Modello a parametri concentrati

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(1)Modello a parametri concentrati Capitolo 4. 54.

(2) Modello a parametri concentrati. 4.1 Introduzione Data la complessità del problema dinamico e i lunghi tempi di calcolo richiesti per la simulazione dinamica con software ibrido, viene proposto e sviluppato un modello finalizzato alla simulazione dinamica dell’ingranamento di due ruote dentate cilindriche in condizione di banco (rigidezza infinita dei supporti e spostamenti nulli in direzione assiale) e possibilmente, una volta sviluppato il modello, cercare il modo di effettuare modifiche mirate allo scopo di far valere le analisi anche per delle condizioni più vicine alla realtà. Il modello, derivato da [4], è concepito con l’intento di tener conto sia della deformabilità elastica delle ruote che dei fenomeni non lineari legati al contatto. Per poter controllare il valore del carico che si presenta in condizione dinamica, vengono introdotti dei fattori dinamici che rappresentano la generalizzazione del fattora Kv previsto dalle normative. Si hanno: Il fattore dinamico di mesh force, DFmf definito come il rapporto tra la massima forza d’ingranamento trasmessa dinamicamente tra due denti, DMF (che è uguale al rapporto della coppia dovuta anche agli effetti dinamici TD e del raggio base, TD/rb), e quella staticamente trasmessa, che è costantemente pari a SMF =T/rb . |

(3) . . . . 55.

(4) Modello a parametri concentrati. Il fattore dinamico di tooth force, DF, è definito come il rapporto tra la massima forza dinamica, agente sul dente in un ciclo, DTF, e la massima forza statica agente sul dente, STFmax: |

(5) . . . |

(6) . Il fattore dinamico di stress force, DFσ, coincide sostanzialmente con il fattore Kv previsto dalle normative: .

(7) . . #. !""

(8) . Un problema molto sentito dall’ingegneria moderna è quello delle eccessive emissioni acustiche ed è necessario che le ruote dentate siano progettate in modo da ridurle il più possibile. L’origine della rumorosità degli ingranaggi è da ricercarsi nelle vibrazioni dovute alle variazioni nel tempo della forza agente tra le ruote ingrananti [5]. Sono importanti le variazioni del modulo, della direzione e della posizione del vettore forza. Dato che, per le ruote ad evolvente, la direzione e la posizione variano molto poco, sono le variazioni del modulo della forza trasmessa a fungere da eccitazione per le vibrazioni. La quantità che misura le vibrazioni di un ingranamento, è l’errore di trasmissione dinamico DTE. È intuibile come ad oscillazioni dell’errore di. trasmissione. siano. associate. le. oscillazioni. della. forza. d’ingranamento.. 56.

(9) Modello a parametri concentrati. Le variazioni della forza si trasmettono all’esterno degli ingranaggi in termini di oscillazioni delle forze sui supporti degli alberi che sostengono le ruote dentate, e da qui si ripercuotono sulla struttura esterna che vibra generando rumore. Risultati sperimentali [5, 12] hanno dimostrato che la quantità di rumore trasmesso è legata all’ampiezza delle oscillazioni e per una valutazione è stato introdotto il peak to peak transmission error (PPTE), pari alla differenza tra il massimo e il minimo valore del TE assunti in un ciclo d’ingranamento: $$% %

(10) & %'( . . . Il PPTE può essere riferito sia ad analisi statiche che dinamiche. In seguito indicheremo con PPSTE quello valutato in condizioni statiche. Da quanto detto è evidente che il progetto di un ingranaggio mirato alla riduzione delle emissioni acustiche può essere realizzato minimizzando il PPTE, come è stato fatto nel recente passato limitatamente al caso statico [11 ,12].. 57.

(11) Modello a parametri concentrati. 4.2 Descrizione del modello Si discretizza il sistema costituito dall’ingranaggio con un insieme di elementi semplici:. Ruota 1 T 1 θ1 r1. ceq(t). I1 T 2 θ2. STE(t) Keq(t). r2. g[x(t)] I2. Figura 4.1 – Modello a parametri concentrati. Ruota 2. Le ruote dentate sono schematizzate da dischi infinitamente rigidi, di raggio pari al raggio base di esse, vincolate a ruotare intorno al loro asse centrale e soggette alla coppia di esercizio (costante nel tempo). Con questa schematizzazione il modello è a due gradi di libertà (le posizioni angolari dei due dischi). L’ingranamento è simulato da una molla equivalente, uno smorzamento equivalente, un vincolo di backlash ed un’eccitazione esterna pari all’errore di trasmissione statico, STE(t), disposti lungo la linea d’azione, dove agisce la risultante delle forze scambiate tra le due ruote.. 58.

(12) Modello a parametri concentrati. 4.2.1 Rigidezza dell’ingranamento La rigidezza dell’ingranamento viene considerata tramite l’inserimento della molla di costante elastica equivalente variabile nel tempo, Keq(t). La Keq(t) è una costante elastica dovuta al materiale, all’istante di contatto (cambia la superficie di contatto hertziano), alle modifiche di profilo, al carico applicato ed al TE.. Keq(t) Keq(t) = K(t). Figura 4.2 – Dettaglio della costante elastica equivalente. La rigidezza è valutata, in base alla sua stessa definizione, come il rapporto tra forza e deformazione in condizioni statiche. Il modello [4] era anch’esso costituito da un’insieme di elementi più semplici ma l’eccitazione esterna era pari all’errore di trasmissione a carico nullo e(t). La forza nell’ingranamento in condizioni statiche era considerata costante, pari al rapporto T1/r1; la deformazione era assunta essere uguale alla differenza dell’errore di trasmissione a carico nominale STE(t) e l’e(t) (lineari). Per quanto detto la rigidezza era stimata tramite la formula:. )* . + . . 1. ,+ · .% & / 0. 59.

(13) Modello a parametri concentrati. Se idealmente si facessero ingranare due ruote, con modifica di profilo, a carico. nullo,. inevitabilmente,. in. condizioni. dinamiche,. si. svilupperebbero dei sovraccarichi diversi da zero. Cosa che non sarebbe idealmente vera per ruote senza modifiche di profilo. Il modello riportato, in condizione di coppia nulla, presenterebbe una rigidezza indeterminata e ciò fisicamente non è possibile visto che la rigidezza di un corpo è una proprietà intrinseca del materiale. Per risolvere questo problema si è stabilito un modo più accurato per definire la rigidezza. Viene calcolata la variazione di deformazione angolare ∆θ(t), tramite la differenza delle θ(t) ottenute per la coppia applicata T1 e una coppia T0 vicina ad essa (è la variazione che causa le vibrazioni, se fosse una deformazione costante nell’ingranamento non si avrebbero problemi, causerebbe soltanto una inclinazione dei denti, fissa per tutto l’arco di contatto) e, moltiplicandola per il raggio base r1 si ottiene la variazione dell’arco di deformazione. La forza nel contatto è data, nel caso statico, dal rapporto tra la coppia applicata T1 e il raggio base; quindi la variazione della forza sarà (T1-T0)/ r1= ∆T/ r1. Facendo il rapporto tra ∆T/ r1 e r1∆θ(t) otteniamo la rigidezza Keq(t):. )* . 234 + & 5. . . 9. ,+6∆8. 60.

(14) Modello a parametri concentrati. Le due formule differiscono, in quanto quella del modello [4] rappresenta il modulo secante della curva deformazione – carico, mentre quella nuova il modulo tangente:. F. β Fi α Fj. ϕ r·θj. r·θi. Figura 4.3 – Curva deformazione-carico. Si hanno: ' : ;< . . =. ,8'. ' & > ∆ ;α ? @A ;B . . C. ,∆8 ,8' & ,8>. 61. r·θ.

(15) Modello a parametri concentrati. La rigidezza della ruota, ad una forza F applicata, è rappresentata dalla retta tangente nel punto del grafico relativo ad F. In questo caso la k sarebbe data dalla tangente dell’angolo d’inclinazione della retta. Più T0 sarà vicina a T1 e più precisa sarà l’approssimazione. Risulterà necessario dare STE(t) e ∆θ come dati di input al modello e, quindi, è indispensabile un’analisi statica preliminare. Si è utilizzato il software ibrido Helical 3D. In un primo momento si è scelto di continuare, come è stato fatto in precedenza, fornendo lo STE(t) e il ∆θ soltanto per la coppia nominale. Inizialmente si sono ottenuti dei risultati soddisfacenti che validavano gli studi precedentemente condotti. Si è notato, però, che il modello và in crisi per l’analisi di ingranaggi con coppie basse applicate. Per risolvere il problema è necessario avvicinarsi ancora di più alla realtà e, quindi, si è implementato il modello considerando i cambiamenti della coppia applicata sul dente dovuti agli effetti dinamici. Si è scelto di assumere come coppia applicata quella nominale soltanto all’inizio dell’analisi e, per ogni step di velocità analizzato, assumere come coppia applicata quella dinamica calcolata alla fine dell’intervallo precedente.. 62.

(16) Modello a parametri concentrati. Con HELICAL 3D si ricava la mappa di Harris [16] attraverso delle analisi statiche per coppie nominali diverse, ad esempio:. STE. time. T Figura 4.4 – Mappa di Harris 3D. Il programma assume lo STE come quello relativo alla coppia dinamica calcolata, calcola il ∆θ ed analizza lo step di velocità successivo.. 63.

(17) Modello a parametri concentrati. Il calcolo della rigidezza è affrontato con questi nuovi termini e si ottiene un risultato molto più realistico. Si riporta lo schema logico seguito per il calcolo della rigidezza:. Input Tn T. Programma. Mappa. STE(T,t) Δθ(T,. Modello TD=DFmf·Tn. Programma K(t). Figura 4.5 – Sintesi dello schema logico del modello sviluppato. 64.

(18) Modello a parametri concentrati. 4.2.2 Backlash Il vincolo di backlash viene introdotto con lo scopo di simulare la possibile perdita di contatto dei denti ingrananti e quindi è associato ai fenomeni non lineari dell’ingranamento.. Figura 4.6 – Dettaglio del vincolo di backlash in serie con la molla. Esso, per un certo intervallo di valori di deformazione x(t), rende nulle le forze trasmesse lungo il vincolo. Il backlash simula l’annullamento delle forze elastiche, qualora si abbia perdita di contatto. Inoltre si considera anche la possibilità che si verifichi backside contact, cioè l’eventualità che coppie di denti entrino in contatto sul lato opposto rispetto a quello agente in condizioni statiche. In un ingranaggio funzionante in condizioni normali, x(t) è maggiore o uguale a zero e il vincolo g[x(t)] non comporta nessun effetto aggiuntivo rispetto ad una normale molla.. 65.

(19) Modello a parametri concentrati. Il backlash si esprime matematicamente sostituendo, nella valutazione delle forze elastiche Fel=K·x(t), ad x(t) una funzione non lineare g[x(t)] tale che: D . ;.D 0 E 0 D G 3. D H 0 &3 I D I 0 . . J. D K &3. b è il vincolo di backlash che dobbiamo dare in input al programma e rappresenta la lunghezza dell’arco che deve percorrere un dente per passare dalla condizione di contatto su un fianco alla condizione di contatto sul fianco opposto:. Figura 4.7 – Definizione grafica del gioco normale sul fianco del dente ‘b’. 66.

(20) Modello a parametri concentrati. Per passare dalla condizione a alla condizione b, tenendo fissa la ruota 2, si fa ruotare la ruota 1 di un angolo opportuno in modo da avere contatto fra i fianchi dei denti; b è pari all’angolo di rotazione necessario per il raggio base. Per semplicità del modello si ipotizza che il valore b sia costante e pari al valore relativo alla geometria non deformata. Questa assunzione è parzialmente giustificata dal fatto che, quando il vincolo agisce non si hanno forze elastiche nell’ingranamento e quindi l’azione statica non comporta deformazioni. D’altro canto non è escludibile a priori che, in regime di contact loss, si possano verificare piccole deformazioni dovute a forze dinamiche che modificano il valore di b.. 4.2.3 Smorzamento All’interno di un ingranaggio in condizioni dinamiche sono presenti varie cause di dissipazione: smorzamento interno del materiale, resistenza fluidodinamica dovuta al lubrificante, perdite di energia cinetica in seguito ad urti in contact loss, ecc… È complesso tener conto in maniera accurata di tutti questi fenomeni e il modello riassume i vari aspetti dissipativi con l’introduzione di un elemento smorzatore agente in parallelo con la molla. In regime di contact loss viene meno lo smorzamento interno del materiale, permangono gli effetti dovuti alla resistenza fluidodinamica e si aggiungono perdite dovute agli urti della ripresa di contatto; di conseguenza, non viene inserito un vincolo di backlash in serie con lo smorzatore.. 67.

(21) Modello a parametri concentrati. Si pone un valore del coefficiente di smorzamento in funzione dello smorzamento critico equivalente: L)* ζ · 2N ) . . O. Dove: • Me è la massa equivalente del modello ad un grado di libertà, trattato successivamente. • Km è il valore medio della rigidezza equivalente Keq(t). • ζ è il fattore di smorzamento Può essere scelto, dall’utente, se imporre un valore costante per il fattore di smorzamento o calcolarlo tenendo conto dell’interasse, della velocità e della presenza del lubrificante secondo quanto indicato da studi su ingranaggi [15]:. ζ 0.00022 · 2 & 23 5.QQ · R G 39 5.6T · U@ & 5 5.QW . . . Dove : • a è l’interasse in mm • η è la viscosità in mPa·s • vt è la velocità periferica in m/s Il fattore di smorzamento è variabile con la velocità; si è scelto di adottare anche la possibilità di imporlo costante perché non siamo. 68.

(22) Modello a parametri concentrati. riusciti a reperire la documentazione completa della tesi di dottorato di Gerber, dalla quale è tratta la formula citata nell’articolo in nostro possesso, con la conseguente incertezza dell’attendibilità di questa e la sua applicabilità nei casi del nostro studio.. 4.3 Sviluppo delle equazioni del modello. Ruota 1 T1. θ1(t) r1 I1. DMF(t). DMF(t). ceq(t) STE(t). DMF(t). r1θ1(t) Keq(t). g[x(t)]. r2θ2(t). T2. DMF(t) θ2 r2 I2 Ruota 2. Figura 4.8 – Schema delle forze del modello discretizzato. Per l’equilibrio dinamico dei dischi: + & · ,+ X+8+Y . . . 69.

(23) Modello a parametri concentrati. 6 & · ,6 X686Y . . #. La forza dinamica nell’ingranamento, DMF(t), è data da:. )* · ;.D 0 G L · DZ . . . La deformazione x(t) è. D ,+8+ G ,686 & % % & % . . 1. Dalle equazioni dell’equilibrio dinamico (4.12, 4.13). + ,+8+Y . 6 ,686Y . & X+ [ \ & X6 [ \ . . 9. ,+ ,6 ,+6 ,66. Dalle due ultime equazioni (4.15, 4.16) si ottiene. (Eq. 4.17). Y ,+8+Y G ,686Y DY G %. ,+ ,6 ,+6 ,66 & [ G \ G + ] ^ G 6 ] ^ X+ X6 X+ X6 70.

(24) Modello a parametri concentrati. E quindi. [. X+X6 ,+ ,6 Y ` \ · _ ] ^ G ] ^ & DY & % + 6 X+ X6 X+,66 G X6 ,+6 (Eq. 4.20). Dall’equazione della DMF(t) iniziale (4.14) otteniamo un'unica equazione differenziale che descrive il comportamento dinamico del sistema:. Y . . J. ) DY G L · D Z G )* · ;.D 0 ) & ) %. Con. ) . X+X6 . . J. X+,66 G X6,+6. ,+ ,6 ) ) · _+ ] ^ G 6 ] ^` . . O. X+ X6. Al secondo membro ci sono il termine statico, dovuto alle coppie agenti Fe , ed il residuo del termine inerziale. L’errore di trasmissione statico. 71.

(25) Modello a parametri concentrati. STE(t) è circa costante nel tempo e la sua derivata prima sarà quasi nulla. Ciò non si può dire con sicurezza della derivata seconda, ma in un primo momento, attenendoci a quanto è già stato fatto con l’ottenimento di risultati soddisfacenti, si è adottata un’approssimazione del primo Y . ordine e, di conseguenza, si è trascurato ) %. Quando si è implementato il modello, si è anche resa necessaria la Y . risoluzione dell’equazione completa comprensiva di ) %. La derivata seconda viene approssimata al valore del rapporto incrementale, dopo un’accurata interpolazione dei valori del TE di input (per renderli sufficientemente vicini temporalmente) e si è visto che, come aspettato, è molto variabile. Otterremo così l’andamento nel tempo di x(t) e, da questa, sarà possibile calcolare DMF(t). È possibile anche valutare l’andamento nel tempo del carico sui denti DTF(t). A tale scopo è necessario adottare l’ipotesi aggiuntiva che la distribuzione tra i denti in presa del carico totale, scambiato tra le ruote, sia la stessa nei casi statico e dinamico. Secondo tale ipotesi:. . . · . . . . Dall’equazione (4.15) della x(t) si ottiene il DTE(t) e, successivamente, vengono valutati i fattori dinamici e il PPTE. Dall’equazione si può osservare che siamo giunti allo studio del moto di un sistema equivalente massa-molla-smorzatore a vibrazioni forzate. 72.

(26) Modello a parametri concentrati. dove, Fe ed Me sono rispettivamente la forza e la massa equivalenti e, lo spostamento del corpo è descritto dalla coordinata x(t):. ceq. Keq(t) g[x(t)]. Me. x(t). Fe. Figura 4.9 – Sistema massa-molla-smorzatore equivalente. Nel caso di coppia applicata nulla (T1=0) diventerà un sistema equivalente massa-molla-smorzatore a vibrazioni libere perché avremo Fe = 0.. 4.4 Risonanze parametriche L’equazione che definisce la dinamica di un sistema massa-mollasmorzatore [8, 9] è la seguente: abDY G L bDZ G bD b . . . Le differenze con tale equazione sono concentrate nella variabilità periodica di Keq(t) e nella non linearità di g[x(t)] presenti nel modello.. 73.

(27) Modello a parametri concentrati. Un sistema di questo tipo è caratterizzato da una “pulsazione naturale” ωn [8, 9] che è la pulsazione con la quale il sistema libero non smorzato. (forzante b e smorzamento L b nulli) inizia ad oscillare se le condizioni. non sono di equilibrio:. c( d. b . . #. ab. Lo stesso sistema, soggetto a smorzamento L b, è caratterizzato da una “pulsazione naturale del sistema smorzato” ωd, definita come ce c( f1 & ζ6 . . . Si definisce frequenza di risonanza la frequenza della forza armonica b. per la quale la soluzione x(t) presenta un massimo locale. Per un sistema ad un grado di libertà la pulsazione ωr, per la quale si ha risonanza, è unica ed è pari a ch c( f1 & 2ζ6 . . 1. Poiché i valori tipici di ζ per le strutture sono al massimo dell’ordine di 10-1 è lecito assumere le frequenze naturali uguali tra loro e pari a quella di risonanza: ce ? c( ? ch . . 9. 74.

(28) Modello a parametri concentrati. Per poterle valutare analiticamente, consideriamo l’equazione omogenea associata trascurando il termine smorzante e la non linearità di backlach: ) DY G )* · D 0 . . =. Equazioni di questo tipo sono state studiate in passato e ad esse sono legati. particolari. fenomeni. di risonanza. noti come. risonanze. parametriche. Equivalentemente si può scrivere: DY G c6 · D 0 . . C. In testi classici di fisica questa equazione è stata studiata in modo molto accurato per il caso c6 c56 .1 G i cos.2c5 G m 00 . . J. Con h<<1 e ε<<ω0. L’assunzione di frequenze nell’intorno di 2ω0 serve a rendere dimostrabile la presenza di risonanze parametriche ed è giustificabile a posteriori, in quanto rappresenta la condizione per cui le risonanze parametriche sono maggiori. È dimostrabile che, in un’analisi del primo ordine, insorgono fenomeni di risonanza per: 1 1 & ic5 I m I ic5 . . #O. 2 2. 75.

(29) Modello a parametri concentrati. Quindi c’è una banda di risonanza nell’intorno di 2ω0 la cui ampiezza è proporzionale ad h. La banda di risonanza definita non è l’unica area dove ha luogo risonanza parametrica; si può verificare che esistono altre bande di risonanza per frequenze di oscillazione tali che c6 c56 _1 G i cos _]. 2c5 G m^ `` . . #. n. Con n intero qualsiasi. Al crescere di n si riduce l’ampiezza della banda. Si può osservare che se ad una certa frequenza si ha risonanza, questa si presenta anche per frequenze pari al doppio e alla metà di quella iniziale; stesso discorso vale a loro volta per queste altre frequenze e così via:. Frequenza. Figura 4.10 – Bande di risonanza parametrica. 76.

(30) Modello a parametri concentrati. Aggiungere un termine di smorzamento costante all’equazione modifica il fenomeno della risonanza parametrica. Con l’attrito non tutte le bande presentano risonanza, ma ad ognuna di esse è associato un valore minimo per il termine h. In presenza di attrito vi sono alcune bande a bassa frequenza che non presentano risonanza parametrica e maggiore è l’attrito, minore è l’ampiezza delle bande. Lo smorzamento comporta un abbassamento del picco della soluzione. L’ulteriore introduzione di backlash comporta modifiche alle risonanze parametriche non trattate in studi classici.. 77.

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