Indice
Introduzione……….2
Esperimento………..6
Conclusioni………..12
Bibliografia e Sitografia………..12
Ringraziamenti………13
Vita Alla Prova
1)INTRODUZIONE
In questa relazione vogliamo studiare i processi di evoluzione di una popolazione.
Una popolazione è l’insieme degli individui di una specie che vivono in una determinata area. Molti fattori determinano le variazioni delle dimensioni di una popolazione nel tempo e nello spazio. In particolare noi vogliamo verificare alcuni modelli matematici esistenti che pare descrivano molto bene la dinamica di alcune tipologie di popolazione.
Nel periodo in cui Darwin formulò la selezione naturale, fu colpito dal fatto che qualsiasi organismo, senza controllo sulla numerosità, riempirebbe la terra indipendentemente dal proprio tasso di crescita. Quindi fu indotto a pensare che la morte senza riproduzione deve essere il destino della maggioranza degli organismi e la selezione naturale può divenire decisiva per l’evoluzione.
Crescita esponenziale o Malthusiana
Darwin effettuò dei calcoli sulle specie che crescono più lentamente e scoprì che qualsiasi essere organico in fase di crescita incontrollata avrebbe riempito la terra in un tempo estremamente breve in termini geologici. Questo tipo di crescita illimitata è detta crescita esponenziale o malthusiana (dovuta all’economista inglese Malthus nel 1798). Quindi, per fare un esempio, consideriamo una popolazione biologica che sia omogenea (non sono rilevanti differenze dovute alla diversa posizione, dimensione, età, sesso, etc.: questo significa che l’unica variabile significativa è il tempo) e isolata (non si considerano effetti di immissione dall’esterno o uscite dal sistema). Supponiamo inoltre che le condizioni di vita non subiscano variazioni con il tempo (habitat invariante). In queste condizioni la fertilità e la mortalità, che per le ipotesi dichiarate sono caratteristiche costanti, sono le uniche cause di variazione del numero di individui. In tali ipotesi semplificative, dati due istanti t1 e t2, con t2 > t1, possiamo scrivere la seguente relazione:
+
= ( ) )
(t2 N t1
N # nati in (t1,t2) – # morti in (t1,t2) t
t bN t t aN
N = ∆ − ∆
∆ ( ) ( )
dove si è supposto che il numero (#) di nati (rispetto ai morti) in (t1,t2)vada a 0 linearmente con l’ampiezza dell’intervallo e sia proporzionale ad un opportuno valor medio di N tra t1 e t2.
Dividendo per t∆ e facendo tendere t∆ a 0 si ha (per un qualunque t):
) ( ) ) (
( a b N t
dt t
dN = −
che, dato il valore di N ad un dato istante descrive l’evoluzione della popolazione. Quindi possiamo scrivere la formula definitiva della crescita esponenziale ponendo a− b= r:
) ) (
( rN t dt
t
dN =
Il membro di sinistra esprime la velocità di aumento del numero di individui in un dato istante, essa è data dalla variazione di individui dN in un periodo di tempo infinitesimale dt; N è il numero di individui della popolazione e r è il tasso intrinseco di accrescimento (“parametro malthusiano”).
Tale parametro r si misura come la differenza tra il tasso di natalità medio e il tasso di mortalità media. È ragionevole dunque ipotizzare che la velocità con cui cresce una popolazione sia direttamente proporzionale al numero di individui ad un certo istante. Rappresentata in un grafico, dove si riporta le dimensioni della popolazione N in funzione del tempo t, la crescita esponenziale è rappresentata da una curva con concavità verso l’alto. Con l’aumentare del tempo le dimensioni della popolazione aumentano fino all’infinito a ritmo sempre più veloce.
Un esempio tipico di curva esponenziale (con tasso di accrescimento negativo) è il caso della radioattività e l’età dei fossili.
Se al tempo t0 = 0 sono presenti N0 atomi instabili, al tempo t ne rimarranno N, dati da:
N = N0 · e-t/τ
dove la lettera greca τ (tau) è una costante temporale caratteristica del tipo di atomo detta “vita media”.
Nel processo di decadimento, gli atomi emettono spontaneamente delle radiazioni, trasformandosi in altre sostanze. Un esempio molto utile per determinare l’età di reperti fossili o archeologici è quello del carbonio radioattivo 14C (è un atomo molto instabile perché nel suo nucleo ha due neutroni in più rispetto al carbonio “naturale”). Sapendo che ogni organismo contiene una quantità ben definita di 14C finché è in vita e che alla morte inizia il processo di decadimento, dalla misura dell’abbondanza residua di carbonio radioattivo si può determinare la vita del fossile, se conosciamo la vita media del 14C. Dalla precedente si ricava infatti:
t = τ · ln (N0 / N)
dove τ = 8300 anni circa per il 14C. Nel grafico seguente si può ricavare l’età di un reperto fossile in funzione dell’abbondanza del 14C.
Equazione logistica di Verhulst
In realtà in natura la crescita esponenziale rallenta raggiungendo un plateau. In condizioni di equilibrio omeopatico la natura non può sopportare un aumento esponenziale illimitato. Le curve che descrivono in modo realistico la crescita della popolazione devono prevedere il limite superiore, che è chiamato capacità portante dell’ambiente K (a causa della limitatezza delle risorse e della competizione con gli organismi). Infatti in un ambiente la cui disponibilità di risorse è limitata si può descrivere l’evoluzione della popolazione usando un coefficiente r che decresce all’aumentare della popolazione; il modello più semplice è quello lineare:
K N r r N r
r → − α = −
dove r è il parametro di crescita malthusiano.
La curva logistica, che esprime la crescita della popolazione comprende sia r che K; sostituendo il precedente valore di r nella equazione malthusiana si ottiene:
K N rN K
dt
dN = −
.
La soluzione della precedente equazione è la seguente:
e rt
N K N t KN
N −
⋅
−
= +
) ) (
(
0 0
0
Il grafico di N(t) non è più un esponenziale ma è una sigmoide: partendo da una singola coppia al tempo zero le dimensioni della popolazione crescono inizialmente in modo analogo
Anni trascorsi
0 5000 10000 15000 20000 25000
0 0,2
0,4 0,6
0,8 1
N/No
tempo (anni)
all’esponenziale. Ben presto però si rallenta la crescita fino a raggiungere un plateau al livello della capacità portante. Il termine di equazione (K-N)/K, determina la forma sigmoidale e il progresso rallentamento fino allo stato stazionario. Quando N è molto piccolo, (K-N)/K diventa K/K∼1 e si torna all’equazione alla forma esponenziale dN/dt=rN. All’aumentare di N il numeratore diminuisce e il denominatore rimane uguale, al crescere della popolazione rN viene moltiplicato per un numero più piccolo e la crescita rallenta. Quando N è uguale a K al raggiungimento della capacità portante (K-N)/K è zero e il membro dell’equazione si annulla; la popolazione si stabilizza. Questa è la condizione di crescita zero. A questo stadio le dimensioni della popolazione rimangono costanti:
l’aumento cessa quando gli individui “aggiunti” controbilanciano quelli “perduti”. Con l’avvicinamento alla capacità portante, r prende il nome di tasso intrinseco di accrescimento perché rappresenta il tasso di crescita che una popolazione può realizzare.
L’andamento logistico ci aiuta a capire come si faccia a diminuire le specie indesiderate. Infatti la diminuzione consiste nell’abbassare il plateau della curva logistica, cambiando le condizioni del K.
I fattori che regolano le dimensioni della popolazione sono essenzialmente due: la fertilità e la mortalità. In natura il fattore che agisce di più è la mortalità. I fattori di mortalità vengono anch’essi suddivisi in due categorie: dipendenti dalla densità, ovvero il cibo e la predazione, e indipendenti dalla densità ovvero il clima e l’habitat. Le malattie infettive pure sono dipendenti dalla densità, dato che la loro trasmittibilità aumenta con la vicinanza.
Interessante notare che non sono stati analizzati solo sistemi di organismi semplici, ma anche organismi più complessi come la popolazione degli USA dal 1790 al 1950.
Utilizzando l’equazione per la crescita logistica, sulla base dei dati, Pearl e Reed (1920) ottennero il seguente grafico:
L’accordo con i dati rilevati nel periodo considerato mediante la legge logistica sembra essere molto buono. Se andiamo a calcolare la popolazione negli anni successivi, però, si vede che sono state rilevate alcune incongruenze rispetto all’andamento logistico.
2)ESPERIMENTO
2.1) SCOPO DELL’ESPERIMENTO
Verificare l’esistenza di popolazioni in campo ecologico che seguono l’andamento descritto dalle equazioni studiate in precedenza. In particolare è stata studiata la dinamica della crescita di una popolazione batterica che, in opportune condizioni colturali ottenute in laboratorio, si ipotizza possa avvicinarsi al modello rappresentato dalla curva logistica di Verhulst.
Il batterio che abbiamo utilizzato ai fini dell’esperimento è l’“Escherichia coli”, fa parte dei batteri mesofili, microrganismi unicellulari che vivono a temperature comprese tra 30 °C e 40 °C.
Abbiamo scelto questo tipo di batterio perché è facilmente reperibile in quanto vive in simbiosi col colon dei mammiferi e si riproduce rapidamente tramite la scissione binaria, infatti in condizioni ottimali il tempo di divisione dura circa 20 minuti.
2.2) MATERIALI E METODI
Per analizzare la crescita della popolazione batterica abbiamo seguito due metodi diversi, correlati fra loro. Il primo consiste nel misurare la densità ottica della coltura mediante uno spettrofotometro che utilizza una lunghezza d’onda di 550 nm; tale grandezza, infatti, aumenta con l’aumentare della torbidità della coltura ovvero col crescere della popolazione batterica. La densità ottica (o
assorbanza) in spettroscopia è definita come segue:
dove I0 e I1 sono le intensità della luce incidente e della luce che emerge dal campione attraversato ad una data lunghezza d’onda.
Il secondo metodo si basa sulla conta vitale delle CFU (Unità Formanti Colonia):
Queste unità si formano a partire da singole cellule batteriche che vengono distribuite in modo omogeneo su una piastra contenente substrato solido a vari intervalli di tempo. Dato che le colonie sono visibili a occhio nudo è possibile contarle risalendo così alle cellule presenti al momento della piastratura.
Il Titolo vitale si calcola per ciascun tempo e ciascuna piastra in UFC/ml (Unità Formanti Colonia su ml) con questa formula:
(Numero di colonie/ Volume piastrato)*Fattore di diluizione
Abbiamo deciso di impiegare entrambi i metodi perché quest’ultimo consente di determinare il numero effettivo di cellule vitali senza tener conto delle cellule morte che non è possibile discriminare con il primo metodo.
2.3) DESCRIZIONE DELL’ESPERIMENTO
Abbiamo preparato la coltura batterica per l’esperimento del giorno successivo perché solitamente i batteri mostrano una fase di latenza in cui devono attivare i loro geni ed abituarsi al “terreno di coltura” e per via di ciò crescono in modo più lento.
Si preparano tre colture di E. coli diluite diversamente:
Coltura 1:
Abbiamo messo 1 ml di coltura in 19 ml di terreno in modo tale da ottenere una concentrazione in volume Cv/v=5%; successivamente sono stati aggiunti 8 ml di terreno ottenendo una Cv/v=3,6% per raggiungere la densità ottica di 0,11 misurata mediante spettrofotometro.
Coltura 2:
Abbiamo messo 0,5 ml di coltura in 19 ml di terreno così da ottenere una Cv/v=2,6%;
successivamente sono stati aggiunti 5 ml di terreno ottenendo una Cv/v=2% per raggiungere la densità ottica di 0,02.
Coltura 3:
Abbiamo messo 0,03 ml di coltura in 19 ml di terreno così da ottenere una Cv/v=0,16%; non è stato necessario aggiungere altro volume di terreno.
Successivamente abbiamo diluito ciascuna coltura batterica su un terreno solido con soluzione fisiologica: 0,11×10–2; 0,02×10–4 e 0,01×10–6 ; usando in seguito il “Vortex” che è uno strumento che ci permette di mescolare le cellule in modo da portare loro ossigeno; al termine di ciò abbiamo messo a crescere le tre colture capovolte in una stufa a 37° e mediamente ogni 30 minuti abbiamo controllato la loro densità ottica trascrivendone i valori:
Coltura1 Coltura2 Coltura3 Prima misurazione: 0,13 0,08 0,05 Seconda misurazione: 0,18 0,07 0,01 Terza misurazione: 0,30 0,13 0,09
Quarta misurazione: 0,40 0,19 0,09 Quinta misurazione: 0,55 0,30 0,25
Sesta misurazione: 0,84 0,44 0,35
Settima misurazione: 1,22 0,98 0,79
Con i valori qui sopra riportati abbiamo ricavato i seguenti grafici:
Coltura 1
0,1 1 10
0 50 100 150 200 250 300
tempo (min)
densità ottica
Serie1
Coltura 2
0,01 0,1 1
0 50 100 150 200 250 300
tempo (min)
densità ottica
Serie1
Coltura 3
0,01 0,1 1
0 50 100 150 200 250 300
tempo (min)
densità ottica
Serie1
Il giorno successivo ci siamo recati nuovamente al laboratorio per effettuare la conta delle colonie (insieme di microorganismi nati da un’unica cellula madre) nelle colture.
Con l’aiuto di una biologa del laboratorio della Specola abbiamo verificato l’effettiva crescita delle colonie batteriche: nella Coltura1 risultavano esserci 500 colonie, nella Coltura2 308 colonie e nella Coltura3 175 colonie.
Il metodo di conta che abbiamo utilizzato è stato porre su una superficie un cartoncino di colore nero, su questo abbiamo appoggiato le colture e con un pennarello nero abbiamo messo un punto su ogni colonia contata.
Per calcolare il titolo vitale si conta il numero di colonie, si divide per il volume (0,1 ml) e si moltiplica per quanto si è diluita la colonia, quindi per 10.000.
Quindi il titolo vitale iniziale nella Coltura1 è 5×107, della Coltura2 è 3×107 e della Coltura3 è 1,75
×107.
Nel grafico seguente sono stati riportati i conteggi delle cellule per la Coltura1, acquisiti nel modo appena descritto, in funzione del tempo.
Titolo vitale
0 20000000 40000000 60000000 80000000 100000000 120000000
0 100 200 300
tempi (min)
N° di batteri
Titolo vitale
3) CONCLUSIONI
A conclusione degli esperimenti effettuati abbiamo osservato che la curva del modello di Verhulst si è dimostrata del tutto valida solo nel caso della Coltura1 perché la crescita della popolazione batterica segue fedelmente l’andamento logistico, sia nel grafico che riporta la densità ottica, sia in quello che riporta il numero di batteri in funzione del tempo. Osservando invece i grafici della Coltura2 e della Coltura3 abbiamo notato che c’è un errore iniziale causato dalla sensibilità dello spettrofotometro, poco preciso nel misurare concentrazioni basse. Dal calcolo del titolo vitale iniziale, però, anche se nella seconda e terza prova lo spettrofotometro aveva delle difficoltà di misurazione, effettivamente il numero di cellule iniziale era diverso nei tre esperimenti. Nei tempi successivi, comunque, l’andamento risulta molto vicino a quello logistico anche in questi due casi.
Possiamo inoltre affermare che le popolazioni dei nostri batteri nelle colture su terreno solido sono visibili a occhio nudo quando si agglomerano in colonie.
Vorremmo fare un’ultima considerazione finale. I modelli proposti sulla crescita delle popolazioni risultano verificati per sistemi semplici nelle ipotesi descritte nell’Introduzione. Se invece consideriamo sistemi più complessi come quelli di una popolazione di esseri umani, i modelli cominciano a fallire e quindi non sono più verificabili, come anticipato alla fine dell’Introduzione.
A differenza di un batterio e del suo ambiente, per l’uomo entrano in gioco più fattori anche imprevedibili. Il tasso di accrescimento dipende anche da condizioni tecnologiche, industriali, ambientali, ecc. Soprattutto ci sembra determinante nell’uomo il fattore della sua libertà che lo porta a migrare, fare guerre, innamorarsi… Quindi la dinamica con cui la popolazione varia non può essere adattabile a un modello matematico.
4) BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA
• Luria, Gould, Singer, “Una visione della vita – Introduzione alla Biologia”, Zanichelli
• Curtis, Barnes, “Invito alla biologia”, Zanichelli
• Dispense del prof. Primicerio di “Matematica per la Biologia e l’ambiente”, Università di Firenze
• Dispense del prof. Sigward, SSIS, Università di Pisa, Firenze e Siena
• www.ctfd-lab.unibo.it/italiano/attivita/modelli/modelli_ecologici.pdf
• Sito di Wikipedia
• Motore di ricerca di Google (per alcune immagini)
5) RINGRAZIAMENTI
Ringraziamo il prof. Renato Fani, che ci ha permesso di verificare i nostri modelli nel Dipartimento di Biologia Evoluzionistica dell’Università di Firenze e la dott.ssa Elena Perrin per la sua pazienza, disponibilità e le sue fondamentali spiegazioni, il prof. Filippo Sigward e la prof.ssa Chiara Fedi per l’aiuto dato e la disponibilità per svolgere la ricerca.
