Prova scritta di Matematica del 17/12/2003
Versione 2
A.A. 2003-2004
Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato.
Cognome Nome
no. fogli (compreso questo) N. Matricola
1. (6 punti) Risolvere la disequazione
√ 3x + 1 ≥ |x − 1|
[0, 5]
2. (9 punti) Data la funzione f (x) = e 4x−x
21. determinare il dominio;
2. calcolare i limiti agli estremi degli intervalli di cui `e costituito il dominio;
3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;
4. determinare in quali intervalli la funzione `e concava e in quali convessa;
5. scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto ¡
0, f (0) ¢
;
6. disegnare un grafico approssimativo di f e della retta tangente precedentemente individuata.
1. R;
2. lim
x→−∞ f (x) = lim
x→+∞ f (x) = 0.
3. f 0 (x) = 2(2 − x) e 4x−x
2.
f `e crescente in ] − ∞, 2] e decrescente in [2, +∞].
4. f 00 (x) = 2(2x 2 − 8x + 7) e 4x−x
2. f `e convessa in ] − ∞, 2 − √
2/2] e concava in [2 + √
2/2, +∞].
5. y = 1 + 4x.
x f(x)
2
3. (8 punti) Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge
f (x) =
½ 1 + 6x se x < 0 3 e x +a se x ≥ 0 dove a `e un parametro reale.
1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;
2. dire se per a = 1 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;
3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto;
4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto.
1. a ≥ −2;
2. Per a = 1 la funzione `e invertibile e si ha f −1 :] − ∞, 1[∪[4, +∞[→ R con legge
f −1 (y) =
y − 1
6 se y < 1 log y − 1
3 se y ≥ 4 3. a = −2
4. non esistono
4. (7 punti) Dati i problemi di Cauchy
1)
( y 0 (t) = ty(t) 6 y(0) = 1, 2)
( y 0 (t) = ty(t) 6 y(0) = 0, 1. dire se la funzione y(t) = √
62t + 1 `e una soluzione del problema 1);
2. determinare una soluzione del problema 1), nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente, ed eseguire la verifica;
3. esibire una soluzione del problema 2).
1. no
2. y(t) = 1
5
q 1 − 5t 2
2, t ∈] − p 2/5, p
2/5[
3. y(t) = 0 per ogni t
Svolgimento completo
1
Osserviamo anzitutto che, affinch`e la radice che compare nella disequazione abbia senso occorre che 3x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1/3.
Poich´e ambo i membri dell’equazione sono non negativi, allora elevandoli al quadrato si ottiene la disequazione equivalente
3x + 1 ≥ (x − 1) 2 ⇐⇒ 3x + 1 ≥ x 2 − 2x + 1 ⇐⇒ x 2 − 5x ≤ 0 ⇐⇒ x(x − 5) ≤ 0 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 5 L’insieme delle soluzioni della disequazione `e quindi S = [0, 5].
2
1. Il dominio `e R.
2. Raccogliendo x all’esponente si scopre che
x→−∞ lim f (x) = lim
x→+∞ f (x) = 0.
3. Calcoliamo la derivata di f utilizzando la formula di derivazione delle funzioni composte. Si ha f 0 (x) = 2(2 − x) e 4x−x
2sichh´e
f 0 (x) ≥ 0 ⇐⇒ 2 − x ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 2
Quindi f risulta crescente in ] − ∞, 2] e decrescente in [2, +∞]. Si ha inoltre f (2) = e 4 .
4. Calcoliamo la derivata seconda di f utilizzando la formula di derivazione del prodotto. Si ha f 00 (x) = 2(2x 2 − 8x + 7) e 4x−x
2e quindi si ha
f 00 (x) ≥ 0 ⇐⇒ 2x 2 − 8x + 7 ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 2 −
√ 2
2 oppure x ≥ 2 +
√ 2 2 Quindi f risulta convessa in ] − ∞, 2 − √
2/2] e concava in [2 + √
2/2, +∞].
5. L’equazione della retta tangente `e y = f (0) + f 0 (0)x. D’altra parte f (0) = 1, f 0 (0) = 6 quindi l’equazione della retta tangente diviene
y = 1 + 4x.
6. Un grafico approssimativo di f `e il seguente.
x f(x)
2
3
1. Conviene distinguere alcuni casi (vedi figura):
x a=-2 a>-2
a<-2 y
1
Come si vede, la funzione risulta iniettiva, e quindi invertibile, per ogni a ≥ −2.
2. Per a = 1 la funzione `e invertibile. Per determinare la legge della funzione inversa occorre risolvere le equazioni
y = 1 + 6x per x < 0 e
y = 3 e x +1 per x ≥ 0.
Avendosi
y = 1 + 6x per x < 0 ⇐⇒ x = y − 1
6 per y − 1
6 < 0 ⇐⇒ x = y − 1
6 per y < 1 e
y = 3 e x +1 per x ≥ 0 ⇐⇒ e x = y − 1
3 per x ≥ 0 ⇐⇒ x = log y − 1
3 per log y − 1 3 ≥ 0
⇐⇒ x = log y − 1
3 per y − 1
3 ≥ 1 ⇐⇒ x = log y − 1
3 per y ≥ 4 allora f −1 :] − ∞, 1[∪[4, +∞[→ R con legge
f −1 (y) =
y − 1
6 se y < 1 log y − 1
3 se y ≥ 4
3. Per come `e definita, la funzione `e continua per ogni x 6= 0 qualunque sia a. Per decidere per quali valori di a risulta continua anche nel punto x = 0 occorre calcolare (se esiste) il lim
x→0 f (x) e confrontarlo con f (0).
Poich´e
x→0 lim
+f (x) = lim
x→0
+3 e x +a = 3 + a mentre
x→0 lim
−f (x) = lim
x→0
−1 + 6x = 1 ∀ a ∈ R,
allora il limite per x → 0 esiste ed `e uguale a f (0) = 3 + a per ogni a ∈ R tale che 3 + a = 1, cio`e a = −2 e
pertanto f `e continua in tutti i punti di R solo per a = −2.
4. Possiamo restrigerci a considerare solo il caso a = −2 perch`e per a 6= −2 la f non essendo continua nel punto x = 0 non `e neppure derivabile. Sia dunque a = −2. Per come `e definita, la funzione `e derivabile per ogni x 6= 0 con derivata
f 0 (x) =
( 6 se x < 0 3 e x se x > 0 e si ha
x→0 lim
−f 0 (x) = lim
x→0
−6 = 6, mentre
x→0 lim
+f 0 (x) = lim
x→0
+3 e x = 3,
pertanto f non `e derivabile nel punto x = 0 e quindi nmon esiste alcun valore di a tale che f sia derivabile in tutti i punti di R.
4
1. La funzione data y(t) = √
62t + 1 soddisfa la condizione iniziale y(0) = 1 ma non l’equazione differenziale perch´e
y 0 (t) = 1
3 (2t − 1) −5/6 mentre
ty(t) 6 = 2t 2 − t, quindi non `e soluzione.
2. Scrivendo l’equazione nella forma
dy dt = ty 6 e separando le variabili si ottiene
dy y 6 = t dt,
quindi, integrando rispetto a y a primo membro e rispetto a t al secondo, si ha (cambiando opportunamente nome alle variabili rispetto a cui si integra)
Z y
1
dz z 6 =
Z t
0
x dx.
Poich´e una primitiva di z −6 `e −z −5 /5 e una primitiva di x `e z 2 /2 allora si ottiene h
− z −5 /5 i y
1 = h
x 2 /2 i t
0
che equivale a
− 1 5y 5 + 1
5 = t 2
2 ⇐⇒ 1
y 5 = 1 − 5t 2
2 ⇐⇒ y = 1
5
