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bbb012bba EsamediSistemiaEventiDiscreti-25.09.2013Studente:

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(1)

Esame di Sistemi a Eventi Discreti - 25.09.2013

Studente:

Esercizio 1

Si consideri l’automa a stati stocastico il cui grafo di transizione `e rappresentato in figura.

b

b b

0 1

2

b b

a

E’ noto che le durate di vita dell’evento a seguono la densit`a di probabilit`a triangolare

f a (x) =

 

 

2

15 (x − 2) se 2 ≤ x ≤ 5

2

5 − 1 5 (x − 5) se 5 < x ≤ 7

0 altrimenti,

le durate di vita dell’evento b sono costanti e pari a V b = 3, e infine p(1|1, b) = p(1|2, b) = 3/4.

1. Calcolare la probabilit`a P (X 2 = 2|X 0 = 0).

2. Calcolare il tempo medio di soggiorno nello stato X = 1.

Suggerimento. Si ricordi che, per |x| < 1, risulta P

k=0 x k = 1−x 1 e P

k=1 kx k = (1−x) x

2

. Esercizio 2

Un’officina per la produzione di componenti per auto `e costituita da una stazione di lavorazione (L) con servente singolo, il cui tempo di servizio segue una distribuzione esponenziale con tasso µ L . Al momento di entrare nel sistema, ciascun pezzo grezzo viene montato su un pallet in una stazione di carico e scarico (C/S) monoservente. Il pezzo viene quindi trasportato alla stazione L, dove viene lavorato secondo una disciplina First-Come First-Served (FCFS). Dopo la lavorazione, il pezzo torna alla stazione C/S, dove viene smontato dal pallet secondo una disciplina FCFS.

Sul pallet viene immediatamente montato un nuovo pezzo grezzo. Si assume che i tempi per il trasporto dei pezzi siano trascurabili. Si assume inoltre che il tempo di operazione della stazione C/S `e anch’esso distribuito esponenzialmente con tasso µ C/S = 10 pezzi/ora. Il numero di pallet nel sistema `e N = 3.

1. Quanto deve valere µ L affinch´e il sistema a regime produca mediamente 6 pezzi/ora?

(2)

Esercizio 3

Il modello di Moran descrive la dinamica di una popolazione di cellule di due tipi A e a, che `e mantenuta a un numero costante N . A ciascun passo, viene selezionata una cellula a caso (scelta del tipo) e aggiunta una cellula dello stesso tipo. Subito dopo, viene nuovamente selezionata a caso una cellula e rimossa. Si assuma N = 6. Si assuma, inoltre, che inizialmente la popolazione sia composta da un uguale numero di cellule dei due tipi.

1. Modellizzare la dinamica della popolazione mediante una catena di Markov omogenea a tempo discreto.

2. Calcolare la probabilit`a di avere due cellule di tipo A dopo cinque passi.

3. Calcolare la probabilit`a che la popolazione di tipo a si estingua.

4. Calcolare il tempo medio perch´e una delle due popolazioni si estingua.

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