COGNOME . . . NOME . . . N. MATRICOLA . . . . ISTRUZIONI
• La prova dura 3 ore.
• Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi su ciascuno di essi negli spazi predisposti il tuo nome, cognome e numero di matricola.
• A fianco di ciascuna domanda `e presente un doppio riquadro: in quello di sinistra `e indicato il punteggio corrispondente alla domanda in caso di risposta completamente corretta; quello di destra `e a disposizione della commissione per la correzione.
• I punteggi sono espressi in trentesimi. Un punteggio compreso tra 30 e 32 corrisponde ad un voto di 30 trentesimi; un punteggio di almeno 33 corrisponde ad un voto di 30 trentesimi e lode.
• Per le risposte utilizza unicamente gli spazi riquadrati gi`a predisposti. Quando richiesto, le risposte vanno motivate brevemente, ma in maniera comprensibile.
• Se devi cambiare qualche risposta che hai gi`a scritto sul foglio, fai in modo che sia chiaro per chi corregger`a il tuo compito quale sia la risposta definitiva. Se la risposta risultasse poco leggibile, chiedi al docente un nuovo foglio e ritrascrivi su questo foglio tutte le risposte che hai dato.
• Al termine della prova devi consegnare unicamente i fogli che ti sono stati consegnati dal docente. Non saranno ritirati eventuali fogli di brutta copia, integrazioni e simili.
1. Dimostrare la verit`a o falsit`a delle seguenti affermazioni.
(a) Date comunque due matrici A e B di ordine n si ha rk(A + B) ≥ rk A , rk(A + B) ≥ rk B.
2
Motivazione:
(b) Date comunque due matrici A e B di ordine n si ha rk(A · B) ≥ rk A , rk(A · B) ≥ rk B.
2
Motivazione:
(a) Determinare la dimensione dell’inviluppo affine π di A, B, C e scrivere tutti i punti di π usando 2
il minimo di parametri possibile.
Motivazione:
(b) Determinare la dimensione del sottospazio vettoriale V generato da A, B, C e scrivere tutti i 2
punti di V usando il minimo di parametri possibile.
Motivazione:
COGNOME . . . NOME . . . N. MATRICOLA . . . . 3. Sia S(2; R) lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche di ordine 2 e sia
w1:=1 0 0 0
, w2:=0 0 0 1
, w3:=0 1 1 0
una sua base. Data, al variare del parametro k,
la matrice A :=
1 0 2
0 k − 1 1 1 −2 k − 2
, sia f : R3 −→ S(2, R) l’omomorfismo associato alla matrice A relativamente alla base canonica di R3e alla base w1, w2, w3di S(2, R).
(a) Determinare tutti valori del parametro k per i quali l’omomorfismo f NON `e un isomorfismo.
2
Motivazione:
(b) Posto k = 2, determinare una base del nucleo di f . 2
Motivazione:
(c) Posto k = 2 e data la matrice B :=2 0 0 1
, determinare f−1(B).
3
Motivazione:
base canonica, alla matrice A :=0 3 0 2 k 1
.
(a) Determinare, per ogni valore di k , gli autovalori di f e una base per ciascun autospazio di f . 3
Motivazione:
(b) Determinare tutti i valori di k per i quali esiste una matrice diagonale D e una matrice 2
invertibile M tali che D = M−1AM e, per ognuno di essi, determinare sia D che M .
(c) Determinare tutti i valori di k per i quali esiste una matrice diagonale D e una matrice 2
ortogonale M tali che D = M−1AM e, per ognuno di essi, determinare sia D che M .
Motivazione:
COGNOME . . . NOME . . . N. MATRICOLA . . . . 5. Fissato nel piano un sistema di riferimento affine, siano dati i punti A := (3, 4), B = (7, 10),
C = (1, 2). Sia r la retta passante per A e B.
(a) Determinare la retta r0 simmetrica della retta r rispetto a C.
2
Motivazione:
(b) Dati i punti A0 e B0 simmetrici dei punti A e B rispetto a C, dimostrare la verit`a o falsit`a 2
della seguente affermazione: il quadrilatero ABA0B0 `e un parallelogramma.
Motivazione:
(c) Dato il punto P := (−3, −3), determinare i punti Q e Q0 tali che i quadrilateri ABP Q e 3
ABQ0P siano parallelogrammi. Verificare se i punti P, Q e Q0 sono allineati.
r :
y = 1 + t
z = −t
r0 :
y = 2 + 2t z = 4 − t
.
(a) Determinare due piani π e π0 che siano paralleli e tali che r ⊆ π e r0⊆ π0. 2
Motivazione:
(b) Determinare la retta s perpendicolare e incidente le rette r e r0. 3
Motivazione:
(c) Calcolare la distanza tra le rette r e r0. 2
Motivazione:
