III appello di Matematica C,
Corso di laurea in Ingegneria Elettronica
4 Settembre 2007
1)
Una connessione internet dal sito A al sito B deve passare necessariamente attraverso il sito C oppure il sito D, secondo lo schema in figura (i numeri accanto ad ogni connessione indicano la probabilit`a che questa sia funzionante; il funzionamento di ogni connessione `e indipendente da quello delle altre). Perch´e B sia raggiungibile da A, `e necessario che almeno uno dei due possibili collegamenti tra A e B sia funzionante. Si chiamino AC e AD gli eventi “il collegamento tra A e C (risp. tra A e D) `e funzionante”, e CB e DB gli eventi “il collegamento tra C e B (risp.tra D e B) `e funzionante”. Si chiami inoltre AB l’evento “B `e raggiungibile da A”.
Si esprimano gli eventi AB e AB ∩ AC usando gli eventi AC, CB, AD e DB. Si calcolino poi
a) la probabilit`a che B sia raggiungibile da A;
b) la probabilit`a che B sia raggiungibile da A, dato che C `e raggiungibile da A;
c) la probabilit`a che C non sia raggiungibile da A, dato che B `e raggiungibile da A.
A
D C
B
1/2 1/2
3/4 1/4
2)
Sia X ∼ B(1/3) e sia Y una v.a. tale che Y condizionata a {X = 0} ha legge B(2, 1/4), mentre Y condizionata a {X = 1} ha legge B(2, 1/3). Si calcolino:a. E[Y | X = 0] e P {Y ≤ 1 | X = 0}
b. P {Y ≤ 1}
c. P {X = 0 | Y ≤ 1}
d. la densit`a discreta congiunta di (X, Y ).
3)
Si consideri la curva γ parametrizzata da r(t) =((t2, t3) per t ∈ [0, 1]
(2 − t, 2 − t) per t ∈ [1, 2].
a. Si abbozzi un disegno di γ e se ne calcoli la lunghezza;
b. date le forme differenziali
ω1 = y dx − x dy e ω2= y cos(xy)esin(xy)dx + x cos(xy)esin(xy)dy, si calcolino R
γω1 e R
γω2.
4)
Data la superficie S = {(x, y, z) : z = 1 −px2+ y2, z > 0}, la si disegni e si determini il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = (1 − z, 1 − z, x2− x − y)) attraverso S, orientata nel verso delle z positive.Si ritrovi lo stesso risultato usando il teorema della divergenza.
Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.
Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
