➊- Complementi
Successioni di funzioni
Una successione
f1, f2, . . . , fn, . . . (1)
di funzioni della variabile reale x, a valori reali, definite su un stesso insieme E, `e una successione di numeri reali per ogni x ∈ E. Se tutte le successioni numeriche {fn(x)} che si ottengono dalla (1) in corrispondenza dei valori x ∈ E sono convergenti ad un limite f (x), si dice che la successione di funzioni {fn} `e convergente alla funzione limite f .
In altre parole, la successione (1) si dice convergente alla funzione limite f , e si scrive
n→∞lim fn= f,
se, e solo se, ad ogni coppia (ε, x) ∈ R+× E si pu`o associare un numero nε,x∈ N, dipendente in generale da ε e da x ∈ E, in modo tale che valga
|fn(x) − f (x)| < ε, ∀n > nε,x.
Se, nella definizione precedente, nε,x `e in realt`a indipendente da x, la successione {fn} si dice uniforme- mente convergente in E alla funzione limite f.
Notiamo che, come `e evidente, se la (1) `e uniformemente convergente in E, allora `e uniformemente convergente anche in ogni sottoinsieme di E (dimostrarlo!)
Se la successione {fn} `e uniformemente convergente in E ad una funzione f, la successione {|fn|} `e uniformemente convergente alla funzione |f | (dimostrarlo!)
La definizione di convergenza uniforme `e suscettibile di interpretazione geometrica. Quale?
999 Ricordiamo il seguente teorema di Dini:
Teorema 1 Se la (1) `e monotona in un insieme E chiuso e limitato, se le fn sono continue in E, se, infine, la (1) converge ad una funzione continua, allora la (1) `e uniformemente convergente in E [ Esercizi 1 c) e 6].
Teorema sull’invertibilit`a di due passaggi al limite:
Teorema 2 Se la successione {fn} `e uniformemente convergente in E alla funzione f e se per ogni n ∈ N esiste finito il limx→x0fn(x), con x0∈ DE, esiste il limite
n→∞lim lim
x→x0
fn(x) e risulta
n→∞lim lim
x→x0fn(x) = lim
x→x0 lim
n→∞fn(x) = lim
x→x0f (x).
Come caso particolare, vale il seguente teorema della continuit`a:
Teorema 3 Se la successione {fn} `e uniformemente convergente in E e se nel punto x0∈ E ∩ DE le fn
sono continue, anche la funzione limite f `e continua in x0, ossia
n→∞lim fn(x0) = lim
x→x0
f (x) = f (x0).
Cosa succede nel caso, invece, in cui x0`e un punto isolato di E ? La funzione limite `e ancora continua in un punto isolato?
Segue che se le funzioni fn sono continue in E e la successione {fn} `e uniformemente convergente in E, la funzione limite f `e continua in E.
Ricordiamo, infine, il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata:
Teorema 4 Se tutte le funzioni fn, definite nell’intervallo comune [a, b], sono derivabili; se la successione stessa `e convergente in almeno un punto di [a, b]; se la successione delle derivate {fn0} `e uniformemente convergente in [a, b], allora la successione {fn} `e uniformemente convergente in [a, b], la sua funzione limite f `e derivabile in [a, b] e si ha
f0(x) = lim
n→∞fn0(x), ∀x ∈ [a, b].
Ultima osservazione: l’uniforme convergenza `e condizione soltanto sufficiente per la validit`a dei teoremi sull’invertibilit`a di due passaggi al limite, della continuit`a e della derivazione.
