Probabilità, Statistica e Processi Stocastici
Scuola di Dottorato in Ingegneria “Leonardo da Vinci”
a.a. 2011/12 Programma del corso
Introduzione ai concetti di spazio probabilizzato, universo degli eventi, algebre, -algebre, probabilità, densità di probabilità.
Concetto di variabili aleatoria, legge di una v.a. (misura immagine), spazio delle sequenze di zeri ed uni, probabilità condizionale, Formula di fattorizzazione, indipendenza di eventi e di variabili aleatorie, variabili gaus- siane.
Valor medio, varianza e deviazione standard, covarianza. Densità con- giunta e marginali. Gaussiane in più variabili.
Convergenze di v.a. e loro legami, legge dei grandi numeri e teorema limite centrale. Teorema ergodico e sue conseguenze per i processi.
De…nizioni relative a processi stocastici, processi stazionari e gaussiano.
Esempi: white noise, random walk.
Catene di Markov: gra…, probabilità di transizione, misure invarianti, teoremi di esistenza, unicità, convergenza all’equilibrio, teorema ergodico.
Catene di tipo nascita e morte, calcolo esplicito della misura invariante.
Cenni sulle catene di Markov a tempo continuo e salti.
Moto browniano: de…nizione, analogie con la random walk, discussione delle proprietà, simulazioni.
Equazioni di¤erenziali stocastiche: cenni di teoria, densità di probabilità della soluzione, equazioni di Fokker-Planck, densità invariante, equazione stazionaria di Fokker-Planck, formula risolutiva, esempi con e senza barriere, problema diretto ed inverso, simulazioni numeriche.
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