dei beni l’unico modo per calcolare la produ-zione di equilibrio è attraverso una simulazio-ne e il cumulo delle variazioni in ogni perio-do.
4. Supponete di avere il seguente modello dinamico del mercato dei beni:
Ct = 100 + 0,5(Yt – 1 – T ) It = 200 + 0,25Yt – 1 G = 100 T = 100 Zt = Ct + It + G Yt + 1 = Zt
Notate che in questo modello la spesa per investimenti è endogena, e sia investimenti che consumi dipendono dalla produzione ri-tardata.
a) Calcolate la produzione di equilibrio, supponendo che sia costante nel tempo.
b) Supponete che l’economia sia in equili-brio nel periodo 1 e che la spesa pubblica au-menti da 100 a 200 nel periodo 2. Cosa acca-drà a Ct, It, Zt e Yt nei periodi 2, 3, 4 e 5?
Riassumete i risultati in una tabella.
c) Determinate l’impatto finale dell’au-mento di G sulla produzione di equilibrio. (Suggerimento: quale serie geometrica vedete nella vostra tabella?)
d) Basandovi sulla vostra risposta al pun-to c), qual è il valore del moltiplicapun-tore in questo modello? La presenza di un investi-mento endogeno rende il moltiplicatore più grande o più piccolo?
5. Le equazioni del consumo in due mo-delli dinamici alternativi sono le seguenti: Modello A: Ct = c0 + 0,25Ydt + 0,15Ydt – 1
Modello B: Ct = c0 + 0,20Ydt + 0,15Ydt – 1 +
+ 0,05Ydt – 2
a) Qual è la propensione marginale al consumo nel modello A? E nel modello B?
b) Quant’è il moltiplicatore nel modello A? E nel modello B?
c) Secondo voi i responsabili della politi-ca economipoliti-ca avrebbero bisogno di sapere quale equazione descrive la spesa per consumi nell’economia? Perché?
Per saperne di più
Una buona introduzione all’econometria è contenuta in D. Gujurati, Basic Econometrics, New York, McGraw-Hill, 1988.
Lo studio della dinamica con le
equazioni alle differenze
In questo capitolo abbiamo formulato di-verse ipotesi sul modo in cui la produzione si adegua al livello delle vendite. Abbiamo stu-diato sia il caso di aggiustamento immestu-diato, sia il caso di aggiustamento con un periodo di ritardo. Inoltre, studiando la funzione di con-sumo, abbiamo considerato il caso in cui il consumo dipende, oltre che dal reddito cor-rente, da due valori ritardati del reddito.
Ab-A P P E N D I C E
biamo così implicitamente introdotto degli elementi di dinamica, nel senso che le variabili di interesse dipendono dal tempo.
I modelli dinamici sono molto utili in eco-nomia perché consentono di analizzare delle variabili nel tempo e di capire in che modo queste variabili convergano verso valori d’equilibrio, chiamati di stato stazionario. In-formazioni di questo tipo sono importanti, in quanto permettono di superare i limiti del-l’analisi di statica comparata che si occupa so-lamente del confronto fra due diverse situa-zioni entrambe di stato stazionario, senza dire
a Prima di procedere è opportuno ricordare che la scelta degli indici temporali in una equazione alle
diffe-renze è evidentemente arbitraria. Per esempio, l’equazione [A.1] può essere riscritta come yt + 1= A +yt o
an-cora come yt + 2= A +yt + 1, senza che ciò ne alteri il significato. nulla sul processo di aggiustamento. Con
l’ana-lisi dinamica questo problema è risolto.
Le equazioni alle differenze
Lo strumento matematico più semplice per studiare la «dinamica» di una variabile sono le equazioni alle differenze: un’espressio-ne che poun’espressio-ne in relazioun’espressio-ne una variabile con i suoi valori passati. Nella forma più semplice, un’equazione alle differenze si può scrivere come:
[A.1] yt = A + yt – 1
oppure:
[A.2] yt = A + yt – 1 + yt – 2
dove yt è il valore che la variabile y assume al
tempo t. Nelle equazioni [A.1] e [A.2] yt
di-pende dai suoi valori passati e da una variabi-le esogena, A. e sono invece semplici co-stanti, che d’ora in poi chiameremo parametri. Come potete notare, la principale differenza tra l’equazione [A.1] e la [A.2] è data dal nu-mero dei ritardi da cui dipende yt. Nel primo
caso, yt dipende da un solo valore ritardato.
Nel secondo caso appaiono invece due ritardi. Per questo motivo, l’equazione [A.1] è detta equazione alle differenze del primo ordine, mentre la [A.2] è un’equazione alle differenze del secondo ordinea.
La soluzione di un’equazione alle differenze Attraverso l’analisi dinamica vogliamo so-stanzialmente rispondere alla seguente do-manda: se l’evoluzione temporale di una va-riabile è descritta dall’equazione [A.1] o [A.2], quali sono gli effetti nel tempo su yt se
muta il valore della A?
Per rispondere a questa domanda, abbia-mo bisogno di determinare il valore della va-riabile di interesse yt in ogni periodo t. In
al-tri termini dobbiamo trovare una soluzione che sia funzione del tempo.
Il metodo più semplice per risolvere un’equazione alle differenze è quello delle so-stituzioni successive. Questo metodo, oltre ad essere di facile impiego, è utile perché con-sente di chiarire in che modo viene generato l’andamento temporale della variabile di inte-resse.
Il punto essenziale è di porre in atto un processo iterativo attraverso il quale il valore di yt, in ciascun istante di tempo, è funzione
dei suoi valori ritardati. A titolo illustrativo consideriamo l’equazione [A.1] da cui, per so-stituzioni successive, otteniamo:
y1= A + y0, y2= A + y1 = A + (A + y0) = A +A + 2y 0, [A.3] y3= A + y2 = A + (A + A + 2y0) = A + A + 2A + 3y 0, . . . . . . . . . . . . yt = A + yt – 1 = t y0 + t – 1 A + +t – 2 A + ... + A + A
L’ultima equazione ci dice che il valore di yt è
funzione di t, di A, di e del valore iniziale di yt, y0. Per cui, se conosciamo il valore della yt nel periodo t = 0 ed il valore di A,
possia-mo determinare i valori della yt per ogni
pe-riodo futuro.
Lo stesso procedimento può essere utiliz-zato per un’equazione alle differenze del se-condo ordine, con l’unica differenza di dover fissare due condizioni iniziali su yt: al tempo t = 0 e t = 1.
Il metodo appena descritto permette di calcolare il valore della yt in ogni istante t, ma
non dice nulla sulla soluzione di equilibrio dell’equazione. La soluzione d’equilibrio di un’equazione alle differenze è chiamata stato stazionario. Per stato stazionario intendiamo una situazione nella quale le variabili tempo-rali non hanno più alcuna dinamica, ossia non variano più nel tempo: yt =yt–1= y. Se per
esempio, usiamo l’equazione [A.1], la soluzio-ne di stato stazionario è data da:
y A= +y ossia: [A.4] y A = – 1
che ha ovviamente senso se e solo se il para-metro è diverso da 1. Dall’equazione [A.4] risulta che la soluzione di stato stazionario non dipende dal tempo, ma soltanto dai para-metri dell’equazione di partenza: A e . Al variare di A e di , muta il valore di stato sta-zionario di yt. Al variare di cambia anche la
natura dello stato stazionario. Come vedremo tra un istante, l’equilibrio di stato stazionario sarà stabile se < 1, e instabile se > 1.
La soluzione qualitativa di una equazione alle differenze
Finora abbiamo risolto l’equazione [A.1] in modo algebrico, derivando un’espressione analitica che permette di calcolare il valore di yt in ogni periodo t. In alternativa, possiamo
studiare le proprietà qualitative di un’equazio-ne alle differenze per mezzo di un grafico. L’equazione [A.1], per esempio, può essere rappresentata graficamente su un piano carte-siano, come mostrato nella figura A.1.
Sull’asse verticale è riportata la variabile yt
e sull’asse orizzontale la variabile yt – 1. La
ret-ta a 45° individua i punti in cui yt= yt – 1,
mentre la curva C rappresenta l’equazione
[A.1] nel caso in cui il coefficiente angolare è
< 1 e l’intercetta A > 0. Il punto y di inter-sezione tra la curva C e la retta a 45° rappre-senta, come vedremo, l’equilibrio di stato sta-zionario.
Partendo da questo grafico possiamo ripe-tere la logica del metodo iterativo, esposto in precedenza in modo analitico. Se, infatti, sce-gliamo un valore di y0 al tempo zero, riporta-to sull’asse orizzontale, possiamo ricavare il valore di y1, sull’asse verticale, tramite la cur-va C. Il cur-valore di y1 può essere poi riportato sull’asse orizzontale tramite la retta a 45° che, avendo un coefficiente angolare unitario, indi-vidua il luogo dei punti in cui l’ascissa è uguale all’ordinata. Il trasferimento di y1 dal-l’asse verticale aldal-l’asse orizzontale avviene quindi con la retta a 45°, come indicato dal segmento S. Individuato il valore di y1 sull’as-se orizzontale, possiamo ripetere lo stesso ra-gionamento, trovando il valore di y2 sull’asse delle ordinate, tramite la curva C, per ritrasfe-rirlo sull’asse delle ascisse utilizzando ancora la retta a 45°. L’iterazione si arresta quando non c’è più differenza tra due valori successivi di yt. A questo punto non c’è più dinamica e
il valore di yt coincide con quello di stato
sta-zionario, y.
Allo stesso risultato saremmo giunti se fossimo partiti da un valore iniziale di yt
mag-giore di y come per esempio y′0. Anche in questo caso, come mostrano le frecce nella fi-gura A.1, si raggiunge, con il passare del tem-po, il valore di y. L’unica differenza è che par-tendo da un valore iniziale y0< y l’equazione dinamica [A.1] genera valori di yt via via più
grandi fin tanto che non si raggiunge l’equili-brio stazionario. Invece, nel caso in cui
y′0>y, l’equazione dinamica genera, passan-do da un periopassan-do all’altro, valori via via più piccoli che portano sempre al valore di y. Quindi, se la curva C ha inclinazione inferiore ad uno, il punto di equilibrio y è raggiunto indipendentemente dal valore di partenza del-la yt. Un equilibrio che presenta tali
caratteri-stiche è detto stabile.
La situazione è differente se l’inclinazione della curva è maggiore di uno, come mostrato nella figura A.2.
In questo caso, se si parte da un valore iniziale inferiore a y, l’equazione dinamica ge-nera nel tempo valori via via più piccoli,
al-yt y2 y1 • 45° 0 S y0 y y0′ C : yt = A + yt – 1 y1 y2 yt – 1
lontanandosi gradualmente dal punto di equi-librio. Lo stesso andamento divergente si ha se si sceglie come valore iniziale ′y0> . In al-y tri termini, se il coefficiente angolare del-l’equazione [A.1] è maggiore di uno (> 1), l’equilibrio di stato stazionario è instabile per-ché, partendo da valori diversi da y, ci si al-lontana gradualmente dall’equilibrio. Si rima-ne in equilibrio solo se si sceglie un valore di y0 uguale a y.
La regola principale che si trae da questa analisi è che l’aggiustamento dinamico di un’equazione alle differenze del primo ordine, verso l’equilibrio di stato stazionario, è diffe-rente a seconda del valore di e del valore ini-ziale di yt. In particolare, al variare di , varia
anche la natura dell’equilibrio di stato stazio-nario: è stabile se < 1; instabile se > 1.
La simulazione di una equazione alle differenze tramite un foglio elettronico
Lo studio di una equazione alle differen-ze, può essere eseguito facilmente con l’ausilio di un foglio elettronico. Un foglio elettronico, come per esempio Excel, consente di simulare numericamente una equazione alle differenze, ossia di attribuire dei valori numerici ai
para-metri dell’equazione da simulare in modo da calcolare il valore di una variabile in ciascun periodo.
Il vantaggio di utilizzare un foglio Excel è duplice. Innanzitutto permette con estrema fa-cilità di costruire una sequenza ricorsiva. In secondo luogo, consente di visualizzare il ri-sultato della simulazione numerica per mezzo di un grafico, in modo da avere un’idea con-creta di qual è l’aggiustamento nel tempo di una variabile verso il suo valore di stato sta-zionario.
La logica con cui viene simulata un’equa-zione attraverso un foglio elettronico è ovvia-mente la stessa di quella discussa sopra. Per esempio, se vogliamo simulare l’equazione [A.1] dobbiamo inizialmente fissare il valore di yt al tempo uno (se prendiamo come
perio-do iniziale il perioperio-do 1) e poi legare il valore di ciascuna yt con quello del periodo
prece-dente. In Excel esistono dei comandi molto semplici per eseguire queste operazioni. Come è mostrato nella figura A.3, la condizione ini-ziale è fissata inserendo un valore numerico nella prima cella disponibile: nel nostro caso B6. A seguire, nella cella B7, si inserisce la forma ricorsiva dell’equazione da simulare con cui si fa dipendere il valore della yt al
tempo 2 dal valore precedente e dal valore della variabile esogena A, che viene inserita nella cella C3b. Successivamente, basta copiare
la cella B7 ed incollarla nelle celle successive. Excel aggiorna automaticamente l’equazione legando il valore di una cella a quello delle celle precedenti, ricostruendo così automatica-mente la logica delle sostituzioni successive.
A questo punto è necessario spiegare come si inseriscono delle formule in Excel. La formula dell’equazione da simulare che com-pare nella cella B7, non contiene una equazio-ne simile alla [A.1], ma solo dei riferimenti a celle. Questo modo di inserire le formule ser-ve per far capire ad Excel che il valore della cella B6 deve essere moltiplicato per il valore della cella E3 e il tutto deve essere sommato al valore della cella C3. Il motivo per cui l’in-45° yt y1 0 y2 y0 yt – 1 • C : yt = A + yt – 1 y y′0 y1 y2
FIG. A.2. L’equilibrio instabile: > 1.
b Bisogna notare, come risulta dalla figura A.3, che nella cella B7 compare solo un numero e non
un’equa-zione. Excel in realtà restituisce immediatamente il valore numerico nella stessa cella in cui è inserita una for-mula: nell’esempio della figura A.3, la formula inserita nella cella B7 si può leggere nella barra degli strumenti ed ha la seguente forma: = $C$3 + $E$3*B6.
FIG. A.3. Simulazione numerica dell’equazione [A.1] tramite foglio Excel.
Il grafico 1 mostra il caso di dinamica convergente verso il valore di stato stazionario di y = 2. Il grafico 2 mostra inve-ce un caso di dinamica divergente.
A = 10 b = 0,5
dirizzo delle celle C3 e E3 è preceduto dal se-gno dollaro ($), serve per indicare che quel-l’indirizzo di celle è assoluto, ossia non deve cambiare quando la stessa formula è copiata (o spostata) nelle celle successive. L’unica cosa che cambia sono gli indirizzi relativi (quelli privi del segno $). Nel nostro esempio, se la formula della cella B7 è copiata nella cella B8, Excel lega automaticamente il valore di B8 a quello di B7. Se, invece, la stessa formula è copiata nella cella B9, Excel lega il valore di B9 a quello di B8, e così via. In questo modo si crea un legame tra il valore di ciascuna yt
con il suo valore immediatamente precedente, che è la struttura ricorsiva che caratterizza l’equazione da simulare.
Come abbiamo già detto, il vantaggio di usare Excel per simulare una equazione alle differenze non è solo legato al fatto che ese-gue automaticamente la simulazione, evitando quindi di dover ricavare manualmente i valori della yt sulla base della sequenza delle
equa-zioni previste dall’equazione [A.3]. Excel, ol-tre ad offrirci questa serie di valori, permette anche di visualizzarli graficamente sul piano (t, yt). In questo modo siamo in grado di
os-servare la varietà delle risposte dinamiche del-la yt al variare dei parametri. I grafici 1 e 2
della figura A.3 mostrano queste diversità di risposta in corrispondenza di due valori di : 0,5 (< 1) e 1,5 (> 1). Nel primo caso la dinamica è convergente verso il valore di stato stazionario. Nel secondo caso la dinamica è divergente e le yt assumono dei valori via via
crescenti.
L’ultimo vantaggio che deriva dall’uso di
un foglio elettronico, e che vale la pena di mettere in evidenza, è il seguente. Negli esem-pi precedenti, abbiamo assunto che la variabi-le esogena A rimanesse costante nel tempo. Possiamo però immaginare che anche la varia-bile A vari nel tempo, e chiederci che cosa ac-cade alla risposta di yt quando la variabile A
varia in modo temporaneo o permanente. Nel corso del libro sarà presentato qual-che esercizio di simulazione in cui l’obiettivo è proprio questo: posto che la nostra variabile si trova inizialmente in stato stazionario, come si modifica lo stato stazionario e quale è la di-namica di aggiustamento quando le variabili esogene subiscono un aumento temporaneo o permanente? Per esempio, se il reddito di una persona aumenta considerevolmente in un anno e poi ritorna ad un livello normale, qual è il nuovo livello di stato stazionario del con-sumo, e la sua risposta dinamica? E cosa ac-cade, invece, se il reddito aumenta permanen-temente?
Per capire in che modo possiamo effettua-re questa simulazione con Excel, riconsideria-mo l’equazione [A.1] assumendo, questa volta, che anche A possa mutare nel tempo. A diffe-renza degli esempi precedenti, come è mostra-to nella figura A.4, anche ad A è attribuimostra-to un indice temporale. Adesso la formula in ciascu-na cella lega il valore della yt al valore di yt – 1
ed al valore corrente di At. I grafici 3 e 4 della
figura 4A.4 mostrano le diverse risposte di yt
quando si ha un aumento di 5 unità di A2 e A3 con A4, A5..., immutati (aumento temporaneo), e quando A2, A3, A4..., aumentano tutti di 5 unità (aumento permanente).
