A.A. 2015/2016
Corso di Analisi Matematica 2
Stampato integrale delle lezioni
(Appendice di Teoria della Misura)
Massimo Gobbino
Indice
Lezione 131. Introduzione alla teoria della misura: motivazioni. Paradosso di Banach- Tarski. Sigma-algebra. Tre definizioni di misura (misura positiva su sigma-algebra, misura esterna, misura vettoriale). . . 4 Lezione 132. Teoremi di passaggio al limite della misura su successioni monotone
di insiemi. Insiemi misurabili alla Caratheodory: definizione e dimostrazione che costituiscono una sigma-algebra. . . 5 Lezione 133. Costruzioni di misure: metodo I (misura di Lebesgue) e metodo II (misure
di Hausdorff). Verifica che tali metodi producono misure esterne. I razionali hanno misura di Lebesgue nulla. . . 6 Lezione 134. Gli insiemi boreliani sono misurabili se e solo se la misura `e additiva sui
distanti. Le misure costruite con il metodo II sono additive sui distanti. Descrizione della via classica alla misura di Lebesgue (via approssimazione da fuori con aperti e da dentro con compatti). . . 7 Lezione 135. Misurabilit`a alla Caratheodory vs misura interna. Esempio di Vitali (in-
sieme non misurabile secondo Lebesgue). Funzioni misurabili: definizione e stabilit`a per passaggio al limite. . . 8 Lezione 136. Step functions (con immagine finita o numerabile). Definizione di inte-
grale per funzioni positive (equivalenza tra due definizioni). Definizione di integra- le per funzioni a segno qualunque. Riemann-Darboux vs Lebesgue (suddivisione orizzontale vs verticale). . . 9 Lezione 137. Enunciato dei tre teoremi di passaggio al limite (Beppo Levi o convergenza
monotona, lemma di Fatou, convergenza dominata). Dimostrazione del lemma di Fatou e sue varianti con il limsup. . . 10 Lezione 138. Dimostrazione del teorema di convergenza dominata e di convergenza
monotona. Teoremi di continuit`a e derivabilit`a per integrali dipendenti da parame- tro. Accenno ad argomenti successivi (derivabilit`a di funzioni lipschitziane e punti di Lebesgue). . . 11
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