UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA' DI INGEGNERIA
PROGRAMMA DI MATEMATICA B - A.A. 2002/2003 CORSO DI LAUREA IN
INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO Prof. D.Averna
Conoscenze prerequisite: Insegnamenti di Matematica A e Matematica C.
Obiettivi del corso: Obiettivi del corso sono quelli di fornire alcuni strumenti del calcolo infinitesimale per funzioni scalari o vettoriali di due o più variabili reali e di introdurre allo studio delle equazioni differenziali. Allo studente sarà richiesta capacità nello studio di: insiemi di definizione, limiti, continuità, differenziabilità, semplici problemi di ottimizzazione libera e vincolata, calcolo integrale multiplo e curvilineo, forme differenziali lineari piane, semplici equazioni differenziali.
SPAZI EUCLIDEI
Lo spazio euclideo Rn. Prodotto interno in Rn. Norma e distanza euclidea. Disuguaglianza di Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Intorni. Insiemi aperti. Insiemi chiusi. Insiemi limitati.
Funzioni tra spazi euclidei. Campi scalari e campi vettoriali. Limiti. Continuità. Successioni in spazi euclidei. Limiti e coordinate. Insiemi connessi.
FUNZIONI VETTORIALI DI VARIABILE REALE. CURVE REGOLARI
Derivate delle funzioni vettoriali di una variabile reale. Integrazione delle funzioni vettoriali di una variabile reale.
Curve in R2 e in R3. Curve semplici. Curve orientate. Curve regolari. Rappresentazione integrale della lunghezza di un arco di curva regolare data in rappresentazione parametrica (enunciato), polare o ordinaria. Tangente.
Archi regolari a tratti. Insiemi connessi per archi. Domini regolari del piano. Convenzione sull'orientamento di una curva chiusa regolare del piano.
FUNZIONI REALI DI DUE E PIU' VARIABILI REALI
Calcolo di limiti di funzioni di due variabili reali. Uso delle coordinate polari. Derivate parziali e direzionali per le funzioni reali di due variabili reali. Differenziabilità delle funzioni reali di due variabili reali. Differenziale. Significato geometrico della differenziabilità: piano tangente. Vettore
Nabla. Gradiente. Esistenza e rappresentazione delle derivate direzionali delle funzioni differenziabili. Condizione sufficiente per la differenziabilità (enunciato). Derivabilità delle funzioni composte. Derivate parziali di ordine superiore per le funzioni di due variabili. Teorema di Schwarz (enunciato).
Estensione del calcolo differenziale alle funzioni reali di più variabili reali. Estensione del calcolo differenziale alle funzioni vettoriali di più variabili reali. Matrice Jacobiana e differenziabilità.
Divergenza di un campo vettoriale del piano e dello spazio. Rotore di un campo vettoriale del piano e dello spazio.
Massimi e minimi liberi delle funzioni reali di più variabili reali. Determinante Hessiano. Massimi e minimi vincolati (vincoli d'uguaglianza). Cenni sulle funzioni implicite e sul Teorema di Dini.
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazioni differenziali ordinarie. Soluzione di un'equazione differenziale.
Problema di Cauchy per l'equazione y f( yx, ). Teorema di esistenza ed unicità in grande in I
R. Teorema di esistenza ed unicità in piccolo.
Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del 1° ordine. Cenni sulle equazioni di Bernoulli.
Equazioni differenziali lineari. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea. Rappresentazione dell'insieme delle soluzioni di una equazione differenziale lineare. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Abbassamento dell'ordine di una equazione differenziale lineare della quale si conosca un integrale particolare non nullo.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea. Metodo di somiglianza per la determinazione di un integrale particolare di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa.
INTEGRALI MULTIPLI
Domini normali. Integrale di una funzione continua in un dominio normale e sue proprietà di linearità, monotonia, additività (enunciati). Formule di riduzione per gli integrali multipli.
Rappresentazione integrale della misura di un dominio normale. Insiemi normali e formule di riduzione per gli integrali multipli in insiemi normali. Uso delle coordinate polari nel calcolo degli integrali doppi. Uso delle coordinate cilindriche e delle coordinate sferiche nel calcolo degli integrali tripli.
Volume di un solido di rotazione. Teorema di Guldino per i volumi.
INTEGRALI CURVILINEI. FORME DIFFERENZIALI LINEARI
Integrali curvilinei estesi ad una curva. Integrali curvilinei al differenziale delle coordinate.
Forme differenziali lineari in R2. Forme differenziali lineari esatte. Forme differenziali lineari esatte in aperti connessi per archi. Forme differenziali lineari chiuse. Formule di Green nel piano.
Applicazioni delle formule di Green nel piano: teorema del rotore; normale esterna e teorema della divergenza; area di un dominio piano regolare; integrazione per parti per gli integrali doppi.
Regioni semplicemente connesse. Forme differenziali lineari chiuse in regioni piane semplicemente connesse. Criteri di esattezza per forme differenziali lineari chiuse in alcune regioni piane non semplicemente connesse.
Bibliografia:
N.FUSCO, P.MARCELLINI, C.SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica di base (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori (2001).
M.BRAMANTI, C.D.PAGANI, S.SALSA, Matematica (Calcolo infinitesimale e algebra lineare), Zanichelli (2000).
S.SALSA, A.M.SQUELLATI, Esercizi di Matematica (Calcolo infinitesimale), volume 2, Zanichelli (2002).
V.E.BONONCINI, Esercizi di analisi matematica, volume secondo, Cedam (1974).
Ulteriore materiale didattico è disponibile presso il sito internet: http://pc1amov.math.unipa.it
Commissione: Prof. D.Averna (presidente), Prof. N.Giovannelli, Prof. G.La Spina
