5 PROVE NON CAVITANTI SULL’INDUTTORE FAST2 PPRROOVVEE NNOONN CCAAVVIITTAANNTTII SSUULLLL’’IINNDDUUTTTTOORREE FFAASSTT22

SULL’INDUTTORE FAST2

P

P

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2

2

In questo capitolo verrà descritto l’induttore FAST 2 e verranno riportate le prove effettuate per la sua caratterizzazione in regime non cavitante. Le curve caratteristiche ottenute sperimentalmente verranno confrontate con quelle derivanti da alcuni modelli analitici. Infine verranno confrontate le prestazioni dei due esemplari di FAST2 forniti da AVIO, uno dei quali con un piccolo difetto su una pala.

5.1 Introduzione

L’induttore (FAST2) fornito da AVIO è un induttore molto simile a quello della pompa dell’ossigeno liquido del VINCI, il motore del nuovo ultimo stadio di Ariane 5 ESC-B; la differenza fondamentale è rappresentata dal numero di pale, nella fattispecie due per l’induttore con cui sono state effettuate le prove e tre per quello realmente montato sul VINCI (si veda la tabella5.2 ). Adottando ossigeno liquido come ossidante ed idrogeno liquido come combustibile, il VINCI è progettato per sviluppare una spinta nel vuoto di 180 kN, con una pressione in camera di combustione di 60 bar. L’impulso specifico dovrebbe risultare superiore a 424 secondi. Questo nuovo motore adotta un ciclo di alimentazione di tipo expander, un ciclo chiuso in cui l’energia richiesta per le turbine viene generata dal riscaldamento dell’idrogeno che fluisce attraverso il circuito di raffreddamento intorno alla camera di combustione ed alla parte superiore dell’ugello. L’ugello estendibile risulta infatti suddiviso in due parti: quella superiore, raffreddata rigenerativamente e quella inferiore (l’estensione) in materiale composito. Il VINCI ha la peculiare caratteristica di essere riaccendibile in volo grazie ad un accenditore elettrico. Nella seguente tabella sono riportate le caratteristiche fondamentali del VINCI.

General

Total vacuum thrust 180 kN

Vacuum specific impulse 424 s

Combustion pressure 60 bar

Restartable in flight 4 fois

Height 4 m

Nozzle exit diameter 2,15 m

Propellant flow rate

Mixte ratio 5,8

Oxygen flow rate 33,7 kg/s

Hydrogen flow rate 5,8 kg/s

Turbopomps

Speed LOX : 19 500 rpm

LH2 : 90 000 rpm

Power LOX : 350 kW

LH2 : 2400 kW

Tabella 5.1– Caratteristiche fondamentali del Vinci Figura 5.1 – Il VINCI

Il circuito di prova (figure 5.2 e 5.4 ) è stato riconfigurato per potervi montare l’induttore FAST2. In particolare a subire cambiamenti è stato il condotto di aspirazione, la parte a monte della camera di prova; il tubo di afflusso leggermente conico ed il flussimetro sono

stati sostituiti da due tubi flangiati di diametro interno 83 mm in modo da ottenere una sezione di passaggio atta alle dimensioni ridotte dell’induttore (vedi tabella 5.2 ). Si è deciso di attuare tale cambiamento di sezione subito dopo il tratto con l’honeycomb, con un brusco cambiamento di diametro, in modo tale che il lungo tratto di tubo prima dell’induttore permetta di ristabilire un flusso sufficientemente “pulito”.

Anche l’accesso ottico e le flange per i sensori in ingresso sono state riprogettati tenendo conto delle nuove dimensioni dei tubi: in particolare è stato fatto realizzare l’accesso ottico in plexiglas con un diametro interno tale da garantire una luce radiale tra condotto ed estremità delle pale (tip radial clearance) di 0.4 mm corrispondente al reale valore nella configurazione definitiva del VINCI.

La voluta è stata rimossa dalla camera di prova al cui interno sono rimasti solamente il condotto di immissione in alluminio fissato al coperchio anteriore ed un indirizzatore di flusso in plastica (figura 5.2), solidale all’albero ruotante ed opportunamente sagomato per guidare il flusso uscente in modo da sostituire in un certo senso la girante come spiegato nel paragrafo 3.2.2. La rimozione della voluta è stata necessaria in quanto l’induttore è stato progettato per ruotare nel verso opposto a quello per cui è stato pensato l’impianto ed in tal modo la voluta sarebbe risultata solo di impedimento al flusso a valle dell’induttore.

Figura 5.2 – L’induttore FAST2 sull’indirizzatore di flusso

Per un flusso non uniforme in direzione circonferenziale, quale è quello in uscita dall’induttore, si deve ricorrere ad una rappresentazione delle condizioni medie che sono ottenibili solo mediando più letture contemporanee disposte circonferenzialmente; per questo motivo sul “condotto di immissione” sono state predisposte quattro prese di pressione angolarmente spaziate di 90° che sono state collegate insieme in modo da ottenere direttamente una misura della pressione media a valle, pressione alla quale verrà sottratta la pressione in ingresso, ottenendo direttamente tramite il trasduttore differenziale il salto di pressione prodotto dall’induttore (più precisamente si ottiene un

valore molto vicino alla ∆p dell’induttore ma dato dalla differenza di pressione tra le due prese di pressione che, come precedentemente descritto, non sono disposte esattamente in corrispondenza dell’ingresso e dell’uscita dall’induttore).

Figura 5.3 – Il condotto di aspirazione prima della modifica, dal compensatore elastico (in basso a destra) al motore principale (in alto a sinistra)

5.2 Caratteristiche dell’induttore FAST2

L’induttore FAST2 è un induttore a due pale con caratteristiche geometriche identiche al VINCI, l’induttore a tre pale che sarà realmente montato sull’omonimo motore. Il raggio di estremità di pala si mantiene identico sia nella sezione di ingresso che in quella di uscita mentre il raggio del mozzo passa da 15 mm a 28.3 mm. L’angolo di pala varia sia assialmente sia radialmente conferendo all’induttore una geometria di non facile schematizzazione le cui caratteristiche principali sono riportate nella seguente tabella.

CARATTERISTICHE GEOMETRICHE FAST2 VINCI 180 kN

Inlet tip radius[mm] 41.1 41.1

Inlet hub radius[mm] 15 15

Outlet hub radius[mm] 28.3 28.3

Inlet tip blade angle[deg] 7.38 7.20

Inlet medium blade angle[deg] 9.37 9.53

Outlet tip blade angle[deg] 17.51 –

Outlet medium blade angle[deg] 21.24 19.50

Tip solidity 1.59 2.02

Medium blade chord[mm] 195 164.8

N blade 2 3

Tip radial clearance[mm] 0.5 0.4

PUNTO OPERATIVO DEL FAST2 Portata di progetto [kg/s] 20.78 Velocità di rotazione [rpm] 13000

Coefficiente di flusso Φ 0.07

Coefficiente di flusso AVIO Φ+ [m^3] 1.52 5 10−

Tabella 5.2 – Caratteristiche geometriche e punto operativo dell’induttore FAST2

Si nota inoltre una finitura superficiale, in particolar modo del mozzo ma anche delle pale, non delle migliori; ciò è comunque giustificato dal fatto che questi induttori di uso spaziale vengono realizzati di pezzo e nel caso del FAST2 le dimensioni ridotte non permettono lavorazioni troppo precise dal punto di vista della finitura superficiale. Nella figura che segue si mostra il grado di finitura del FAST2 confrontato con quello dell’MK1, l’induttore del motore Vulcani 1 di Ariane 5 progettato sempre da AVIO , avente raggio di estremità di 84 mm e per le cui caratteristiche geometriche e di prestazioni si rimanda al precedente lavoro di tesi [1].

Figura 5.6 – Confronto tra il grado di finitura superficiale del FAST2 e dell’MK1

5.3 Le prove

Le prove atte a determinare la curva delle prestazioni dell’induttore sono state eseguite nel seguente modo: il sistema di acquisizione dati è stato regolato in modo tale da avere una velocità di campionamento di 200 campionamenti al secondo per un numero totale di 1000 campionamenti e quindi una durata della prova di 5 secondi (non si hanno in questo caso esigenze particolari come nel caso delle prove atte alla determinazione degli spettri riportate nel capitolo 7). Sono state effettuate tre sessioni di prove ciascuna con velocità di rotazione dell’induttore diversa (3000 rpm, 2500 rpm, 2000 rpm).

Le tabelle seguenti riassumono i parametri adottati nelle tre prove.

Velocità angolare [rpm] 2000 Pressione in ingresso[bar] 1.16

Temperatura[°C] 23

portata variabile

Tabella 5.3 – Condizioni sperimentali per la determinazione delle curve (Φ,Ψ)

Velocità angolare [rpm] 3000 Pressione in ingresso[bar] 1.13 Temperatura[°C] 19.2 portata variabile Velocità angolare [rpm] 2500 Pressione in ingresso[bar] 1.15 Temperatura[°C] 22.3 portata variabile FAST2 MK1

Per ogni prova si sono seguiti i seguenti passi:

• acquisizione dei dati a motore spento in modo da registrare il segnale di base (offset) sempre presente e letto dai trasduttori,

• accensione del motore e raggiungimento attraverso rampa della velocità di rotazione voluta,

• regolazione della portata attraverso la chiusura progressiva della silent throttle

valve e lettura della portata tramite il flussometro a valle della camera di prova, • acquisizione dati tramite software Labview,

• arresto del motore ed acquisizione dei dati a motore spento per la prova successiva

Le prove sono state effettuate utilizzando il primo esemplare di FAST2 fornito da AVIO; tale induttore presenta un piccolo difetto di fabbricazione ma si è ritenuto che questo non potesse influenzare le prove finalizzate alla determinazione delle prestazioni dell’induttore in regime non cavitante. A dimostrazione di quanto appena affermato al termine della campagna di esperimenti sono state effettuate nuovamente le prove non cavitanti sul secondo esemplare di FAST2 senza difetti di fabbricazione ed i risultati, riportati nel paragrafo 5.6, hanno dimostrato che il comportamento delle due pompe è pressoché il medesimo così come era stato ipotizzato.

Per quanto riguarda la regolazione della portata si sono scelti decrementi quanto più regolari, tenendo sempre conto della regolazione manuale della silent throttle valve. Per le prove a 3000 rpm la portata massima (ovvero con la valvola tutta aperta) è risultata di 7.56 l/s; fino alla portata di 6.01 l/s si sono scelti decrementi di circa 0.2 l/s, da 6.01 a 4.04 l/s (valori di primaria importanza perché rappresentanti un intorno del punto operativo dell’induttore) i decrementi sono stati ridotti a 0.1 l/s mentre da 4.04 l/s fino all’ultimo valore acquisito (0.28 l/s) sono stati utilizzati nuovamente decrementi di 0.2 l/s. In questo modo sono state effettuate 46 prove a 3000 giri (e 46 prove a motore fermo). Per le prove a 2500 rpm si sono individuati un numero minore di punti sperimentali (20) adottando un decremento di circa 0.3 l/s e tenendo conto che in questo caso la portata massima risulta di 6.23 l/s.

Per le prove a 2000 rpm infine si sono individuati 19 punti sperimentali adottando decrementi di 0.25 l/s partendo dalla portata massima di 4.89 l/s.

Di seguito si riportano i grafici delle prestazioni; ciascun punto sperimentale è stato ottenuto mediando i 1000 campionamenti di pressione a quella determinata portata e sottraendovi la media del corrispondente valore di segnale di base del trasduttore misurato a motore fermo. Si sono inoltre confrontate le misure fornite dai due diversi trasduttori differenziali (figura 5.8 ) contemporaneamente montati ovvero

• il trasduttore di pressione differenziale, Kulite mod. BMD 1P 1500 100, con campo di misura da 0 a 100 psi (7 bar) e di classe 0.1% compensato in temperatura (nei grafici indicato come traduttore 1) ed

• il trasduttore di pressione differenziale, Druck PMP 4170 con campo di misura da 0 ad 1 bar, compensato in temperatura (nei grafici indicato come trasduttore 2).

Bisogna a questo punto osservare che, essendo le prese di pressione dei suddetti trasduttori posizionate non esattamente all’ingresso ed all’uscita dell’induttore ma a monte (flangia portasensori) ed a valle (condotto di immissione, appena all’interno della camera di prova) dell’induttore stesso, la pressione registrata risulta rispettivamente leggermente più alta e più bassa dei valori corretti, a causa dell’eliminazione o dell’aggiunta delle perdite dovute ai tratti di condotto che separano le prese dall’induttore. Il grafico di figura 5.10 dimostra come la curva delle prestazioni risulti indipendente dal valore della velocità di rotazione dell’induttore e quindi dal numero di Reynolds; affinché ciò sia verificato infatti, sia le condizioni di funzionamento reali che quelle relative alla prova sperimentale devono essere caratterizzate da un regime completamente turbolento, cioè da un valore di Re superiore a 106(si veda il paragrafo 3.3.1).

Questi grafici sono stati ottenuti definendo i due parametri dimensionali classici (si veda capitolo 2) 3 T Q R

Φ

π Ω

= (coefficiente di flusso) (5.1) 2 2 T T p R

∆

Ψ

ρ Ω

= (prevalenza) (5.2)

La variazione di pressione totale è stata scomposta nella sua parte statica, direttamente letta dal trasduttore differenziale, e nella parte dinamica la cui stima è stata inizialmente effettuata ipotizzando trascurabile il contributo di variazione di velocità radiale ed azimutale e calcolando l’incremento di velocità assiale (va) prodotto dalla “rastremazione

del mozzo”come indicato nelle seguenti equazioni (dal modellothroughflow riportato nel paragrafo 5.4.3 si può in realtà vedere come la velocità azimutale sia tutt’altro che trascurabile).

Figura 5.7 – Disegno schematico del mozzo e quote fondamentali

2 1 ( ) 2 T statica a p p v

∆

=

∆

+

ρ∆

(5.3) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( )v v_a v_a Q A A A A

∆

= − =  −    (5.4)

con : 2 2 1 ( h1) A =

π

R −R 2 _ 2 2 ( h2) A =

π

R R " " T

R=R + tip radial clearance

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 φ ψ trasduttore 1 trasduttore 2 ω=3000 rpm

Figura 5.8 – Confronto tra i dati rilevati dai due trasduttori differenziali (Ω=3000 rpm )

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 φ ψ

senza contributo dinamico con contributo dinamico

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 φ ψ ω=2000 rpm ω=2500 rpm ω=3000 rpm

Figura 5.10 – Indipendenza della curva delle prestazioni dalla velocità di rotazione e quindi dal numero di Reynolds (trasduttore2)

Viene inoltre graficato l’andamento della velocità specifica

Ω

_s, definita da

1 2 3 4 s

Φ

Ω

Ψ

= (5.5)

rispetto al coefficiente di flusso Φ per i tre valori della velocità di rotazione; in figura 5.11 si nota l’indipendenza della curva dal valore della velocità di rotazione. In corrispondenza del punto di progetto (Φ=0.07) il valore della velocità specifica risulta Ωs≈1; tale valore si posiziona a metà via tra i valori tipici delle pompe centrifughe ed i

valori tipici delle pompe assiali (si veda paragrafo 2.3) e ciò è da attribuirsi alla particolare geometria dell’induttore stesso.

Interessante è osservare come si posiziona l’induttore FAST2 sulle curve di Balje [2] Nella figura 5.12 in alto a destra, sono indicati i valori di alcuni parametri a cui le stesse curve si riferiscono, tra cui il numero di Reynolds Re=2

Ω

r_T2

ν

=108ed il rapporto tra il gioco radiale e l’altezza di pala

δ

h=0.02. Per il FAST2 il valore di

δ

h valutato in ingresso è di 0.015 mentre Re è dell’ordine di 106. A stretto rigore è possibile usare queste curve solo se i suddetti parametri hanno lo stesso valore e la geometria e le condizioni sperimentali sono le stesse, ma per un confronto indicativo sono comunque utili. Il valore di δ/h è leggermente inferiore mentre Re è significativamente più basso ma le curve di prestazione (Φ,Ψ) indicano che è stato superato il limite per cui l’effetto di Re diventa secondario. Il valore massimo del rendimento di circa 80÷90 %, ricavabile dal grafico di figura 5.12 risulta pertanto plausibile.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 1 2 3 4 5 6 φ v e lo c it à s p e c if ic a ω=2000 rpm ω=2500 rpm ω=3000 rpm

Figura 5.11 – Andamento della velocità specifica con il coefficiente di flusso (trasduttore t2)

5.4 I modelli di induttore: confronto con i dati sperimentali

Per avere un termine di paragone analitico vengono di seguito illustrati tre modelli teorici atti alla determinazione della curva caratteristica dell’induttore in condizioni non cavitanti. I modelli qui riportati sono:

• il modello “ideale”

• il modello quasi-tridimensionale • il modello “throughflow”

Bisogna però osservare che la caratterizzazione del flusso all’interno di una turbomacchina è estremamente complessa dato che esso è viscoso, non stazionario, normalmente turbolento, non adiabatico (a causa del raffreddamento delle pale) ed il campo di velocità è tridimensionale. I modelli qui trattati sono modelli che introducono ipotesi molto forti senza le quali non sarebbe possibile uno sviluppo analitico semplice del problema.

Si tiene a precisare che i modelli di seguito riportati ricavano, al variare del coefficiente di flusso, la prevalenza definita facendo uso del salto di pressione totale fornito dalla pompa. Come già accennato, le prove sperimentali ci forniscono una prevalenza definita dal salto di pressione statica (quello misurabile direttamente dal trasduttore differenziale). Per questo motivo i modelli riportati sembrano meno precisi di quello che in realtà risulterebbero se confrontati con curve di prestazioni in cui, tramite tecniche sperimentali, si fosse tenuto conto delle pressioni dinamiche. Poiché il modello “throughflow” risulta in grado di prevedere le varie componenti della velocità nella sezione di uscita, solo in questo caso è stato possibile calcolare la prevalenza in termini di salto di pressione statica per un confronto più immediato con i dati sperimentali.

5.4.1 Il modello “ideale”

Per semplificare l’analisi si assume che il flusso sia incomprimibile, assialsimmetrico e stazionario rispetto alla terna rotante solidale alle pale. Le pale si considerano infinitamente sottili e si trascurano le perdite viscose. La potenza può essere scritta come

( )

t

(

t2 t1

)

P=m

∆

h =m h
−h (5.6)

dove :

m
= ρQ : portata di massa

( )

ht

∆

:differenza di entalpia totale tra le stazioni di uscita e di ingresso

Dall’equazione di Eulero si ottiene (con v_θ si è indicata la velocità lungo la coordinata circonferenziale θ)

2 2 1 1

( )

e facendo l’ipotesi di flusso in ingresso puramente assiale ( per cui v_θ1= 0)

2 2

P=
m

Ω

r v_θ (5.7)

Ricordando inoltre che per un fluido incomprimibile soggetto ad un processo isoentropico vale l’espressione

∆

h_t =

∆

p_t/

ρ

eguagliando la (5.6) e la (5.7) si ottiene

2 2 t/

r v_θ p

Ω

=

∆

ρ

(5.8) Facendo infine l’assunzione che il flusso sia parallelo alla pala e dunque l’angolo di deviazione in uscita sia nullo e ricavando l’espressione di v_θ2 dal triangolo delle velocità in uscita si ottiene la curva delle prestazioni cercata:

(

2

)

1 cot _b

Ψ

= −

Φ

β

(5.9)

In questo ragionamento si è assunto che le condizioni di ingresso e di uscita siano uniformi ma nel caso reale ciò usualmente non avviene; le equazioni (5.6) e (5.9) divengono pertanto applicabili individualmente a ciascun tubo di flusso ed è dunque necessario l’integrazione per ottenere la corretta curva caratteristica. Ciò nonostante l’espressione (5.9) è ampiamente utilizzata per una stima seppure grossolana delle prestazioni della pompa. Nella figura seguente si riporta sullo stesso grafico la curva caratteristica del FAST2 ricavata sperimentalmente ed adottando l’equazione del modello “ideale”in cui come angolo di pala in uscita si è considerato quello medio (tabella 5.2 ).

0.010 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 φ ψ

stima modello 'ideale'

Figura 5.13 – Confronto tra la curva sperimentale e la curva teorica secondo il modello “ideale”

5.4.2 Il modello quasi-tridimensionale

In questo modello si assume che il flusso in una turbomacchina possa essere rappresentato da una serie di soluzioni bidimensionali relative ai vari tubi di flusso assialsimmetrici, con posizione radiale e spessore r₁,dr₁ in ingresso e r₂,dr₂ in uscita, come mostrato nella figura seguente.

Figura 5.14 – Geometria del generico tubo di flusso [3]

Questi metodi, assumendo superfici di flusso assialsimmetriche, trascurano i complicati aspetti tridimensionali, indicati tipicamente come flussi secondari, quali ad esempio il flusso inverso. Quando la macchina lavora in condizioni in cui questi aspetti sono importanti, il flusso tra le pale può avere superfici di flusso ben distanti dall’ipotesi di assialsimmetria.

Nel contesto delle macchine assiali sono stati sviluppati metodi approssimati di questo tipo al fine di determinare il legame r2(r1) come parte integrante della soluzione del flusso

quasi-tridimensionale. La maggior parte di questi metodi sono basati sull’applicazione della condizione di equilibrio radiale. Nella sua forma più semplice questa condizione assume che, nell’equazione del moto, tutti i termini normali alla superficie di flusso assialsimmetrica siano nulli, ad eccezione del gradiente di pressione e dell’accelerazione centrifuga, così che:

2 1 dp v dr r ϑ

ρ

= (5.10)

Tale assunzione viene utilizzata come una condizione che lega la pressione nei vari tubi di flusso in ingresso ed in uscita. Quando queste relazioni sono combinate con l’equazione di continuità e di energia per ciascun tubo di flusso, si genera un sistema completo di equazioni che legano le condizioni in ingresso a quelle in uscita. In questa classe di metodi le velocità normali alle superfici di flusso vengono trascurate, ma la

sezione trasversale dei tubi si modifica per soddisfare l’equazione del moto in direzione normale ai tubi. La procedura spesso utilizzata viene schematizzata come segue.

Si assume che il flusso in ingresso sia in equilibrio radiale; si divide tale flusso in tubi di flusso assialsimmetrici ciascuno con una specifica posizione radiale r1. Si fa una stima di

primo tentativo della funzione r2(r1) per poi procedere con un metodo numerico iterativo

in cui si valuta l’innalzamento di pressione totale attraverso ciascun tubo di flusso; a questo punto risulta nota la distribuzione di pressione in uscita e può così essere modificata la funzione r2(r1) in modo tale da ottenere il richiesto gradiente di pressione tra

ogni coppia di tubi di flusso adiacenti. La procedura viene ripetuta fino al raggiungimento della convergenza della soluzione.

In generale metodi di tipo quasi-tridimensionale vengono usati nella progettazione delle turbomacchine; infatti un obiettivo comune è quello di ottenere una variazione monotona della pressione totale in direzione assiale e l’uniformità della stessa in direzione radiale. Combinando questa condizione con quella di equilibrio radiale si ottiene l’equazione:

( )

2

(

2 2

)

2 1 0 m d d v r v dr +r dr θ = (5.11)

Se inoltre imponiamo che la velocità assiale vmdebba rimanere costante al variare del

raggio, l’equazione (5.11) implica che la velocità circonferenziale vθ vari come 1/r; tale

condizione porta al cosiddetto progetto a “vortice libero” che si distingue dall’altro approccio detto progetto a “vortice forzato” in cui la velocità vθrisulta proporzionale ad r

e dunque in accordo con la (5.11) la velocità assiale decresce come r.

Nell’ambito delle pompe si usa prevalentemente il progetto a “vortice forzato”; tale approccio progettuale, unito alla richiesta aggiuntiva di velocità assiale uniforme, porta alla classiche pale elicoidali tipiche ad esempio degli induttori.

In qualche semplice caso oltre alla soluzione numerica è possibile ottenere i risultati in forma analitica e ciò è quello che ci proponiamo di ottenere per il modello semplificato denominato modello quasi-tridimensionale [3].

In relazione alla figura 5.14, l’equazione di conservazione di massa richiede che:

( )(

)

1 1 1 2 2 cos

m m H

v r dr =v n R +n

θ

dn (5.12)

Applicando l’ipotesi di equilibrio radiale, la distribuzione di pressione sul piano di uscita è data da:

(

)

2 2 2 2 cos 1 cos H v p n R n ϑ

ϑ

ρ

θ

∂ = ∂ + (5.13)

Bisogna inoltre assumere nota la variazione dell’angolo di pala βb2(n) con la posizione, ad

esempio del tipo ad elica piana e ipotizzare che l’angolo di deviazione sia nullo. In questo modo la formulazione del problema è completa e si procede con l’eliminare, tramite la precedente equazione, p2(n) dall’equazioni di Bernoulli scritta in un sistema rotante (con

2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2p 2p w r

Ω

w r

Ω

ρ

+ − =

ρ

+ − (5.14)

Usando quindi i triangoli delle velocità e l’equazione di continuità (5.12) si riesce a sviluppare una singola equazione differenziale in vm2(n).

Assumendo un flusso uniforme in ingresso ed integrando sulla superficie di uscita per ottenere l’energia totale aggiunta al fluido, si ottiene([1])

(

2 1

)

2 2 1 2 tip hub n t t t m n p p p r v dn Q

∆

=

∫

−

π

(5.15) ed adimensionalizzzando il risultato 1 2 2 3 2

Ψ

=

Σ

+

Σ Φ

+

Σ Φ

oppure ₁ 1 _{2 1} 2 3 2 1 1 A A A A

Σ

Ψ

Σ

Σ Φ

Φ

= + + (5.16) con:

(

)

2 2 2 2 2 2 * * * 2 4 3 2 3 2 _{* *} 2 1 3 2 2 2

cot sin cos

1 ln ln cos tan 1 ln cot tan bT bT bT bT bT bT bT

Γ

β

Γ

β

β

Σ

Γ

Γ

Γ

Γ

β

Σ

β

Γ

Γ

Σ

Σ

β

Σ

β

   = +        _{ }  _{ } = −  _{ }  _{ }  = − −    2 2 2 1 H T R R

Γ

= −     ; * 2 2 1 cos _bT

Γ

= −

Γ

β

Si precisa che nelle (5.16) i coefficienti di flusso sono definiti come nella referenza [3] ovvero : 1 1 T1 Q A R

Φ

Ω

= ₂ 2 T2 Q A R

Φ

Ω

=

dove A1 e A2 sono rispettivamente l’area di ingresso e l’area di uscita.

Anche in questo caso il risultato dipende solo da quantità geometriche. Come si può riscontrare dalla seguente figura, questo modello predice il comportamento della pompa in modo più vicino alla realtà rispetto al modello precedente anche se i valori predetti di coefficiente di prevalenza sono ancora molto più grandi di quelli effettivi.

La forma della curva viene invece stimata abbastanza correttamente; ciò vuol dire che conoscendo un punto sperimentale si può ben approssimare la curva di prestazione attraverso la curva teorica traslata di una opportuna quantità.

0.010 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 φ ψ

stima modello quasi 3D

Figura 5.15 – Confronto tra la curva sperimentale e la curva teorica secondo

il modello quasi-tridimensionale

5.4.3 Il modello “throughflow”

L’approssimazione “throughflow”, oltre a fondarsi sulle ipotesi che verranno enunciate di volta in volta di seguito, considera il rotore come costituito da un numero infinito di pale assialmente schiacciate in modo da formare una superficie di discontinuità per il flusso. Si consideri un singolo tubo di flusso che passa attraverso un rotore e supponiamo che il fluido sia

• non viscoso • incomprimibile • stazionario • adiabatico

Facendo il bilancio dell’energia posseduta dal flusso tra le superfici 1 e 2 mostrate in figura 5.16, si ricava la variazione di entalpia totale lungo una linea di flusso (equazione di Eulero): ( ) t h r v_θ

∆

=

ω ∆

(5.17)

dove, per riportare le stesse notazioni di figura 5.16 , con ω è stata indicata la velocità angolare di rotazione e l’entalpia totale è pari a:

1 2

t

h = +h v v⋅ (5.18)

r z

v =u e +v e_{θ θ} +w e (5.19)

Figura 5.16 – Geometria di un tubo di flusso

Supponendo che nelle sezioni 1 e 2 non ci sia flusso radiale (u=0) si può scrivere:

z v =v e_{θ θ} +w e (5.20) 2 2 1 ( ) 2 t h = +h v_θ +w (5.21)

Sostituendoli nella (5.17) si ottiene:

2 2 1 ( ) 0 2 h v_θ w r v_θ

∆

_ + + −

ω

_=   (5.22)

Supponendo le linee di flusso praticamente parallele ad ez,dato che la direzione er è

perpendicolare alle linee di flusso, si può fare il seguente passaggio:

2 2 1 ( ) 0 2 d h v w r v dr θ θ

∆

 _ + + −

ω

_=     (5.23)

dove l’espressione tra parentesi graffe può essere scritta nella seguente forma:

(

)

2 2 1 ( ) 2 d r v dv d dh dw h v w r v v w dr dr dr dr dr θ θ θ

ω

θ θ

ω

   + + − = + + −  _{ }     (5.24)

Dal primo principio della termodinamica e considerando il flusso isoentropico ed incomprimibile la variazione di entalpia può essere scritta come

1 dh 1 dp dh dp

dr dr

ρ

ρ

= ⇒ = (5.25)

e dall’equazione di equilibrio alla quantità di moto

1 Dv Dv F gradp F gradp Dt Dt

ρ

ρ

ρ

= − ⇒ = − (5.26)

in cui con F sono state indicate le forze esterne “di volume” per unità di massa che agiscono sul fluido. La derivata totale della velocità è pari a :

Dv v v grad v Dt t ∂ = + ⋅ ∂ (5.27)

Scrivendo l’equilibrio in direzione radiale usando la (5.26) scritta in coordinate cilindriche e ricordando che è u = 0 si ha

2 1 p v r r θ

ρ

∂ = ∂ (5.28)

Combinando la (5.25) con la (5.28) si ottiene:

2

v dh r dr

θ _{= (5.29)}

e quindi sostituendo la (5.29) nella (5.24) e sviluppando le derivate, si ricava l’equazione di Eulero in forma modificata:

(

)

(v )d r v 0 dw w dr r dr θ θ

∆

_ + −

ω

_=   (5.30)

Dato che la funzione tra parentesi quadre è costante lungo tutta una linea di flusso, per le ipotesi fatte (la linea di flusso è praticamente coincidente con la direzione z ) essa dipende solo da r e θ . Se si suppone inoltre che il flusso sia assialsimmetrico ovvero che d/dθ = 0 la funzione tra parentesi della (5.30) dipende solo da r e può essere scritta come:

(

)

(v )d r v ( ) dw w C r dr r dr θ θ

_ω

  + − =     (5.31)

La figura seguente mostra come appare il flusso all’interno di una macchina assiale con le ipotesi prima fatte: si noti come le pale si riducano ad una superficie di discontinuità per il flusso e come a modificarsi siano la componente assiale e quella circonferenziale della velocità in quanto quella radiale è stata ipotizzata nulla.

Figura 5.17 – Rappresentazione delle velocità all’interno di una macchina assiale con l’approssimazione “throughflow”

Nella figura seguente sono mostrati i triangoli delle velocità per il flusso all’ingresso (1) e all’uscita (2) del rotore.

Figura 5.18 – Triangoli delle velocità per il flusso in ingresso (1) e per il flusso in uscita (2)

L’analisi fino qui svolta riguarda una generica macchina con qualsiasi geometria. Considerando un solo stadio di compressione del rotore ed assumendo che:

• siano note le condizioni in ingresso w₁ev_θ1

• l’angolo di uscita del flusso dalle pale ' '

2 2

β

=

γ

(dove

γ

₂' rappresenta l’angolo di pala riferito alla direzione assiale)

• r=r₁=r₂e quindi 2 1 1 2 dr d d d dr dr dr dr   = =    

la (5.31) diventa, considerando il flusso che passa tra la superficie 1 e 2:

(

)

(

)

2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 d r v d r v v v dr dw dw dr dr r dr dr r dr θ θ θ

_ω

θ

_ω

    + − = + −         (5.32)

Dal triangolo delle velocità di figura5.18 e dall’equazione di continuità di massa tra le sezioni 1 e 2 si ottengono rispettivamente:

2 2 2tan '2 v_θ =

ω

r −w

β

(5.33) v1 ingresso 1 W1 1 v1rel uscita v2 2 W2 2 v2rel r1 r2 vθ1 vθ2

2 1 2 2 1 1 1 2 2 r dr 2 r dr dr w dr w

π ω

=

π ω

⇒ = (5.34)

Sostituendo le (5.33) e (5.34) nella (5.32) si ricava svolgendo i calcoli:

2 ' 2 ' ' ' ' 2 2 2 2 2 2 2 1 sin cos

ln(cos ) 2 sin cos

dw d w H dr r dr w

β

β

β

ω

β

β

  + −  − =   (5.35) dove

(

)

2 1 1 1 1 2 d r v v dw H dr r dr θ θ

_ω

⋅  _{ }  = + −      

Per risolvere l’equazione differenziale (5.35) occorre introdurre ulteriori ipotesi ovvero: • assenza a valle di uno statore

• le pale hanno andamento elicoidale tale che

tan

(

'

₂

)

₂'_T

t

r

tg

r

β

=

γ

• la velocità circonferenziale in ingresso è nulla (v_θ1=0) • la velocità assiale in ingresso è costante (w₁=cost) • la portata volumetrica è tale che 2

t t m r r

Φ ω π

ρ

=

Di seguito si riporta una figura rappresentante le grandezze principali dell’induttore.

Figura 5.19 – Geometria dell’induttore

Dalle ipotesi precedenti si deduce che H=0; dopo laboriosi calcoli, usando anche l’espressione presente nella seconda delle su scritte ipotesi e ricordando la relazione trigonometrica 2

tan

sin

1 tan

α

α

α

=

+

la (5.35) diviene:

' 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 ' 2 2 cot 2 2 0 cot cot t T t T t T r r dw r w dr r r r r

γ

ω

γ

γ

+ − = + + (5.36)

L’espressione appena scritta è una equazione differenziale del primo ordine a coefficienti variabili la cui soluzione generale risulta facilmente ottenibile e pari a :

2 ' 2 3 2 2 2 2 ' 2 2 cot ( ) cot T t t T t r C r w r r r r

γ

ω

γ

+ = + (5.37)

A questo punto per determinare l’andamento della velocità assiale in uscita, w2, occorre

determinare la costante C3; ciò è possibile imponendo la condizione di continuità di

massa tra le superfici 1 e 2 (figura 5.17 ) come segue

1 2 2 2 t t h h r r r r m
=

π ρ

∫

w r dr=

π ρ

∫

w r dr (5.38) Si ottiene l’espressione della costante:

2 ' 2 2 ' 3 ' 2 3 2 cot cot ln( ) ln( ) ln( ) h T t T T r r C ctg K K K

γ

γ

Φ

γ

⋅ = − + + (5.39) in cui 2 ' 2 2 2 ' 2 2 cot 1 cot T h T t K r r

γ

γ

+ =   +    

Sostituendo la (5.39) nella (5.37) si ottiene la soluzione dell’equazione differenziale per il caso che si sta trattando:

2 ' ' 2 2 2 ' 2 2 ₂ 2 ' 2 2 cot cot cot ln( ) cot h T T t T t T t r r w r r K r

γ

γ

Φ

γ

ω

γ

− + = + ⋅   +     (5.40)

Sostituendo l’espressione di w2 appena trovata nella (5.33) si ottiene dopo diversi

passaggi 2 2 2 ' 2 2 cot T t r D v r r θ

ω

γ

= + (5.41)

in cui ' ' 2 2 tan _T Atan _T D B

Φ

γ

γ

 +  = −     con 2 ' ' 2 2 2 cot cot h T T t r A r

γ

γ

= − e 2 ' 2 2 2 ' 2 2 cot 1 ln cot T h T t B r r

γ

γ

    +   = _{ }   + _{ } _{ }  

Per tracciare la curva caratteristica è necessario a questo punto ricavare il coefficiente di pressione Ψ di cui si ricorda la formula:

2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) t t t p r p r r r

ψ

ω

ρ

− = (5.42)

Dall’equazione di Eulero e dalla condizione v_θ1=0 si ottiene la variazione di pressione totale tra le sezioni 1 e 2

( )

2( ) 1 2 t t p r − p r =

ρ ω

r v_θ (5.43) e sostituendovi la (5.41) risulta: 2 2 2 1 2 2 ' 2 2 ( ) ( ) cot t t T t r D p r p r r r

ω

ρ

γ

− = + (5.44)

Per calcolare la prevalenza è necessario integrarla su tutta la superficie e successivamente adimensionalizzare il risultato ottenuto dividendolo per la superficie:

(

)

2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 t h r t t t r t h p r p r rdr r r r

π

ω

ρ

ψ

π

− = −

∫

(5.45)

Dalla (5.40) si possono ricavare valori negativi di w2; fisicamente ciò si spiega con la

previsione del flusso inverso. Se quanto appena detto accade, gli estremi di integrazione della (5.45) devono essere scelti in maniera tale che non vi sia flusso inverso: considerare le zone in cui c’è flusso inverso, infatti, equivarrebbe ad ottenere prevalenze più alte e quindi non realistiche. Invece di integrare tra rh ed rt in alcuni casi si dovrà pertanto

integrare tra rno backflowed rt.

Assumendo per comodità di notazione l’assenza di flusso inverso l’integrazione porta alla seguente espressione

2 ' 2 2 2 ' 2 2 2 1 tan cot ln( ) 1 ln( ) 1 h T t T h t r r Y r Y r

Φ

γ

γ

ψ

    − −         = −     −         (5.46) in cui 2 2 ' 2 2 2 2 ' 2 cot cot t t T h t T r r Y K r r

γ

γ

 _{+ ⋅}  = = + ⋅   .

L’espressione appena trovata fornisce il valore della prevalenza della pompa in condizioni ideali di assenza di perdite ovvero di flusso isoentropico. Per il calcolo di ψ, definito mediante il salto di pressione statica, si può partire dall’equazione (5.45) ed eseguire l’integrazione una volta sottratti i termini dinamici alle pressioni totali.

Per tenere conto delle perdite è stato utilizzato un modello empirico proposto da Lakshminarayana [4], in cui è stato calcolato il coefficiente di pressione in funzione del coefficiente di flusso attraverso uno studio su dati sperimentali:

2 1 4 ( , ) 1 ( ) ( , ) ht media L loss L r L h t n R Cord r V r r d U R

φ

ψ

φ

λ

φ

  =     (5.47) in cui

• d_h = +r_t r_h rappresenta il diametro medio idraulico • il coefficiente di flusso per il modello dell’articolo è pari a :

1 L t w r

φ

ω

= ⋅ (5.48)

mentre quello che compare nell’equazione (5.46) è uguale a

(

)

(

)

2 2 2 2 1 1 mod 3 3 t h t h t t w r r w r r r r

π

φ

π ω

ω

− − = = (5.49) e quindi

(

)

2 mod _{2 2} t L t h r r r

φ

=

φ

− (5.50) •

(

)

2 2 ( ) 2 Cord r ≅

π

r +passo • Ut =ωrt • il coefficiente di perdita _r t r f r

λ

=   

  è ricavato dalla curva empirica

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 r/rt λr

Figura 5.20 – Variazione radiale del coefficiente di perdita

• Vmediaè lamedia della velocità relativa in ingresso fatta sulla circonferenza di

raggio r e tale che (si ponga come da ipotesi v_θ1= 0 e si veda la figura 5.18

V_1rel( , )r

φ

=

(

ω

r

)

2+w₁2 (5.51) dove 2 1 2 2 t t t h r w r r r

φ ω

= − • media h n L V d R

ν

= (numero di Reynolds) • h h t t r R r =

Dopo aver ricavato

ψ

_loss(

φ

_mod) integrando su r come era stato fatto per il coefficiente di pressione senza perdite, si può calcolare il coefficiente di pressione risultante:

mod mod mod

( ) ( ) ( )

fin loss

ψ

φ

=

ψ φ

−

ψ

φ

(5.52)

Di seguito si riportano innanzitutto le curve rappresentanti il valore della velocità assiale e circonferenziale in uscita dall’induttore al variare del raggio per diversi valori del coefficiente di flusso. Si fa notare come il coefficiente di flusso per cui inizia il flusso inverso risulta Φ = 0.048.

0.028-1 0.03 0.032 0.034 0.036 0.038 0.04 0.042 0.044 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 r[m] v e lo c it à a s s ia le i n u s c it a [ m /s ] φ = 0.02 φ = 0.04 φ = 0.06 φ = 0.08 φ = 0.10 φ = 0.12

Figura 5.21 – Velocità assiale in uscita all’induttore secondo il modello“throughflow”

0.0282 0.03 0.032 0.034 0.036 0.038 0.04 0.042 0.044 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 r[m] v e lo c it à c ir c o n fe re n z ia le i n u s c it a [ m /s ] φ = 0.12 φ = 0.10 φ = 0.08 φ = 0.06 φ = 0.04 φ = 0.02

Figura 5.22 – Velocità circonferenziale in uscita all’induttore secondo il modello“throughflow”

Come viene messo in luce dal modello, la velocità circonferenziale vθ non può essere

trascurata rispetto a quella assiale come si è precedentemente ipotizzato nel paragrafo 5.3 ed è pertanto più corretto definire Ψ soltanto con la differenza di pressione statica, direttamente misurata dai trasduttori, anziché inoltrarci in stime azzardate del contributo dinamico per ottenere la differenza di pressione totale. Come risulta dalle curve di figura 5.8 la differenza tra la curva tracciata con il contributo dinamico derivante dall’assunzione fatta nel paragrafo 5.3 e quella riportante la prevalenza definita con la sola pressione statica risulta minima per cui i grafici non sono stati riprodotti. Nel paragrafo successivo verranno invece riportati i grafici utilizzando, sebbene nella diversa definizione dei parametri usata da AVIO, le pressioni statiche anziché quelle totali.

Nella figura seguente viene riportata la curva delle prestazioni stimata col modello “throughflow”. 0.010 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 φ ψ

stima modello "throughflow"(_ψ

T)

stima modello "throughflow"(_ψ

S)

Figura 5.23 – Confronto tra la curva sperimentale e la curva teorica secondo il modello “throughflow”(ΨT: prevalenza definita con pressioni totali, ΨS: prevalenza

definita con pressioni statiche)

Infine si riporta il confronto tra i tre modelli adottati ed la curva sperimentale.

0.010 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 φ ψ

stima modello "throughflow"(_ψ

T)

stima modello "throughflow"(_ψ

S)

stima modello "ideale" stima modello "quasi 3D"

5.5 Prestazioni: parametri AVIO

In questo paragrafo si riportano i grafici delle prestazioni usando i parametri utilizzati da AVIO ovvero:

Q

Φ

Ω

+ ₌

[m3] coefficiente di flusso AVIO (5.53)

2 p

∆

Ψ

ρ Ω

+ ₌

[m2] coefficiente di lavoro AVIO (5.54)

Come precedentemente accennato nella definizione della prevalenza si fa uso della differenza di pressione statica tra valle e monte dell’induttore, differenza direttamente letta dai trasduttori differenziali.

Le curve sperimentali sono infine state confrontate con la curva di previsione delle prestazioni fornita da AVIO la cui espressione risulta:

3 5 2 5

10 0.0625 ( 10 ) 0.0058 ( 10 ) 0.477

Ψ

+_{⋅ = −}

Φ

+_{⋅ −}

Φ

+_{⋅ +}

(5.55)

Come si vede dal grafico seguente, i risultati teorici sono essenzialmente in accordo con quelli sperimentali in un intorno del punto operativo dell’induttore, mentre si discostano maggiormente quando ci si allontana dalle condizioni di progetto.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 10-5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x 10 -4 φ+[m3] ψ + [m 2 ] ω=2000 rpm ω=2500 rpm ω=3000 rpm curva AVIO

5.6 Confronto delle prestazioni dei due esemplari di FAST2

Come accennato nell’introduzione al capitolo, al termine della campagna di esperimenti sono state condotte le prove in regime non cavitante sull’induttore non difettato con lo scopo di verificare che le due pompe presentino la medesima curva caratteristica.

Le tabelle seguenti riassumono i parametri adottati nelle quattro prove effettuate secondo le modalità descritte nel paragrafo 5.3.

Tabella 5.4 – Condizioni sperimentali per la determinazione delle curve (Φ,Ψ)

Le curve ricavate alle varie velocità sono state riportate su un medesimo grafico per ottenere un grafico analogo a quello di figura 5.10 e dimostrare nuovamente l’indipendenza della curva di prestazione dalla velocità di rotazione quando questa è tale per cui il numero di Reynolds (riferito al diametro) risulta maggiore di 106.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 φ ψ ω=2000 rpm ω=2500 rpm ω=3000 rpm ω=3500 rpm

Figura 5.26 – Curva delle prestazioni per l’induttore FAST2 non difettato (trasduttore2)

Velocità angolare [rpm] 3500 Pressione in ingresso[bar] 0.917 Temperatura[°C] 23.3 portata variabile Velocità angolare [rpm] 3000 Pressione in ingresso[bar] 0.906 Temperatura[°C] 22.4 portata variabile Velocità angolare [rpm] 2500 Pressione in ingresso[bar] 0.913 Temperatura[°C] 21.3 portata variabile Velocità angolare [rpm] 2000 Pressione in ingresso[bar] 0.917 Temperatura[°C] 20.4 portata variabile

Per un confronto diretto e più immediato si riportano nella figura seguente le curve delle prestazioni dei due induttori ottenute nella medesima sessione di prove rimontando nella camera di prova l’induttore difettato ed effettuando le prove a 3000 rpm.

Tabella 5.5 – Condizioni sperimentali per la determinazione della curva (Φ,Ψ) per l’induttore difettato 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 φ ψ induttore difettato induttore non difettato

Figura 5.27– Confronto delle prestazioni dei due esemplari di FAST2 (trasduttore2)

Il grafico mostra come le due curve risultino perfettamente sovrapposte. Si nota inoltre che la curva dell’induttore difettato si estende fino a coefficienti di flusso più elevati rispetto a quella dell’induttore non difettato. Ciò è semplicemente dovuto al fatto che al momento del montaggio del FAST2 difettato sono state tolte le due cadute di pressione “a filtro” inserite per le prove cavitanti sul FAST2 non difettato e descritte nel capitolo seguente; questo comporta un aumento della portata massima che si può ottenere a 3000 rpm.

Velocità angolare [rpm] 3000 Pressione in ingresso[bar] 1.15

Temperatura[°C] 29.1

5.7 Bibliografia

[1] R. Testa , Studio sperimentale delle instabilità fluidodinamiche di cavitazione su un

induttore commerciale e sul MK1 della turbopompa LOX di ariane 5, Tesi di Laurea in Ingegneria Aerospaziale, Università di Pisa, 2002-2003.

[2] O.E. Balje, Turbomachines: a guide to design, selection and theory, John Wiley&Sons, 1981.

[3] C.E. Brennen, Hydrodynamics of Pumps, Oxford University Press, 1994.

[4] B. Lakshminarayana, Fluid Dynamics of inducer a review, Journal of Fluids Engineering, 1982.