g 2 2 Ω Ω ∂Ω ∂Ω f () () ⋅ ⋅ ⎧⎨⎪⎩⎪ ⎧⎨⎪⎩⎪ ∇ ∇ u u = = fP fP in in Ω Ω , L H () () u u = = gQ gQ , ∂Ω ∂Ω

(1)

G. Miano, Appunti del Corso di Modelli Numerici per i Campi, 2012

I problemi di seguito proposti possono essere risolti utilizzando il metodo degli elementi finiti e le altre tecniche numeriche sviluppate durante il Corso. Essi riguardano la soluzione delle equazioni di Poisson, Helmholtz, diffusione, propagazione e Schrödinger.

P.1 Equazione di Poisson lineare Problema 1.1

Si consideri l’equazione di Poisson bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Dirichlet

∇²u= f P

( )

^{in Ω}

u _∂Ω = g Q

( )

⎧⎨

⎪

⎩⎪

dove Ω è il dominio delimitato dal rettangolo ∂Ω. Questo problema ha una sola soluzione.

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo degli elementi finiti utilizzando elementi triangolari (Appendice 4).

ii) Si risolva il problema scegliendo le funzioni f e g in modo tale che la soluzione sia esprimibile in forma analitica, si confronti la soluzione numerica con quella analitica e si studi l’errore della soluzione numerica al crescere del numero di nodi della griglia utilizzando sia la norma ⋅ _L

2 che la norma ⋅ _H1. Problema 1.2

∇²u= f P

( )

^{in Ω,}

u _∂Ω = g Q

( )

^,

⎧⎨

⎪

⎩⎪

dove Ω è il dominio delimitato dalla circonferenza ∂Ω. Questo problema ha una sola soluzione.

(2)

∇²u= f P

( )

ⁱⁿ^Ω,

u _∂Ω = g Q

( )

^,

⎧⎨

⎪

⎩⎪

dove Ω è il dominio delimitato dall’ellisse ∂Ω. Questo problema ha una sola soluzione.

Si consideri l’equazione di Poisson bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Neumann

∇²u= f P

( )

^{in Ω,}

∂u

∂n ^∂Ω= ′g Q

( )

⎧

⎨⎪

⎩⎪

dove Ω è il dominio delimitato dalla circonferenza ∂Ω e ˆn è il versore normale a ∂Ω uscente da Ω. Le funzioni f = f P

( )

^e ^g^′^{= ′}^{g Q}

( )

verificano la condizione di compatibilità

′

g Q

( )

^dl⁼ ^{f P}

( )

^dS

∫∫

Ω

∂Ω

∫

^.

La soluzione di questo problema è unica a meno di una costante additiva arbitraria.

(3)

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo degli elementi finiti utilizzando elementi triangolari (Appendice 4).

ii) Si risolva il problema scegliendo le funzioni f e g in modo tale che la soluzione sia esprimibile in forma analitica, si confronti la soluzione numerica con quella analitica e si studi l’errore della soluzione numerica al crescere del numero di nodi della griglia utilizzando sia la norma ⋅ _L

Si consideri l’equazione di Poisson bidimensionale con condizioni al contorno di tipo misto

∇²u= f P

( )

^{in Ω,}

u _Γ

1= g Q

( )

^,

∂u

∂n ^Γ² = ′g Q

( )

^,

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

dove Ω è il dominio racchiuso dal rettangolo ∂Ω, Γ1 e Γ2 sono le parti del rettangolo indicate in Figura P1.1 e ˆn è il versore normale a ∂Ω uscente da Ω¹. La soluzione di questo problema è unica.

ˆn

1

2

Figura P.1

1 Negli spigoli del rettangolo la normale non è definita, tuttavia sono definiti il limite “destro” e il limite

“sinistro”, che sono diversi.

(4)

Si consideri l’equazione di Poisson bidimensionale non omogenea con condizioni al contorno di tipo Dirichlet

∇ ⋅

(

ε∇u

)

^{= f P}

( )

^{in Ω,}

u _Γ = g Q

( )

^,

⎧

⎨⎪

⎩⎪

dove Ω è il dominio racchiuso dal rettangolo Γ e ε = ε P

( )

è una funzione del punto P costante a tratti, del tipo illustrato in Figura P.2. Questo problema ha una sola soluzione se ε > 0 ovunque in Ω².

ˆn

= 1 = 2

1 2

Figura P.2

2 che la norma ⋅ _H1. P.2 Equazione di Poisson non lineare

Problema 2.1

Si consideri l’equazione di Poisson non lineare monodimensionale d²ϕ

dx² = −ρ x

( )

ε − L < x < +L (1)

con le condizioni al contorno

2 Pur essendo la funzione ε = ε P( ) discontinua in corrispondenza del setto Σ, la soluzione u= u P( )^e

ε ∂u / ∂n( ) sono entrambe continue su Σ.

Σ

(5)

ϕ x = −L

( )

^{= 0} ⁽²⁾

ϕ x = +L

( )

^{= −ϕ}0 (3)

dove

ρ

( )

x ^{= q N x}

{ ( )

^{+ p x}

( )

^{− n x}

( ) }

^, ⁽⁴⁾

N x

( )

⁼ ^N^D^{( )}⁰ ^x^{> 0,}

−N_A^{( )}⁰ x< 0,

⎧⎨

⎪

⎩⎪ (5)

p x

( )

⁼ ⁿⁱ²

N_D^{( )}⁰ exp −qϕ

( )

x k_BT

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥, (6)

n x

( )

^{= N}D

( )0 exp qϕ

( )

x k_BT

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥, (7)

ϕ0 = k_BT

q logN_D^{( )}⁰N_A^{( )}⁰

n_i² , (8)

q= 1.60 ⋅10⁻¹⁹C (carica dell’elettrone in valore assoluto), k_B = 1.38 ⋅10⁻²³J / K (costante di Boltzmann). Si assumano i seguenti valori per gli altri parametri: n_i = 7.6 ⋅10⁹cm⁻³ (…), N_D^{( )}⁰ = 10¹⁶cm⁻³ (densità numerica donatori), N_A^{( )}⁰ = 10¹⁷cm⁻³ (densità numerica accettori), ε = εrε0, ε0 = 8.85 ⋅10⁻¹²F / m (costante dielettrica del vuoto), εr ≅ 12 (costante dielettrica relativa del silicio), T = 300K (temperatura ambiente), L = 0.5µm . i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo delle

differenze finite.

ii) Confrontare le soluzioni ottenute con le differenze finite con le soluzioni analitiche approssimate disponibili in letteratura ([P1], [P2]).

Commento

Il problema proposto descrive una giunzione pn brusca a forma cilindrica (l’asse delle coordinate x coincide con l’asse del cilindro) di lunghezza 2L , Figura P.4. La giunzione è drogata uniformemente con N_A^{( )}⁰ accettori per unità di volume nella regione

−L < x < 0 e N_D^{( )}⁰ donatori per unità di volume nella regione 0< x < L ([P1], [P2]). La giunzione è in condizioni di equilibrio statico perché è aperta agli estremi (non ci sono correnti). Le leggi (6) e (7) che governano le distribuzioni delle densità delle lacune e degli elettroni liberi sono ottenute imponendo che (vedi la Nota 0)

J_n = qµ_nnE+ qDn∇n = 0 , (9)

J_p = qµppE− qD_p∇p = 0 , (10)

con

(6)

E= −∇ϕ . (11)

La lunghezza L è fissata in modo tale che per x ≅ L n x

( )

^{e p x}

( )

risultino praticamente uniformi e uguali ai valori che avrebbero se i due pezzi della giunzione fossero separati: n

( )

−L ^{= N}D

( )0 e p

( )

+L ^{= N}A

( )0 (la lunghezza L deve essere molto più grande del “depletion layer”). Si osservi che n x

( )

^{p x}

( )

^{= n}i

2.

N x

( )

x N_D^{( )}⁰

N_A^{( )}⁰

p n

x = L x = +L

x x = 0

Figura P.3 Giunzione pn brusca

La condizione al contorno (2) è ottenuta semplicemente utilizzando il fatto che possiamo scegliere ad arbitrio il valore del potenziale elettrostatico in un punto. L’aver scelto ϕ −L

( )

= 0 è consistente con il fatto che n

( )

−L ^{= N}D

( )0 . L’altra condizione al contorno nasce dal fatto che p

( )

+L ^{= N}A

( )0 . La differenza di potenziale alle estremità della giunzione dà un campo elettrico che bilancia la tendenza delle lacune a diffondere dalla regione p alla regione n e la tendenza degli elettroni a diffondere in senso inverso ([P1], [P2]).

Problema 2.2

Si risolva il Problema 2.1 con il metodo degli elementi finiti utilizzando una griglia non uniforme, più fitta in corrispondenza della giunzione dove le variazioni (spaziali) delle grandezze sono più rapide.

P.3 Equazione di Helmholtz

(7)

Problema 3.1

Si consideri il circuito in regime sinusoidale composto di un generatore reale di tensione, con tensione a vuoto E₀ e impedenza interna Z_g, una linea di trasmissione senza perdite di lunghezza l, con capacità C e induttanza L per unità di lunghezza non uniformi e un’impedenza Z^u, collegati come illustrato in Figura P.5.

x = 0 x = l x

˙Z_u

˙Zg

E₀

I x

( )

V z

( )

+ +

Figura P.4

Si assuma che LC=ε0µ0, dove ε0 e µ0 sono, rispettivamente, la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del vuoto. Si considerino i seguenti profili per C= C x

( )

^:

- lineare, C x

( )

^{= C}0 +ΔC l x; - parabolico, C x

( )

^{= C}0 +ΔC

l² x²; - esponenziale, C x

( )

^{= C}0exp

( )

αx ^; - periodico, C x

( )

^{= C}0 + ΔC sin k

(

₀x+α0

)

^.

i) Si formuli il modello matematico del problema;

ii) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo degli elementi finiti lineari.

iii) Si risolva il problema per ΔC = 0, si confronti la soluzione numerica con quella analitica e si studi l’errore della soluzione numerica al crescere del numero di nodi della griglia utilizzando sia la norma ⋅ _L

2 che la norma ⋅ _H1.

iv) Si determinino le frequenze di risonanza del circuito per diverse scelte di Z_g e Z^u. Problema 3.2

Si consideri l’equazione di Helmholtz bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Dirichlet omogenee,

(8)

∇²u+ k²u= 0 in Ω, u _∂Ω = 0

⎧⎨

⎪

⎩⎪

dove Ω è la regione delimitata dal rettangolo ∂Ω . Questo è un problema agli autovalori.

ii) Si determinino numericamente gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore ∇² in Ω e si confronti la soluzione numerica con quella analitica al variare del passo di discretizzazione.

Problema 3.3

Si consideri l’equazione di Helmholtz bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Neumann omogenee,

∇²u+ k²u= 0 in Ω,

∂u

∂n ^∂Ω = 0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

dove Ω è un rettangolo. Questo è un problema agli autovalori.

iii) Si determinino numericamente gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore ∇² in Ω e si confronti la soluzione numerica con quella analitica al variare del passo di discretizzazione.

Problema 3.4

Si consideri l’equazione di Helmholtz bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Dirichlet omogenee

∇²u+ k²u= 0 in Ω, u _∂Ω = 0

⎧⎨

⎪

⎩⎪

dove Ω è la regione delimitata dalla circonferenza ∂Ω. Questo è un problema agli autovalori.

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo degli elementi finiti usando elementi triangolari (Appendice 4).

(9)

ii) Si determinino numericamente gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore ∇² in Ω e si confronti la soluzione numerica con quella analitica al variare del passo di discretizzazione.

Problema 3.5

Si consideri l’equazione di Helmholtz bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Neumann omogenee,

∇²u+ k²u= 0 in Ω,

∂u

∂n ^∂Ω = 0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

dove Ω è la regione delimitata dalla circonferenza ∂Ω . Questo è un problema agli autovalori.

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo degli elementi finiti usando elementi triangolari (Appendice 4).

ii) Si determinino numericamente gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore ∇² in Ω e si confronti la soluzione numerica con quella analitica al variare del passo di discretizzazione.

Problema 3.6

Si consideri l’equazione di Helmholtz monodimensionale per un mezzo non omogeneo con condizioni al contorno di tipo Dirichlet

d

dx ε x

( )

^du

dx

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥+ k²u= 0 0 < x < l, u 0

( )

^{= u l}

( )

^{= 0.}

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Questo è un problema agli autovalori.

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo degli elementi finiti lineari.

ii) Si risolva il problema con una funzione ε per cui la soluzione è esprimibile analiticamente, di modo che sia possibile stimare l’errore della soluzione numerica, sia nella norma ⋅ _L

2 che nella norma ⋅ _H1 per diversi valori del passo di discretizzazione.

iii) Si studino gli autovalori e le autofunzioni del problema per i seguenti profili di ε x

( )

^:

(10)

- lineare, ε

( )

x ⁼^ε0+ Δε l x; - parabolico, ε

( )

x ⁼^ε0+ Δε

l² x²; - esponenziale, ε x

( )

⁼^ε0exp

( )

α x ^; - periodico, ε

( )

x ⁼^ε0+ Δεsin k

(

₀x+α₀

)

^.

Problema 3.7

Si consideri l’equazione di Helmholtz bidimensionale spazio-variante con condizioni al contorno di tipo Dirichlet omogenee,

∇ ⋅

(

ε∇u

)

^{+ k}²^u^{= 0 in Ω,}

u _∂Ω = 0

⎧⎨

⎪

⎩⎪

dove Ω è la regione delimitata dal rettangolo ∂Ω e ε P

( )

è del tipo indicato in Figura P2. Questo è un problema agli autovalori.

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo degli elementi finiti lineari.

ii) Si risolva il problema con una funzione ε per cui la soluzione è esprimibile analiticamente, di modo che sia possibile stimare l’errore della soluzione numerica, sia nella norma ⋅ _L

2 che nella norma ⋅ _H1 per diversi valori del passo di discretizzazione.

Problema 3.8

Si consideri l’equazione di Helmholtz bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Dirichlet,

∇²u+ k²u= f in Ω, u _∂Ω = g

⎧⎨

⎪

⎩⎪

dove Ω è la regione delimitata dal rettangolo ∂Ω .

ii) Si risolva il problema scegliendo le funzioni f e g in modo tale che la soluzione sia esprimibile in forma analitica, si confronti la soluzione numerica con quella

(11)

analitica e si studi l’errore della soluzione numerica al crescere del numero di nodi della griglia utilizzando sia la norma ⋅ _L

Si consideri l’equazione di Helmholtz bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Dirichlet,

∇²u+ k²u= f in Ω, u _∂Ω = g

⎧⎨

⎪

⎩⎪

dove Ω è la regione delimitata dall’ellisse ∂Ω .

2 che la norma ⋅ _H1. P.4 Equazione di diffusione

Problema 4.1

Si consideri l’equazione di diffusione lineare

∂u

∂t − D∂²u

∂x² = f x;t

( )

⁰< x < l, t > 0 , con le condizioni al contorno

u x

(

= 0;t

)

^{= g}0

( )

t u x

(

= l;t

)

^{= g}l

( )

t

⎧⎨

⎩ e la condizione iniziale

u x;t

(

= 0

)

^{= u}⁰

( )

^x ^.

Per la compatibilità dei dati deve essere u0

(

x= 0

)

^{= g}0

(

t= 0

)

^{, u}0

(

x= l

)

^{= g}l

(

t= 0

)

^.

Questo problema ha una sola soluzione.

(12)

ii) Si risolva il problema con dati per i quali esistono soluzioni esprimibili analiticamente, di modo che è possibile stimare l’errore della soluzione numerica, utilizzando sia la norma ⋅ _L

2 che la norma ⋅ _H1, per diversi valori del passo di discretizzazione.

Problema 4.2

Si consideri l’equazione di diffusione lineare

∂u

∂t − D∂²u

∂x² = f x;t

( )

⁰< x < l, t > 0 , con le condizioni al contorno

∂u

∂x ^x=0 = ′g₀

( )

t

∂u

∂x ^x^=l = ′g_l

( )

t

⎧

⎨⎪⎪

⎩

⎪⎪

e la condizione iniziale

u x;t

(

= 0

)

^{= u}0

( )

x ^. Questo problema ha una sola soluzione.

Problema 4.3

Si consideri l’equazione di diffusione

∂u

∂t +u− u0

τ − D∂²u

∂x² = 0 ⁰< x < l, t > 0 ,

(13)

u x

(

= 0;t

)

^{= g}0

( )

t u x

(

= l;t

)

^{= U}0

⎧⎨

u x;t

(

= 0

)

^{= U}0

dove U0 è una costante e g t

(

= 0

)

^{= U}⁰. Questo problema ha una sola soluzione.

Commento

L’equazione di questo problema governa la diffusione delle lacune (elettroni) nelle regioni neutre di una giunzione pn brusca quando agisce agli estremi della giunzione una tensione elettrica variabile nel tempo, ([P1], [P2]). Si può assumere che

g t

( )

^{≅ U}0 + U0exp qV

(

₀ / k_BT

)

_k^q

BT Δv t

( )

dove v t

( )

^{= V}0 + Δv t

( )

è la tensione agli estremi della giunzione, V₀ è la tensione costante di equilibrio e Δv t

( )

^{<< V}0. Il parametro U₀ rappresenta la concentrazione nelle zone neutre dei portatori in condizioni di equilibrio stazionario. Si assuma T = 300K ,

U₀ = 10¹⁴cm⁻³, D= k

(

_BT / q

)

µ , µ = 1500 ÷ 450cm² / Vs , τ = 10⁻⁷s e V₀ = 1V . Problema 4.4

Si consideri l’equazione di diffusione bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Dirichlet,

∇²u− D∂u

∂t = f r;t

( )

^{in Ω,}

u _∂Ω = g

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(14)

dove Ω è la regione delimitata dal rettangolo ∂Ω. Questo problema ha una sola soluzione.

Problema 4.5

Si consideri l’equazione di diffusione non lineare

∂u

∂t −∂²w

∂x² = f x;t

( )

w= d₁u+ d₃u³

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0< x < l, t> 0 ,

u x

(

= 0;t

)

^{= g}0

( )

t u x

(

= l;t

)

^{= g}l

( )

t

⎧⎨

u x;t

(

= 0

)

^{= u}⁰

( )

^x ^.

Per la compatibilità dei dati deve essere verificato che u₀

(

x= 0

)

^{= g}0

(

t= 0

)

^,

u₀

(

x= l

)

^{= g}l

(

t = 0

)

. Questo problema ha una sola soluzione se i coefficienti c₁ e c₃ sono entrambi positivi.

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo delle differenze finite.

ii) Si risolva il problema con dati per i quali esistono soluzioni analitiche, di modo che è possibile stimare l’errore della soluzione numerica nella norma ⋅ _∞ per diversi valori del passo di discretizzazione.

Problema 4.6

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del Problema 4.6 con il metodo degli elementi finiti.

(15)

ii) Si risolva il problema con dati per i quali esistono soluzioni analitiche, di modo che è possibile stimare l’errore della soluzione numerica per diversi valori del passo di discretizzazione, utilizzando sia la norma ⋅ _L

2 che la norma ⋅ _H1. P.5 Equazione di propagazione

Problema 5.1

Risolvere nel dominio del tempo con il metodo degli elementi finiti lineari la linea di trasmissione non uniforme del Problema 3.1, alimentata a un estremo con un generatore reale di tensione ideale con resistenza interna R_i e collegata a un resistore di resistenza R_u all’altro estremo. La linea di trasmissione è supposta essere inizialmente a riposo.

Testare l’algoritmo con il caso uniforme per il quale esiste la soluzione analitica.

Suggerimenti

Il problema in esame è descritto dal sistema di equazioni

−∂v

∂x = L x

( )

_∂x^∂i ^, ⁽¹²⁾

−∂i

∂x = C x

( )

^∂v_∂x^, ⁽¹³⁾

v x

(

= 0;t

)

^{= e t}

( )

^,

v x

(

= l;t

)

^{= 0,} ⁽¹⁴⁾

e le condizioni iniziali

i x;t

(

= 0

)

^{= 0,}

v x;t

(

= 0

)

^{= 0.} ⁽¹⁵⁾

Per la compatibilità deve essere e t

(

= 0

)

= 0 . Combinando le (12) e (13) si ottiene l’equazione

∂

∂x 1 L x

( )

^∂v^∂x

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ − C x

( )

^∂_∂t²^v2 = 0 . (16) Essa deve essere risolta con le condizioni al contorno (14) e le condizioni iniziali

v x,t

(

= 0

)

^{= 0, ∂}_∂t^v t=0 = 0. (17)

(16)

Problema 5.3

Si consideri l’equazione di propagazione bidimensionale con condizioni al contorno di tipo Dirichlet omogenee,

∇²u− c² ∂²u

∂t² = f r;t

( )

^{in Ω,}

u _∂Ω = g

⎧

⎨⎪

⎩⎪

dove Ω è la regione delimitata dal rettangolo ∂Ω. Questo problema ha una sola soluzione.

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del Problema 4.4 con il metodo degli elementi finiti (Appendice 4).

iii) Si risolva il problema con dati per i quali esistono soluzioni analitiche, di modo che è possibile stimare l’errore della soluzione numerica per diversi valori del passo di discretizzazione, utilizzando sia la norma ⋅ _L

Si consideri l’equazione di propagazione non lineare

∂²u

∂t² −∂²w

∂x² = f x;t

( )

w= a₁u+ a₃u³

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0< x < l, t > 0 ,

u x

(

= 0;t

)

^{= g}0

( )

t u x

(

= l;t

)

^{= g}l

( )

t

⎧⎨

u x;t

(

= 0

)

^{= u}0

( )

x ^.

Per la compatibilità dei dati deve essere verificato che u₀

(

x= 0

)

^{= g}0

(

t= 0

)

^,

u₀

(

x= l

)

^{= g}l

(

t = 0

)

. Questo problema ha una sola soluzione se i coefficienti a₁ e a₃ sono entrambi positivi.

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del problema con il metodo delle differenze finite.

(17)

iv) Si risolva il problema con dati per i quali esistono soluzioni analitiche, di modo che è possibile stimare l’errore della soluzione numerica per diversi valori del passo di discretizzazione, utilizzando la norma ⋅ _∞.

ii)

Problema 5.5

i) Si implementi in MATLAB la soluzione del Problema 5.4 con il metodo degli elementi finiti.

v) Si risolva il problema con dati per i quali esistono soluzioni analitiche, di modo che è possibile stimare l’errore della soluzione numerica per diversi valori del passo di discretizzazione, utilizzando sia la norma ⋅ _L

2 che la norma ⋅ _H1. P.6 Equazione di Schrödinger

Si consideri una particella carica non relativistica (la velocità della particella è piccola confrontata con quella della luce nel vuoto) in moto in un campo elettromagnetico

(

E, B

)

. Il moto della particella deve essere descritto attraverso la meccanica quantistica se la lunghezza d’onda di de Broglie della particella

λdB= h p_c

( h= 6.62618 × 10⁻³⁴ J⋅s è la costante di Planck e p è il modulo della quantità di moto caratteristica della particella) è confrontabile con la più grande lunghezza caratteristica del campo elettromagnetico. In queste condizioni non è possibile prevedere esattamente la posizione e la quantità di moto della particella, ma è possibile solo prevedere la densità di probabilità che la particella occupi in un dato istante una certa posizione dello spazio delle configurazioni (lo spazio fisico) e abbia una certa quantità di moto (occupi un certo punto dello spazio delle quantità di moto).

In ciascun istante t , lo stato di una particella priva di spin è descritto completamente da una funzione complessa delle coordinate spaziali (in un generico riferimento inerziale) ψ = ψ r;t

( )

, nonché dal campo elettromagnetico classico che la interessano. La funzione ψ prende il nome di funzione d’onda nello spazio delle configurazioni. La probabilità che la particella occupi all’istante t la regione elementare ΔΩ centrata nel punto r dello spazio delle configurazioni è data da

ΔWr

( )

t ⁼ ^{ψ r;t}

( )

²^{ΔΩ .}

(18)

La probabilità che la particella occupi all’istante t la regione elementare ΔΓ centrata nel punto p dello spazio della quantità di moto è data da

ΔW t

( )

⁼ ^{ψ p;t}

( )

²^ΔΓ

dove ψ = ψ p;t

( )

è la funzione d’onda nello spazio delle quantità di moto che è data da (trasformata di Fourier della funzione d’onda nello spazio delle configurazioni)

ψ p;t

( )

⁼

(

_2π¹

)

^3/2 ^{ψ r;t}

( )

^exp

(

−ip ⋅ r / 

)

^d³^r

Ω

∫

_∞ ^,

dove _{ ≡ h / 2}π . Le funzioni d’onda verificano le condizioni di normalizzazione ψ

( )

r;t ²^d³^r^{= 1}

Ω

∫

∞ ^, ^ψ

^{( )}

^p;t ²^d³^p^{= 1}

Γ

∫

∞ ^.

La funzione d’onda ψ = ψ r;t

( )

è soluzione dell’equazione di Schrödinger i∂ψ

∂t = Hψ . Essa deve verificare la condizione iniziale

ψ

(

r;t = t₀

)

⁼^ψ⁰

( )

^r

e condizioni al contorno assegnate. L’espressione dell’operatore Hamiltoniano _H è

H = P

2m− qA r;t

( )

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

+ qU r;t

( )

dove q ed m sono, rispettivamente, la carica elettrica e la massa (a riposo) della particella, U e A sono, rispettivamente, il potenziale elettrico scalare e il potenziale vettore magnetico del campo elettromagnetico E,B

( )

, P è l’operatore quantità di moto della particella

P =  i∇_r

e ∇r è l’operatore “nabla” nello spazio delle configurazioni (in coordinate cartesiane rettangolari è ∇r = ˆx∂ / ∂x + ˆy∂ / ∂y + ˆz∂ / ∂z ).

(19)

Si consideri, ora, il moto della particella in un campo elettrostatico. L’equazione di Schrödinger diventa

i∂ψ

∂t = − ²

2m∇² + qU r

( )

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ψ . Questa equazione ammette soluzioni del tipo

ψ_E

( )

r;t ^{= e}^{−iEt /}^φ

( )

^r

dove

− ²

2m∇²+ qU r

( )

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥φ = Eφ .

La funzione φ = φ r

( )

è un’autofunzione dell’operatore hamiltoniano

H = − ²

2m∇² + qU r

( )

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ ed E è il corrispondente autovalore.

Le soluzioni del ψ_E

( )

r;t ^{= e}^{−iEt /}^φ

( )

^r rappresentano gli stati stazionari della particella perché ψE

( )

r;t ² ⁼ ^{φ r}

( )

² è costante nel tempo. L’autovalore E è l’energia totale della particella nello stato stazionario φ r

( )

. Per un approfondimento vedi, ad esempio, [P3] e Appendice 3.

Problema 6.1: Stati stazionari di una particella in una buca di potenziale.

Determinare con il metodo degli elementi finiti gli stati stazionari di una particella di massa m e carica q nel potenziale monodimensionale

U = kx²− U0

definito nell’intervallo

(

−l,+l

)

^{con U}0 > 0 e k = U0 / l², con le condizioni al contorno φ −l

( )

⁼^{φ l}

( )

= 0 . Imporre che la funzione d’onda sia nulla agli estremi è equivalente a considerare agli estremi una barriera di potenziale di altezza infinita.

Suggerimento

Bisogna determinare le autofunzioni e gli autovalori del problema:

(20)

− ² 2m

d²φ

dx² + U x

( )

φ = Eφ per −l < x < +l

con la condizioni al contorno φ −l

( )

⁼^{φ l}

( )

= 0 . Il caso k = 0 e U₀ ≠ 0 può essere utilizzato per controllare l’algoritmo numerico perché può essere risolto facilmente in modo analitico.

Problema 6.2: Moto di una particella in una buca potenziale monodimensionale.

Si consideri il moto di una particella nel potenziale monodimensionale

U x

( )

⁼ 0 per − d < x < −l kx²− U0 per − l < x < l

0 per l< x < d

⎧

⎨⎪

⎩⎪

dove k = U₀ / l², U₀ > 0 e d= 10l. Calcolare l’evoluzione della funzione d’onda con il metodo degli elementi finiti assumendo che

ψ x;t = 0

( )

⁼ ¹^Δx^e^iP⁰^{x /}^ per − d < x < −d + Δx

( )

0 per

(

−d + Δx

)

< x < +d

⎧

⎨⎪

⎩⎪

con Δx << l e

ψ x = −d;t

( )

⁼^{ψ x = +d;t}

( )

^{= 0 .}

Ripetere il calcolo per Δx fissato facendo variare P₀ > 0 . La trasformata di Fourier di ψ x;t = 0

( )

è una funzione sinc centrata in P₀. Dunque, la densità di probabilità nello spazio delle quantità di moto è centrata in P0. All’istante t= 0 il valore medio della posizione della particella è −d + Δ / 2 e il valore medio della velocità è P0 / m , dove m è la massa.

Problema 6.3: Moto di una particella in un potenziale monodimensionale (effetto tunnel) Si consideri il moto di una particella nel potenziale monodimensionale

U x

( )

⁼ 0 per − d < x < −l U₀ per − l < x < l

0 per l< x < d

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(21)

dove U₀ > 0 e ^d= 10l. Calcolare l’evoluzione della funzione d’onda con il metodo delle differenze finite assumendo che

ψ x;t = 0

( )

⁼ ¹^Δx^e^iP⁰^{x /}^ per − d < x < −d + Δx

( )

0 per

(

−d + Δx

)

< x < +d

⎧

⎨⎪

⎩⎪

con Δx << l e

ψ x = −d;t

( )

⁼^{ψ x = +d;t}

( )

^{= 0 .}

Ripetere il calcolo per Δx fissato facendo variare P0 > 0 . La trasformata di Fourier di ψ x;t = 0

( )

è una funzione sinc centrata in P₀. Dunque, la densità di probabilità nello spazio delle quantità di moto è centrata in P0. All’istante t= 0 il valore medio della posizione della particella è −d + Δ / 2 e il valore medio della velocità è P₀ / m , dove m è la massa.

Problema 6.4 Potenziale monodimensionale periodico (struttura a bande).

Determinare con il metodo degli elementi finiti gli stati stazionari di una particella carica in un potenziale periodico del tipo

U x

( )

⁼^U⁰

2 1− cox 2π l x

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ per 0< x < L ,

dove L= Nl con N numero intero molto grande (ad esempio, N = 100 ), con la condizione al contorno φ x = 0

( )

⁼^{φ x = L}

( )

. Si assuma, inoltre, U₀ > 0 .

Problema 6.5: Moto di una particella in un potenziale periodico.

Si consideri il moto di una particella nel potenziale monodimensionale

U x

( )

⁼

0 per− d < x < 0 U₀

2 1− cox 2π l x

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ per 0< x < +L 0 per L< x < L + d

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

dove L= Nl, N è un numero intero molto grande ( N >> 1), U₀ > 0 e ^d= l. Calcolare l’evoluzione della funzione d’onda con il metodo degli elementi finiti assumendo che

(22)

ψ x;t = 0

( )

⁼ ¹^Δx^e^iP⁰^{x /}^^per− d < x < −d + Δx

( )

0 per

(

−d + Δx

)

< x < L + d

⎧

⎨⎪

⎩⎪

con Δx << l e

ψ x = −d;t

( )

⁼^{ψ x = +d;t}

( )

^.

Ripetere il calcolo per Δx fissato e facendo variare P₀ > 0 . La trasformata di Fourier di ψ x;t = 0

( )

è una funzione sinc centrata in P₀. Dunque, la densità di probabilità nello spazio delle quantità di moto è centrata in P0. All’istante t= 0 il valore medio della posizione della particella è −d + Δ / 2 e il valore medio della velocità è P0 / m , dove m è la massa.

Referenze

P1 E. De Castro, Fisica Elettronica, UTET, 1975.

P2 E. De Castro, Teoria dei dispositivi a semiconduttori, Patron Editore, Bologna, 1983.

P3 A. Messiah, Quantum Mechanics, Dover.