SISTEMI e MODELLI
Prof. Laura Giarré
Laura.Giarre@UNIMORE.IT https://giarre.wordpress.com/ca/
Sistemi e Modelli - Dal sistema ad un modello
• Sistema:
insieme, isolato artificialmente dal contesto, costituito da più parti tra loro interagenti di cui si vuole indagare il comportamento
Sistema (dinamico) Variabili
di ingresso Variabili
di uscita
Variabili di ingresso: azioni compiute sul sistema da agenti esterni che ne influenzano il comportamento
variabili di uscita: grandezze del sistema in esame che, per qualche ragione, sono di interesse
Rapporto causa-effetto tra le variabili
Sistemi e Modelli - Dal sistema ad un modello
• Sistema statico/dinamico
• modello matematico dei sistemi statici
• equazioni algebriche (sistemi privi di memoria)
• l'uscita del sistema dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante
• es: relazione tra tensione e corrente in un resistore
• modello dei sistemi dinamici (a parametri concentrati)
• equazioni differenziali (sistemi con memoria)
• l'uscita del sistema non dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante, ma anche da quelli passati
• es: relazione tra tensione e corrente in un condensatore
Variabili di stato: variabili che descrivono la “situazione interna” del sistema (determinata dalla storia) necessarie per determinare l’uscita (sono legate alla memoria passata del sistema)
Sistemi e Modelli - Dal sistema ad un modello:
Esempi
Ingresso Stato Uscita
Rappresentazione esterna
Descritti dal modello matematico
Rappresentazione interna
Sistemi e Modelli - Dal sistema ad un modello
Esempi
Sistema meccanico Circuito RC
Ingresso: forza motrice
Uscita: posizione del carrello Stato: posizione e velocità del carrello
Ingresso: tensione ai capi del generatore
Uscita: tensione ai capi della resistenza
Stato: tensione ai capi del condensatore
Sistemi e Modelli – Rappresentazione di stato (interna)
• Evoluzione dello stato in funzione dell’ingresso e dello stato:
• Dipendenza dell’uscita dall’ingresso e dallo stato
Dato x(t0) (valore dello stato all’istante iniziale) e dato u(t), t ≥ t0, sotto certe proprietà di regolarità di f( ), allora l’equazione di stato
definisce l’andamento di x(t) e y(t).
Ingresso Stato Uscita
Equazione di stato
Vettore di stato
Derivata dello stato all’istante t Vettore di ingresso
Vettore di uscita
Sistemi e Modelli – Rappresentazione di stato (interna)
Ordine del modello Numero di ingressi Numero di uscite
Sistemi e Modelli – Rappresentazione di stato (interna) - esempio
• Sistema meccanico Dalla legge di Newton si ha che quindi definendo
si ottiene il modello matematico
dove
Sistemi e Modelli – Rappresentazione di stato (interna) - esempio
• Circuito RC Dalla legge delle tensioni e sapendo che
si ottiene
Avendo posto u(t) = vG(t), x(t) = vC(t), y(t) = vR(t)
Sistemi e Modelli – Rappresentazione ingresso-uscita (esterna) - esempio
• Circuito RC Dalla legge delle tensioni e sapendo che
si ottiene
Avendo posto u(t) = vG(t), y(t) = vR(t)
ovvero (derivando rispetto a t)
Sistemi e Modelli
• statici/dinamici
• modello matematico dei sistemi statici
• equazioni algebriche (sistemi privi di memoria)
• modello dei sistemi dinamici (a parametri concentrati)
• equazioni differenziali (sistemi con memoria)
• monovariabili/multivariabili (SISO – MIMO)
• un ingresso-una uscita, più ingressi-più uscite
• lineari/nonlineari
• le variabili entrano linearmente/non linearmente
• invarianti/tempo varianti
• le loro caratteristiche sono costanti/variano nel tempo
• a parametri concentrati/distribuiti
• equazioni differenziali ordinarie/alle derivate parziali
Sistemi e Modelli
Definizione:
• Un modello si dice causale quando l'uscita corrispondente ad una data
sollecitazione si manifesta soltanto in istanti non anteriori a quello iniziale di applicazione della sollecitazione
• Un modello non causale si dice anticipativo.
• Un modello anticipativo non può corrispondere ad alcun sistema fisico
• non è immaginabile un sistema che reagisca ad una sollecitazione ancor prima che questa sia applicata!
è non causale se consideriamo x come ingresso ed y come uscita (si pensi alla derivata come rapporto incrementale)
occorrono sia il valore passato che quello futuro della variabile
Non si può costruire un derivatore
ideale Il modello
è causale se consideriamo y come ingresso ed x come uscita
Modelli non causali sono utilizzati per comodità di analisi e manipolazione e filttraggio
Modelli a parametri concentrati
• Le caratteristiche fisiche dei sistemi dinamici sono distribuite nel sistema fisico stesso:
• - massa
• - elasticità
• - resistenza
• - ...
• Nella descrizione dei modelli dinamici, se possibile, è bene fare delle approssimazioni che permettono di concentrare in uno (o pochi) punti tali caratteristiche e quindi ottenere notevoli semplificazioni nelle loro espressioni matematiche. Si hanno i cosiddetti modelli a parametri concentrati.
• Nella pratica, anche se è chiaro che tutte le caratteristiche dei sistemi fisici sono distribuite, si cerca ove possibile di avere modelli a parametri concentrati.
Modelli a parametri concentrati
• I modelli a parametri concentrati sono espressi da equazioni
differenziali ordinarie (tempo continuo) o equazioni alle differenze (tempo discreto), che sono funzioni solo del tempo:
• Se non è possibile considerare come concentrati alcuni dei parametri del modello, allora si deve ricorrere a equazioni alle differenze
parziali. Infatti, la dinamica non dipende solo dal tempo ma anche, per esempio, dallo spazio:
Modelli a parametri costanti nel tempo
• Se le proprietà di un dato sistema sono indipendenti dal tempo (costanti), allora i relativi parametri sono costanti. I relativi modelli sono detti stazionari o invarianti.
• Per tali sistemi si ha la ripetibilità degli esperimenti: l'uscita che si ottiene
applicando al sistema con un dato stato iniziale x0 un ingresso al tempo t0 è uguale (a parte una traslazione nel tempo) a quella che si ottiene (con lo stesso stato
iniziale x0) applicando lo stesso ingresso all'istante t-.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Tempo (s)
x, y
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Tempo (s)
x, y
Modelli a parametri costanti nel tempo
• Da un punto di vista pratico, è raro che i parametri di un sistema non cambino nel tempo.
• D'altra parte, è sufficiente che essi non varino in modo
apprezzabile in un arco temporale confrontabile alla durata dell'esperimento.
• Nei modelli stazionari, non ha importanza l'istante di inizio dell'osservazione, che viene quindi solitamente considerato uguale a zero: t0 = 0
Risposta da stato zero
• In generale, l'uscita y(t) di un sistema dinamico per t >t0 dipende:
• dall'ingresso u() applicato in [t0, t];
• dallo stato iniziale x0 che ha il sistema per t =t0.
• Risposta da stato zero (o risposta forzata)
Si dice risposta da stato zero o risposta forzata la risposta yZS(t) di un
sistema che è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli) e che viene sollecitato da un ingresso non nullo.
• Il sistema, senza l'applicazione dell'ingresso non nullo, rimarrebbe indefinitivamente nella condizione di quiete.
Risposta da stato zero
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Tempo [sec]
Pos, Vel
Risposta all`impulso (caso ideale)
x(t)
f
Palla inizialmente in quiete (v0 = 0), sollecitata da una forza impulsiva (piano con attrito non nullo).
Risposta da stato zero
Risposta con ingresso zero
• Risposta con ingresso zero (o risposta libera)
• Si dice risposta con ingresso zero o risposta libera la risposta yZI(t) di un sistema che è sollecitato da un ingresso nullo.
• Se il sistema è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli), vi permane per t > t0, altrimenti vi è una evoluzione dell'uscita.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
i(t)
Condensatore inizialmente carico (q(t0) = q0 0);
la variabile di uscita è la corrente i(t) nel circuito.
Risposta completa
• Risposta completa
• Si dice risposta completa la risposta di un sistema che si trova inizialmente in condizioni non di quiete ed è sollecitato con ingresso non nullo.
• E’ in questo caso necessario conoscere sia l'ingresso applicato che lo stato iniziale in cui si trova il sistema.
• ESEMPIO: Data una massa m che nell'intervallo [t0, t1] cade in caduta libera, soggetta alla sola forza di gravità -g, non è possibile in t = t1 calcolarne la posizione e/o la velocità se non si conoscono la posizione e la velocità iniziali.
Modelli lineari
• Una funzione è lineare sse gode delle seguenti proprietà:
1) Additività 2) Omogeneità
• Un modello dinamico è lineare sse valgono le seguenti tre proprietà:
1) la risposta con ingresso zero è lineare rispetto allo stato iniziale;
2) la risposta da stato zero è lineare rispetto all'ingresso;
3) la risposta completa coincide con la somma della risposta con ingresso zero e della risposta da stato zero:
• Spesso, l'ipotesi di linearità di un sistema è una approssimazione che si applica considerando opportune limitazioni sugli ingressi e uscite del sistema stesso.
• In generale infatti i sistemi fisici NON sono lineari, e possono essere considerati tali solo entro opportuni intervalli di `funzionamento'.
Modelli lineari
• ESEMPIO: Si consideri la risposta completa di un sistema dinamico
in cui x0 = x(t0) è lo stato iniziale.
La risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato zero, però il sistema è non lineare poiché la risposta non è lineare né rispetto allo stato iniziale (x02) né rispetto all'ingresso (u2).
Modelli lineari
• ESEMPIO: Si consideri la risposta completa del sistema dinamico
Il sistema è non lineare poichè la risposta non è lineare rispetto all'ingresso (u2).
• ESEMPIO: Si consideri la risposta completa del sistema dinamico
Il sistema è lineare poiché:
• la risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato zero;
• la risposta è lineare rispetto allo stato iniziale;
• la risposta è lineare rispetto all'ingresso.
Modelli lineari
• Molti sistemi ammettono modelli matematici lineari purché i valori delle variabili non escano da determinati campi.
• Si consideri il sistema di figura, costituito da un serbatoio:
• la portata entrante q1 è funzione lineare della posizione x dello stelo di una valvola q1= K x
• si suppone che la portata uscente q2 sia indipendente dal livello z.
z2 z x
q2 q1
Modelli lineari
• Il modello matematico del sistema è espresso dall'equazione integrale lineare
o, equivalentemente, dall'equazione differenziale (ottenuta derivando rispetto al tempo ambo i membri)
in cui z indica il livello dell'acqua nel serbatoio (in m), Z0 il livello iniziale, q1 e q2 le portate entrante e uscente (in mc/sec), A l'area della sezione orizzontale del serbatoio (in mq).
• Tale modello è evidentemente valido entro i limiti
in cui X1, X2, Z1 (=0) e Z2 rappresentano rispettivamente i valori minimo e massimo della posizione dello stelo della valvola e del livello nel serbatoio.
Modelli lineari – Proprietà di sovrapposizione degli effetti
• Per i sistemi lineari vale una proprietà molto importante:
La sovrapposizione degli effetti.
• Linearità rispetto allo stato iniziale
Questo caratteristica dei sistemi dinamici risulta evidente (ed utile) nello studio dei sistemi nello spazio degli stati.
Modelli lineari – Proprietà di sovrapposizione degli effetti
• Linearità rispetto all'ingresso
Sia dato un sistema inizialmente in quiete.
Si applichino (singolarmente) i q ingressi ui(t), i=1, …, q, t ¸ 0 ottenendo le corrispondenti risposte forzate yZS,i(t):
• La linearità rispetto all'ingresso implica che se si applica al sistema l'ingresso
allora si ottiene l'uscita
u(t) y(t)
Modelli lineari – Proprietà di sovrapposizione degli effetti
• Esempio:
• Additività delle risposte
Proprietà di additività della risposta libera e della risposta forzata.
