = p1− λmρ

w2 1e

2

dove ρ è la densità del uido e λm = 0.2 ÷ 0.4, o alternativamente esprimendo la pressione

statica per mezzo della pressione totale:

pmin = p1,t − ρ c2 1 2 − λmρ w2 1e 2

La cavitazione si quando la pressione scende sotto il valore della pressione di vaporizza-zione (pv). Si denisce l'indice di incipiente cavitazione (NPSH) come:

NPSH = p1,t− pv ρ = c2 1 2 + λm w2 1e 2

Siccome NPSH ha le dimensioni di una energia specica è lecito introdurre l'indice carat-teristico di cavitazione (kc), come rapporto tra la portata di progetto (Q) e il valore di minimo

di NPSH che garantisce la non cavitazione (questo valore sarà oggetto della minimizzazione):

kc = ω Q12 (NPSH)34 Ricordando che: Q = Φiu1eπr1e2 1 − ν 2
e Φi = c1 u1e

L'espressione di kc può essere riscritta:

k2_c = ω 2_Φ iu1eπr21e(1 − ν2) _c2 1 2 + λm w2 1e 2 3₂ = Φiu1eπu21e(1 − ν2) (u2 1) 3 2 h 1 2 _c2 1 u2 1e + λm c2 1−u21e u2 1e i3₂ = πΦi(1 − ν2) ₁ 2[Φ 2 i + λm(Φ2i − 1)] 3₂

Figura 13: Triangoli di velocità alle sezioni di ingresso e uscita di una pala. Si noti come gli angoli β0 _{siano deniti in modo da essere sempre minori}

di π/2 Riordinando: k2_c = πΦi(1 − ν 2₎ ₁ 2[(1 + λm) Φ 2 i − λm] 3₂

Per ottenere il valore del coeciente di portata che permette di ottenere il massimo kc è

suciente derivare e risolere a zero:

∂k2_c ∂Φi

= 0 Con molti passaggi algebrici si ottiene:

Φi,c =



λm

2 (1 + λm)

1/2

Il valore massimo di kc vale dunque:

kc≈ s 3.42 (1 − ν2₎ λm √ 1 + λm e NPSH = 3 4λmu 2 1e

D Denizione dei triangoli di velocità

D.1 Triangolo in ingresso

pertanto la componente della velocità assoluta lungo la velocità di trascinamento è nulla: cu1= 0 m/s

La componente ortogonale della velocità assoluta nella sezione 1 si calcola mediante la conservazione della portata

Q = c1sin α1 π 4 d 2 o− d 2 h
= cm1 π 4 d 2 o− d 2 h
Assumendo la velocità costante su tutta la sezione

cm1 = Q π 4(d 2 o − d2h)

Il modulo della velocità assoluta sulla sezione 1 vale pertanto:

c1 =

q c2

m1+ c2u1= cm1

La velocità di trascinamento nella sezione meridiana vale: u1 = ω

d1

2

Il modulo il modulo della velocità relativa si ricava mediante il teorema di Carnot: w1 :

w1 =

q

c2₁+ u2₁− 2u1c1cos α1 =

q

c2₁+ u2₁ e il suo angolo di inclinazione β0

1:

β₁0 = arctanc1sin α1 u1

D.2 Triangolo in uscita

Per il triangolo nella sezione di uscita si osserva che devono valere due condizioni contempo-raneamente:

1. il lavoro secondo Eulero deve essere uguale alla prevalenza teorica richiesta dalla macchina

2. la componente radiale della velocità assoluta deve garantire lo smaltimento della por-tata

Ricordando l'espressione del lavoro secondo Eulero

l = c2u2cos α2− c1u1cos α1 = l =

gH ηi

e la denizione di rendimento idraulico:

l = gH η

essendo α1 = 90◦ ed introducendo ψ sarà dunque: c2cos α2 = gH u2ηi = u2ψ ηi

Pertanto la condizione 1 permette di calcolare la componente tangenziale della velocità assoluta in uscita: cu2 = gH u2ηi = u2ψ ηi

La condizione 2 denisce immediatamente, sotto l'ipotesi che la velocità sulla sezione di uscita sia uniforme, la componente ortogonale dalla denizione del coeciente Φ:

c2sin α2 = cm2= Φu2

Note le componenti, il modulo della velocità assoluta vale: c2 =

q c2

m2+ c2u2

e la tangente dell'angolo di uscita: tan α2 = cm2 cu2 = u2Φ u2ψ/ηi = Φ Ψ quindi: α2 = arctan  cm2 cu2  = arctan Φ Ψ 

La chiusura del triangolo di velocità è ora immediata. Con riferimento alla gura 13, la componente ortogonale della velocità assoluta deve garantire lo smaltimento della portata:

wm2 = cm2= c2sin α2

mentre per la componente tangenziale si ha

wu2 = u2− cu2= u2− c2cos α2

e per l'angolo di uscita

β₂0 = arctan wm2 wu2



D.3 Eetto della deviazione

L'angolo β0

2, detto angolo di usso, viene denito nella ipotesi di assenza di deviazione della

vena uida, assenza che si ha solo nel caso di innite pale.

Nel caso reale (quindi con numero di pale nito), se l'angolo costruttivo di uscita viene scelto pari al valore β0

2, l'angolo di uscita eettivo della corrente uida risulterebbe minore

per eetto della inerzia del uido. Quindi per far si che il uido abbandoni la girante con un angolo eettivamente pari al desiderato β0

2 sarà necessario realizzare un angolo costruttivo

β_2,∞0 maggiore.

Il rapporto tra il lavoro ottenuto con un numero nito di pale e quello ottenuto nel caso innito (da cui il pedice ∞) viene indicato con il nome di fattore di scorrimento (µ):

Figura 14: Deviazione della velocità re-lativa al variare del numero di pale e dell'angolo costruttivo di uscita (da [6])

Figura 15: Distorsione dei triangoli di ve-locità dovuta alla dierenza tra l'angolo di uscita della velocità relativa e quello della pala

Osservando che l'espressione del lavoro secondo Eulero, sotto l'ipotesi α1 = 90◦, per

il caso con numero di pale innito (pedice ∞) si può scrivere in funzione dei coecienti adimensionali Ψ e Φ: l∞= Ψ∞u2₂ = u2₂  1 − c2sin α2 u2tan β2,∞0  = u2₂  1 − Φ tan β0 2,∞ 

Risolvendo rispetto ai coecienti adimensionali si ha:

Ψ∞ = 1 −

Φ tan β0

2,∞

L'espressione appena calcolata deve valere anche nel caso di angolo di uscita β0 2, cioè

Ψ = 1 − Φ tan β0

2

Usando la denizione di slip factor si ha:

µ = Ψ Ψ∞ = 1 − Φ cotan β 0 2 1 − Φ cotan β_2,∞0 sostituendo e risolvendo: cotan β₂0 = µ cotan β_2,∞0 + 1 − µ Φ

Diversi autori hanno proposto metodi teorici od empirici per denire µ. I risultati di Bu-semann sono stati sintetizzati da Ventrone nel diagramma di gura 14, in cui viene riportato il rapporto ∆c2,u/u in funzione del numero di pale (Z) e dell'angolo di uscita costruttivo

(β0

2,∞), valido per rapporto tra i diametri di uscita ed ingresso pari a:

r2

≥ exp 2πsin β0 

Con riferimento alla gura 15 si può scrivere: Ψ2,∞= 1 + ∆c2,u u2 − Φ cotan β₂0 quindi: µ = 1 − Φ cotan β 0 2 1 + ∆c2,u u2 − Φ cotan β 0 2 = Ψ Ψ + ∆c2,u u2

e per semplice confronto

Ψ∞= Ψ + ∆c2,u u2 ricordando che: Ψ = ψ ηi

Inoltre si può scrivere:

Ψ∞= 1 −

w2,∞cos β2,∞0

u2

=⇒ w2,∞cos β2,∞0 = u2(1 − Ψ∞)

deve poi essere:

w2,∞sin β2,∞0 = w2sin β20 quindi: β_2,∞0 = arctan _w 2sin β2,∞0 w2cos β2,∞0  = arctan  w2sin β20 u2(1 − Ψ∞) 

Se il valore dell'angolo costruttivo risulta troppo elevato rispetto alla pratica costruttiva, in cui si preferisce avere velocità relative di uscita più inclinate e ridurre l'angolo di deviazione stesso. Per ottenere questo risultato si può scegliere di modicare il diametro di uscita così da aumentare la velocità di trascinamento u2 a pari componente radiale della velocità assoluta.

E Numero di pale

Stimando ora il numero e lo spessore delle pale, si può ricavare il passo palare e il coeciente di ingombro delle pale stesse, nonché la larghezza del condotto nella sezione 1.

La scelta del numero delle pale si eettua in maniera molto semplicata utilizzando una formula proposta in Turbomacchine, R. Bettocchi (che riprende la formula proposta da Pfeilderer): Z = 2 k rg e sin β 0 m dove

• rG è il raggio baricentrico della girante,

• e la lunghezza dell'arco ingressouscita ¯12, • β0

I parametri sopraelencati dipendono in maniera ciclica dal progetto della girante, quindi dal numero di pale. In prima approssimazione si sceglie:

• il raggio baricentrico con la media dei raggi di uscita e ingresso, rG = 1 2  d2 2 + d1 2 

• la lunghezza dell'arco ¯12con la dierenza tra gli stessi raggi e = d2

2 − d1

2 • nel calcolo della deviazione media β0

m si usa l'angolo uidodinamico β20, eseguendo

un'eventuale verica successiva:

β_m0 = β 0 1+ β 0 2 2

Il numero di pale viene ssato al valore dell'intero superiore. La pratica progettuale prevede un numero di pale compreso tra 5 e 7 (caso a parte sono le pompe Solid Handling usate in edilizia, che solitamente non hanno più di 3 pale)

E.1 Coeciente di ingombro palare

Assumendo (per semplicità costruttiva) che le pale siano caratterizzate da uno spessore uniforme s, poiché la pala all'imbocco è tangente alla velocità relativa w, lo spessore misurato in direzione circonferenziale vale

s0 = s sin β0

Il coeciente di ingombro dunque diventa:

ζ = πd Z − s 0 πd Z = 1 − s 0_Z πd

La larghezza del condotto palare, imponendo la conservazione della portata volumetrica, risulta:

Q = ζπdbcm =⇒ b =

Q ζπdcm

F Progetto dell'albero

Per semplicità considereremo l'albero come trave a sezione circolare costante soggetta al solo carico torsionale. Considereremo la girante montata a sbalzo sull'albero. Trascureremo gli eetti di spallamenti, sedi per organi di trasmissione e quant'altro, inne non eettueremo nessuna verica a fatica.

Nota la prevalenza da fornire, la portata uente e il rendimento globale della pompa, la potenza che l'albero deve trasmettere vale:

Ricordando che:

Palb= Mtω

il momento torcente varrà:

Mt=

P ω =

ρgHQ ηpω

Per premunirsi contro i sovraccarichi durante i transitori (in special modo di avviamento), si può aumentare il valore del momento torcente applicando un coeciente di sicurezza c:

Mt= (1 + c) Mt=

ρgHQ ηpω

con c = 0.15 ÷ 0.20.

Dalla Scienza delle Costruzioni si ha che la tensione tangenziale in una trave a sezione costante soggetta a momento torcente vale

τ = Mt/Wp

essendo Wp il modulo di resistenza polare, che per una sezione circolare di diametro d vale:

Wp =

πd3

16

Indicando con τamm la massima tensione tangenziale ammissibile (per evitare non solo la

rottura, ma anche lo snervamento), la condizione di progetto sarà: τ ≤ τamm

Assumendo la condizione limite, il diametro dell'albero si calcola, dunque, con:

d =r 16M3 t

πτamm

Per denire τamm, osserviamo che indicando con Rsil carico di snervamento del materiale

scelto per l'albero (minore o al più coincidente con il carico massimo Rm), ottenuto da una

prova di trazione monoassiale, si ha:

σs = Re

quindi supponendo un carico di torsione pura, la tensione tangenziale massima (secondo il metodo delle tensioni ammissibile, criterio di Von Mises) vale:

τs =

σs

√ 3

Introducendo il coecente di sicurezza cs, si denisce la tensione ammissibile, in trazione:

σamm =

Re

cs,σ

e la tensione di tangenziale ammissibile: τamm =

σs

cs,τ

√ 3

G Misura di un punto su di un diagramma doppio

loga-ritmico

Se entrambe le scale sono logaritmiche, per ottenere il valore di un punto intermedio si deve misurare la distanza ∆x tra due tacche note di valori vinf e vsup. Quindi, detto v il

valore ricercato, posto ad una distanza δx dalla tacca vinf sarà (i logaritmi sono decimali):

log(vsup) − log(vinf) : ∆x = log(v) − log(vinf) : δx

quindi:

log(v) = log vsup vinf  δx ∆x+ log(vinf) e: log(v) = log " vinf  vsup vinf _∆xδx# inne v = vinf  vsup vinf _∆xδx