Matrice associata ad un’applicazione lineare rispetto ad una cop- pia di basi

(1)

Applicazioni lineari

Siano V, W due K–spazi vettoriali. Un’applicazione F : V −→ W si dice lineare o omomorfismo o mappa lineare o operatore lineare se

1) ∀v, v⁰ ∈ V , F (v + v⁰) = F (v) + F (v⁰), 2) ∀v ∈ V , ∀c ∈ K, F (cv) = cF (v).

Le due condizioni precedenti sono equivalenti alla seguente:

3) ∀v, v⁰ ∈ V , ∀c, c⁰ ∈ K, F (cv + c⁰v⁰) = cF (v) + c⁰F (v⁰).

Infatti se vale la 3) allora, posto c = c⁰ = 1 vale la 1), mentre per c⁰ = 0 vale la 2).

Viceversa se valgono 1) e 2), allora F (cv + c⁰v⁰) = F (cv) + F (c⁰v⁰) = cF (v) + c⁰F (v⁰) e quindi vale la 3).

Osservazione 0.1. i) Applicando la 2) per c = 0, si ha che se F `e lineare, allora F (0) = 0.

ii) Iterando la 3), si ha che se F `e lineare, allora ∀v₁, . . . , v_n ∈ V , ∀c₁, . . . , c_n ∈ K, F (c₁v₁+ · · · + c_nv_n) = c₁F (v₁) + . . . c_nF (v_n).

Un’applicazione lineare F : V −→ V si dice endomorfismo di V , mentre un’applicazione lineare F : V −→ K si dice funzionale lineare su V .

Un’applicazione F : V −→ W si dice iniettiva se ∀v, v⁰ ∈ V , tali che F (v) = F (v⁰), allora v = v⁰.

Un’applicazione F : V −→ W si dice suriettiva se ∀w ∈ W , allora ∃ v ∈ V tale che F (v) = w.

Un’applicazione che `e sia iniettiva che suriettiva si dice biettiva. Un’applicazione lineare biettiva si dice isomorfismo.

Esempi 0.2. 1. L’applicazione F : V −→ W tale che F (v) = 0, ∀v ∈ V , `e un’applicazione lineare detta applicazione lineare nulla.

2. L’applicazione id_V : V −→ V tale che F (v) = v, ∀v ∈ V , `e un isomorfismo detto identit`a di V .

3. Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n e sia B = {e¹, . . . , en} una base di V . L’applicazione FB : V −→ Kⁿ tale che ∀v ∈ V , se v = x1e1+ . . . + xnen, allora

FB(v) = FB(x₁e₁+ . . . + x_ne_n) = (x₁, . . . , x_n) ∈ Kⁿ

`

e un isomorfismo.

4. L’applicazione F : M_n(K) −→ K tale che se A ∈ Mn(K), F (A) = T r(A) `e un funzionale lineare.

5. L’applicazione F : M_n(K) −→ Mn(K) tale che se A ∈ Mn(K), F (A) = A + A^t `e un’applicazione lineare.

6. L’applicazione F : Mn(K) −→ Mⁿ(K) tale che se A ∈ Mⁿ(K), F (A) = A − A^t `e un’applicazione lineare.

(2)

Lemma 0.3. i) Siano V, W, U K–spazi vettoriali e siano F : V −→ W , G : W −→ U applicazioni lineari, allora G ◦ F : v ∈ V 7−→ (G ◦ F )(v) = G(F (v)) ∈ U `e un’applicazione lineare.

ii) Se F : V −→ W un isomorfismo, allora F⁻¹ : W −→ V `e un isomorfismo.

Proof. i) Mostriamo che G ◦ F `e lineare: ∀c, c⁰ ∈ K, ∀v, v⁰ ∈ V , siano v, v⁰ ∈ V tali che F (v) = w, F (v⁰) = w⁰, quindi F⁻¹(w) = v, F⁻¹(w⁰) = v⁰, si ha che

(G ◦ F )(cv + c⁰v⁰) = G(F (cv + c⁰v⁰)) = G(cF (v) + c⁰F (v⁰)) =

= cG(F (v)) + c⁰G(F (v⁰)) = c(G ◦ F )(v) + c⁰(G ◦ F )(v⁰).

ii) Mostriamo che F⁻¹ `e lineare: ∀c, c⁰ ∈ K, ∀w, w⁰ ∈ W , siano v, v⁰ ∈ V tali che F (v) = w, F (v⁰) = w⁰, quindi F⁻¹(w) = v, F⁻¹(w⁰) = v⁰, si ha che

F⁻¹(cw + c⁰w⁰) = F⁻¹(cF (v) + c⁰F (v⁰)) = F⁻¹(F (cv + c⁰v⁰)) =

= cv + c⁰v⁰ = cF⁻¹(w) + c⁰F⁻¹(w⁰).

Sia F : V −→ W un’applicazione lineare. Si definisce nucleo di F il seguente sottoinsieme di V :

Ker(F ) = {v ∈ V | F (v) = 0}, mentre si definisce immagine di F il seguente sottoinsieme di W :

Im(F ) = {w ∈ W | ∃ v ∈ V con F (v) = w} = {F (v) | v ∈ V }.

Ker(F ) e Im(F ) sono sottospazi vettoriali di V e W , rispettivamente.

Infatti ∀c₁, c₂ ∈ K, ∀v1, v₂ ∈ Ker(F ), si ha che F (c₁v₁+ c₂v₂) = c₁F (v₁) + c₂F (v₂) = c₁0 + c₂0 = 0 e quindi c₁v₁+ c₂v₂ ∈ Ker(F ).

Inoltre ∀w₁, w₂ ∈ Im(F ), con v₁, v₂ ∈ V tali che F (v₁) = w₁ e F (v₂) = w₂, allora F (c1v1+ c2v2) = c1w1+ c2w2. Pertanto c1w1+ c2w2 ∈ Im(F ).

Osservazione 0.4. Sia F : V −→ W un omomorfismo e sia {e₁, . . . , e_n} una base di V , allora Im(F ) = hF (e₁), . . . , F (e_n)i.

Osservazione 0.5. Sia F : V −→ W un omomorfismo. F `e suriettiva se e solo se Im(F ) = W o equivalentemente dim(Im(F )) = dim(W ).

Il prossimo risultato caratterizza le applicazioni lineari iniettive.

Teorema 0.6. Siano V, W due K–spazi vettoriali. Un’applicazione lineare F : V −→ W

`

e iniettiva se e solo se Ker(F ) = {0}.

(3)

Proof. Se F `e iniettiva, allora si supponga per assurdo che 0 6= v ∈ Ker(F ). Si ha che F (v) = 0 = F (0), ma allora v = 0, che `e un assurdo.

Viceversa, se Ker(F ) = 0, siano v, v⁰ ∈ V tali che F (v) = F (v⁰). Allora F (v − v⁰) = F (v) − F (v⁰) = 0, quindi v − v⁰ ∈ Ker(F ). Pertanto v − v⁰ = 0 e v = v⁰. Dunque F `e iniettiva.

Proposizione 0.7. i) Sia F : V −→ W un’applicazione lineare. Se v₁, . . . , v_n ∈ V sono linearmente dipendenti, allora F (v₁), . . . , F (v_n) ∈ W sono linearmente dipendenti.

ii) Sia F : V −→ W un’applicazione lineare iniettiva. I vettori v₁, . . . , v_n ∈ V sono linearmente dipendenti se e solo F (v₁), . . . , F (v_n) ∈ W sono linearmente dipendenti.

Proof. i) Siano c₁, . . . , c_n∈ K scalari non tutti nulli tali che c1v₁+ . . . + c_nv_n= 0, allora c₁F (v₁)+. . .+c_nF (v_n) `e una combinazione lineare non banale dei vettori F (v₁), . . . , F (v_n) che `e uguale al vettore nullo: c₁F (v₁) + . . . + c_nF (v_n) = F (c₁v₁+ . . . + c_nv_n) = F (0) = 0.

Pertanto F (v₁), . . . , F (v_n) sono linearmente dipendenti.

ii) Viceversa, se v₁, . . . , v_n ∈ V sono linearmente indipendenti, allora siano c₁, . . . , c_n∈ K tali che c1F (v₁) + . . . + c_nF (v_n) = 0. Ne segue che F (c₁v₁+ . . . + c_nv_n) = 0 e quindi c₁v₁ + . . . c_nv_n ∈ Ker(F ). Ma Ker(F ) = {0}, poich`e F `e iniettiva. Quindi c₁v₁ + . . . + c_nv_n= 0 da cui segue che c₁ = . . . = c_n= 0, come volevasi.

Osservazione 0.8. Dalla Proposizione 0.7, i), si ha che se F (v₁), . . . , F (v_n) ∈ W sono linearmente indipendenti, allora v₁, . . . , v_n∈ V sono linearmente indipendenti.

Teorema 0.9. (Formula dimensionale per applicazioni lineari)

Siano V, W due K–spazi vettoriali e sia F : V −→ W un’applicazione lineare. Allora dim(Ker(F )) + dim(Im(F )) = dim(V ).

Proof. Sia n = dim(V ) e s = dim(Ker(F )). Poichè Ker(F ) è sottospazio vettoriale di V , si ha s ≤ n. Sia {n1, . . . , ns} una base di Ker(F ). Dal Teorema del completamento ad una base possiamo trovare n − s vettori vs+1, . . . , vn ∈ V tali che {n1, . . . , ns, vs+1, . . . , vn} è

una base di V . Per completare la dimostrazione sar`a sufficiente mostrare che {F (v_s+1), . . . , F (v_n)}

`

e una base di Im(F ).

Mostriamo che F (v_s+1), . . . , F (v_n) generano Im(F ). Sia w ∈ Im(F ) e sia v = a₁n₁+ . . .+a_sn_s+a_s+1v_s+1+. . .+a_nv_n ∈ V tale che F (v) = w, allora w = F (v) = F (a₁n₁+. . .+

a_sn_s+ a_s+1v_s+1+ . . . + a_nv_n) = a₁F (n₁) + . . . + a_sF (n_s) + a_s+1F (v_s+1) + . . . + a_nF (v_n) = a_s+1F (v_s+1) + . . . + a_nF (v_n). Pertanto Im(F ) = hF (v_s+1), . . . , F (v_n)i.

D’altro canto F (v_s+1), . . . , F (v_n) sono linearmente indipendenti. Infatti, siano c_s+1, . . . , c_n∈ K tali che cs+1F (v_s+1)+. . .+c_nF (v_n) = 0. Allora F (c_s+1v_s+1+. . .+c_nv_n) = c_s+1F (v_s+1)+

. . . + c_nF (v_n) = 0. Pertanto c_s+1v_s+1+ . . . + c_nv_n ∈ Ker(F ). Poiche {n₁, . . . , n_s} `e una base di Ker(F ), esistono b1, . . . , bs∈ K tali che c^s+1vs+1+ . . . + cnvn= b1n1+ · · · + bsns

e quindi b1n1+ . . . + bsns− cs+1vs+1− . . . − cnvn = 0. Ma n1, . . . , ns, vs+1, . . . , vn sono

(4)

linearmente indipendenti, allora b1 = . . . = bs = cs+1 = . . . = cn = 0. Ne segue che F (v_s+1), . . . , F (v_n) sono linearmente indipendenti.

Corollario 0.10. Sia F : V −→ V⁰ un omomorfismo, con dim(V ) = dim(V⁰) = n. Allora F `e iniettiva se e solo se F `e suriettiva.

Proof. F `e iniettiva se e solo se Ker(F ) = {0} se e solo se dim(Ker(F )) = 0 se e solo se dim(Im(F )) = dim(V ) = n se e solo se F `e suriettiva.

Il prossimo risultato esprime il fatto che un’applicazione lineare `e determinata dalle immagini dei vettori di una base del dominio.

Proposizione 0.11. Siano V, W due K–spazi vettoriali, sia B = {e1, . . . , e_n} una base di V e siano w₁, . . . , w_n vettori di W . Allora esiste un’ unica appliczione lineare F : V −→

W , tale che F (e_i) = w_i, 1 ≤ i ≤ n.

Proof. Se F esiste, allora essa è unica. Infatti ∀ v ∈ V , siano x₁, . . . , x_n ∈ K tali che v = x₁e₁+. . .+x_ne_n, allora poichè F è lineare si ha che F (v) = x₁F (e₁)+. . .+x_nF (e_n) = x1w1+ . . . + xnwn.

Basta, quindi mostrare che l’applicazione F : v = x₁e₁+. . .+x_ne_n∈ V 7−→ x₁w₁+. . .+

x_nw_n∈ W `e lineare. Siano c, c⁰ ∈ K, v = x1e₁+. . .+x_ne_n, v⁰ = y₁e₁+. . .+y_ne_n∈ V , allora cv + c⁰v⁰ = c(x₁e₁+ . . . + x_ne_n) + c⁰(y₁e₁+ . . . + y_ne_n) = (cx₁+ c⁰y₁)e₁+ . . . + (cx_n+ c⁰y_n)e_n e quindi F (cv + c⁰v⁰) = (cx₁+ c⁰y₁)w₁+ . . . + (cx_n+ c⁰y_n)w_n= c(x₁w₁+ . . . + x_nw_n) + c⁰(y₁w₁+ . . . + y_nw_n) = cF (v) + c⁰F (v⁰).

Due K–spazi vettoriali V, W si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo F : V −→ W . Teorema 0.12. Due K–spazi vettoriali V, W (di dimensione finita) sono isomorfi se e solo se dim(V ) = dim(W ).

Proof. Se esiste un isomorfismo F : V −→ W , allora dalla Formula dimensionale per le applicazioni lineari, si ha che dim(V ) = dim(W ), in quanto dim(Ker(F )) = 0 e dim(Im(F )) = dim(W ).

Viceversa, se dim(V ) = dim(W ), siano {v₁, . . . , v_n} una base di V e {w₁, . . . , w_n} una base di W . Dal Teorema 0.11 esiste un’unica applicazione lineare F : V −→ W , tale che F (v_i) = w_i, 1 ≤ i ≤ n. Allora {w₁, . . . , w_n} è una base di Im(F ) e quindi dim(Im(F )) = dim(W ) = n ed F è suriettiva. Inoltre, dal Corollario 0.10, si ha che F è iniettiva. Allora F è un isomorfismo.

Matrice associata ad un’applicazione lineare rispetto ad una cop- pia di basi

Siano V, W due K–spazi vettoriali tali che dim(V ) = n, dim(W ) = m e siano B = {v₁, . . . , v_n}, B⁰ = {w₁, . . . , w_m} basi di V e W , rispettivamente. Sia F : V −→ W

(5)

un’applicazione lineare. La matrice m × n la cui j–esima colonna, 1 ≤ j ≤ n, `e costituita dalle coordinate del vettore F (v_j) ∈ W rispetto alla base B⁰ si dice matrice associata ad F rispetto alle basi B, B⁰.

F (v₁) = a₁₁w₁+ a₂₁w₂+ . . . + a_m1w_m F (v2) = a12w1+ a22w2+ . . . + am2wm

...

F (v_n) = a_1nw₁+ a_2nw₂+ . . . + a_mnw_m La matrice associata ad F rispetto a B, B⁰ `e:

AB,B⁰ =







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a21 a22 . . . a2n

... ... . .. ... a_m1 a_m2 . . . a_mn







Si noti che AB,B⁰ dipende, oltre che da F , anche dalle basi di V e W . Inoltre, fissate una base di V e W , dalla matrice `e possibile risalire all’applicazione lineare.

Proposizione 0.13. Siano V, W K–spazi vettoriali tali che dim(V ) = n, dim(W ) = m e siano B = {v₁, . . . , v_n}, B⁰ = {w₁, . . . , w_m} basi di V e W , rispettivamente. Sia F : V −→ W un’applicazione lineare, allora ∀v = x₁v₁ + . . . + x_nv_n ∈ V , si ha F (v) = y₁w₁+ . . . + y_mw_m, dove





 y₁ y₂ ... y_m







= AB,B⁰





 x₁ x₂ ... x_n







Proof. F (v) = F (x1v1 + . . . + xnvn) = x1F (v1) + . . . + xnF (vn) = x1(a11w1+ a21w2 + . . . + a_m1w_m) + . . . + x_n(a_1nw₁ + a_2nw₂ + . . . + a_mnw_m) =

Pn

j=1a_1jx_j

w₁ + . . . +

Pn

j=1a_mjx_j

w_m = y₁w₁+ . . . + y_mw_m. Poich`e un vettore si esprime in maniera unica come combinazione lineare di una base si ha che y_i =

Pn

j=1a_ijx_j

, 1 ≤ i ≤ m, come volevasi.

Osservazione 0.14. Tenendo conto dell’Osservazione 0.4 e dell’Esempio 0.2, 3., le colonne della matrice AB,B⁰ formano un insieme di generatori di Im(F ). Inoltre, si noti che dim(Im(F )) = rg(AB,B⁰).

Denotiamo con Hom(V, W ) l’insieme di tutte le applicazioni lineari da V in W . Hom(V, W ) = {F : V −→ W | F omomorfismo}.

Siano F₁, F₂ ∈ Hom(V, W ) e λ ∈ K. Definiamo

F1+ F2 : v ∈ V 7−→ (F1 + F2)(v) = F1(v) + F2(v) ∈ W,

(6)

λF1 : v ∈ V 7−→ λF1(v) ∈ W.

Si pu`o mostrare che F₁+ F₂ e λF₁ sono applicazioni lineari da V in W . Pertanto F₁ + F₂, λF₁ ∈ Hom(V, W ) e vale quanto segue.

Lemma 0.15. Hom(V, W ) `e un K–spazio vettoriale.

Teorema 0.16. Siano V, W due K–spazi vettoriali e siano B = {v1, . . . , v_n} e B⁰ = {w₁, . . . , w_m} basi di V e W , rispettivamente. L’applicazione:

ΦB,B⁰ : F ∈ Hom(V, W ) 7−→ AB,B⁰ ∈ M_m,n(K)

`

e lineare. In particolare ΦB,B⁰ `e un isomorfismo di spazi vettoriali e dim(Hom(V, W )) = dim(M_m,n(K)) = mn.

Proof. Siano F, G ∈ Hom(V, W ) e siano A_B,B⁰, B_B,B⁰ ∈ M_m,n(K) le matrici associate ad F e G, rispettivamente, rispetto alle basi B, B⁰. Dalla Proposizione 0.13, se x è il vettore colonna delle coordinate di v rispetto alla base B, allora il vettore colonna delle coordinate di F (v) rispetto alla base B⁰ risulta AB,B⁰ x, mentre il vettore colonna delle coordinate di G(v) rispetto alla base B⁰è BB,B⁰ x. Poichè ∀ v ∈ V , (F + G)(v) = F (v) + G(v), il vettore colonna delle coordinate di (F +G)(v) rispetto a B⁰è AB,B⁰ x+BB,B⁰ x = (AB,B⁰+BB,B⁰) x.

Pertanto la matrice associata ad F +G rispetto alle basi B, B⁰è AB,B⁰+BB,B⁰. Analogamente si può mostrare che λAB,B⁰ è la matrice associata a λF rispetto alle basi B, B⁰. Abbiamo allora mostrato che ΦB,B⁰ è un’applicazione lineare.

Mostriamo ora che ΦB,B⁰ `e suriettiva. Infatti, se M ∈ Mm,n(K), sia F^M : V −→ W l’applicazione definita come segue. Se v = x1v1+ . . . + xnvn∈ V , allora

F_M(v) = (M⁽¹⁾x)w₁+ . . . + (M^(m)x)w_m,

dove x = (x₁, . . . , x_n)^t. Si noti che il vettore colonna delle coordinate di F_M(v) `e M x.

Inoltre F_M `e lineare. Infatti se c, c⁰ ∈ K e v = x1v₁+. . .+x_nv_n, v⁰ = y₁v₁+. . .+y_nv_n∈ V , posto x = (x₁, . . . , x_n)^t e y = (y₁, . . . , y_n)^t, si ha che

F_M(cv + c⁰v⁰) = (M⁽¹⁾(cx + c⁰y))w₁+ . . . + (M^(m)(cx + c⁰y))w_m =

= (cM⁽¹⁾x + c⁰M⁽¹⁾y)w₁+ . . . + (cM^(m)x + c⁰M^(m)y)w_m =

= c (M⁽¹⁾x)w₁+ . . . + (M^(m)x)w_m + c⁰ (M⁽¹⁾y)w₁+ . . . + (M^(m)y)w_m =

= cF_M(v) + c⁰F_M(v⁰).

Poich`e la matrice associata ad F_M rispetto alle basi B e B⁰ `e la matrice M , si ha che ΦB,B⁰(F_M) = M .

Mostriamo, infine, che ΦB,B⁰ è iniettiva. Se F : V −→ W è un’applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi B e B⁰ è la matrice nulla, allora F (v) = 0, ∀ v ∈ V . Pertanto F è l’applicazione lineare nulla e Ker(ΦB,B⁰) = {0}.

(7)

Proposizione 0.17. Siano V, W, U K–spazi vettoriali, B, B⁰, B⁰⁰ basi di V , W ed U , rispettivamente. Siano F : V −→ W , G : W −→ U applicazioni lineari. Se A è la matrice associata ad F rispetto a B e B⁰ e B è la matrice associata a G rispetto a B⁰ e B⁰⁰, allora BA è la matrice associata a G ◦ F rispetto alle basi B e B⁰⁰.

Proof. Siano B = {v₁, . . . , v_n}, B⁰ = {w₁, . . . , w_m} e B⁰⁰ = {u₁, . . . , u_s}. Se v = z₁v₁+ . . . + z_nv_n ∈ V,

siano

F (v) = x1w1+ . . . + xmwm e (G ◦ F )(v) = G(F (v)) = y1u1 + . . . + ysus.

Posto z = (z₁, . . . , z_n)^t, x = (x₁, . . . , x_m)^t e y = (y₁, . . . , y_s)^t, dalla Proposizione 0.13, si ha che

x = Az e

y = Bx = B(Az) = (BA)z, come volevasi.

Corollario 0.18. Se F ∈ Hom(V, W ) è un isomorfismo e AB,B⁰ è la matrice associata ad F rispetto alle basi B, B⁰, allora A⁻¹_B,B0 è la matrice associata ad F⁻¹ rispetto alle basi B⁰, B.

Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n e siano E = {e1, . . . , e_n}, F = {f₁, . . . , f_n} due basi di V . Allora esistono degli scalari a_ij ∈ K tali che

f1 = a11e1+ a21e2+ . . . + an1en= (Pn

i=1ai1ei) f₂ = a₁₂e₁+ a₂₂e₂+ . . . + a_n2e_n= (Pn

i=1a_i2e_i) ...

f_n = a_1ne₁+ a_2ne₂ + . . . + a_nne_n= (Pn

i=1a_ine_i) Si consideri la matrice quadrata di ordine n

M =







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ... a_n1 a_n2 . . . a_nn







La matrice M si chiama matrice del cambiamento di base da E ad F o anche matrice di passaggio da E ad F .

Osservazione 0.19. Tenendo conto dell’Esempio 0.2, 3., le colonne della matrice M formano un insieme di vettori linearmente indipendenti di Kⁿ. Pertanto M ∈ GL_n(K).

(8)

Sia v ∈ V , allora v = x1e1+ . . . + xnen e v = y1f1+ . . . + ynfn. Si noti che la matrice M pu`o essere considerata come matrice associata all’applicazione identica (Esempio 0.2, 2.) id_V : v ∈ V 7−→ v ∈ V rispetto alle basi F e E . Allora, dalla Proposizione 0.13 e dal Corollario 0.18, si ha che





 x₁ x₂ ... x_n







= M





 y₁ y₂ ... y_n





 da cui si ricava





 y₁ y₂ ... y_n







= M⁻¹





 x₁ x₂ ... x_n





 Vale, pertanto, il seguente risultato.

Corollario 0.20. Siano E ed F due basi dello spazio vettoriale V . Se M `e la matrice di passaggio da E ad F , allora M⁻¹ `e la matrice di passaggio da F ad E .