Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Lezione n. 8 (2 ore)

Carlo Pagani

Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)

web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: carlo.pagani@unimi.it

Gianluca Colò

Dipartimento di Fisica – sede Via Celoria 16, 20133 Milano

web page: http://www.mi.infn.it/~colo e-mail: gianluca.colo@mi.infn.it

La capacità elettrica

Una coppia di conduttori di forma arbitraria ed affacciati formano un condensatore:

– La forma più usuale è però quella del condensatore piano: due piastre conduttrici parallele di area A (dette armature) e separate da una distanza d.

(anche il simbolo del condensatore ricorda un condensatore piano)

– Il condensatore è detto “carico” di una carica q se i suoi piatti posseggono una carica uguale ma di segno opposto, +q e –q. Attenzione: anche “carico”

un condensatore è complessivamente neutro!

– La carica q e la differenza di potenziale tra i piatti V (attenzione: non useremo più ∆ V!) sono tra loro proporzionali. Vale dunque la relazione:

La costante di proporzionalità C è detta Capacità Elettrica e si

CV

q = [ ] [ ] ^{F farad}

V

C C = =

 

 

=

coulomb

Il condensatore piano

Il valore di capacità di ogni condensatore è funzione della sola geometria e del materiale racchiuso tra le armature. Nel caso del condensatore piano:

– Scegliamo di trascurare l’effetto bordo: ipotizziamo che il campo E sia costante e normale all’area per tutta la superficie del condensatore.

– Grazie alla legge di Gauss possiamo calcolare il campo elettrico E data la carica q secondo lo schema indicato in figura:

schema indicato in figura:

– La differenza di potenziale (che qui chiameremo solo “potenziale”) è ottenuta integrando

dall’armatura negativa (“-”) a quella positiva (“+”).

Ottengo:

A E q

A q d E

0

0

ε

ε ^{⇒ =}

=

∫∫
⋅

d C A

d V q A

d E ds E V

V V

def

0 0

.

ε ε

⇒ =

⇒ =

=

=

−

= ∫

− +

−

Altri condensatori: cilindrico, sferico

E’ possibile procedere allo stesso modo per condensatori di forma arbitraria. Il risultato si semplifica nel caso di condensatori dalla geometria definita.

Condensatore cilindrico:

– Cilindro di lunghezza L costituito da due cilindri coassiali di raggio a e b:

C = 2 πε L

Condensatore sferico:

– Due gusci sferici concentrici di raggio a e b, uno dentro l’altro:

Sfera isolata:

– Di raggio R, si assume che il piatto mancante sia all’infinito:

( ^{b a} )

C L

2 πε

ln

=

a b C ab

= 4 πε

−

R

C = 4 πε

Condensatori in serie ed in parallelo

E’ utile poter sostituire una data combinazione di condensatori con un unico condensatore equivalente C

:

Condensatori in parallelo:

– Ciascun condensatore ha la stessa differenza di potenziale V – La carica totale q è la somma delle cariche di ciascuno

n

Condensatori in serie:

– Ciascun condensatore ha la stessa carica q – La differenza di potenziale totale V è la somma

( ) ∑

=

⇒ = +

+

= +

+

=

n

j j

eq

C

C V

C C

C q

q q q

1 3

2 1

3 2 1

∑

=

⇒ =

 ⇒





 

 + +

= +

+

=

n

j j

eq

C

C

C C

q C V

V V V

1

3 2

1 3

2 1

1 1

1 1

1

Esempio: carica, scarica, energia

La carica di un condensatore richiede del lavoro:

Un condensatore C scarico una volta connesso ad una batteria vede il suo potenziale crescere fino al valore della batteria V. Allora il trasferimento della carica q sulle armature sarà completo.

In queste condizioni il condensatore possiede

un’energia accumulata, ovvero un’energia potenziale, pari a:

Si assume che il condensatore mantenga invariata indefinitamente nel tempo sia la sua energia che il suo potenziale fino a che non venga connesso ad un circuito di scarica.

2 2

2 1

2 CV

C U = q =

C dq q

C dL q

L

C dq Vdq q

dL

2

2

=

=

=

=

=

∫ ∫

La corrente elettrica

Passiamo dall’elettrostatica, in cui le cariche sono considerate in quiete, allo studio delle cariche in moto, cioè della corrente elettrica.

Attenzione:

– In un conduttore equipotenziale le cariche sono libere (sono gli elettroni di conduzione) e si spostano ad altissima velocità ed in modo casuale, in maniera che il loro numero per unità di volume sia approssimativamente costante (10²²-10²³ cm^-3) – Un immaginario piano che divida il conduttore vedrebbe passare le cariche

ugualmente in entrambi i sensi: il trasporto netto di carica è nullo !

– Quando però applichiamo una differenza di potenziale (es. batteria) questo moto casuale è leggermente influenzato e si genera un debole sbilanciamento della casuale è leggermente influenzato e si genera un debole sbilanciamento della corrente netta.

– Se in un lasso di tempo dt una carica dq netta varca il piano immaginario, si ha una corrente elettrica pari a:

La corrente è una quantità scalare anche se ad essa si assegna un verso di scorrimento: si tratta della direzione nella quale si muoverebbero delle cariche positive sottoposte alla stessa differenza di potenziale:

– Fisicamente nei conduttori le cariche mobili sono negative e dunque esse si muovono in effetti in verso contrario alla corrente !

[ ] ^{A ampere}

s i C

dt

i dq   = =

 

=

= ;

Densità di corrente, velocità di deriva

Dato un conduttore di sezione trasversale A, definiamo il modulo della densità di corrente come:

Microscopicamente possiamo immaginare che all’interno di un tratto di conduttore, di lunghezza L ed area A, n cariche (convenzionalmente positive) per unità di volume scorrano con una velocità v

.

– v

è molto minore della reale velocità con cui si spostano le cariche nel loro moto casuale (10

contro 10

m/s!).

]

[

; m

J A A

J = i =

– v

è detta velocità di deriva o di migrazione.

Possiamo quindi ricavare:

– Carica totale:

– Tempo di transito:

– Corrente:

– Quindi il vettore densità di carica ha la direzione della velocità v

ed è dato da:

A

( ^{n A L} ) ^e

q =

v

t = L

v

e A t n

i = q =

( )

d

n e v

i v

J

=

=

Applicando la medesima differenza di potenziale V a campioni geometricamente simili di materiale differente, otteniamo correnti i diverse

Un semplice modello di questo comportamento è dato in funzione della resistenza elettrica. Essa è definita come:

Un elemento conduttore la cui funzione sia quella di fornire un dato valore di resistenza elettrica è detto resistore ed è rappresentato con un simbolo circuitale:

Resistenza e resistività

A ohm R V

i R V

def

= Ω

=

=

= ; [ ]

.

Le dimensioni del conduttore, sezione A e lunghezza L come in figura, sono spesso scorporate dal calcolo della resistenza. Vale infatti che:

la costante di proporzionalità ρρρρ è detta resistività: non dipende dalle dimensioni del resistore ma solo dal materiale di cui è composto.

– La resistività di ogni materiale varie al variare della temperatura. Per quasi tutti i metalli si assume una dipendenza lineare del tipo:

( )

à resistivit di

termico coeff

T T

.

0 0

=

−

= α

α ρ ρ A

R = ρ L

Legge di Ohm

Un resistore ideale è realizzato in un materiale che appartiene alla categoria dei conduttori ohmici. Tale categoria, che include tutti i metalli più comuni, è costituita dai materiali che soddisfano una legge, detta legge di Ohm:

– La legge di Ohm asserisce che: “la corrente che scorre attraverso un dispositivo è sempre direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata”.

– Essa implica anche che “la sua resistenza è indipendente dal valore e dalla polarità della differenza di potenziale applicata”

Attenzione: non tutti i dispositivi elettronici ed i materiali soddisfano tale legge:

– Si confrontino a titolo di esempio le relazioni V-i per un tipico conduttore

– Si confrontino a titolo di esempio le relazioni V-i per un tipico conduttore

ohmico (sinistra) ed per una generica giunzione p-n realizzata attraverso

due tipi di materiale semiconduttore (destra).

Finora abbiamo sempre fatto riferimento ad una ipotetica batteria

capace di mantenere costante una differenza di potenziale V nel tempo e simultaneamente sostenere una corrente i (ad esempio per lo studio dei resistori …) : questo avviene al costo di una potenza elettrica!

Il modo più generale di dedurne l’espressione è:

– Dalla definizione stessa di energia potenziale:

Potenza

V i dt P

V dU dt i V dq dU

V q U

=

=

×

=

×

=

=

⇒ =

=

⇒ =

=

– Il prodotto i V è detto potenza trasferita.

Nel caso specifico di un resistore caratterizzato da una resistenza R, vale che:

– Quest’ultima relazione definisce invece la potenza resistiva Watt

W ampere volt

A V

P ] = × = × = =

[

R R V

i P

2

2

=

⇒ =

= R i V

Legge di Ohm

I circuiti elettrici

Combinazioni arbitrarie degli elementi visti finora (batterie, resistori, capacitori) vengono danno luogo a circuiti elettrici:

– Considereremo solo i circuiti detti DC (“Direct Current”) o in continua, sono quelli in cui la corrente elettrica è costante in intensità e verso.

La più generale “pompa di cariche” di un circuito è il generatore di forza elettro- motrice o f.e.m.. La f.e.m. corrisponde ad una differenza di potenziale e si misura in V (volt).

Rientrano in questa categoria molti familiari dispositivi:

– Batterie

– Generatore di corrente – Generatore di corrente – Cella fotovoltaica

– Cella a combustibile – Termopile

La risoluzione di un circuito implica la determinazione della corrente i che vi circola, una volta assegnata la f.e.m. ed i dispositivi connessi (R,C etc.).

– La corrente scorre da un potenziale alto ad uno basso, i portatori di carica negativi fanno il contrario.

– Spesso si impone il potenziale pari a zero in un dato punto di un circuito tramite la

“messa a terra” e l’utilizzo del simbolo:

[ ] ^V

V m

e

f . . . = E E E E = ∆ =

Come per i condensatori, è utile poter sostituire una data combinazione di resistori con un resistore equivalente dalla resistenza pari a R

:

Resistori in serie:

– Ciascun resistore vede la medesima corrente i

– La differenza di potenziale è la somma delle differenze

( )

∑

=

⇒ =

+ +

= +

+

=

n

j j

eq

R

R

i R R

R V

V V V

1

3 2

1 3

2 1

Composizione di resistori

Resistori in parallelo:

– Ciascun resistore vede la medesima differenza di potenziale

E E E E

– La corrente è data dalla somma delle correnti

= j 1

∑

=

⇒ =

 



 

 + +

= + +

=

n

j j

eq

R

R

R R

i R i

i i

1

3 2

1 3

2 1

1 1

1 1

E 1

E

E

E

Circuiti a più maglie

Due semplici leggi, dette leggi di Kirchhoff, semplificano la risoluzione di ogni circuito elettrico sia esso composto da una o più maglie:

I - Legge dei nodi: la somma delle correnti che entrano in un nodo deve essere pari alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso.

– è fondamentale mantenere sempre la stessa convenzione di segno tra correnti entranti ed uscenti dal nodo

– Ad esempio, il circuito in figura:

• è costituito da 3 maglie (badb,bcdb,badcb), 3 rami (bad,bcd,bd) e 2 nodi (b,d)

• Vale che:

∑ i = 0 ; i + i = i

• Vale che:

II - Legge delle maglie: la somma algebrica delle differenze di potenziale rilevate su di un circuito chiuso in un giro completo è nulla.

– I fili rappresentano elementi equipotenziali: ∆V_fili=0 – In tutti gli elementi “passivi” (R,C) la differenza di

potenziale è si segno opposto al verso della corrente.

– Già conosciamo i valori di differenza di potenziale per gli elementi principali:

∑ ^{∆ =}

−

=

∆

−

=

∆

=

∆ ; ; Q ; V 0

V iR

V

V

E E E E

2 3

1 )

(

;

0 i i i

i

d b nodo

j

= + =

∑

Appendice

Valori di resistività e del relativo coefficiente di temperatura per alcuni

materiali comuni:

Esercizi in aula - 1

Esercizi in aula - 2

Esercizi in aula - 3

Dato il circuito indicato in figura con C₁ = 1 µF, C₂ = 2 µF, C₃ = 3 µF, a) determinare il valore delle capacità equivalenti C₁₂ e C₁₂₃

b) Determinare il valore della tensione ai capi di C₃