LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA LOCALE

PROBLEMATICHE DI SICUREZZA E PROTEZIONE

ASSOCIATE AL FULMINE

LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA LOCALE

Il campo elettromagnetico va descritto in tutti i punti dello spazio attraverso gli operatori differenziali spaziali e temporali divergenza e rotore

Le equazioni di Maxwell in forma locale ci evidenziano le sorgenti del campo elettromagnetico, in termini di divergenza (“fontane o pozzi”) o in termine di rotore (“vortici”).

Le sorgenti possono dipendere direttamente dai campi (“sorgenti interne”, in rosso) o meno (“sorgenti esterne”, in blu; in realtà, anche le sorgenti “esterne” possono essere “prodotte” dai campi.

(1”)

-¶

=

´

Ñ B

E

(2”)

e

= r

× Ñ E (3”)

(4”) ÷

ø ç ö

è æ

¶ + ¶

=

´

Ñ t

J E B m

e

Il sistema di equazioni differenziali di Maxwell si presta a soluzioni analitiche dirette solo in alcuni casi (ad es. propagazione di onde piane).

Dal punto di vista generale occorrerà considerare che le equazioni di Maxwell sono differenziali nello spazio e nel tempo e quindi

occorrerà conoscere (vedi oltre) le condizioni al contorno del dominio di indagine (o le condizioni all’infinito, nel caso di domini

illimitati) e le condizioni iniziali.

Potenziali elettromagnetici - Equazioni di Poisson

Le equazioni di Maxwell permettono di identificare rapidamente potenziale vettore e potenziale scalare. Infatti abbiamo

) (

0 B A A è il potenziale vettore B = Þ = Ñ ´

×

Ñ

Quindi

F Ñ

¶ - - ¶

= Þ F -Ñ

¶ = + ¶ Þ

÷ = ø ç ö

è æ

¶ + ¶

´ Ñ

¶ Þ

´ Ñ - ¶

¶ = - ¶

=

´

Ñ t t t t t

E A E A

E A A

E B ( ) 0

dove Φ è il potenziale scalare elettromagnetico, riconducibile, in caso stazionario, al potenziale elettrostatico.

ò ^×

+ F

= F Û F -Ñ

=

B

A

es

A B E t dl

E ( ) ( )

Il campo elettrico ammette un potenziale scalare solo nel caso stazionario (o quasi-stazionario), mentre il campo magnetico ammette sempre potenziale vettore.

Nel caso stazionario J A

2

= m

Ñ -

0 0 2

e

= r F Ñ -

(equazioni di Poisson)

Problema di Laplace – Poisson

equazione di Poisson ed equazione di Laplace

Un problema di Poisson (o di Laplace) si dirà ben posto se sono verificate le condizioni perché la soluzione sia unica

L’assegnazione del valore sul contorno prende il nome di condizione di Dirichlet, l’assegnazione della derivata normale –lato interno per il problema interno, lato esterno per il problema esterno – prende il nome di condizione di Neumann.

Nel primo caso, è univocamente individuato il potenziale scalare, nel secondo caso è univocamente definito il campo elettrico, grandezza significativa dal punto di vista ingegneristico in quanto rappresenta la sollecitazione specifica sulle cariche e quindi definisce il moto delle particelle o il comportamento del mezzo materiale. La ricerca della soluzione prende il nome di problema di Dirichlet o problema di Neumann. Possono presentarsi anche problemi misti o raccordati, nel senso che le condizioni al contorno non sono tutte dello stesso tipo e/o sono collegabili ad analoghe condizioni in domini contigui.

Si può dimostrare che un problema di Poisson può essere ricondotto ad un problema di Laplace.

) ( )

2

(

P f P

V =

Ñ Ñ

V ( P ) = 0

TEMATICHE DI INDAGINE E SVILUPPO

1. Fenomenologia del fulmine

2. Fulminazione diretta ed indiretta di oggetti e strutture a terra o fuori terra

3. Modelli sperimentali in laboratorio e all'aperto

4. Diagnostica

5. Protezione dalla fulminazione diretta

6. Protezione dalla fulminazione indiretta

7. Prove – Normativa

1. FENOMENOLOGIA DEL FULMINE

a. Fenomeni elettrici naturali nell'atmosfera

b. Fenomeni di pre-scarica - Innesco del fulmine

c. Sviluppo del canale di fulmine (leader).

d. Attachment

e. Colpo di ritorno (return stroke)

f. Dart leader e successivi colpi di ritorno (restrike)

STUDI SUL FULMINE Teorie e sperimentazioni

1746 Winkler, J.H.

Die Stärke der elektrischen Kraft des Wassers: Breitkopf, Leipzig

confronta le scariche elettriche con i fulmini e li collega all'interazione di particelle cariche nell'aria

1752 Franklin, B.

Phys.Trans. Roy.Soc. 47, 289

fa riferimento all'accumulo di cariche nelle nubi temporalesche e conduce esperimenti a Filadelfia

1752 D'Alibard, T.F.

Letter to Acad. des Sciences

Conduce esperimenti simili a quelli di Franklin a Marly (Parigi)usando bottiglie di Leida

1753 De Romas, J.

Memoire...Mem.Acad. Bordeaux

Provoca con un captatore una scarica elettrica di 3 m,... with more noise than a pistol shot

1775 Beccaria, G.B.

Dell'elettricità terrestre atmosferica a cielo sereno- Turin

studia le variazione del campo elettrico in condizioni di bel tempo

1779 De Saussure, H.B.

Voyage dans les Alpes Geneva

introduce nuovi metodi di misura (elettrometro d'argento, conduttore mobile)

1782 Volta, A.-Del modo di rendere sensibilissima la più debole elettricità sia naturale sia artificiale.

Phil.Trans.Roy. Soc. 72, p.237-280

prende in considerazione l'elettrificazione dell'aria a causa della vaporizzazione dell'acqua

1842 Peltier, A. Récherches sur la cause des phénomènes électriques de l'atmosphère .Ann.Chim.Phys. 4, 385

ipotizza una elettrificazione permanente negativa della terra

1860 Thomson, W. (Lord Kelvin) Atmospheric electricity

Roy. Instn. Lect.

-costruisce elettrometri a grande sensibilità

- propone la registrazione fotografica e l'uso di palloni-sonda - esegue misure sulla polarità della pioggia

- introduce il concetto di gradiente del potenziale elettrico naturale

1887 ^{Linss, F.}

Uber einige Wolken- und Lufteletrizitaet betreffende Probleme, Met.

Z. 4,p.345-362

- valuta il tempo di rilassamento dell'aria in 10-50 minuti; eppure la terra rimane negativa

1896 Popov, A.S.

J.Russ.Phys.Chem.Soc 28 p.7-9

- per primo rilevò oscillazioni a radiofrequenza provenienti dall'atmosfera

1902 Heaviside, O. Thelegraphy. I. Theory -Encicl. Brit,33, 213-218 Kennelly, A.E.

On the evaluation of the electrically conducting strata of the earth's atmosphere.-Electr.World, N.Y.,39,473

- quasi contemporaneamente postulano l'esistenza di strati conduttivi nella parte alta dell'atmosfera per giustificare la trasmissione a lunga

distanza delle radioonde

1903 Walter, B.

Ann.Phys.,Leipzig 10,393-407

studia la struttura del fulmine con una camera mobile

1905 Langevin, P.

Sur les ions de l'atmosphère C.R. Acad.Sci.,Paris 140,232-234

dimostra la presenza nell'atmosfera di ioni di garndi dimensioni

1911 Hess, V.F.

Messungen der durchdringenden Strahlen bei zwei Freiballonfahrten, S.B.Akad. Wiss.,Wien 120, 1575-84

attribuisce ai raggi cosmici la principale causa di formazione degli ioni nell'atmosfera; nella parte più alta interviene la radiazione solare, nella

parte bassa contribuiscono i fenomeni radioattivi

1916 Wilson, C.T.R.

On some determinations...

Proc.Roy.Soc,A,92,555-74

- propone un modello di ionizzazione delle particelle d'acqua e di separazione di carica nelle nubi temporalesche

1920 Wilson, C.T.R. Investigation on lightning discharges...

Phil.Trans.,A,221, 73-115

- suggerisce che la terra rimane negativa a causa delle precipitazioni negative in tutto il mondo

1926 Boys, C.V.

Nature, Lond,118 749-750

progetta una camera rotante (fig.1.1.8-9)

1927 Simpson, G.C.

The mechanism of a thunderstorm Proc.Roy.Soc.A,14,376-401

- introduce l'idea della carica positiva localizzata nella parte inferiore della nube

1932 Schonland, B.F.J.

Atmospheric electricity Metheun, London

- distingue tra lo strato conduttivo dovuto ai raggi cosmici (elettrosfera) dagli strati di Heaviside di origine solare (ionosfera)

1953 Newman, N.N. Aircraft and lightning - Thunderstorm electricity pp328-334

Effects of lightning on metallic aircraft

1955

aeroplani durante la II guerra mondiale

1957 1958

Clark, J.F.Airborne measurement of atmospheric potential gradient J.Geophys.Res, 62,617-28

Kraakevik, J.H.Electrical conduction and convection currents in the proposphere.Rec.Adv.75-88

- misurano la conducibilità dell'aria sulla Groenlandia e stimano a 300 kV il potenziale dell'elettrosfera

1980-...

sperimentazione sia a terra che in volo

CORRENTI DI CONDUZIONE

50 km

Heaviside layers (ionosphere)

(+)

(-) clouds

0.2-15 km

22km Heaviside layers (ionosphere) Equalizing layer (electrosphere)

balloons

VALORI MEDI MISURATI DEI PARAMETRI DI CONDUZIONE

( )

S J I

m E A

J

m q S

n q n

m h V

E E

earth

earth 3.45 4 6.3 1760

10 45 . 3

10 3 . 2 150 ) 0 (

2 0

2 12 0

0

14 0

=

×

×

×

=

=

úûù êëé

×

=

=

úûù êëé

= +

=

úûù êëé

=

=

=

-

- -

- - + + +

p s

m m

s

Carica "continuamente" trasferita

Q I T C

ossia

Q C km year

c earth

c

= = × × × × @ ×

@

1760 60 60 24 365 55 10

110

9

2

'

/ /

C

r r

r

h mF

earth electrosphere

earth electrosphere

= æ -

èç ö

ø÷

@ @

4

1 1

4 40

0 0

pe pe

G@ 0.01 mS t@ 1 h

CORRENTI DI PRECIPITAZIONE

Nubi di maggior importanza:

- cumulo-nembi - nembo-strati

MECCANISMI DI SEPARAZIONE DI CARICHE NELLE NUBI

- teorie microscopiche - teorie macroscopiche

- Teoria di Wilson (1920): cattura preferenziale di elettroni e cariche negative a gocce d'acqua in caduta polarizzate per induzione Þ piogge "negative"

- Teoria di Simpson (1927): il meccanismo Wilson è integrato dalla formazione di ioni positivi a partire da gocce d'acqua polverizzate da correnti ascensionali

Þ piogge "positive"; la distribuzione delle cariche nelle nube è strettamente legata alla temperatura.

CLASSIFICAZIONE DEI FULMINI

- nube-terra (cloud-to-ground lightning) - interno alla nube (intracloud lightning)

- nube-nube (intercloud lightning)

- nube-aria (cloud-to-air lightning)

-

CLASSIFICAZIONE DEL FULMINE NUBE-TERRA - discendente negativo;

- discendente positivo;

- ascendente positivo;

- ascendente negativo

Ramificazione

Intercettazione

FULMINI NUBE-NUBE

FREQUENZA DEI FULMINI

- Carte isocerauniche

- Medie mondiali: 30 fulmini al secondo

RADIOLOCARLIZZAZIONE RADIOLOCALIZZAZIONE

MODELLO Quasi Stazionario Elettrico Equazione di Poisson

n e n

V n

0 2

e - - +

= Ñ

=

× Ñ E Equazioni di continuità

( )

(

)

- - +

+

=

- -

=

× Ñ + Ñ + Ñ -

- -

=

× Ñ + Ñ + Ñ -

- + + -

=

× Ñ + Ñ + Ñ -

,

* 1

*

*

* 2

2 2

n i n n

n t n

eccit n mol

n n a n n a n

n n n t D

positivi n ioni

n n n a n

n n n t D

negativi n ioni

n n dt a n dn n

n n n t D

elettroni n

qi i i i p p pi n n ni e

ei i

n p n e p e e

p p p p p p

n p n n n e

n n n n n n

e p e n

n e

e e e e e

t d t

d

¶ d

¶

¶ a

¶

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¶

¶

h t

¶ a

¶

v v

v

v v

v v

v v

e

e e

e e

( )

( ) ^{( )}

(

)

0

*

1

4

, 1 ,

,

, ,

, ,

) ( , )

( , )

(

tiche caratteris Funzioni

0

dV P P

e P n dt

azione dn fotoionizz

pi i pi ni

ni ei

e ei eccitazion

distacco attacco

ne ionizzazio

E E

E Drift

i

P P i

i

i V i

n n

p p

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e

i

= -

¥

=

=

=

=

=

=

=

= -

= -

=

¥ -

åòòò

^{h m} _pt

d d d

d d

d

t t h h a a

j m

) E ( )

E ( )

E (

) E ( )

E ( ) E (

) E ( E v v E

) E ( E v v E

)

E

(

E v

v

E

26

CENNI SUL

MODELLO TOPOLOGICO

Indagine su figure di Lichtenberg (1777) Legge di Toepler (1907)

Frattali Laplaciani stocastici

Probabilità di avanzamento della scarica:

( )

( )

å

= -

' 0

0

) ' , (

) ' , ) (

' , (

P P P E

E P P P

P

p _z

z

E E

Creazione di "liste" di possibili streamer

Valutazione del meccanismo precursore - Transizione streamer-leader Definizione della zona attiva

Valutazione della dimensione frattale (figura statica e dinamica) Meccanismo "add and cut"

Coefficiente di "growth rate fluctuation" su N iterazioni – Legge di Hurst

CONTINUA

IN UNA PROSSIMA PUNTATA (VIRTUALE)

….. peccato che si studino solo i circuiti ………per l’esame !