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3 |G(50 j)| sin 50 t +π3 + arg G(50 j

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Academic year: 2021

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7. Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

1) Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s) quando in ingresso `e presente il segnale:

x(t) = 3 sin(50 t +π3).

2) Nei limiti della precisione con- sentita dal grafico, ricavare l’espres- sione analitica della funzione G(s).

Stimare in modo approssimato even- tuali valori di δ.

10−2 10−1 100 101 102 103

−40

−20 0 20 40 60 80

10−2 10−1 100 101 102 103

−450

−360

−270

−180

Diagramma dei moduli

Diagramma delle fasi

Ampiezza[db]Fase[gradi]

Frequenza [rad/s]

1) La risposta a regime del sistema G(s) al segnale dato `e la seguente:

y(t) = 3 |G(50 j)| sin 50 t +π3 + arg G(50 j)

= 1.4016 sin 50 t +π3 − 58.23 . 2) La funzione di trasferimento del sistema `e la seguente:

G(s) ≃ 20 (s + 0.1)(s − 30)

s(s2+ 0.8 s + 22) = −15 (1 + 10 s)(1 − 0.0333 s) s (1 + 0.2 s + 0.25 s2) .

8. Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

Nei limiti della precisione consenti- ta dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione di trasferi- mento G(s).

La funzione di trasferimento del sistema `e la seguente:

G(s) ≃ 25000 (s + 10) (s2+ 50 s + 2500)

= 100 (1 + 0.1 s) (1 + 0.02 s + 0.0004 s2).

100 101 102 103

10 20 30 40 50 60

100 101 102 103

−90

−60

−30 0 30 60 90

Diagramma dei moduli

Diagramma delle fasi

Ampiezza[db]Fase[gradi]

Frequenza [rad/s]

G0

Tale espressione si ricava dalle seguenti osservazioni: il guadagno statico `e G(0) = 40 db = 100; in ω=10 rad/s `e presente uno zero stabile; in ωn=50 rad/s `e presente una coppia di poli complessi coniugati stabili; il valore del parametro δ si determina leggendo la pulsazione ωa sul diagramma delle fasi:

ωa = 22 = 50/4.81δ → δ = ln5022

ln 4.81 = 0.52.

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