Fisica Generale T2 - Prof. Mauro Villa
CdL in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni 10 Giugno 2019
Scritto - Elettromagnetismo
Esercizi:
1) Una sfera conduttrice di raggio ! possiede una carica
! ed è circondata da un involucro sferico di dielettrico non omogeneo di raggio interno R1 e raggio esterno
! . La costante dielettrica relativa dell’involucro varia con la distanza dal centro della sfera secondo la legge !
con ! . Calcolare:
a) il campo elettrostatico E(r) in tutto lo spazio;
b) l’energia elettrostatica del sistema;
c) la densità di carica di polarizzazione, verificando che la carica totale di polarizzazione è nulla.
2) Una sbarra orizzontale di lunghezza ! , sezione
! , densità ! , resistività
! , può scivolare senza attrito su due guide parallele, separate dalla distanza b e inclinate di un angolo
! rispetto al piano orizzontale. Le due guide, di resistenza trascurabile, sono collegate ad un generatore di f.e.m. ! . Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme ! diretto secondo la verticale. Calcolare:
a) il valore della ! affinché la sbarra rimanga ferma;
b) la velocità limite v0 con cui la sbarra scende se il generatore viene sostituito da un corto circuito;
c) la potenza dissipata nella sbarra quando essa scende con velocità v0.
Domande:
1) Spiegare la differenza tra materiale diamagnetici e paramagnetici.
2) Spiegare la legge di continuità della carica.
3) Spiegare il principio di sovrapposizione per il potenziale elettrico.
Avvertenze: non è consentito consultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accesi o spenti. Le risposte e le soluzioni devono essere espresse in termini dei simboli e dei dati specificati nel testo. Negli esercizi occorre spiegare i passi principali che conducono alle soluzioni.
Nel caso servano, si usino i valori ! e ! .
R1= 1 cm q = 6 ⋅ 10−8C
R2= 3 cm
k = c/r2 c = 9 ⋅ 10−4m2
b = 20 cm Σ = 1 cm2 δ = 3 ⋅ 103kg/m3
ρ = 2 ⋅ 10−5Ωm α = 30∘
ε B = 0.3 T ε
ϵ0= 8.85 ⋅ 10−12 C2/(Nm2) μ0= 4π ⋅ 10−7 Ns2/C2
Svolgimenti e soluzioni:
1) a. Ricordando la definizione del vettore induzione dielettrica, il suo flusso attraverso una superficie sferica è dato da
! dove q è la carica sulla superficie
allora possiamo scrivere
! per !
Per ! : !
Per ! : !
b. Per determinare l’energia elettrostatica, bisogna considerare separatamente i diversi contributi:
! con !
Il valore allora sarà
! .
c. Conoscendo il vettore ! e la costante dielettrica relativa del mezzo, il modulo del vettore polarizzazione è
!
Allora
!!
quindi: ! .
Essendo ! (carica superficiale di polarizzazione), nel volume deve esserci una densità ! che calcoliamo considerando la divergenza in coordinate polari:
Φ( ⃗D) = ∫ ⃗D ⋅ ̂und Σ = 4πr2D = q
D(r) = q4πr2 r ≥ R1
R1≤ r ≤ R2 E(r) = Dk = q4πϵ0c
r ≥ R2 E(r) = q
4πϵ0r2
Ue= ∫RR12 1
2ϵ0kE2dτ + ∫R∞2 1
2ϵ0E2dτ dτ = 4πr2dr
Ue= 3.6 ⋅ 10−4J + 5.4 ⋅ 10−4J = 9 ⋅ 10−4J
⃗D
P(r) = k − 1k D = c − r4πcr22q
q1p = − 4πR12P(R1) = − c − R12
c q = − 5.33 ⋅ 10−8C q2p= 4πR22P(R2) = c − R22
c q = 0 q1p+ q2p= − 5.33 ⋅ 10−8C qp≠ 0
ρp= − ∇ ⋅ ⃗P
!
Dato che il ! dipende solo da r:
!!
Quindi la carica di polarizzazione contenuta nel volume è
! .
In totale, quindi, la carica di polarizzazione è nulla.
2) a. Bisogna, prima di tutto, eguagliare le forze che agiscono sulla sbarra:
! forza peso
! forza magnetica
Allora avremo:
!! ricordando che !
!
b. La velocità limite si ha quando ! :
ricordando che ! per la legge di Faraday e considerando l’inclinazione del piano possiamo scrivere:
!
Quindi:
!
c. La potenza dissipata è ! .
∇ ⋅ ⃗P = 1r2 ∂
∂r(r2Pr) + 1r sin θ ∂
∂θ(P0sin θ) + 1r sin θ
∂Pϕ
∂ϕ
⃗P
ρP = − 1r2 ∂
∂r(r2P) = − 1r2 d
dr(r2c − r2
4πcr2q) = − 1r2 d
dr( c − r4πc2q) =
= − 1
r2(− 2r
4πcq) = q 2πcr
qP = ∫RR12ρP(r) 4πr2dr = ∫RR12 q
2πcr 4πr2dr = 2qc (R22− R12) = + 5.33 ⋅ 10−8C
FP = mg sin α FM = εRBb cos α
ε
RBb cos α = mg sin α ε = mgR
Bb tan α = δΣb g ρb/Σ
Bb tan α = R = ρb
Σ
= δ g ρb
B tan α = 0.226 V
FP = FM ε = vBb cos α
FM = vBb cos αR Bb cos α = v0B2b2cos2α
R = mg sin α
v0= mgRB2b2 sin α
cos2α = δΣb g ρb/ΣB2b2 sin α
cos2α = δ g ρB2 sin α
cos2α = 4.36 m/s P = mg sin α ⋅ v0= δΣbg sin αv0 = 1.28 W
