Visualizzazione di oggetti di fase: interpretazione teorica basata su un analisi locale e metodi sperimentali

Visualizzazione di oggetti di fase:

interpretazione teorica basata su un’analisi

locale e

metodi sperimentali

Immagine di ingresso

• oggetto bidimensionale e piano

• la sua informazione spaziale è trasferita alla luce

• elaborata dal sistema ottico

Realizzazione della trasformata diretta e inversa di Fourier

P₁ L₁ P₂ L₂ P₃

f₁ f

2

x1

y₁

f(x₁,y₁) F(u,v)

α β

x₂ Piano

Immagine

Piano della Trasformata

Piano di Uscita Lente

di Trasformazione

Lente di Ricostruzione

f₁ f

2

y₂ f(x₂,y₂) Onda

Piana

Uniforme ^+∞∫ ∫

∞

− +∞

∞

−

+

= − ^{( )} _{1 1}

2 1

1

1 1

) , ( )

,

( f x y e dx dy

F

y f x

j α β

λ π

β α

λπ α p 2 f

= β

λ π q 2f

=

+∞∫ ∫

∞

− +∞

∞

−

+

= ( ₁, ₁) − ^{( 1 1)} _{1 1}

) ,

( p q f x y e dx dy

F ^{j px qy}

Descrizione analitica di un oggetto

0

0 0

ϕ

e j

E Er = ⋅

) ,

) (

, ( )

,

( x y A x y e ^{j x y}

f = ⋅ ^ϕ

) , ( )

, 2 (

) ,

(x y = d x y = k ⋅ d x y

λ ϕ π

) ) , ( ( 0 0

) 0

, ( )

,

( x y E = A x y ⋅ E e ^{j ϕ x y +ϕ} f

r

Descrizione analitica di un oggetto di ampiezza

ϕ

e j

y x A y

x

f ( , ) = ( , ) ⋅

) (

0 0

) 0

, ( )

,

(x y E = A x y ⋅ E e ^{j ϕ+ϕ} f

r

) , ( )

,

( x y A x y

f =

onda piana uniforme oggetto generico

Oggetti di fase

• oggetti trasparenti o riflettenti che introducono modeste variazioni del

cammino ottico

• è richiesto che siano invisibili

• devono introdurre effetti rifrattivi

trascurabili

Sfasamento del fronte d’onda

dato da un vetrino

∆

=

∆ λ

ϕ ²π

Perturbazione dell’onda data dall’oggetto di fase

Onda Piana Uniforme

Oggetto di Fase

VETRINO

) , (x y

f

totale ϕ ϕ

ϕ = ∆ +

) , ( 1

) , (

) 1

,

(x y A e^{j totale x y} A e^j e^{j f x y}

f = ⋅ ^ϕ = ⋅ ^∆ϕ ⋅ ^ϕ

) , (

) 2

,

(x y A e^{j f x y}

f = ⋅ ^ϕ

L n

n )

( ₁ − ₂

=

∆

Onda Piana Uniforme

∆

7

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 VETRINO

L

n1 n₂

Descrizione analitica di un oggetto di fase

) , ( )

,

(x y _medio x y

f ϕ ϕ

ϕ = +

) , (

) 2

,

(x y A e^j e^{j x y}

f = ⋅ ^ϕmedio ⋅ ^ϕ

) ,

) (

,

(x y A e^{j x y}

f = ⋅ ^ϕ

) ) , ( ( 0

0

) 0

,

(x y ⋅ E = A⋅ E ⋅e^{j ϕ x y +ϕ} f

r

) ,

) (

,

(x y e ^{j x y}

f = ^ϕ

Esempi di oggetti di fase

•sezioni biologiche

•getti di gas in aria

•onde elastiche nei liquidi

•differenza di concentrazione

•superfici di specchi

•irregolarità di superfici lavorate otticamente di lenti e specchi curvi

Approssimazione di fase piccola

1 f(x,y)≅1

jϕ(x,y)

) , ( 1

) ,

(x y j x y

f = + ϕ

) ,

) (

,

(x y e ^{j x y}

f = ^ϕ :se ϕ(x,y)<<1 per ogni (x,y)

I metodi di visualizzazione si distinguono per il filtro impiegato

Varie tecniche: contrasto di fase, strioscopia, Schlieren, Shadowgraph

filtraggio della trasformata di Fourier dell’oggetto i filtri convertono le variazioni di fase in variazioni di

ampiezza

Visualizzazione delle immagini di fase

Metodo del contrasto di fase

• il filtro sfasa e attenua la componente continua

• oggetti con fase di segno opposto sono dotati di

contrasto opposto rispetto allo sfondo

•

• si presta per misure di fase

• alterazione delle basse frequenze

) , ( )

,

(x y x y

I ∝ ∆ϕ

∆

1

risultato diverso da 1

jΦ

≅1 jΦ

Strioscopia

• il filtro blocca la continua

• non si può determinare il segno della fase

•

• effetti passa alto evidenti

) , ( )

,

(x y ² x y

I ∝ϕ

1

jΦ

≅1

Risultato

Metodo Schlieren

• si toglie metà della trasformata di Fourier

• antitrasformando la metà restante si evidenziano i contorni dell’oggetto di fase

• informazioni solo qualitative

• si comporta bene con tutte le frequenze

Filtro v

risultante u

1

≅1

Piano di Fourier Piano Immagine

) , ˆ(x y ϕ

−

) , (x y jϕ

Metodo Shadowgraph

• si proietta l’immagine con un fascio collimato su di uno schermo

• non si forma immagine focalizzata

• no filtri

• informazioni solo qualitative

• risultati discreti quando le variazioni di fase sono rilevanti

Approccio alternativo allo studio delle immagini di fase

Valutazione della trasformata di Fourier delle immagini di fase

si cerca una relazione tra spettro dell’immagine e spettro della fase

• senza ipotesi relativamente alla banda spettrale del campo incidente

• senza l’ipotesi di fase piccola

Oggetto con fase sinusoidale

) 2 ( )

(x A sen x

m = ⋅ πΩ

) 2

) (

(x e^{jAsen x}

f = ^πΩ

∑^+∞

−∞

=

= Ω n

x jn ne B x

f( ) ^2π

∫ ∫

+

−

+ Ω

− Ω

Ω

− Ω Ω

− =Ω

⋅

= ²

2

2 1

2 1

2 ) 2 (

) 2

1 (

T

T

x jn x jAsen x

jn

n f x e dx e e dx

B T ^{π π π}

)]

( 2 [ 2

)

( = ∑^+∞ ⋅ ⋅ − Ω

−∞

=

n B

F

n

n δ π µ

π µ

ξ πΩx = 2

∫

+

−

= ^π − π

ξ

ξ ξ

π ^{e e d}

B_n ^{jAsen jn}

2 1

π θ

φ ^π

π

θ φ

θe d

e

J_n ⁺∫ ^{jn j sen}

−

= −

2 ) 1 (

) ( A J

B

=

Trasformata di Fourier di un segnale complesso a modulo costante e fase

sinusoidale

banda passante del filtro H(µ) F(µ)=ℑ{ejAsen(2πΩx)}

-3Ω -2Ω -Ω Ω 2Ω 3Ω

µ

{ } { } ^∑+∞

−∞

=

Ω = = ⋅ ⋅ − Ω

ℑ

= ℑ

n

n x

jAsen

n A

J F

e x

f ( ) ^{(2π )} (µ) 2π ( ) δ[2π(µ )]

)]

( 2 [ ) ( 2

)]

( 2 [ ) ( 2

) ( ) ( )

(µ = ^H µ ⋅^F µ = π ⋅^J₁ ^A ⋅δ π µ −Ω − π ⋅^J₁ ^A ⋅δ π µ +Ω U

) 2

( )

(x K sen x

u = ⋅ πΩ

applicando il

filtro passa banda

antitrasformando

E nel caso di una qualsiasi funzione modulante?

• per ogni armonica Ω di m(x) si ha un treno di impulsi centrato sui suoi multipli interi nΩ

• ℑ(e ^{jm( x)}) è affetta da aliasing rispetto a ℑ(m(x))

2/3 Ω Ω

J1(A_Ω/3)

µ 1/3 Ω

J₂(A_Ω/3)

J₁(A_Ω)

J3(A_Ω/3)

Ma…

•se m(x) ha banda limitata e 2Ω_L>Ω_H si può ancora avere corrispondenza biunivoca tra i due spettri

•però la generica armonica Ω di e^jm(x) è distorta da filtraggio non lineare H(Ω) che dipende dall’ampiezza e non dalla

frequenza delle armoniche e…

può essere completamente distruttivo

Scomposizione del dominio in funzioni locali

x_o

y₀ 1

y

x ∆

dominio della f(x,y) ripartito a “griglia”

p_i(x)q_k(y)

) ( ) ( )]

( ), [(

) ,

, (x y f x i y k p x q y

f_{i k} = − ∆ − ∆ ⋅ ⋅





 < ∆

=

altrimenti x x

p

0 1 2 ) (





 < ∆

=

altrimenti y y

q

0 1 2 ) (

∫

∫ ^+∞

∞

−

− +∞ −

∞

−

=

= f x y e e dxdy

F⁽µ^,σ^{) ( , ) jµx jσy}

∑ ∑

k

k j i

j k

i i

e e

F_, ⁽µ^,σ^{) µ σ}

Dominio bidimensionale delle funzioni locali

x y

x_0i y_0k

∆_y y

x x_oi

y_ok

∆_x

) )(

, ( )

)(

, ( )

, ( )

,

( _{0 0 0 0 0 0 0 0}

k k

i i

k i k

i y m x y x x m x y y y

x m y

x

m ≅ + _x − + _y −

) , ( 0

0

0 0

) , ) (

, (

k i k

i

y x

x x

y x y m

x

m ∂

= ∂

) , ( 0

0

0 0

) , ) (

, (

k i k

i

y x

y y

y x y m

x

m ∂

= ∂

) ,

) (

,

(x y A e^{jm x y} f

sia = ⋅

=

≅

= ^{( , ) [ ( , )+ ( , )( − )+ ( , )( − )]}

,

0 0

0 0

0 0

) 0

,

( ^{jmx y j m xi yk mx xi y k x xi my xi yok y y k}

k

i x y Ae Ae

f

) , ( )] '

)(

, ( ) )(

, ( [ ) ,

(^x₀ ^y₀ ^{j m x}₀ ^y₀ ^{x x}₀ ^{m x}₀ ^y₀ ^{y y}₀ ~ _{jm x y}

jm e Ae

Ae ^{i k x i k i y i k k} =

= ^{− + −}

k k y i

i k x i

k

i y jm x y x jm x y y

x

jm e e

Ae

A~ ^{( 0 , 0 )} − ^{( 0 , 0 ) 0} − ^{( 0 , 0 ) 0}

=

y y

x m x

y x m y

x

m'( , ) = x( ₀i , ₀k ) + y( ₀i , ₀k )

)]

, ( [

)]

, (

~ [

~ } { )}

, (

{ _, ^{'( , )} _{0 0 0 0}

k i

k

i y m x y

x m A

e A y

x

f_{i k} = ℑ ^{jm x y} = − _x ⋅ − _y

ℑ δ µ δ σ

Localizzazione del contributo impulsivo

delle funzioni locali sul piano di Fourier

σ m_y

m_x

ϕ µ

ρ

) , ( )

, ( )

,

( _{0 0} ² _{0 0 0 0}

2

k i k

i k

i y m x y m x y

x

m x + y = ∇

ρ =











= 

) ,

(

) ,

(

0 0

0 0

k i

k i

y x

m

y x

arctg m

x

ϕ y

La trasformata di un’immagine di fase può quindi descrivere:

• Il contenuto di frequenze spaziali del segnale modulato

• Il gradiente del segnale modulante quindi…

opero su quest’ultimo con due tecniche di filtraggio

Filtri a simmetria circolare

I punti del campo modulato assumono la colorazione della banda del filtro associata al

gradiente della fase

Filtro direzionale

I punti del campo modulato assumono la colorazione della banda del filtro associata alla

direzione del gradiente della fase

La scelta del sistema ottico: sistema a fascio convergente

Lente di Trasformazione

Piano dell’Immagine

Ricostruita Lente di

Ricostruzione Piano della

Trasformata Piano

Immagine

f₂ D=f₂(1+f₂/(f-l)) f

l

) (

2 )

( 2

l q f

l p f

= −

= −

λ

πβ λ

∫ ∫

+∞

∞

− +∞

∞

−

+

= f x y e− dxdy q

p

F ( , ) ( , ) ^{j(px qy)}

Configurazione del banco ottico

Telecamera per l’acquisizione dell’immagine pinhole

Calcolatore collegato alla

telecamera Lente

L₁ Immagine Filtro

Lente L₂

Sorgenti di luce bianca

•sopprimono il rumore di coerenza

•basso costo

•sistema non così rigido

•facili ed economiche da mantenere

•molto adatte per segnali colorati

Aria compressa (filtro direzionale)

Aria compressa (filtro circolare)

Soluzione salina filtro direzionale (1)

Soluzione salina filtro direzionale (2)

Soluzione salina filtro direzionale (3)

Soluzione salina filtro circolare (1)

Soluzione salina filtro circolare (2)

Soluzione salina filtro circolare (3)

Impronta digitale

(filtro circolare direzionale)

Bordi di vetrini

(filtro circolare e direzionale)

Interpretazione dei risultati ottenuti con i filtri

ρ2

ρ1

ρ3

m_x my

p₂ p₁

•se è presente un colore significa…

•intensità in funzione del gradiente e della direzione

•uso dei filtri reali

Intensità di illuminazione

L’intensità di illuminazione corrispondente a una direzione, è proporzionale al numero di punti del piano dell’immagine ricostruita

che hanno i contorni orientati in quella direzione

Conclusioni

• sistema ottico utilizzato

• misura dell’intensità di illuminazione

• uso della sorgente estesa