(1)Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria

Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Pordenone, 13 giugno 2005 1

Esame di Analisi matematica I : esercizi Dr. Franco Obersnel

A.a. 2004-2005, sessione estiva, I appello

COGNOME e NOME N. Matricola

Anno di Corso Laurea in Ingegneria

ESERCIZIO N. 1. Si consideri l’insieme di numeri reali

E ={x ∈ ]0, +∞[ : sin(1/x) = 0} .

Si determinino :

• inf E =

• sup E =

• l’insieme dei punti di accumulazione di E :

• l’insieme dei punti di accumulazione di CE :

• l’insieme dei punti interni di CE :

NB:CE indica il complementare di E in IR.

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ESERCIZIO N. 2. Si consideri la funzione

f (x) = x 1 + log x.

(i) Si determinino:

• il dominio di f:

• i segni di f:

• lim

x→0⁺f (x) = • lim

x→1/e⁻f (x) = • lim

x→1/e⁺f (x) = lim

x→+∞f (x) =

• f^(x) =

• i segni di f^:

• la crescenza, la decrescenza, gli estremi relativi e assoluti di f:

(ii) Si determini il numero delle soluzioni x∈ domf dell’equazione f(x) = α, al variare di α ∈ IR.

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COGNOME e NOME N. Matricola

ESERCIZIO N. 3. Si calcoli l’integrale generalizzato

+∞ 1

1 x√

x− 1dx.

RISULTATO

SVOLGIMENTO

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ESERCIZIO N. 4. Si consideri, per x > 0, la funzione f_α(x) =

x 1

t^αe^−tdt, al variare del parametro α∈ IR.

(i) Si determinino, in dipendenza dal parametro α,

• fα^(x) =

• f_α^(x) =

• i punti di annullamento e i segni di fα^ :

(ii) Si studi la convessit`a, la concavit`a e l’esistenza di punti di flesso di fαsull’intervallo ]0, +∞[, al variare del parametro α.