L’INGEGNERIA CIVILE
L E A R T I I N D U S T R I A L I
EP E R I O D I C O T E C N I C O Q U I N D I C I N A L E
Si discorre in fine del Fascicolo delle opere e degli opuscoli spediti franchi alla Direzione dai loro Autori od Editori.
E riservata la proprietà letteraria ed artistica delh relazioni, memorie e disegni pubblicati in questo Periodico.
An n o X X X . T o r in o , 190 1 Num. l i .
IDRAULICA PRATICA
DETERMINAZIONE DELLA PORTATA DI PIENA D I UN FIUME
DEL QUALE VENGA SOPPRESSO U N V A ST O B A C IN O D ’ E S P A N S IO N E
Nella sistemazione dei fiumi, alcune volte, allo scopo di proteggere regioni che vanno soggette a inondazioni nei pe- j riodi di piene ordinarie e straordinarie, si cerca di contenerli lungo i tratti che le attraversano con sponde artificiali insom
mergibili. Già vari esempi di questa pratica si riscontrano, specialmente in antico, e recentemente, nel secolo testò de
corso, per la sistemazione del fiume Adige, in Tirolo, nella vallata di Merano, dove venne contenuto fra sponde da Me
rano a Bolzano, sopprimendo quivi un vasto bacino d’espan
sione.
Lasciando da parte l’osservazione che queste sistemazioni raramente riescono giovevoli ai territori che si intendono re
dimere, impedendone il graduale alzamento del fondo per opera delle alluvioni, e che per ottenere un bene presente . si condannano a venturi disagi col rendere difficile il diretto scolo delle acque meteoriche, è evidente che con la soppres
sione di uno di questi bacini si aumenteranno le portate del iìume nei suoi tronchi inferiori, e queste discenderanno più rapidamente a valle.
Condizioni speciali però delle regioni inondate, per l’esi
stenza di paesi, o per nuove opere che si rendessero neces
sarie, possono obbligare in alcuni casi all’impedimento delle esondazioni di un fiume, e quindi costringere a contenere questo, lungo il tratto che le attraversa, fra sponde insom
mergibili. È in tal caso che si presenta nello studio della sistemazione la risoluzione del problema : Quale sarà la portata del fiume nel tratto a valle, una volta tolta l'espan
sione, ed in qual tempo avrà luogo la piena, allo scopo di regolare le condizioni generali del fiume in modo che cor
rispondano al suo nuovo stato.
Il problema enunciato ebbe già alcune soluzioni, seguendo *
criteri intuitivi, congetturando lo svolgersi della legge di variazioni delle portate durante i periodi d’esondamento e quello dei .volumi d’immagazzinamento nel bacino d’espan
sione, mancando il più delle volte gli elementi necessari per stabilirle.
Gl’ingegneri comm.ri Bocci e Cesarmi nel Giornale dei Lavori Pubblici, e successivamente l’ingegnere B. Santini, trattarono l’argomento ancora nel 1880, considerando gli ef
fetti idraulici delle esondazioni dei fiumi in piena nei tronchi a monte ed a valle, con applicazione al caso del Tevere da Orte a Ponte Molle.
Senonchè quest’ultimo, considerando la portala nel tratto di fiume esondante, come media aritmetica fra quella a monte ed a valle dell’esondamento, per determinare la quantità d’acqua che si versa nel bacino d’espansione, deduce dalla media quella contenuta nell’alveo, stimandone così un volume minore, avvicinandosi questo mollo prossimamente alla dif
ferenza delle prime, e richiedendosi nella stima la valuta
zione, molto incerta, della portata inalveala nel tratto di fiume traboccante.
Dopo le memorabili alluvioni avvenute nell’anno 1882 nel Veneto, e specialmente nella vallata dell’Adige, il prof. Et
tore Paladini di Milano, e successivamente i senatori prof. Do
menico Turazza e prof. Gustavo Buccina di compianta me
moria, trattarono in modo analitico la soluzione del problema allo scopo di stabilire l’alzamento che si sarebbe verificaio nel fiume Adige a Verona dopo una piena analoga a quella avvenuta il 16 settembre 1882, una volta soppressi gli eson
damene che in quell’epoca causarono l’inondazione di gran parte dell’alto e basso Tirolo, da Merano sino a Trento, ed anche a valle.
11 prof. Paladini ed il senatore Turazza, partendo da ana
loghi concetti, tenevano conto del successivo immagazzina
mento nel bacino d’espansione, e del volume d’acqua che man mano andava a riempire l’alveo a valle con i graduali alzamenti del livello liquido a Verona, ed in funzione dei vo
lumi risultanti, stabilivano quello dell’alzamento del fiume nella stessa località, una volta tolte queste espansioni.
1! senatore Bucchia invece determina il totale volume di versamento nel Tirolo, e diviso questo per il tempo della espansione stessa, stabilisce il volume medio unitario, che aggiunge alla portata di piena del fiume, ottenendo così l’al
zamento massimo nella località stabilita.
Dei due procedimenti, il più razionale, a mio avviso, è il primo, dove si tiene conto effettivamente della variazione dell’espansione, la quale corrisponderà alla variabilità della portata immessa nel bacino, mentre l’altro, quello del sena
tore Bucchia, suppone un’immissione costante nel bacino, il che è assolutamente inammissibile in un fiume che sale e di
scende dal suo stato di piena.
Il chiarissimo ingegnere del Genio Civile Edoardo Ponti, in una sua pregiatissima pubblicazione sulla sistemazione dell’Adige, discute il modo di risoluzione del problema dato dai professori E. Paladini, D. Turazza, G. Bucchia, ed ac
cettando più favorevolmente il procedimento di quest’ul
timo, studia la legge di variazione dell’immagazzinamento, partendo dal problema di efflusso a livello variabile, del riempimento di un bacino al quale affluisca l’acqua da altro bacino a livello costante.
Senonchè, nelle condizioni di un fiume che sale e discende
162 L’INGEGNEMA CIVILE E LE AKTI INDUSTRIALI
dalla piena, anche il bacino di versamento è a livello varia
bile; ne segue quindi che trascurando questa variabilità, si incorre in eccesso o deficenza nella stima del volume d’im
magazzinamento.
Ed invero, se indichiamo nel periodo di ascesa con:
H la quota dell’acqua nel fiume dove avviene il versa
mento, al termine del tempo t;
h quella dell’acqua nel bacino d’espansione, al termine dell’egual tempo;
jS la media quota della soglia di sfioramento;
L l’estensione di questa ;
il volume d’immagazzinamento nel successivo tempo infini
tesimo d t sarà :
< / V = m L \ /Y g (H - j8) / H — h d t,
dove n e g rappresentano un coefficiente di riduzione e l’ac
celerazione della gravità. Sarà quindi il volume immagazzi
nato al termine del tempo t:
V = ju L y'¥g f (H — jS) IH - h . d t ,
dalla quale espressione si scorge come V va ri i non solo con ' 0 h,
ma ancora con H. Questa integrazione sarà solo possibile quando si conosca la legge di variazione di II e di h in fun
zione del tempo. Il massimo volume di accumulamento si avrà per:
H =£ h, riescendo allora :
Raggiunto il tempo t per il quale V è massimo, ossia è II — h, principia il vuotamento, i volumi successivi del quale si hanno dalla :
/ — fti /----
U — fj. L y% g ( (h — fi) V h — II d t ,
essendo ¿, > t ; e questa diventa zero per h — fi, ed II co
stante, ed eguale a fi quando ha raggiuuto questo valore.
Chiamati alla risoluzione di questo problema, necessaria*
mente prima di intraprenderla, occorre il rilievo di alcuni dati di fatto, senza dei quali non si potranno avere che risul
tati incerti, dando luogo a molteplici obbiezioni fondate sopra diverse, e pure ammissibili, interpretazioni dei fatti stessi.
La condizione principale di uno di questi bacini naturali di espansione è quella che il piano generale di campagna, per tutto il tratto dove il fiume durante le morbide e le piene viene ad esondare, abbia a trovarsi ad un livello inferiore a quello liquido del fiume stesso.
Principiato il fiume a salire in piena, quando avrà di poco superato il livello delle adiacenti campagne, comincierà a versare parte della sua acqua nelle campagne stesse, e questo versamento sarà maggiore a monte, mano mano degradando con l’altezza viva dell’acqua procedendo a valle, sino a rag
giungere la località dove nuovamente il fiume riesce conte
nuto fra sponde insommergibili, contenendosi la maggiore mossa fluente lungo l’alveo, causa le più forti depressioni che quivi viene a trovare.
Nel bacino di versamento il livello medio liquido si tro
verà inferiore a quello del fiume, occorrendo sempre un certo carico per il versamento dell’acqua da questo alla campagna;
e così continueranno le cose sino a che il fiume avrà rag
giunta la sua massima altezza, via via accrescendosi la media quota del livello liquido in campagna.
Una volta raggiunta questa altezza, nel periodo di stanca,
| durante il quale il fiume mantiene un livello pressoché co-
| stante, continuerà ad accrescersi quello medio di campagna, I però con una certa lentezza, diminuendo successivamente il I carico, sino a che, o per la perdurata stanca, o perchè il
fiume principia a discendere, si raggiunge un istante nel
| quale i due livelli liquidi,e di campagna e del fiume, si egua*
; gliano.
In questo istante cessa il versamento dell’acqua in cam- : pagna, e nei successivi avrà luogo lo scarico da questa nel I fiume, mantenendosi in campagna un livello superiore, sino I a che il fiume non sia ritornato, non solo al livello di cam
pagna, ma al disotto di questo, per dar luogo al completo esaurimento dell’acqua esondata.
I Dal sopra esposto si deduce, che il fiume a valle del bacino d’espansione, durante il periodo di tempo nel quale a monte, raggiunto il piano di campagna, arriva alla sua massima al
tezza, e quivi perdura per la stanca, avrà una portata minore di quella del tronco superiore corrispondente al volume d’acqua che, riversato in campagna, quivi si immagazzina.
Nell’istante nel quale i due livelli liquidi in campagna e nel fiume si eguagliano, le due portate a monte ed a valle del bacino d’espansione saranno eguali.
Finalmente quando il livello liquido medio di campagna è superiore a quello del fiume, la portala a valle sarà maggiore di quella a monte.
Astrazione fatta dalle dispersioni in campagna, per evapo
razioni, infiltrazioni e ristagni dovute alle diseguaglianze del suolo, avvenuto il completo vuotamento del bacino d’espan
sione, la portata integrale, a partire dal principio dell’eson- damento, dovrà essere eguale tanto nella sezione del fiume a monte quanto a valle del bacino stesso; e mentre la prima è costituita dall’acqua che in totalità è discesa dai tronchi superiori del fiume, l’altra si comporrà di quella che diret
tamente trascorse lungo l’alveo esondante a monte, e di quella che si è immagazzinata in campagna.
*
Con la soppressione di un bacino d’espansione in un fiume, riguardo al mutamento generale.delle portate unitarie, si do
vranno considerare due periodi : il primo dal principio del- l’esondamento, sino all’istante nel quale le quote liquide in campagna e nel fiume riescono eguali, il secondo, da questo istante, sino al completo vuotamento del bacino d’espansione.
Nel primo periodo, tolta -l’espansione, le portate unitarie andranno mano mano accrescendosi, sino a raggiungere un massimo che dovrà dedursi dalla somma delle portate con
temporanee del fiume e del versamento.
Se pertanto si indica la portata del fiume corrispondente all’altezza idrometrica II con la seguente forinola empirica, di frequente usata in pratica :
3
Q = A (II - c) 2
dove A e (p sono due coefficienti da dedursi dalla diretta esperienza ; essendo, come precedentemente si indicò :
h la media quota dell’acqua nel bacino d’espansione al
l’istante nel quale nel fiume si verifica la quota II;
L la lunghezza della sponda di versamento;
fi la media quota di questa;
L’INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI 163
la quantità d’acqua che si verserà nell’unità di tempo nel ba
cino d’espansione sarà:
Q4 =: M . L (H - fi) |/H —7i ;
ne segue, che la portata unitaria totale alla quota II del fiume ed h medio del bacino di versamento all’istante t, è :
P = Q + Q ,,
ossia :
p = A . ( I I — # + u. L . | / 2 7 . ( H - j 5 ) / ì T ^ . (1)
Si avrà quindi il massimo valore di P, per i canoni dei massimi e minimi, dalle:
d P „ d P
d H 0 d h 0.
Hi + + Hs -f- . . . -f H»i j — (2 . H) ;
Qi^ 4- Q ^ + Q / + . . . + Q»»Tl ( 2 . Q a) H, Q ,3+ H2Q23 + H3Q33 + ...+ Hwi Qwl 3 j = (2.H.Q3 ) ;
1 H>, + H>, + H>, + . . . + H*. ì = (2.H*)
nell’ipotesi che le osservazioni sieno di eguale precisione, si hanno i valori dei coefficienti cosi espressi :
__i m (2.H.Qt ) - (2.H) (2.Qy ) h
i m (2.I l 2) — (2.H) 2 \
Se analiticamente si potesse esprimere h in funzione di H, tosto si dedurrebbe il valore di queste due variabili che sta
biliscono il massimo valore di P, e conseguentemente il nuovo valore della portata di piena a fiume contenuto, e dal corri
spondente valore di H, il tempo t nel quale avrà luogo.
Al termine del primo periodo, nel quale a fiume esondante è H = h, ossia quando cessa il versamento, a fiume conte
nuto sarà ancora la portata:
_3_
P — A (li — $)2. (2)
Nel secondo periodo, essendo H < h a fiume esondante, avendo luogo il versamento dell’acqua dalla campagna al fiume, a fiume contenuto, cessando questo versamento, la por
tata sarà : per H > fi :
P = A (H — $)^— m -L /27(h - fi) (3) per H = jS :
_3_ ______________
P = A (j3 — <f»)2 — u .L /2 g / (h - fi)3 (4) e finalmente per h — fi e H •< jS i :
P = A (H - <p)T . (5)
Noti quindi i valori di A; ; e la funzione che lega li ad H, con queste espressioni si potranno dedurre le portate nei corrispondenti istanti a fiume contenuto.
I coefficienti A e $ della formola empirica:*
Q = A(H -<?)^
come si disse, possono dedursi dalla diretta esperienza.
Note le m portate Q4 ; Q2; Q., ;. .. ; Q)rt del fiume imme
diatamente a valle del bacino d’espansione, corrispondenti alle quote medie idrometriche 1^ ; II2 ; II3 ;. .. Hhì nel tratto
di fiume esondante, prendendo a fondamento la condizione che debba essere minima la somma dei quadrati degli errori
assoluti ; e posto :
c&—
(2.H) (2.H.Qs) - ( 2.QO (2.H2)
m (2.1J.Q !) - (2.0 ') (2.11)
ed il valore dell’errore probabile assoluto, coll’uso di questi coefficienti, detto (2.£2) la somma dei quadrati degli errori assoluti commessi sulle quantità calcolate, sarà:
E = + 0.0745
V
m(2.,2)2L’espressione di :
I . L . /2 ,
della portata di versamento, costituita dal coefficiente ju. di riduzione, dalla lunghezza L della sponda sfiorante e dalla velocità per l’altezza uno di caduta, date le condizioni ordi
narie di una sponda traboccante, riescirebbe molto incerta, qualora si volesse stabilirla dalla diretta misura di L, ed at
tribuendo a y. uno dei consueti coefficienti degli stramazzi ; giova quindi dedurla direttamente da un noto volume di im
magazzinamento nel bacino d’espansione corrispondente ad una determinata quota media li, fra le quali da prescegliersi sarà quella di H = h.
Supposto che al termine del tempo T, essendo II — h, sia V il volume immagazzinato nel bacino d’espansione, e che per i tempi 0; tx ; /2; t:ì; . . . ; T, sieno rispettivamente fi]
; H2; H
3\ f i , h t,
li2,
hs, . .. ;
li, le quote idrometriche uel bacino. Evidentemente sarà :V = j i. L \/¥g . ( \( H — JS) . / l i . d t ,
donde si deduce :
ju . L . f/27 = —---V
f ( li — jS) / i l h . d t Il termine del denominatore:X o
r . (II — fi) . |/H — h . d t ,
essendo noti i valori di H e di h in funzione del tempo, potrà facilmente ottenersi con la seguente costruzione grafica (fig. 83).
Assunta una data scala a rappresentare i tempi, ed altra a rappresentare i valori di II ed h, e condotta l’orizzontale 0 . T . JS, che verrà presa come asse delle assisse, a partire da 0, si portano i successivi valori di f3; . .. T, e cor
rispondenti a questi, come ordinate, si elevano quelli di (H,—JS); (II2—JS); (H3—JS) . . . (H—JS); (A -JS); (*,-£);
(/¿3— JS ); . . . (h—fi), segnando i due diagrammi 0 . A . B ed O.C.B. Condotte poi le linee parallele 0/.A;.B; e 0;i.A/;.Bw alla curvaO . A.B,e discoste da questa di una unitànella scala delleordinate,divisoinciascunaordinatapermetàil tratto m.n intercetto fra le curve O.C.B e O^A^.B,, centrando in questo punto di mezzo si traccia il semicerchio, e guidata da u la retta u p normale alla m . n, si congiungono i punti
164 L’IN GEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI
M
p con q della curva . A^.B^, e da /■, piede dell’ordinata, si guida la parallela r s alla p ij, sino ad incontrare in s la prolungazione della up\ come è facile scorgere, la us sarà, nella scala delle ordinate, (II — fi) / i l — h, essendo:
m . u — (11 — j3) — (A — fi) = 11 — h ;
u n — u q — 1 ed r u = (H — j3).
Portate le lunghezze u s sulle rispettive ordinate a par
tire dall’asse O.T, tosto si stabilisce la linea continua 0 . Z .Z . Z.T, la quale dà la legge di variazione del prodotto in funzione del tempo; misurata quindi l’area compresa fra questa linea e l’assissa 0 T, e fatta la riduzione della scala, si ottiene precisamente il valore di :
successivi valori di
rizzontale Q discosta dall’asse delle assisse 0 T di (jS—e) nella scala delle ordinate, si traccia la linea 0,„ . Awy. B;
parallela alla 0 . A . B, e discosta da questa del rapporto ju.. L . |/ 2 g
- —--- , sempre preso nella scala delle ordinate, divise quindi per metà le ordinate a n, comprese fra il nuovo asse Q $ e la linea 0; . A,. lì, centrato in questo punto di mezzo e descritto il semicerchio, dal punto u situato sulla line i O.A.B, guidata la normale all’ordinata, si unisce il punto <ì d’incontro dell’arco di cerchio con il punto e della curva
0,„ A;ji B;ii, e dal punto a si conduce la retta a . f paralleli) alla ed, la lunghezza della retta u. f, presa nella scala delle ordinate, sarà eguale al valore di:
| (li - fi) 1/11— h . d t.
* 0
Dando la linea 0 . Z . Z . Z . T, come si disse, la legge di va
riazione del prodotto (li —fi) f/ll — h, ne segue che il mas
simo volume unitario d’acqua versato nel bacino d’espan
sione sarà dato dall’ordinata massima, ossia da quella del punto di tangenza alla curva di una retta parallela all’asse delle ascisse.
Stabiliti i valori di A; c>;u.. L .| -¿* 7, per determinare il massimo valore di P, raccolto nella (1) a fattore comune il termine y .. L . y i g , assume la forma:
P = p .. L . ( / f i
j- -
= (H -U ■ L . | / ‘2g |
ed in questa corrisponderà il massimo valore di P al valore massimo del termine compreso fra parentesi.
Per costruire graficamente le ordinate corrispondenti ai A (II — o)2; condotta(fìg.83) l’o-—
(H — £>)'
essendo ed u e
u L |/29
ju L f/2 g
a u = (II — jS) + (j8 — <f>) — (Il — fi) ; u n — 1 ;
F- • L . / 2 g
A '
Portata questa lunghezza come ordinata a partire dar punto a sulla Q 0, e ripetuta la stessa operazione per le altri ordinate, si traccia la curva V . V . V, che dà la legge dell, variazioni delle portate.
Sommate ora a queste ordinate quelle della curva 0.Z.Z.Z.1 riferite all’asse 0 . T, si traccia la curva 0 M M, che a su;
volta dà la legge di variazione del termine:
!— i-a - 7 ì= ( i i - ì ) * + ( H _ i ) / i n r ì j .
| w . L . V 2 g )
Misurata ora nella scala delle ordinate, l’ordinata massimi*
di questa linea, riferita all’asse Qi>, e moltiplicata questa pei il valore ¡x .L dal prodotto si avrà il valore dell.v portata massima, indicandoci poi l’ascissa di questa ordinata il tempo r nel quale avrà luogo questa portata.
L 'IN G E G N E R IA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI K55
Ripetendo le operazioni grafiche indicate per il tratto se
guente da T sino a G, ricordando che per questo tratto ha luogo il vuotamento del bacino, e quindi alle ordinate della curva V . V . V riferite all’asse 0 $ si dovranno dedurre quelle della curva T . Z . Z . G riferite all’asse 0 T, si ot
tiene la curva M . N . V che dà la legge delle variazioni delle portate del fiume contenuto, ulteriore al tempo T nel quale erano H ed h eguali.
Dal confronto delle due curve V . V . V e V M M N V, si scorge come la massima piena, ed il ritorno del fiume alla quota idrometrica j3, abbia luogo in anticipazione, e come al
l’origine deH’esondamento, nel tempo nel quale era II = h ed a! termine del vuotamento del bacino, a fiume contenuto le portate riescano eguali alle precedenti.
Qualora, colla sistemazione del fiume si conservasse la sua primitiva forma di sezione contenuta da arginature, ancora dall’espressione :
Q = A (H* - a») 2";
posto per Q il valore della portata massima, tosto si deduce il valore della quota liquida di piena, che sarà:
(-!•)’ +♦ = H-
*
I successivi valori di II e di h corrispondenti al tempo du
rante l’esondamento, con non grandi difficoltà si possono de
durre quando si tratta di bacini piuttosto ampi, dove la dif
ferenza riesce sempre alquanto sentita, ma quando il bacino fi piccolo, oppure ampio, è costituito da inondazioni parziali, dovute a molteplici esondamenti del fiume, non solo riesce difficile, ma ben di frequente impossibile il fissarli. In questo caso però sarà più facile lo stabilire i successivi volumi d’im
magazzinamento corrispondenti al graduale alzarsi dell’acqua nel fiume contenuto subito a valle dell’esondamento, dall’e
stensione dei territori inondati, e dalla media altezza del
l’acqua verificatasi in questi.
Si consideri una sezione del fiume subito a valle dell’eson- damento, dove per le condizioni naturali delle sue sponde non abbia mai a traboccare.
Sia a0 la quota di livello dell’acqua in questa sezione, oltre la quale ha principio superiormente l’esondamento, a questa quota, nella sezione considerata, corrisponda la por
tata q„. Sieno successivamente nella stessa sezione le por
tate 7, ; </3; q3; . . . ; q „ , corrispondenti alle maggiori quote idrometriche t/2; a ; . . . ; a n , essendo qn i valori di massima piena. Si supponga che queste quote idrometriche corrispondano ai tempi tx ; t3; . . . ; tn successivi all’i
stante nel quale il fiume ha raggiunta la quota a 0 ; e a questi tempi nel bacino d’espansione si «ieno mano mano immagaz
zinati i volumi liquidi y, ; v2 ; v3\ . . . ; v n_.
Dopo il tempo ta il fiume principia a discendere, e sieno per i successivi tempi
■11 r 2 1 r 3 1 • • • ? T 05 . . . 5
T, a, ; oc2 ; x s ; . . . ;
a n 5 Pi ) Pi t P:ì ì • • • 5 Q 0 j . . . pm ■) j 1V2 5 , . . . J Wm—1 J 0,
le quote idrometriche, le portate del fiume ed i volumi lirjuidi d’immagazzinamento.
È evidente che le portate integrali entrate nel bacino suc
cessivamente, saranno:
dal tempo 0al tempo /, . .
Q'i =
* r *1 01q . d t 4 # ,» » t2 . .
Q"f =
r t ,1 q . d t (v2 — vt)» t2 e cosi via;
» t3 . . Q "’i = j r t3q . d t f (v3 — v2) dal tempo t {n- 1 al tempo tu ' t)lq.dt+ (vn - V n—x)
tu- 1
» tn » r, ... = lq . d t 4 (tV, — Va)
tu
» ri » rì . . P "i = q . d t 4 (w2 — wt)
» » r3 . Tiq . d t 4 (w:i — w2)
T2
* T m » T .. •Pi = . Tq .dt-\ -(0 — w m)
j Risulta quindi complessivamente la portata integrale imX/)t messa nel bacino:
P = Q'f 4 Q"j -f Q'"i 4 . . . 4 Q, 4. P'< + P"i 4 P 4
| ossia: -+ -... ~b P» , P = j q . d t .
La quale portata integrale è precisamente eguale, come J 0
era facile prevedere, a quella che attraversa la sezione del fiume subito a valle del bacino.
Immessa quindi nel tempo T la portata integrale P nel bacino d’espansione, questa necessariamente anche dopo sop
presso il bacino, nell’egual tempo dovrà attraversare la stessa sezione a valle, non essendosi, pei’ causa di detta soppres
sione, mutate le condizioni di afflusso superiori, alle quali è strettamente legata.
Ciò posto, sarà sempre possibile con diagrammi stabilire la legge di variazione delle successive portate integrali in funzione del tempo.
Assunto l’asse delle assisse orizzontale a rappresentare i *
tempi (fig. 84), presi in data scala, a partire da 84, come or
dinate, in altra scala, si portano le portate del fiume corri
spondenti ai tempi stessi, tracciata la linea A B B C, luogo geometrico di queste ordinate, la A B B G dà la legge di va
riazione delle portate nel tempo compreso fra 0 e T che at
traversano la sezione del fiume a valle del bacino d’espansione.
Se ora con un planimetro, 0 con qualche procedimenti' geometrico, successivamente si misurano le aree da 0 a i,, da 0 a t2, e così via da 0 a T, queste ci rappresentano le portate integrali comprese fra questi tempi, ossia i valori:
( V • d t ; ) / ' q - d t 4- I I I q . d t — | % . dl ;
• 0 * > J 0
I q . d l + ' q . d t -f q . d t — / q . d t.
*“ ° J ty *'«.> J 0
/ ' ¿1 1* t-i i * t..
| q • d t + \ q . d t + | q . d t 4 ...4
- 0 >- «' ti
+ 1 ‘ tu — 19 • dl 4 ( 1 q - d t4 .\ . . .0)1
/ % 1 ' T
4 | - tììl q . d t — \* Oq . d t ~ P.
166 L ’INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI
P ortati successivamente questi valori, in data scala, come >
ordinate nei punti d ’ascisse tt ; t2; t3. . . tn ; t , ; t 2 . . . T, la curva 0 E F G ci dà la legge delle variazioni delle po r
tate integrali al variare del tempo.
Questa curva, necessariamente a partire dallo zero, per un certo tratto presenterà la concavità rivolta in alto, per q uindi rivolgerla al basso; e nel punto E di flesso, corrisponderà la portata massima, corrispondendo a quella località il massimo valore della tangente trigonom etrica, che è:
d Pi
Q m ~ dt.
ed alla sua origine 0 come in F corrispondente al punto G di portata eguale a ll’origine, saranno pure eguali i valori
d P
di ’ oss*a tan8e,lt* condotte alla curva in 0 ed in F saranno parallele.
Se ora sullo stesso asse delle ascisse, nella scala assunta a rappresentare le portate integrali, in corrispondenza ai tempi
ty ; i2 ;t 3 . . . tn ; r , ; t2 . . . r0 . . . T, si portano come ordinate i volum i im m agazzinati-nel bacino di espansione
vl ; v2; v3 . . . vn ; tvx ; w2; w3...; tracciata la linea 0 H L M T, siccome ciascuno di questi volum i è la portata integrale in più immessasi nel bacino d ’espansione durante 1 tem pi da 0 a tl, da 0 a i 2; e così via da 0 a T, potranno sommarsi queste ordinate a quelle delle corrispondenti por
tate integrali che attraversano la sezione del fiume a valle del bacino, ottenendosi così la linea 0 N P Q G, la quale ci rap
presenta la legge di variazione, in funzione del tempo, delle portate integrali immesse nel bacino d ’espansione.
Questa linea, come la 0 E F G, d a ll’origine 0 sino al punto P , presenta la concavità rivolta in alto, per q u in d i rivolgerla al basso; a questo punto di flesso, essendo quivi massimo l ’angolo della tangente trigonom etrica, corrispon
derà la portata massima d ’immissione nel bacino, che sarà quella che stab ilirà la portata di piena una volta soppresso il
bacino stesso, ed avrà luogo al tempo r dato d a ll’ascissa del punto P.
La tangente trigonom etrica a ll’origine 0 del tempo, r i mane la stessa di quella della curva 0 E F G, essendo la stessa portata q0 al tempo 0 ; e la portata, dopo soppresso il bacino d ’espansione, tornerà ad essere q0 al term ine del tempo r', assissa del punto Q di tangenza alla curva 0 N P Q G di una retta parallela alla tangente al punto 0 .
Con questa costruzione grafica si sono ottenuti, una volta soppresso il bacino d ’espansione, i tempi nei quali avverranno e la piena ed il ritorno del livello liquido alla quota di p ar
tenza a ll’origine del tempo.
Le ordinate della curva 0 N P Q G, rappresentano succes
sivamente le portate integrali al term ine dei corrispondenti ' tem pi, ossia :
Q ì — ( . p d t ;
*■' 0
differenziata questa espressione, si ha :
ossia che la portata p al term ine del tempo t è proporzio
nale alla tangente trigonom etrica d e ll’angolo formato dalla tangente al punto della curva di ordinata Q/ e di ascissa l.
Condotta (fig. 85) da un punto 0 tre rette form anti col
l ’asse delle assisse gli angoli a ; j3; 7, che rispettivamente form ano con lo stesso asse (fig. 84) le tangenti Ów; E e ; Pp ,
e sulla norm ale 0 A , a partire da 0 si porta la lunghezza 0 A eguale a q0 nella stessa scala assunta a rappresentare le por
tate nella figura 84, e condotta da A la parallela a ll’asse delle assisse sino a l l ’incontro S della retta 0 S formante l ’an
golo a, da S si abbassa la norm ale S R , questa sarà per co-
; struzione eguale a q0. Prolungata ora a ll’insù la retta R S, al suo incontro in U e V con le rette 0 U, 0 V form anti gli
L'INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI
Fig. -85.
angoli j3 e 7, stabilirà nelle parti intercette li U, R V le portate di piena qn e pm a fiume esondante e contenuto.
Difatti, essendo a; jS; 7 gli angoli che rispettivamente formano coll’asse delle ascisse (fig. 8-4) le rette 0«>; Ee; Pp, sarà :
tg a = Qo
donde :
tgJ3 =
- P rn ;
tg fi qm tga
e così si ha nella figura 85 :
tg“ = i f i r 1 ,g f =
e quindi :
Lontana da me l’idea di aver data una risoluzione del tutto esatta del problema, risoluzione che riescirà sempre molto difficile, trattandosi di un problema di moto vario, compli
cato vieppiù dall’incerta legge di variazione dei vari elementi, solo ho cercato, con i pochi elementi che si possono avere in questi casi, dei procedimenti che, mentre riescono di facile applicazione pratica, non dieno risultati che di troppo si al
lontanino dalla realtà dei fatti.
Padova, 15 agosto 1904.
Ing. G i a c i n t o T u r a z z a .
SCIENZA DELLE COSTRUZIONI
CALCOLO DEI LUNGHI PRISMI
COMPRESSI CON PICCOLA ECCENTRICITÀ 0 SOGGETTI ALL’AZIONE SIMULTANEA
DI FORZE FLETTENTI Se poi si guidano per i vari punti della curva 0 N P Q G
(iìg. 84) tante tangenti, e dal punto 0 della figura 85, si por
tano i corrispondenti angoli che formano con l’asse delle assisse, dove le rette formanti gli stessi angoli interseche
ranno la retta R V, nel tratto compreso fra il suo piede e l’intersezione si avranno le portate p corrispondenti a bacino d’espansione soppresso.
Siccome poi le tangenti alla curva 0 N P Q G nei punti compresi ira Q e G formano con l’asse delle ascisse angoli j minori di a, ne segue che a bacino d’espansione soppresso oltre il tempo r', le portate riesciranno minori della q 0 .
Per ottenere risultati abbastanza soddisfacenti, è necessario eseguire il disegno con scale piuttosto grandi per le ordinate.
Con questa costruzione grafica, in modo abbastanza sem
plice e spedito, si viene a stabilire, con un’approssimazione sufficiente per la pratica, l’effetto della soppressione di un bacino d’espansione di un fiume.
1. — Le norme abitualmente seguite in passato per cal
colare i lunghi prismi compressi, conducono a risultati con
tradditori. In vero, nel caso in cui il carico sia, per quanto è praticamente possibile, centrato in modo perfetto, si dedu
cono dimensioni maggiori di quelle che, a parità di altre j condizioni, risultano quando l’eccentricità e sia abbastanza
grande in modo da potersi valutare.
La causa di questo assurdo sta nel fatto che nel primo caso il calcolo si fa colle formole di Eulero, adottando quindi come*
! dimensioni del prisma quelle a cui carrisponde come valore
! critico del carico di punta un multiplo conveniente dello
| sforzo P, che si deve reggere, senza preoccuparsi se la com-
1 pressione unitaria massima che esso provoca sia minore anche di molto del carico di sicurezza U de! materiale adoperato.
Nel secondo caso invece il prisma si calcola appunto in base j a quest’ultimo criterio, ricorrendo alla formola di Navior, in
1G8 I/INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI
cui si tenga conto d e ll’incremento di eccentricità dovuto al- l ’inilettersi del solido, cioè:
p P e 0 )
k — F +
W cos l P
E T
ove / è la lunghezza, F la sezione del prism a, W ed I il m o
dulo di resistenza ed il momento d ’inerzia relativi al proba
bile asse di flessione.
Questo procedimenfo non presenta d ’ordinario sufficiente garanzia, perchè in un solido abbastanza lungo, prem uto con piccola eccentricità, è spesso m in im a la differenza fra lo sforzo norm ale, che vi provoca una compressione specifica massima uguale al carico di sicurezza, e il carico critico, sotto il quale nessun eq uilibrio è possibile.
Cosi una verga cilind rica in ferro di 1 cm. di diam etro, lunga 2 m ., adottalo k = 8 k g./m m 2, si calcolerebbe per sforzi norm ali di kg. 23,5 — 22,8 — 21,8 — 17, se l ’eccen
tricità fosse rispettivamente uguale a nini, 1 — 2 — 3 — 10;
mentre il valore critico per il carico di punta raggiunge ap
pena kg. 24,67.
Ora è chiaro che non si può prudentem ente assoggettare un solido ad un carico di 22 kg., per esempio, sapendo che un incremento nella sollecitazione esterna di soli kg. 2,67 è più che sufficiente a spezzarlo. Una prim a cautela da usarsi è dunque quella di verificare se un lungo prisma compresso con eccentricità nota ha per lo meno lo stesso grado di sicu
rezza che è abitudine assicurargli, calcolandolo come cari
cato di punta.
Ma, così facendo, non si tiene conto del peggioramenti* che l’eccentricità provoca nelle condizioni statiche del prism a.
Sempre riferendoci allo stesso esempio, scelto in modo che i fatti accennati risultino colla massima evidenza dai num eri, si vede che, adottando come coefficiente di sicurezza il n u
mero 5, usato abitualm ente per il ferro, la verga suddetta sarebbe stabile ad uno sforzo norm ale di 5 kg. circa, tanto nel caso in cui il carico fosse centrato, quanto per eccentri
cità crescenti fino a 12 cm .!
La stessa influenza esercitano pure le forze perpendicolari a ll’asse geometrico dei lunghi prism i compressi, siano esse concentrate, o ripa rtite, nonché una leggera deviazione del - l’asse della sbarra dalla retta che necongiunge i punti estremi.
Q uin di il calcolo di questi solidi può condurre a risultati a l
trettanto contradditori quanto quelli segnalati, che im porta rettificare,, trattandosi di casi m ollo im po rtanti e com uni, sopratutto nelle costruzioni m etalliche reticolari.
*
2. — Il solo criterio razionale e sicuro in questo, come in tutti i casi di eq uilibrio instabile, è quello di confrontare lo sforzo, che si deve reggere con sicurezza, al carico probabile di rottura P ’.
La difficoltà consiste q u in d i nel trovare foratole di facile maneggio per calcolare quest’u ltim o . T ali formole possono essere del tipo della (1 ), per quanto, in via d ’approssima
zione, è lecito ritenerle applicabili anche al periodo u ltra elastico che precede la rottura. L ’incertezza sta tutta nel va
lore da scegliersi come lim ite della tensione massima espressa dal secondo membro di dette equazioni e da sostituirsi a k;
poiché è certo che questo valere non può coincidere colla resistenza massima a rottura offerta dal m ateriale nelle prove a tensione.
Due sono gli in d irizzi già proposti a questo rig uardo : 11 prim o, dovuto al prof. T etm ajer, si fonda sui risu ltati di esperienze appositamente eseguite (*) e consiste nel sosti
tuire delta resistenza massima col numero che si ottiene, d i
videndola per un coefficienle di correzione, che si suppone variabile soltanto colla forma della sezione.
Il secondo, del prof. Foppl di Monaco, assume come valore- lim ite delle tensioni un itarie il lim ite di elasticità del m ate
riale, e si fonda sul seguente ragionamento ('*). La rottura dei lung h i solidi prem uti con piccola eccentricità deve aver luogo in uno stato di equilibrio instabile, affatto analogo a quello studiato da E ulero pei solidi caricati di punta. O ra, in tali condizioni, appena varcato in qualche fibra il lim ite di elasticità, ad un piccolo incremento dello sforzo sollecitante deve corrispondere un grande aumento della freccia, poiché la sezione del solido, che effettivamente resiste, viene man mano d im in u ita delle parti in cui lo snervamento ha avuto luogo.
A m bi gli autori si lim itarono poi alla risoluzione del pro
blema in casi speciali ; il T etm ajer supponendo il solido per
fettamente prism atico e l ’eccentricità iniziale costante per tutta la sua lunghezza ; il Foppl trattando il problema del so
lido ad asse leggermente incurvato e quello del prisma si
multaneamente inflesso da una forza norm ale al suo asse con
centrata in m età; l’ uno e l ’altro evitando i casi, non rari in pratica, della flessione deviata.
Parve q u in d i a chi scrive che l ’argomento meritasse uno studio ulteriore, sia trattando casi di maggiore generalità, non esclusi qu e lli in cui l ’asse si deforma in una curva ela
stica gobba; sia indicando un procedimento generale per so
stituire formole approssimate alle equazioni risolventi esatte, che sono d applicazione difficile al calcolo num erico, perchè contengono funzioni trascendenti d e ll’incognita; sia determ i
nando, col sussidio delle esperienze stesse del T etm ajer, i lim iti entro i quali esse formole dànno risultati atte nd ib ili.
*
3 . — Si vuole in prim o luogo dimostrare che le proiezioni della curva clastica di un prisma inflesso, fatte su due piatii paralleli agli assiprincipali centrali d’inerzia delle sue sezioni, coincidono in ogni caso colle curve secondo cui si deformerebbe il suo asse geometrico sotto l'azione di coppie flettenti di mo
mento uguale alle proiezioni del momento flettente effettivo sui piani stessi.
R iferiam o perciò il prisma a ll’asse x parallelo al suo asse geometrico prim a della deform azione; y e z siano diretti come gli assi G A e G B d e ll’ellisse centrale d ’inerzia della sua sezione (fig. 8 6 ) , di cui a e b sono in grandezza i se
miassi. Sia s l ’asse di sollecitazione, cioè la traccia del piano della coppia flettente sul piano della sezione di ascissa x. Se in dichiam o con <f> l ’angolo che s forma con y, e con M. ed i m om enti delle proiezioni della coppia flettente sui piani x y ed x z, rappresentate nella figura dai loro assi m om enti, si ha?
♦ A M"
tang <p = -- — - .
ed M, si devono riguardare come funzioni arbitrarie d e ll’ascissa x, potendo l ’asse di sollecitazione cambiare co
m unque orientam ento.
(*) L. v. Te t m a j e r, Die Gesetze der Knickungs, u nd der zusammengesetzten Druch festigkeit. — Vienna, 1903.
(**) A. Fo p p l, Voi'lesungen uberTeclinische Mechanik.
Parte III: Resistenza dei materiali. — 1900.
L ’INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI 169
Se con tJ/ si indica l’angolo che l’asse di flessione n forma con z, la nota proprietà per cui s ed n sono diametri con-
tang (2)
iugati dell’ellisse centrale d’inerzia si traduce nella rela
zione :
a2 a- AL
i r t8ng * = - - F M T '
Ciò premesso, per scrivere le equazioni della curva ela
stica del prisma, ricorriamo alla solita relazione fondamen-
1 AI
tale della flessione semplice — = r E I , ove con Al si deve intendere il momento della coppia flettente rispetto all’asse di flessione n, con I il momento d’inerzia della sezione mi
surato normalmente ad n, con r il raggio di curvatura in corrispondenza alla sezione di ascissa x. Si ha subito:
AI — AI» cos ^ — AIy sen ip (3) I = F (a2 cos2ip + b2 sen2 \j/).
Poi, esprimendo sen ip e cos \p per mezzo di tang e so
stituendo a questa il suo valore fornito dalla (2), si deduce dopo facili trasformazioni:
M 1 / 7 m v T F m \ .
E I E F a2 b2
Si tenga ora presente che, scrivendo la (3), abbiamo im
plicitamente supposto Al positivo, quando è positiva la sua componente AL e negativa AI^ (*). Se dunque si adotta il so
lito sistema di assi di riferimento nello spazio, e si considera, come è abitudine, AI“uguale al momento risultante delle forze applicate al tronco di prisma compreso fra l’origine e la se
zione presa in esame, si vede che per AI positivo la curva elastica rivolge la convessità verso -f- y e -f- z.
(*) Ciò concorda colle convenzioni abituali, invero per ve
dere il piano x z in modo che il senso positivo di x sia verso destra e quello di z verso il Uasso, bisogna guardarlo dalla parte di — y, quindi una coppia di momento positivo nello spazio intorno all’asse z appare negativa nel piano. Invece rispetto al piano x y i segni non si invertono, perchè va os
servato dalla parte delle z positive.
Allora bisogna scegliere l’espressione analitica del raggio di curvatura con segno negativo, come si fa nello studio della curva elastica piana : bisogna porre cioè:
1 __ | / / dì x d2y
d s2 d2 *
r r \ d s2 / V d s2 / ' \ d s2
Col solito grado di approssimazione, lecito in virtù della piccolezza delle deformazioni elastiche, riterremo che perla scelta speciale fatta dell’asse x si possa sostituire d x a d s,
d2x = 0, e : quindi porre — et S“2
JL = _ 1 / T * T \ ' + l* ± \ ' r V \d x ' ) \ dx* I
La prima equazione della curva elastica si riduce cosi alla forma:
- v ( S i M S f = x21 ' \dx2 ' EFfl2^2 ' ' . v • (4) L’altra equazione deve definire in posizione la normale principale alla curva sulla quale è disteso il raggio di cur
vatura.
d2 x d2 y d2 a .
r ——— , d s- r ,d s2 , r - , . ■d s2 sono ì coseni degù angoli che detta formale forma cogli assi. Ammesso come si è fatto testé d s = d x , il 1° si annulla, ciò vai quanto dire che la normale si può riguardare come coincidente colla sua proie
zione GR sul piano y z : gli altri due diventano:
y di z
d x2 1 d x 2
Già indicammo con \p l’angolo che G R forma coll’asse y ; quindi :
cos GR , 2 d2 z i d x2
tangxf/ = cos G R , y d2 y j d x 2
e finalmente, sostituendo a tang ^ il valore dato dalla (2), si ottiene :
d2zjd x2 a2 AL
d2 y I d x 2 b2 AI...
Elevando a quadrato ambi i membri di questa propor
zione, poi componendo, ed estraendo la radice, risulta:
\/{d2y j d x y + (dì z ! d x 1)2 f/a' Al2y + diW x
d2 y\d x 2 b2 AI»
Se ora dividiamo membro a membro la (4) per l’equa
zione precedente risulta:
d2 y AI__
~ dx 2~ ~ E F a2 '
Analogamente, tenendo conto delle osservazioni fatte sul segno dei momenti, risulta:
d2 z AI,/
!T à F = E F b2 ' (6)
La (5) e la (6) sono le equazioni differenziali delle su
perficie cilindriche con generatrici rispettivamente parallele agli assi z ed y , dalla cui intersezione risulta la curva ela
stica, che, anche in molti casi pratici, è, come vedremo, una linea gobba. Ala esse sono al tempo stesso le equazioni delle curve secondo cui si disporrebbe l’asse geometrico del prisma nei piani principali d’inerzia, sotto l’azione delle componenti del momento flettente che a ciascuno di essi competono. Resta quindi dimostrato l’enunciato, in virtù del quale ogni pro
blema nello spazio si riduce ad un problema nel piano, da trattarsi coi noti procedimenti di integrazione.
Fase l l u — Foe. 2°
