Appendice A3
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APPENDICE A3
GIUNTO A DOPPIA SOVRAPPOSIZIONE BILANCIATO SOLLECITATO A SFORZO NORMALE:
LEGAME DI INTERFACCIA ELASTICO LINEARE
A3.1 Il legame di interfaccia elastico-lineare
Come caso particolare del problema presentato nel §3. del Capitolo I, si e-samina l’ipotesi di un legame di interfaccia τ(s) indefinitamente elastico lineare (Fig.A3.1).
arctg II
s
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Seguendo lo stesso approccio ivi indicato e riferendosi alla figura A3.2, dov’è rappresentato lo schema ausiliario al quale è possibile ricondursi, l’equazione di equilibrio di tale schema può essere scritta nel modo seguente:
L/2-z T y z z O tp p b L/2 dz T+dT T y x y z ta a) b) (2) (1) s= w - w t p
Figura A3.2 – a) Schema ausiliario con sistema di riferimento; b) Tronco elementare. 2 1II 2 d s ω s 0 dz − = , (A3.1) essendo: II p 2 1II p p 2 α b ω = E A . (A3.2)
Dalla (A3.2) si ha riconferma della circostanza che le molle dello schema ausiliario hanno rigidezza doppia di quella dello strato di adesivo del giunto in esame.
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L’integrale generale dell’equazione differenziale (A3.1) è del tipo:
( )
(
1II)
(
1II)
s z =A cosh ω z +B senh ω z , (A3.3)
essendo A e B due costanti arbitrarie da determinarsi con le competenti condi-zioni al contorno.
Queste ultime, entrambe di tipo statico, assumono l’aspetto seguente:
p p z 0 ds E A T dz = = , (A3.4a) p p L z 2 ds E A 0 dz =− = . (A3.4b)
Attraverso semplici passaggi si ottiene:
( )
1II p p 1II 1II L cosh ω z 2 T s z . L E A ω senh ω 2 ⎡ ⎛ + ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (A3.5)E’ agevole verificare che la derivata prima della funzione s(z) vale:
1II p p 1II L senh ω z 2 ds T , L dz A E senh ω 2 ⎡ ⎛ + ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (A3.6)
ed inoltre che tale derivata soddisfa la disuguaglianza :
ds L > 0 in ,0 . dz 2 ⎡− ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (A3.7)
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La (A3.7) implica che gli spostamenti s, e quindi le reazioni, τ, delle molle si smorzano con legge esponenziale dall’estremità caricata dello schema ausilia-rio verso l’altro estremo.
Passando dallo schema ausiliario al giunto a doppia sovrapposizione bilan-ciato, al quale lo schema ausiliario corrisponde, il comportamento sopra eviden-ziato si manifesterà ovviamente ad entrambe le estremità del giunto e lo smor-zamento avverrà verso l’interno di quest’ultimo.
arctg II
s
u uFigura A3.3 – Legame di interfaccia.
Infine, se si suppone che il legame di interfaccia non sia indefinitamente ela-stico lineare ma, pur se lineare, sia caratterizzato (Fig. A3.3) da un valore mas-simo dello spostamento relativo, su, attinto il quale la reazione dell’adesivo si annulla, è possibile individuare un valore ultimo, T , dello sforzo normale sop-u portabile dal giunto. Quest’ultimo può agevolmente determinarsi imponendo il soddisfacimento della condizione s 0
( )
=su:1II u p p 1II u 1II L senh ω 2 T E A ω s L cosh ω 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (A3.8)
