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Equazioni e identit` a La retta

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(1)

Universit`a degli studi di MACERATA — Facolt`a di SCIENZE POLITICHE

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA A.A. 2010/2011

RICHIAMI DI MATEMATICA

Fabio CLEMENTI

E-mail: fabio.clementi@unimc.it

Web: http://docenti.unimc.it/docenti/fabio-clementi

(2)

Contenuti della lezione

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 2 / 15

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit` a La retta

L’inclinazione della retta Le funzioni non lineari

Tasso di variazione e elasticit` a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

(3)

Variabili e funzioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Viene chiamata funzione ogni regola matematica che permette, dato il valore di una variabile (che viene detta variabile indipendente e indicata con x), di determinare il valore di un’altra variabile, detta variabile dipendente e indicata con y.

(4)

Variabili e funzioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 3 / 15

■ Viene chiamata funzione ogni regola matematica che permette, dato il valore di una variabile (che viene detta variabile indipendente e indicata con x), di determinare il valore di un’altra variabile, detta variabile dipendente e indicata con y.

■ Sinteticamente si scrive:

y = f (x)

(5)

Variabili e funzioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Viene chiamata funzione ogni regola matematica che permette, dato il valore di una variabile (che viene detta variabile indipendente e indicata con x), di determinare il valore di un’altra variabile, detta variabile dipendente e indicata con y.

■ Sinteticamente si scrive:

y = f (x)

■ Per esempio, la funzione y = 4 − 2x descrive la seguente regola per ottenere y: moltiplicare per 2 il valore assegnato alla x e sottrarlo da 4.

(6)

Variabili e funzioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 3 / 15

■ Viene chiamata funzione ogni regola matematica che permette, dato il valore di una variabile (che viene detta variabile indipendente e indicata con x), di determinare il valore di un’altra variabile, detta variabile dipendente e indicata con y.

■ Sinteticamente si scrive:

y = f (x)

■ Per esempio, la funzione y = 4 − 2x descrive la seguente regola per ottenere y: moltiplicare per 2 il valore assegnato alla x e sottrarlo da 4.

■ Possono aversi funzioni con pi`u di una variabile indipendente. Per esempio, una funzione con due variabili indipendenti pu`o essere scritta nel seguente modo:

y = f (x1, x2)

(7)

I grafici

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

L’andamento delle funzioni pu` o essere visualizzato con i

grafici.

(8)

I grafici

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 4 / 15

L’andamento delle funzioni pu` o essere visualizzato con i grafici.

In genere si usa riportare la variabile indipendente sull’asse

orizzontale, o delle ascisse, e quella dipendente sull’asse

verticale, o delle ordinate.

(9)

I grafici

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

L’andamento delle funzioni pu` o essere visualizzato con i grafici.

In genere si usa riportare la variabile indipendente sull’asse orizzontale, o delle ascisse, e quella dipendente sull’asse verticale, o delle ordinate.

Spesso, per` o, gli economisti costruiscono i grafici

rappresentando la variabile indipendente sull’asse delle

ordinate e quella dipendente sull’asse delle ascisse.

(10)

I grafici

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 4 / 15

L’andamento delle funzioni pu` o essere visualizzato con i grafici.

In genere si usa riportare la variabile indipendente sull’asse orizzontale, o delle ascisse, e quella dipendente sull’asse verticale, o delle ordinate.

Spesso, per` o, gli economisti costruiscono i grafici

rappresentando la variabile indipendente sull’asse delle ordinate e quella dipendente sull’asse delle ascisse.

Per esempio, la funzione di domanda q = D (p) `e

rappresentata comunemente ponendo il prezzo sull’asse

delle ascisse e la quantit` a domandata su quello delle

ordinate.

(11)

Figura 1: Il grafico della funzione y = 4 − 2x

0 1 2 3 4 5 x

0 1 2 3 4 5

y

(12)

Equazioni e identit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 6 / 15

■ Molto spesso le relazioni che compaiono all’interno di un modello economico sono descritte da equazioni.

(13)

Equazioni e identit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Molto spesso le relazioni che compaiono all’interno di un modello economico sono descritte da equazioni.

■ Un’equazione `e un’uguaglianza tra una funzione e un numero.

(14)

Equazioni e identit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 6 / 15

■ Molto spesso le relazioni che compaiono all’interno di un modello economico sono descritte da equazioni.

■ Un’equazione `e un’uguaglianza tra una funzione e un numero.

■ Esempi: (i) 2x = 4; (ii) x2 = 25.

(15)

Equazioni e identit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Molto spesso le relazioni che compaiono all’interno di un modello economico sono descritte da equazioni.

■ Un’equazione `e un’uguaglianza tra una funzione e un numero.

■ Esempi: (i) 2x = 4; (ii) x2 = 25.

■ La soluzione di un’equazione `e un valore di x che la soddisfa.

(16)

Equazioni e identit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 6 / 15

■ Molto spesso le relazioni che compaiono all’interno di un modello economico sono descritte da equazioni.

■ Un’equazione `e un’uguaglianza tra una funzione e un numero.

■ Esempi: (i) 2x = 4; (ii) x2 = 25.

■ La soluzione di un’equazione `e un valore di x che la soddisfa.

■ Nelle equazioni compaiono termini che hanno un preciso valore

numerico, che non varia: questi termini sono detti costanti. Quando le costanti sono moltiplicate per una variabile vengono chiamate coefficienti. Se le costanti e i coefficienti sono indicate attraverso simboli (come a, b, ecc.) si parla pi`u propriamente di parametri.

(17)

Equazioni e identit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Molto spesso le relazioni che compaiono all’interno di un modello economico sono descritte da equazioni.

■ Un’equazione `e un’uguaglianza tra una funzione e un numero.

■ Esempi: (i) 2x = 4; (ii) x2 = 25.

■ La soluzione di un’equazione `e un valore di x che la soddisfa.

■ Nelle equazioni compaiono termini che hanno un preciso valore

numerico, che non varia: questi termini sono detti costanti. Quando le costanti sono moltiplicate per una variabile vengono chiamate coefficienti. Se le costanti e i coefficienti sono indicate attraverso simboli (come a, b, ecc.) si parla pi`u propriamente di parametri.

■ Un’identit`a `e una relazione tra variabili valida per qualsiasi valore delle variabili.

(18)

Equazioni e identit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 6 / 15

■ Molto spesso le relazioni che compaiono all’interno di un modello economico sono descritte da equazioni.

■ Un’equazione `e un’uguaglianza tra una funzione e un numero.

■ Esempi: (i) 2x = 4; (ii) x2 = 25.

■ La soluzione di un’equazione `e un valore di x che la soddisfa.

■ Nelle equazioni compaiono termini che hanno un preciso valore

numerico, che non varia: questi termini sono detti costanti. Quando le costanti sono moltiplicate per una variabile vengono chiamate coefficienti. Se le costanti e i coefficienti sono indicate attraverso simboli (come a, b, ecc.) si parla pi`u propriamente di parametri.

■ Un’identit`a `e una relazione tra variabili valida per qualsiasi valore delle variabili.

■ Ad esempio, l’identit`a x2 − y

2 = (x + y) (x − y) risulta soddisfatta per ogni coppia di valori che si assegnano alla x e alla y.

(19)

La retta

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Un tipo di funzione che si incontra molto di frequente nei modelli economici `e la funzione lineare, che pu`o essere sempre ridotta alla seguente espressione:

y = a + bx

(20)

La retta

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 7 / 15

■ Un tipo di funzione che si incontra molto di frequente nei modelli economici `e la funzione lineare, che pu`o essere sempre ridotta alla seguente espressione:

y = a + bx

■ La funzione lineare ha sempre come rappresentazione grafica una linea retta.

(21)

La retta

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Un tipo di funzione che si incontra molto di frequente nei modelli economici `e la funzione lineare, che pu`o essere sempre ridotta alla seguente espressione:

y = a + bx

■ La funzione lineare ha sempre come rappresentazione grafica una linea retta.

■ Il parametro a viene detto intercetta oppure termine noto, e misura l’ordinata del punto in cui il grafico della funzione incontra l’asse

verticale. Pi`u grande `e a, pi`u in alto si trova questo punto. Se a = 0 la funzione passa per l’origine degli assi, e la sua forma diventa

y = bx.

(22)

La retta

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 7 / 15

■ Un tipo di funzione che si incontra molto di frequente nei modelli economici `e la funzione lineare, che pu`o essere sempre ridotta alla seguente espressione:

y = a + bx

■ La funzione lineare ha sempre come rappresentazione grafica una linea retta.

■ Il parametro a viene detto intercetta oppure termine noto, e misura l’ordinata del punto in cui il grafico della funzione incontra l’asse

verticale. Pi`u grande `e a, pi`u in alto si trova questo punto. Se a = 0 la funzione passa per l’origine degli assi, e la sua forma diventa

y = bx.

■ Il parametro b viene detto coefficiente angolare oppure inclinazione.

Se b > 0 la retta `e crescente (tra y e x c’`e una relazione diretta); se b < 0 la retta `e decrescente (tra y e x c’`e una relazione inversa); se b = 0 la retta `e orizzontale (in questo caso la sua formula diventa y = a e y risulta indipendente da x).

(23)

L’inclinazione della retta

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Si definisce incremento o variazione di una variabile x, e lo si indica con l’espressione ∆x, la differenza tra due valori di quella variabile; si ha cio`e:

∆x = x1 − x0 dove x1 e x0 sono i due valori considerati.

(24)

L’inclinazione della retta

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 8 / 15

■ Si definisce incremento o variazione di una variabile x, e lo si indica con l’espressione ∆x, la differenza tra due valori di quella variabile; si ha cio`e:

∆x = x1 − x0 dove x1 e x0 sono i due valori considerati.

■ Si definisce rapporto incrementale di una funzione l’espressione:

∆y

∆x = y1 − y0

∆x = f (x1) − f (x0)

∆x

dove i valori della y considerati per calcolare la variazione sono quelli che dipendono dai valori scelti per calcolare la variazione della x.

(25)

L’inclinazione della retta

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Si definisce incremento o variazione di una variabile x, e lo si indica con l’espressione ∆x, la differenza tra due valori di quella variabile; si ha cio`e:

∆x = x1 − x0 dove x1 e x0 sono i due valori considerati.

■ Si definisce rapporto incrementale di una funzione l’espressione:

∆y

∆x = y1 − y0

∆x = f (x1) − f (x0)

∆x

dove i valori della y considerati per calcolare la variazione sono quelli che dipendono dai valori scelti per calcolare la variazione della x.

■ Data una retta qualsiasi, il suo rapporto incrementale `e misurato dal suo coefficiente angolare. Perci`o il rapporto incrementale `e anche una misura dell’inclinazione.

(26)

Figura 2: Il calcolo del coefficiente angolare

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 9 / 15

0 1 2 3 4

x 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y

A

B

C

D x ‡ 1

D x ‡ 2 D y ‡ 2

D y ‡ 4 y‡ 2 x + 2

(27)

Le funzioni non lineari

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

Le relazioni tra variabili nei modelli economici non sono sempre

lineari, non hanno sempre la forma grafica di una retta: spesso

queste relazioni hanno la forma di una curva.

(28)

Le funzioni non lineari

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 10 / 15

Le relazioni tra variabili nei modelli economici non sono sempre lineari, non hanno sempre la forma grafica di una retta: spesso queste relazioni hanno la forma di una curva.

Al contrario delle rette che hanno sempre la stessa inclinazione,

l’inclinazione di una curva varia da punto a punto.

(29)

Le funzioni non lineari

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

Le relazioni tra variabili nei modelli economici non sono sempre lineari, non hanno sempre la forma grafica di una retta: spesso queste relazioni hanno la forma di una curva.

Al contrario delle rette che hanno sempre la stessa inclinazione, l’inclinazione di una curva varia da punto a punto.

L’iclinazione di una curva in un particolare punto viene misurata

dall’inclinazione della retta tangente alla curva in quel punto.

(30)

Le funzioni non lineari

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 10 / 15

Le relazioni tra variabili nei modelli economici non sono sempre lineari, non hanno sempre la forma grafica di una retta: spesso queste relazioni hanno la forma di una curva.

Al contrario delle rette che hanno sempre la stessa inclinazione, l’inclinazione di una curva varia da punto a punto.

L’iclinazione di una curva in un particolare punto viene misurata dall’inclinazione della retta tangente alla curva in quel punto.

Il calcolo dell’inclinazione di una curva consente di definire la convessit`a o la concavit`a di una funzione: si dice cio`e che una funzione `e convessa (concava) quando, in un qualsiasi punto sia tracciata la retta tangente, il grafico della funzione giace

interamente al di sopra (al di sotto) della tangente stessa.

(31)

Figura 3: Il grafico della funzione y = x

2

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

1 2 3 x

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

Retta tangente: inclinazione = 2 y‡ 2 x - 1

y‡ x2

(32)

Tasso di variazione e elasticit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 12 / 15

■ Altre misure importanti, oltre alla variazione e al rapporto incrementale, sono il tasso di variazione e l’elasticit`a.

(33)

Tasso di variazione e elasticit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Altre misure importanti, oltre alla variazione e al rapporto incrementale, sono il tasso di variazione e l’elasticit`a.

■ Il tasso di variazione rapporta la variazione al livello di partenza, e si scrive nel seguente modo:

˜

x = ∆x x

(34)

Tasso di variazione e elasticit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 12 / 15

■ Altre misure importanti, oltre alla variazione e al rapporto incrementale, sono il tasso di variazione e l’elasticit`a.

■ Il tasso di variazione rapporta la variazione al livello di partenza, e si scrive nel seguente modo:

˜

x = ∆x x

■ L’elasticit`a fornisce una misura della sensibilit`a della variabile y rispetto alle variazioni della x, e si calcola rapportando i tassi di variazione delle due variabili:

η = y˜

˜

x = ∆y

y /∆x

x = ∆y

∆x x y

(35)

Tasso di variazione e elasticit` a

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Altre misure importanti, oltre alla variazione e al rapporto incrementale, sono il tasso di variazione e l’elasticit`a.

■ Il tasso di variazione rapporta la variazione al livello di partenza, e si scrive nel seguente modo:

˜

x = ∆x x

■ L’elasticit`a fornisce una misura della sensibilit`a della variabile y rispetto alle variazioni della x, e si calcola rapportando i tassi di variazione delle due variabili:

η = y˜

˜

x = ∆y

y /∆x

x = ∆y

∆x x y

■ Per convenzione, quando si ha a che fare con funzioni sempre

decrescenti, sicch´e l’elasticit`a assume sempre valori negativi, il segno meno viene tralasciato, ossia l’elasticit`a viene misurata in valore

assoluto.

(36)

Come si calcolano le variazioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 13 / 15

■ Vi sono alcune semplici regole che aiutano a calcolare le variazioni:

(37)

Come si calcolano le variazioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Vi sono alcune semplici regole che aiutano a calcolare le variazioni:

la variazione di una costante `e nulla: ∆a = 0;

(38)

Come si calcolano le variazioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 13 / 15

■ Vi sono alcune semplici regole che aiutano a calcolare le variazioni:

la variazione di una costante `e nulla: ∆a = 0;

la variazione di una variabile moltiplicata a una costante `e data dalla variazione della variabile moltiplicata per quella costante:

∆ (bx) = b∆x;

(39)

Come si calcolano le variazioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Vi sono alcune semplici regole che aiutano a calcolare le variazioni:

la variazione di una costante `e nulla: ∆a = 0;

la variazione di una variabile moltiplicata a una costante `e data dalla variazione della variabile moltiplicata per quella costante:

∆ (bx) = b∆x;

la variazione di una somma `e data dalla somma delle variazioni:

∆ (x + y) = ∆x + ∆y;

(40)

Come si calcolano le variazioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 13 / 15

■ Vi sono alcune semplici regole che aiutano a calcolare le variazioni:

la variazione di una costante `e nulla: ∆a = 0;

la variazione di una variabile moltiplicata a una costante `e data dalla variazione della variabile moltiplicata per quella costante:

∆ (bx) = b∆x;

la variazione di una somma `e data dalla somma delle variazioni:

∆ (x + y) = ∆x + ∆y;

la variazione di un prodotto `e data dalla seguente espressione:

∆ (xy) = x∆y + y∆x;

(41)

Come si calcolano le variazioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ Vi sono alcune semplici regole che aiutano a calcolare le variazioni:

la variazione di una costante `e nulla: ∆a = 0;

la variazione di una variabile moltiplicata a una costante `e data dalla variazione della variabile moltiplicata per quella costante:

∆ (bx) = b∆x;

la variazione di una somma `e data dalla somma delle variazioni:

∆ (x + y) = ∆x + ∆y;

la variazione di un prodotto `e data dalla seguente espressione:

∆ (xy) = x∆y + y∆x;

la variazione di una potenza `e data dalla seguente espressione:

∆ (xa) = axa−1∆x.

(42)

Come si calcolano le variazioni

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 13 / 15

■ Vi sono alcune semplici regole che aiutano a calcolare le variazioni:

la variazione di una costante `e nulla: ∆a = 0;

la variazione di una variabile moltiplicata a una costante `e data dalla variazione della variabile moltiplicata per quella costante:

∆ (bx) = b∆x;

la variazione di una somma `e data dalla somma delle variazioni:

∆ (x + y) = ∆x + ∆y;

la variazione di un prodotto `e data dalla seguente espressione:

∆ (xy) = x∆y + y∆x;

la variazione di una potenza `e data dalla seguente espressione:

∆ (xa) = axa−1∆x.

■ Queste regole possono essere usate (e combinate tra loro) per calcolare i rapporti incrementali, e anche i tassi di variazione e le elasticit`a.

(43)

Il concetto di derivata

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ La derivata di una funzione y = f (x) coincide col suo rapporto incrementale quando ∆x `e un numero cos`ı piccolo da essere

approssimabile con lo zero, anche se non `e proprio zero; in simboli:

f (x) = d f (x)

d x = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

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Il concetto di derivata

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 14 / 15

■ La derivata di una funzione y = f (x) coincide col suo rapporto incrementale quando ∆x `e un numero cos`ı piccolo da essere

approssimabile con lo zero, anche se non `e proprio zero; in simboli:

f (x) = d f (x)

d x = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

■ Per calcolare le derivate si applicano le regole di calcolo delle

variazioni, ricordandosi che le variazioni considerate sono infinitesime.

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Il concetto di derivata

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

■ La derivata di una funzione y = f (x) coincide col suo rapporto incrementale quando ∆x `e un numero cos`ı piccolo da essere

approssimabile con lo zero, anche se non `e proprio zero; in simboli:

f (x) = d f (x)

d x = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

■ Per calcolare le derivate si applicano le regole di calcolo delle

variazioni, ricordandosi che le variazioni considerate sono infinitesime.

■ La derivata in un particolare punto misura l’inclinazione della

funzione: se positiva indica che in quel punto la funzione `e crescente;

se negativa indica che la funzione `e decrescente; se nulla indica che la funzione `e costante.

(46)

Il concetto di derivata

Variabili e funzioni I grafici

Equazioni e identit`a La retta

L’inclinazione della retta

Le funzioni non lineari Tasso di variazione e elasticit`a

Come si calcolano le variazioni

Il concetto di derivata

ECONOMIA POLITICA: MICROECONOMIA 4 ottobre 2010 – 14 / 15

■ La derivata di una funzione y = f (x) coincide col suo rapporto incrementale quando ∆x `e un numero cos`ı piccolo da essere

approssimabile con lo zero, anche se non `e proprio zero; in simboli:

f (x) = d f (x)

d x = lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

■ Per calcolare le derivate si applicano le regole di calcolo delle

variazioni, ricordandosi che le variazioni considerate sono infinitesime.

■ La derivata in un particolare punto misura l’inclinazione della

funzione: se positiva indica che in quel punto la funzione `e crescente;

se negativa indica che la funzione `e decrescente; se nulla indica che la funzione `e costante.

■ Quando una funzione ha due variabili indipendenti si procede

esattamente come per le derivate delle funzioni in una sola variabile, con l’unica avvertenza che, quando si deriva rispetto a una variabile, l’altra va considerata costante (concetto di derivata parziale).

(47)

The End

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