Derivazione della formula di Plank da parte di Einstein

Derivazione della formula di Plank da parte di Einstein

Consideriamo un sistema di atomi identici in interazione con un campo di radiazione elettromagnetica.

Supponiamo che ogni atomo abbia due livelli energetici 1 e 2 , rispettivamente di energia 𝐸 ₁ ed 𝐸 ₂ , con 𝐸 ₂ > 𝐸 ₁ .

Secondo Einstein esistono tre processi distinti di interazione tra l’atomo e la radiazione, schematizzati nella

1. Si ha assorbimento quando l’atomo si trova inizialmente nello stato di energia più bassa 1 ed assorbe un fotone di energia ℎ𝜈 = 𝐸 ₂ − 𝐸 ₁ (conservazione dell’energia) portandosi allo stato più alto 2 . Contemporaneamente scompare un fotone dal campo di radiazione.

2. Se l’atomo si trova inizialmente nel livello più alto 2 può decadere al livello 1 per emissione spontanea di un fotone di energia ℎ𝜈. Si tratta di un fenomeno statistico che genera un decadimento esponenziale della popolazione del livello 2 . Si definisce vita media 𝜏 del livello 2 il tempo dopo il quale, per effetto dell’emissione spontanea, nel livello 2 è rimasta una frazione 1 𝑒 degli atomi che vi si trovavano inizialmente. Il fotone è emesso con uguale probabilità in qualunque direzione.

3. Esattamente come un fotone di energia ℎ𝜈 che incontra un atomo nello stato 1 può essere assorbito, un fotone che incontra un atomo nello stato 2 può stimolare l’emissione di un nuovo fotone, identico al fotone di partenza, portando così l’atomo allo stato più basso 1 . Perché avvenga questo fenomeno, detto emissione indotta, è quindi necessaria la presenza di fotoni

“primari”. L’emissione indotta aggiunge un nuovo fotone a quelli già presenti nel campo di radiazione, il nuovo fotone è indistinguibile da quello che ne ha indotto l’emissione.

Adesso supponiamo che il nostro sistema di atomi sia in equilibrio con della radiazione di corpo nero alla temperatura 𝑇. L’energia di radiazione per unità di volume con frequenza compresa tra 𝜐 e 𝜐 + 𝑑𝜐 sarà 𝑢 𝜐, 𝑇 𝑑𝜐.

Vediamo quanti dei tre processi descritti sopra avvengono nell’intervallo di tempo 𝑑𝑡.

1. Transizioni per assorbimento da 1 a 2 . La frequenza dei processi è proporzionale al numero di atomi 𝑁 ₁ che si trovano nello stato 1 e alla densità di radiazione alla frequenza 𝜈 = ^𝐸

^−𝐸

ℎ (𝑑𝑁 _1→2 ) _𝑎𝑏𝑠 = 𝐵 ₂₁ 𝑢 𝜐, 𝑇 𝑁 ₁ 𝑑𝑡, (7.1)

dove 𝐵 ₂₁ è il coefficiente di Einstein per l’assorbimento, pari alla probabilità di transizione per

unità di tempo e di densità di radiazione 𝑢 𝜐, 𝑇 . Nei coefficienti di Einstein metteremo come primo

indice quello relativo allo stato di arrivo, e come secondo quello relativo allo stato di partenza.

Vedremo in seguito che questo `e in accordo con la notazione matriciale, e con il normale prodotto righe per colonne delle matrici.

2. Transizioni per emissione spontanea da 2 a 1 . Il numero di queste transizioni per unità di tempo è proporzionale al numero di atomi che si trova nello stato 2 :

(𝑑𝑁 _2→1 ) _{𝑠𝑝𝑜𝑛𝑡} = 𝐴 ₁₂ 𝑁 ₂ 𝑑𝑡, (7.2) dove 𝐴 ₁₂ è il coefficiente di Einstein per l’emissione spontanea.

3. Transizioni per emissione indotta da 2 a 1 . Il numero di queste transizioni è proporzionale al numero di atomi 𝑁 ₂ che si trovano nello stato 2 e alla densità di radiazione

alla frequenza 𝜈 = ^𝐸

^−𝐸

ℎ

(𝑑𝑁 _2→1 ) _𝑖𝑛𝑑 = 𝐵 ₁₂ 𝑢 𝜐, 𝑇 𝑁 ₂ 𝑑𝑡, (7.3) dove 𝐵 ₁₂ è il coefficiente di Einstein per l’emissione indotta.

Se siamo all’equilibrio, con 𝑁 ₁ e 𝑁 ₂ costanti, la frequenza delle transizioni da 1 a 2 deve essere uguale alla frequenza delle transizioni da 2 a 1 :

(𝑑𝑁 _1→2 ) _𝑎𝑏𝑠 = (𝑑𝑁 _2→1 ) _{𝑠𝑝𝑜𝑛𝑡} + (𝑑𝑁 _2→1 ) _𝑖𝑛𝑑 , (7.4) inserendo le espressioni delle (7.1), (7.2) e (7.3) otteniamo

𝑁 ₂

𝑁 ₁ = 𝐵 ₂₁ 𝑢 𝜐, 𝑇

𝐴 ₁₂ + 𝐵 ₁₂ 𝑢 𝜐, 𝑇 , (7.5) D’altra parte, se siamo all’equilibrio termico, il rapporto ^𝑁

𝑁

è dato dalla ripartizione di Boltzmann 𝑁 ₂

𝑁 ₁ = 𝑒 ^{− 𝑘𝑇 𝐸}

𝑒 ^{− 𝑘𝑇 𝐸}

, (7.6)

da cui segue

𝐵

𝑢 𝜐,𝑇 𝐴

+𝐵

𝑢 𝜐,𝑇 = ^𝑒

− 𝐸2 𝑘𝑇

𝑒

, e, per 𝑢 𝜐, 𝑇 abbiamo

𝑢 𝜐, 𝑇 = 𝐴 ₁₂ 𝐵 ₂₁ 𝑒 ^{ℎ𝜈 𝑘𝑇} − 𝐵 ₁₂

, (7.7)

dove abbiamo posto ℎ𝜈 = 𝐸 ₂ − 𝐸 ₁ . Per determinare le relazioni tra i coefficienti di Einstein 𝐴 ₁₂ ,

𝐵 ₂₁ e 𝐵 ₁₂ , facciamo prima tendere la temperatura all’infinito. Sappiamo che lim _𝑇→∞ 𝑢 𝜐, 𝑇 = ∞

così che il denominatore dell’ultima delle (7.7) deve tendere a zero, e avremo quindi 𝐵 ₂₁ = 𝐵 ₁₂ , da

cui

𝑢 𝜐, 𝑇 = 𝐴 ₁₂ 𝐵 ₂₁ 𝑒 ^{ℎ𝜈 𝑘𝑇} − 1

, (7.8)

D’altra parte al limite delle basse frequenze, cioè per ℎ𝜈 ≪ 𝐾𝑇, deve valere la legge di Rayleigh- Jeans, che `e verificata sperimentalmente,

𝑢 𝜐, 𝑇 = 8𝜋𝜐 ²

𝑐 ³ 𝑘𝑇, (7.9)

Se espandiamo fino al primo ordine l’esponenziale al denominatore della (7.8) otteniamo 𝑢 𝜐, 𝑇 = 𝐴 ₁₂

𝐵 ₂₁ 𝑒 ^{ℎ𝜈 𝑘𝑇} − 1

≈ 𝐴 ₁₂ 𝐵 ₂₁

𝑘𝑇

ℎ𝜈 , (7.10)

uguagliando alla (7.9) otteniamo 𝐴 ₁₂

𝐵 ₂₁ = 8𝜋ℎ𝜐 ³

𝑐 ³ , (7.11) da cui otteniamo finalmente la formula di Planck

𝑢 𝜐, 𝑇 = 8𝜋ℎ𝜐 ³ 𝑐 ³

1 𝑒 ^{ℎ𝜈 𝑘𝑇} − 1

, (7.12)

Otteniamo poi la relazione tra 𝐴 ₁₂ e 𝐵 ₂₁ = 𝐵 ₁₂ 𝐴 ₁₂ = 8𝜋ℎ𝜐 ³

𝑐 ³ 𝐵 ₂₁ , (7.13)

in accordo con la legge di Kirchhoff, secondo cui le probabilità di emissione spontanea e di assorbimento sono proporzionali tra loro.

Tratto da Appunti lezioni AA 2008-2009 di Giovanni Moruzzi