Capitolo 4 Analisi dei carichi

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Capitolo 4

Analisi dei carichi

Dal momento che il dimensionamento di un cuscinetto è basato principalmente sull’analisi dei carichi su di esso agenti, è necessario definire un set di prove che rappresenti in modo sufficientemente realistico le condizioni di carico più gravose alle quali il cuscinetto stesso è soggetto (denominate missioni veicolo).

Dunque il sistema veicolo viene inizialmente analizzato nel suo assieme, valutando le reazioni che esso scambia con il suolo nelle diverse condizioni di marcia (prestando attenzione a quelle dell’assale anteriore dove `e posizionato il cuscinetto analizzato); suc-cessivamente viene considerato il cuscinetto soggetto alle forze provenienti dal suolo e a quelle reattive ottenendo un sistema equilibrato in cui sia possibile valutare la forza radiale e assiale agenti sul cuscinetto stesso; a tali forze `e associato (per ogni prova) un certo carico dinamico equivalente.

L’insieme di tutti i carichi dinamici equivalenti, determinati nelle varie missioni e op-portunamente combinati attraverso la teoria di Palmgreen Miner, permette di stimare un’unica funzione di carico dinamico equivalente riassuntivo della storia di carico del cu-scinetto, in modo che questo possa essere scelto secondo i requisiti di durata visti in 3 e posizionato correttamente all’interno del gruppo ruota.

Tutte le analisi descritte in questo capitolo sono considerate applicate a un generico cuscinetto soltanto; l’applicazione iterativa delle stesse a un gruppo di cuscinetti scelti su manuale (quindi tenendo conto dei differenti parametri ad essi associati) al fine di valutarne il pi`u idoneo si rimanda al capitolo 5.

4.1 Schema del cuscinetto nel gruppo ruota

All’inizio del capitolo 3 `e stato detto che per quanto concerne il dimensionamento del cuscinetto di primo tentativo viene fatto riferimento alla tipologia di obliqui a due corone di sfere descritta in2.3.3 largamente impiegata in campo automobilistico.

Tale tipologia può presentarsi però nelle tre versioni costruttive HBU1, HBU2 o HBU3 a seconda della scelta effettuata per il veicolo analizzato. Da un punto di vista relativo alle forze in gioco e al modo in cui queste si scaricano sul cuscinetto, non c’è sostanziale

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differenza nel considerare le condizioni di carico (definite nelle missioni veicolo) applicate ad una qualsiasi delle tre versioni in quanto, malgrado le diverse soluzioni costruttive adottate, il cuore del sistema `e sempre rappresentato da un cuscinetto obliquo a due corone di sfere (semplice per le unit`a HBU1, dotato di flangia sul solo anello esterno nelle HBU2, biflangiato per le HBU3) attraverso il quale le forze si scaricano da terra sulla sospensione. Forze da contatto pneumatico/strada Forze da reazione montante

Fig. 4.1: Scarico delle forze di terra e del montante su di un’unità cuscinetto HBU2. In sostanza, isolando il sistema cuscinetto all’interno del gruppo ruota, le reazioni provenienti dal contatto pneumatico/ sede stradale (determinate in base al tipo di manovra) si scaricano sull’anello interno del cuscinetto passando inizialmente per il pneumatico e successivamente per il cerchio ruota, il quale è collegato all’anello interno del cuscinetto attraverso il mozzo (caso di un UBU1 o HBU2) o tramite la flangia dell’anello interno del cuscinetto (caso di un HBU3). Dunque l’insieme di pneumatico cerchio ruota, mozzo e anello esterno del cuscinetto può essere ipotizzato come un unico corpo rigido. Affinché il corpo siddetto sia equilibrato, è necessario che le forze provenienti dall’anello esterno del cuscinetto, ricevute dal montante sospensione (attraverso la sede ricavata sul mon-tante, o attraverso la flangia dell’anello esterno), vadano ad aggiungersi a quelle dette in precedenza. Nelle figure4.1e4.2 è mostrato quanto appena descritto per un’unità HBU2

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Fig. 4.2: Scarico delle forze di terra e del montante su di un’unit`a cuscinetto HBU3. ed un HBU3: in rosso sono riportate le forze provenienti dal suolo, in verde quelle dal montante sospensione.

Fatte queste considerazioni, il resto dell’analisi dei carichi di missione verrà sviluppata su un’unità HBU1, in modo che sia possible scegliere un cuscinetto da catalogo idoneo al progetto. Non è possibile effettuare i calcoli di dimensionamento per un HBU2 o HBU3 in quanto non esistono cataloghi generali per questi prodotti che sono forniti ad hoc da SKF dietro presentazione (da parte del cliente) di un modulo di specifiche tecniche relativo ai

Cuscinetto semplice ottenibile da catalogo dimensionato a fatica

Cuscinetto biflangiato ottenibile in ambiente CAD dal precedente

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dati del veicolo in progetto. Quindi partendo dalle dimensioni di ingombro del cuscinetto semplice, viene successivamente elaborato in CAD un HBU3 ad esso strutturalmente e dimensionalmente equivalente; in figura 4.3 `e visualizzata il processo logico appena esposto. L’ipotesi di flangiare il cuscinetto semplice `e cautelativa in quanto cos`ı facendo se ne irrigidisce la struttura.

4.1.1 Definizione di offset cuscinetto

Altro importante aspetto sul quale è necessario soffermarsi prima di procedere nell’analisi dei carichi, e la cui introduzione è importante per i motivi esposti in 2.3.3, è l’offset del cuscinetto individuabile all’interno del sistema di riferimento assi veicolo (ruota anteriore sinistra lato guida).

Questo è definito come la distanza sull’asse ruota (coincidente con l’asse cuscinetto) fra il centro ruota (o punto 16) e il centro del cuscinetto, come si può osservare in figura4.4. L’offset cuscinetto (all’interno di questa trattazione) viene considerato positivo quando è orientato dal centro cuscinetto verso l’esterno vettura, ovvero quando il centro ruota si trova in posizione esterna rispetto al centro del cuscinetto.

z y x q e offset cuscinetto off centro ruota centro cuscinetto centro impronta pneumatico

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A tal proposito `e possibile scrivere la seguente relazione fra le quote indicate in figura, che si render`a utile successivamente:

q 2 = e + of f, (4.1) da cui: e = q 2 − of f, of f = q 2 − e,

che permettono di ottenere indistintamente e in funzione di of f e viceversa.

4.2 Definizione delle missioni veicolo

`

E dunque necessario definire un pattern di prove sul veicolo tali da permettere una valu-tazione dei carichi agenti sul cuscinetto della ruota anteriore in base alle varie condizioni di marcia. Visto che gli stati di moto di un veicolo possono essere molteplici, il pattern denominato missioni veicolo e definito in normativa Fiat rappresenta un’analisi dei carichi riferita a condizioni di marcia ritenute più comuni; tali condizioni devono essere sufficien-temente rappresentative di quelle a cui un mezzo è più frequentemente sottoposto durante la propria vita e allo stesso tempo devono fornire una stima di carico che sia cautelativa, in modo che non si abbiano dei risultati falsati.

Le missioni veicolo che vengono analizzate in questo capitolo sono le seguenti: 1. veicolo in accelerazione,

2. veicolo in frenata,

3. veicolo in marcia rettilinea, 4. veicolo in curva.

Le condizioni appena elencate presentano ciascuna delle ipotesi semplificative che ver-ranno descritte nel proseguimento dell’analisi dalle quali non si pu`o prescindere se si vuole un modello di veicolo relativamente semplice, ma comunque in grado di descrivere gli aspetti pi`u salienti del moto.

Inoltre, per comodità, in ogni missione è stato fatto uso di un sistema di riferimento veicolo diverso da quello assi veicolo; la scomposizione delle forze nel sistema di riferimento del cuscinetto è invece concorde alla normativa.

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4.2.1 Accelerazione

Ipotesi semplificative

Per il modello in accelerazione vengono introdotte le seguenti ipotesi semplificative: • moto rettilineo uniformemente accelerato su strada piana e orizzontale; • trazione anteriore;

• accelerazione longitudinale costante; • carrozzeria rigida;

• assenza di scuotimento;

• angolo di beccheggio costante dopo il transitorio iniziale;

• spostamento del baricentro per il moto di beccheggio trascurabile; • assenza di forze laterali esterne;

• angolo di camber costante pari al valore fornito dal reparto handling per il tipo di manovra considerata;

• angolo di convergenza costante e molto piccolo con effetti sulle forze trascurabili; • resistenza aerodinamica trascurabile;

• resistenza al rotolamento del pneumatico trascurabile;

• forze a terra verticali considerate applicate al centro impronta del pneumatico; • assale traente al limite di aderenza;

• coefficienti di attrito longitudinale µx = 1 uguale per ciascun pneumatico. Equilibrio veicolo

In base alle ipotesi fatte il veicolo è riconducibile allo schema di figura4.5: con G è indicato il baricentro del veicolo, origine della terna levogira di assi X, Y, Z . Con mg è indicata la forza peso e con max la forza d’inerzia del veicolo che accelera; la m considerata è quella in standard C (condizione di pieno carico definita in normativa Fiat) pari alla massa del veicolo maggiorata di 350 Kg (cinque passeggeri) e 50 Kg (bagagli); considerando che SKF consiglia (da dati in letteratura sul dimensionamento dei cuscinetti ruota) di maggiorare la massa del veicolo del 10% per delle condizioni di utilizzo gravose, applicare la condizione di standard C non fa altro che aumentare la cautelatività del dato assunto con una maggiorazione media del 25%.

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G h a b l x y z Fz1 Fz2 mg max Fx1

Fig. 4.5: Schema del veicolo soggetto ad accelerazione sul piano X Z.

L’altezza da terra del baricentro `e indicata con h, il passo con l e con a e b sono indicati i semipassi anteriore e posteriore rispettivamente. Con Fz 1 ed Fz 2 si indicano le forze di reazione sugli assali anteriore e posteriore rispettivamente, considerate ridotte al centro dell’impronta del pneumatico.

Il modello matematico per lo studio della condizione di moto uniformrmente accelerato `e dunque governato dalla seguenti equazioni:

     Fx1− max= 0, Fz 1+ Fz 2 = mg, Fz 2l − mga − maxh = 0, (4.2)

dove la terza equazione rappresenta l’equilibrio alla rotazione fatto rispetto l’assale anteriore. Si ottiene dunque

Fz 1= mgb

l −

maxh

l , (4.3)

Dove mgb/l rappresenta la quota di carico statico presente sull’assale anteriore e maxh/l il trasferimento di carico dovuto al fatto che il veicolo accelera. Considerando il baricentro del veicolo giacente nel piano di simmetria longitudinale dello stesso (figura

4.6), `e possibile ripartire equamente il carico verticale agente fra le due ruote e scrivere: Fz = Fz 1 2 = mgb 2l − maxh 2l = mgb 2l 1 − axh gb . (4.4)

Considerando le forze longitudinali equamente ripartite sulle due ruote in generale si pu`o dire che

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Fz Fcamb Fcamb Fz mg z y x

Fig. 4.6: Schema del veicolo in marcia rettilinea sul piano Y Z.

Fx = Fx1

2 =

max

2 6Fzµx. (4.5)

Dunque le due forze che scaricandosi sul pneumatico partecipano alla successiva fase di equilibrio del cuscinetto sono:

Fx = Fzµx, Fz = mgb 2l 1 − axh gb , (4.6)

dove la prima equazione ipotizza il caso di limite di aderenza sul pneumatico anteriore lato guida, considerato pi`u cautelativo per l’analisi dei carichi.

Equilibrio cuscinetto

Per l’equilibrio delle forze agenti sul cuscinetto si fa riferimento allo schema di figura 4.7. Si introduce per l’analisi dei carichi un nuovo sistema di riferimento solidale alla confi-gurazione assunta dal cuscinetto ottenuto tramite una rotazione di 1800

attorno l’asse Z di figura4.5ed una di angolo γ attorno all’asse X, in modo tale da avere Yc giacente sull’asse del cuscinetto ed asse Zc concorde a Z, dove vengono definite tutte le forze necessarie a stabilire la condizione di equilibrio.

Per quanto detto in 4.1, il corpo del quale si va a considerare l’equilibrio è un insieme di altri corpi rigidamente collegati fra di loro che sono il pneumatico, il cerchio ruota e il cuscinetto ”tagliato” in corrispondenza della sconnessione tra anello interno ed esterno. Trovando le forze di reazione agenti sull’anello interno e provenienti dall’anello esterno (trasmesse dal montante sospensione) è possibile determinare l’entità dei carichi assiali e

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radiali agenti sul solo cuscinetto.

La grandezza R in figura rappresenta il raggio di rotolamento sotto carico del pneu-matico più grande fra quelli disponibili per il veicolo progettato, misurato dal centro impronta all’asse Yc. È un dato rintracciabile sui cataloghi dei fornitori di pneumatici, e viene considerato il suo valore massimo affinché massimi siano anche i momenti ribaltanti agenti sul cuscinetto dovuti ai carichi laterali (curva o spinta di camber), in modo da svolgere un’analisi più cautelativa.

Con Fz è indicato il carico verticale precedentemente trovato pensato applicato al centro dell’impronta del pneumatico; questa condizione è da considerarsi cautelativa in quanto gli angoli di camber considerati sono sempre negativi (a parte il caso di accel-erazione in cui è positivo ma piccolissimo). Qualora l’angolo di camber sia negativo, la forza Fz non è centrata nell’impronta a terra, ma si sposta verso l’interno vettura (pur mantenendosi verticale) a causa della deformazione delle fibre del pneumatico. Questo spostamento determina di fatto una diminuzione del braccio di offset che la Fz ha rispetto al centro del cuscinetto, diminuendo l’entità del momento ribaltante sullo stesso. Metten-do dunque la forza a centro impronta, non si fa altro che introdurre una stima di carico cautelativa. Gli stessi ragionamenti valgono per la Fx.

Fcamb indica la spinta di camber che il pneumatico riceve dal suolo a causa della deformazione assunta dalle fibre in conseguenza alla sua inclinazione e vale (nel caso di angoli piccoli per cui si possa considerare comportamento lineare):

Fcamb = Cγγ, (4.7)

con Cγ rigidezza di camber e γ angolo di camber definito secondo la norma ISO 8855. La rigidezza di camber in tutta la trattazione dell’analisi dei carichi viene assunta pari a Cγ = 2.5 KN/rad; l’angolo di camber invece viene variato di missione in missione a seconda dei dati progettuali di cinematica forniti dal reparto handling interno al CRF; tali dati tengono di conto del valore che γ assume considerando il recupero di camber (rispetto alla posizione teorico di progetto TDP) determinata dalla variazione di configurazione della sospensione soggetta ai moti di beccheggio o rollio della cassa. Si parte da un valore a TDP di γ = −0.60

; considerando la corsa in rimbalzo massima della sospensione dovuta alla manovra di accelerazione pari a 100 mm, il valore massimo di γ ottenibile `e γ = 0.40 (0.007 rad) sull’anteriore. Se invece si considera una corsa in tamponamento massima della sospensione pari a 100 mm il valore fornito `e γ = −1.60

.

Considerando ad esempio il veicolo in accelerazione, si può supporre un innalzamento dell’anteriore di 100 mm (al quale è associato il valore di γ in estensione suddetto) e un abbassamento del posteriore di 100 mm; l’ipotesi introdotta non è realistica ma vuol essere cautelativa. L’angolo di beccheggio (costante) assunto in questa configurazione dal sistema è sempre intorno ai 20

; questo fa si che lo spostamento indotto sul baricentro dalla manovra di accelerazione o frenata sia trascurabile, confermando l’ipotesi enunciata a suo tempo e permettendoci di utilizzare questi valori per le manovre suddette.

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Fz Fcamb Piano s tradale q e R I II α γ FrI FrII FaI FaII T

Fa

Zc Yc Fx

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Nella manovra in curva verranno usati gli stessi valori di γ = 0.40

(quando la sospen-sione va a tamponamento nel caso di curva in appoggio) e γ = −1.60

(nell’altro caso), ma non si considera trascurabile l’effetto del rollio della cassa (il cui angolo viene supposto comunque costante) del quale viene proposto un modello semplificato.

Con questi valori assumibili nelle varie missioni, la spinta di camber risulta essere circa l’1% del carico verticale; l’entità del momento ribaltante prodotto sul cuscinetto da questa forza è paragonabile a quello prodotto dal carico verticale, considerando che il suo braccio (pari praticamente ad R) è circa 50 volte quello che il carico verticale ha rispetto al centro del cuscinetto (che è l’offset cuscinetto)! Dunque non è da ritenere una grandezza trascurabile.

Le forze indicate con FaI, FaII rappresentano le forze assiali che l’anello esterno del cu-scinetto scambia con quello interno, ridotte rispettivamente sul I e II centro di pressione; analogamente per le FrI e FrII che rappresentano invece quelle radiali.

La Fa invece rappresenta la forza esterna risultante (puramente assiale) agente sul cuscinetto; essa non `e altro che una spinta assiale indotta sul cuscinetto a causa dell’ec-centricit`a che quest’ultimo presenta rispetto al carico proveniente da terra.

La quantità T è denominata forza da asperità stradale e viene fornita dalla normativa SKF per il dimensionamento dei cuscinetti dei mozzi ruota; rappresenta un dato espe-rienziale che tiene conto dell’effetto di carichi laterali di terra agenti sul sistema a causa delle asperità stradali, ed è definita come:

T = f Fz, (4.8)

dove f è la road roughness alla quale viene assegnato il valore f = 0.05. La T è una forza laterale giacente sul piano stradale (vedi figura4.7) centrata sull’impronta del pneu-matico come la Fcamb, e può essere diretta verso interno vettura o verso l’esterno. Questo fatto rende necessario scindere in due blocchi l’analisi del sistema in marcia rettilinea; nel primo caso viene ricavata la condizione di equilibrio del sistema ipotizzando tale forza verso l’interno veicolo, nel secondo verso esterno, ottenendo differenti valori del carico radiale ed assiale sul cuscinetto per ciascun caso. Dunque per quanto concerne questa missione veicolo (cos`ı come per la prova di accelerazione e frenata) verranno ricavati due valori del carico equivalente agente sul cuscinetto. La teoria di Palmgren Miner consentirà alla fine di unificare i differenti valori in un unico risultante.

Equilibrio con T diretta verso l’interno del veicolo

Si passa inizialmente all’esame dell’equilibrio del sistema nel caso di asperit`a stradale con forza T rivolta verso l’interno del veicolo; tutte le forze vengono quindi scomposte secondo le direzioni principali del sistema di riferimento utilizzato.

`

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pic-coli di γ `e possibile linearizzare il legame delle forze con l’ angolo tramite le seguenti supposizioni:

cos γ ≃ 1, sin γ ≃ γ.

In questo modo lo schema complessivo dei carichi applicati al sistema considerato di-venta quello di figura4.8.

La risultante radiale delle forze provenienti da terra `e: Fr = q F2 x + (Fz+ Cγγ2− f Fzγ) 2 = q µ2 xF 2 z + (Fz+ Cγγ2− f Fzγ) 2 . (4.9)

In generale, i termini dell’equazione moltiplicati per γ2

e f γ sono trascurabili dal momento che γ = 0.007 rad e f = 0.05, per cui `e possibile semplificare la (4.9) come segue: Fr =pµ2xF 2 z + F 2 z = Fzp1 + µ2x. (4.10)

Si osservi che quest’unica forza radiale risultante `e assunta in modulo ed il momento ribaltante che genera sul cuscinetto `e uguale a quello che produrrebbe se giacesse proprio sul piano Yc Zc; questo a dimostrazione del fatto che la rotazione di sistemi di riferimento introdotta a inizio paragrafo, non genera conflitti di segno delle forze.

Dall’equilibrio alla rotazione attorno al punto II nel piano Yc Zc si ha la seguente equazione: − FrIq + Fzp1 + µ2x e + (Fzγ + f Fz− Cγγ) R = 0. (4.11) Definendo le quantit`a ε1 = e q, ε2 = R q, (4.12)

si ottiene dalla (4.11) la seguente equazione: FrI =

Fzp1 + µ2x

ε1+ (F_zγ + f F_z− C_γγ) ε2, (4.13) che permette di ricavare anche la FaI nel seguente modo:

FaI = FrItan α = Fzp1 + µ2x ε1+ (F_zγ + f F_z− C_γγ) ε2 tan α. (4.14)

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Piano s tradale q e R I II α γ FrI FrII FaI FaII

Fa

Zc Yc Fx Fzγ + fFz - Cγγ Fz+ Cγγ - fFzγ 2

Fig. 4.8: Scomposizione dei carichi applicati al cuscinetto: caso di T diretta verso l’interno veicolo.

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Analogamente, usando la stessa configurazione pu`o essere fatto l’equilibrio attorno al punto I ottenendo: FrIIq − Fzp1 + µ2x (q − e) + (Fzγ + f Fz− Cγγ) R = 0, (4.15) da cui introducendo ancora ε1 e ε2

FrII = Fzp1 + µ2x (1 − ε1) − (F_zγ + f F_z− C_γγ) ε2, (4.16) FaII = FrIItan α = Fzp1 + µ2x (1 − ε1) − (F_zγ + f F_z − C_γγ) ε2 tan α. (4.17)

Adesso che sono note le FrI, FaI, FrII, FaII si `e in grado di considerare gli equilibri alla traslazione lungo e Yc e lungo la direzione individuata dalla risultante Fr che si scarica sul cuscinetto solo come forza radiale (il cuscinetto reagisce solo a momento ribaltante):

(

Fa_I − Fa_II + (Fzγ + f Fz− Cγγ) − Fa= 0, Fr− Fr_I − Fr_II = 0,

(4.18) dalle quali si ottengono la Fae la Frglobalmente agenti sul cuscinetto. Le tre equazioni riportate in seguito descrivono la condizione di carico in accelerazione con T rivolta verso l’interno. Fr= Fzp1 + µ2x , Fa= 2ε1F_zp1 + µ2_x+ 2ε2F_z(γ + f ) − 2ε2C_γγ − F_zp1 + µ2_x tan α + Fz(γ + f ) − Cγγ , Fz = mgb 2l 1 −axh gb . (4.19) Si noti come, essendo ε2 ≫ ε1, l’effetto (in termini di forza assiale e radiale sul cusci-netto) dovuto alle spinte laterali di camber e asperità stradale non sia affatto trascurabile rispetto a quello dovuto al solo carico verticale; questa è la principale ragione per cui viene introdotto l’offset del cuscinetto in un gruppo ruota, cioè equilibrare il più possibile i momenti ribaltanti soprattutto in condizioni di marcia rettilinea (che poi è la più fre-quente).

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A questo punto, facendo riferimento alla formula (3.2) e alla tabella 3.1 nel paragrafo

3.1, si pu`o ottenere il valore del carico equivalente come:

P = XFr+ Y Fa, (4.20)

dove Fr ed Fa sono i carichi assiale e radiale ricavati nelle (4.19) relativi alla missione in accelerazione con T rivolta verso interno veicolo, ed X e Y si ottengono in tabella3.1

noti che siano Fr ed Fa.

Equilibrio con T diretta verso l’esterno del veicolo

Per quanto riguarda l’analisi dell’equilibrio con T rivolta verso l’esterno del veicolo, si ragiona analogamente a quanto detto in precedenza, facendo per`o riferimento allo schema di figura 4.9.

L’equilibrio a momento nel piano Yc Zc fatto rispetto ai poli II e I fornisce le seguenti equazioni: −FrIq + Fzp1 + µ2x e + (Fzγ − f Fz − Cγγ) R = 0, FrIIq − Fzp1 + µ2x (q − e) + (Fzγ − f Fz − Cγγ) R = 0, (4.21)

dalle quali si ottiene Fr_I = Fzp1 + µ2x ε1+ (Fzγ − f Fz− Cγγ) ε2, FrII = Fzp1 + µ2x (1 − ε1) − (F_zγ − f F_z− C_γγ) ε2, (4.22) e di conseguenza FaI = FrItan α = Fzp1 + µ2x ε1+ (F_zγ − f F_z− C_γγ) ε2 tan α, Fa_II = Fr_IItan α = Fzp1 + µ2x (1 − ε1) − (Fzγ − f Fz− Cγγ) ε2 tan α. (4.23)

Considerando l’equilibrio lungo Yc e lungo lungo la direzione individuata dalla risul-tante Fr si ottiene in questo caso:

(

FaI − FaII+ (Fzγ − f Fz− Cγγ) − Fa = 0, Fr− FrI − FrII = 0.

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Piano s tradale q e R I II α γ FrI FrII FaI FaII

Fa

Zc Yc Fx Fzγ - fFz - Cγγ Fz+ Cγγ + fFzγ 2

Fig. 4.9: Scomposizione dei carichi applicati al cuscinetto: caso di T diretta verso l’esterno veicolo.

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Sostituendo in questo sistema le equazioni precedenti si trovano ancora gli sforzi radiale ed assile risultanti agenti sul cuscinetto

Fr= Fzp1 + µ2x , Fa= 2ε1F_zp1 + µ2_x+ 2ε2F_z(γ − f ) − 2ε2C_γγ − F_zp1 + µ2_x tan α + Fz(γ − f ) − Cγγ , Fz = mgb 2l 1 −axh gb . (4.25) Anche per questa prova, nella quale T `e rivolta verso l’esterno veicolo, si pu`o deter-minare un altro valore di

P = XFr+ Y Fa.

4.2.2 Frenata

Per il modello in frenata vengono introdotte le seguenti ipotesi semplificative: • Moto rettilineo uniformemente decelerato su strada piana e orizzontale; • decelerazione longitudinale costante;

• carrozzeria rigida;

• angolo di beccheggio costante dopo il transitorio iniziale;

• spostamento del baricentro per il moto di beccheggio trascurabile; • assenza di scuotimento;

• assenza di forze laterali esterne;

• resistenza al rotolamento del pneumatico trascurabile; • forze a terra ridotte sul centro impronta del pneumatico;

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• assale frenante al limite di aderenza;

• coefficienti di attrito longitudinale µx = 1 uguale per ciascun pneumatico. Equilibrio veicolo

Il modello utilizzato per lo studio del veicolo nella manovra di frenata al limite di aderen-za `e esattamente lo stesso considerato per lo studio in accelerazione. Si pu`o quindi fare riferimento a tutto quanto detto nel paragrafo 4.2.1 e agli schemi delle figure 4.5, 4.6,

4.7 per l’impostazione dell’equilibrio veicolo e lo scarico delle forze sul sistema cuscinet-to, considerando l’equilibrio alla frenatura solo sull’assale anteriore (Fx1 forza frenante sull’assale) e Fx (forza frenante sulla singola ruota), valore assegnato ad ax negativo (de-celerazione secondo il sistema di riferimento utilizzato), e valore di γ considerato relativo alla prova analizzata.

Nel caso dell’analisi proposta si fa riferimento allo schema dei carichi di4.8 e al sistema di equazioni finale (4.19) di seguito riportato per completezza.

Fr= Fzp1 + µ2x , Fa= 2ε1F_zp1 + µ2_x+ 2ε2F_z(γ + f ) − 2ε2C_γγ − F_zp1 + µ2_x tan α + Fz(γ + f ) − Cγγ , Fz = mgb 2l 1 −axh gb . (4.26) P = XFr+ Y Fa.

Equilibrio con T diretta verso l’esterno del veicolo

In questo caso, facendo riferimento allo schema di figura 4.9 e al sistema di equazioni (4.25) si ha ancora: Fr= Fzp1 + µ2x , Fa= 2ε1Fzp1 + µ2x+ 2ε2Fz(γ − f ) − 2ε2Cγγ − Fzp1 + µ2x tan α + Fz(γ − f ) − Cγγ , Fz = mgb 2l 1 −axh gb . (4.27)

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P = XFr+ Y Fa.

4.2.3 Marcia rettilinea

Per il modello in marcia rettilinea vengono introdotte le seguenti ipotesi semplificative: • Moto rettilineo uniforme su strada piana e orizzontale;

• velocit`a di avanzamento costante; • carrozzeria rigida;

• angolo di beccheggio nullo; • assenza di scuotimento;

• assenza di forze laterali esterne;

• resistenza al rotolamento del pneumatico trascurabile; • forze a terra ridotte sul centro impronta del pneumatico; Equilibrio veicolo

L’equilibrio del veicolo segue sempre i modelli mostrati nelle figure 4.5, 4.6, 4.7, con-siderando ax = 0. Da un punto di vista qualitativo, la condizione di marcia rettilinea considerata equivale a quella di veicolo fermo: avendo infatti trascurato la resistenza al rotolamento (considerando il pneumatico come corpo rigido che rotola senza striscia-re) e la resistenza aerodinamica, la condizione di quiete o di moto rettilineo uniforme dell’automezzo sono da considerarsi identiche.

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Nel caso forza di forza T rivolta verso l’interno del veicolo, le equazioni dei carichi in marcia rettilinea si ottengono semplificando le (4.19) ponendo ax = 0 da cui anche Fx = µxFz = 0.

Fr = Fz , Fa = 2ε1F_z+ 2ε2F_z(γ + f ) − 2ε2C_γγ − F_z tan α + Fz(γ + f ) − Cγγ , Fz = mgb 2l . (4.28) P = XFr+ Y Fa. Equilibrio con T diretta verso l’esterno del veicolo

In questo caso si fa riferimento alle (4.25) semplificate ottenendo: Fr = Fz , Fa = 2ε1Fz+ 2ε2Fz(γ − f ) − 2ε2Cγγ − Fz tan α + Fz(γ − f ) − Cγγ , Fz = mgb 2l . (4.29) P = XFr+ Y Fa.

4.2.4 Curva

Per il modello in marcia rettilinea vengono introdotte le seguenti ipotesi semplificative: • Moto su strada piana e orizzontale;

• velocit`a di avanzamento assoluta del veicolo costante; • curve ad ampio raggio percorse in condizioni di regime; • piccoli angoli di sterzo

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• assenza di scuotimento;

• angolo di beccheggio trascurabile;

• presenza di forze laterali costanti considerate applicate al baricentro del veicolo; • asse di rollio nel piano di mezzeria longitudinale e parallelo al suolo;

• resistenza al rotolamento del pneumatico trascurabile; • forze a terra ridotte sul centro impronta del pneumatico;

• pneumatico considerato sempre al limite di aderenza laterale con coefficiente µy = 1. Equilibrio veicolo

Nelle figure4.10,4.11, 4.12 sono visualizzati gli schemi del veicolo soggetto alla manovra considerata e utilizzati per ricavare le forze che si scaricano successivamente sul sistema cuscinetto; con G `e indicato il baricentro del veicolo, origine della terna levogira di assi X, Y, Z .

Con may `e indicata la forza d’inerzia; con Fy 1 ed Fy 2le forze d’equilibrio longitudinali che si scaricano su ciascun assale per garantire l’equilibrio. δFz sono i trasferimenti di carico indotti su ciascuna ruota a causa dell’inerzia may e mg causati dall’angolo di rollio φ; a tal proposito si impone che la cassa del veicolo abbia rigidezza a rollio globale pari a κφ e che l’assale anteriore ne presenti una pari a κφ1. Con d si indica l’altezza da terra dell’asse di rollio; esso viene inizialmente supposto orizzontale data la mancanza, in questa fase del progetto, dei dati necessari a definirne la posizione (posizione degli attacchi dei bracci sospensione a scocca). Con t si indica la carreggiata anteriore, in generale diversa dal posteriore, la sola che interessa in questa analisi.

Dati di esperienza sull’angolo di rollio confermano che questo non supera mai valori massimi pari a φ = ±40

, anche nelle condizioni di curve con elevate accelerazioni laterali (per come solitamente sono dimensionate le rigidezze a rollio nelle industrie automotive). Dunque, all’interno delle equazioni che verranno successivamente ricavate sar`a possibile considerare un legame lineare fra l’accelerazione laterale a regime e l’angolo di rollio del tipo:

Rφ= φ ay

, (4.30)

dove con Rφ viene definita la sensibilit`a al rollio. Nel caso di questa trattazione ven-gono usati valori di Rφ = 5 s

2

(22)

G t v a b l x y z Fy1 Fy2 may

Fig. 4.10: Equilibrio del veicolo in curva.

considerata, si ricavano immediatamente quelli di φ. Considerando che anche per φ si hanno valori piccoli `e possibile precisare fin da subito che:

cos φ ≃ 1, sin φ ≃ φ.

Dall’equilibrio dell’intero veicolo alla traslazione lungo Y e alla rotazione attorno all’asse Z in figura 4.10 si ricava:

( Fy 1+ Fy 2− may = 0, Fy 1a = Fy 2b, (4.31) da cui Fy 1 = may b l, (4.32)

che rappresenta la forza laterale agente sull’assale anteriore.

Passando allo schema di figura 4.11 si imposta l’equilibrio della cassa alla rotazione attorno all’asse di rollio scrivendo:

(23)

mg z y x G may Κφφ φ t d h

Fig. 4.11: Equilibrio della cassa del veicolo in curva.

z y Κφ1φ t d ∆Fz ∆Fz Fy1 x

(24)

may(h − d) + mg (h − d) φ − κφφ = 0, (4.33) dalla quale si ottiene

κφ= may

(h − d)

φ + mg (h − d) . (4.34)

Considerando adesso l’equilibrio del solo assale anteriore alla rotazione attorno l’asse di rollio secondo lo schema di figura4.12, si ha:

∆Fz = κ_φaφ

t + Fy 1 d

t, (4.35)

che pu`o essere scritta anche come ∆Fz = κφ κ_φa κφ φ t + Fy 1 d t.

Sostituendo la (4.32) e la (4.34) nella precedente equazione si ottiene ∆Fz = κ_φa κφ may(h − d) + mg (h − d) φ 1 t + may b l d t, (4.36)

determinando quindi il trasferimento di carico verticale sulla singola ruota a causa dell’accelerazione laterale. Il carico effettivo agente `e dunque la somma tra questo e il contributo statico visto a suo tempo (ipotesi di sovrapposizione degli effetti valida in campo lineare, come in questo caso) secondo la

Fz = mgb

2l + ∆Fz. (4.37)

Sostituendo la (4.36) nella precedente si ottiene, dopo alcuni passaggi matemetici Fz = mg b 2l + κ_φa κφ (h − d)φ t − may bd lt + κ_φa κφ h − d t . (4.38)

Vengono introdotte adesso due ipotesi ritenute ragionevoli.

La prima è motivata dal fatto che, nei veicoli dotati di sospensioni a quadrilatero alto, generalmente l’asse di rollio giace pochi cm al di sopra del piano stradale a differenza del baricentro che si aggira intorno ai 50 cm sopra tale piano (per le autovetture in genere); la sua posizione durante una curva non è oltretutto di facile determinazione visto che varia a seconda della configurazione assunta dal gruppo sospensivo. Per queste ragioni si ipotizza che l’asse di rollio sia posizionato sul piano stradale a centro carreggiata, ponendo d = 0. La seconda ipotesi riguarda le rigidezze a rollio κ_φa e κφ; trattandosi di un’analisi di avamprogetto del gruppo ruota, è nota la geometria di sospensione, ma non sono ancora

(25)

state determinate le rigidezze ottimali per il veicolo in questione. Secondo indicazioni presenti in normativa Fiat sul predimensionameto delle rigidezze, `e buona norma far s`ı che il rapporto tra rigidezza a rollio anteriore e quella totale sia uguale al rapporto tra il peso statico del veicolo sull’assale anteriore e quello totale. Questo concetto `e esprimibile come: κ_φa κφ = mgb l /mg = b l. In questo modo la (4.38) si semplifica nel seguente modo

Fz = mgb 2l 1 + 2φh t + 2 ay g h t , (4.39)

che fornisce l’equazione per il carico verticale agente sulla ruota usata nell’analisi in curva. Da osservare come il termine fuori parentesi, pari al carico statico in marcia retti-linea, venga aumentato dei contributi di rollio e di accelerazione laterale a regime rispet-tivamente. Volendo esprimere tutto in termini di accelerazione laterale, introducendo la (4.30) si ha Fz = mgb 2l 1 + 2Rφay h t + 2 ay g h t . (4.40)

L’equazione suvvista è valida sia per la curva con ruota tamponata (cioè in appoggio con ay > 0) che per quella con ruota rimbalzata. A tal proposito, per considerare succes-sivamente l’equilibrio sul cuscinetto, sarà necessario distinguere due differenti prove: la prima considera la ruota come esterna alla curva e la seconda come interna.

Equilibrio nel caso di ruota esterna alla curva

Lo scarico delle forze agenti sul cuscinetto e la relativa scomposizione di queste sugli assi del sistema Yc Zc `e mostrato nella figura 4.13.

Si pu`o osservare come in questo caso, il valore dell’angolo di camber acquisito sia negativo, e pari a γ = −1.60

, mentre quello dell’accelerazione laterale a regime sia positivo, cos`ı pure come l’angolo di rollio (il cui segno dipende dall’accelerazione laterale secondo φ = Rφay). Dunque valgono nuovamente le supposizioni per cui

cos γ ≃ 1, sin γ ≃ γ.

Per quanto riguarda la forza laterale Fy agente sul singolo pneumatico, si pu`o con-siderare la sua dipendenza dall’angolo di deriva e di camber (piccoli) secondo il legame linearizzato:

(26)

Fz Fy Piano stradale q e R I II α γ− FrI FrII FaI FaII

Fa

Zc Yc Fz- Fzµyγ Fzγ + Fz µy

(27)

Fy = Cαα + Cγγ 6 µyFz, (4.41) dove con Cα e α si indicano rigidezza di deriva e angolo di deriva rispettivamente. Poich´e l’angolo di deriva non `e di facile determinazione (a meno che non siano note le curve caratteristiche del pneumatico utilizzato), si preferisce porre cautelativamente

Fy = µyFz, (4.42)

in modo da considerare il pneumatico al limite di aderenza laterale, e da trascurare la sua dipendenza dall’angolo di deriva e da quello di camber, il quale in questo tipo di analisi ha la sola funzionalit`a di permettere la scomposizione delle forze nel sistema di riferimento del cuscinetto.

Considerando la notevole maggiorazione di Fy, essa risulta essere paragonabile a Fz in modulo (in questo caso uguale per l’aver supposto µy = 1), e quindi molto maggiore di eventuali spinte di camber Fcamb o asperit`a stradali T che vengono trascurate.

Un’altra considerazione degna di nota riguarda il fatto di aver trascurato l’influenza del momento di autoallineamento Mz che si genera sull’impronta del pneumatico (a causa della deformazione delle fibre) quando questo è soggetto a forza laterale Fy. In generale Mz = Mz(Fy), e dati di reparto confermano che i valori massimi assumibili da tale quan-tità sono dell’ordine di 15 Nm. L’effetto di tale momento su un cuscinetto che ha un q = 50 mm (caso classico) porta alla determinazione di una coppia di forze che si scarica sui centri di pressione di circa 300 N ciascuna. Considerando che, nelle prove sviluppate in curva in questa trattazione, l’entità del carico risultante delle Fa ed Fr sul cuscinetto si attesta attorno a un valore medio di 40000 N senza considerare l’effetto di Mz, è ra-gionevole supporre la trascurabilità di tale grandezza la cui influenza sull’incremento di carico è di circa il 2%; inoltre la funzione Mz(Fy) è decrescente per alti valori della Fy (ad esempio in prossimità del limite di aderenza), per cui le ipotesi adottate sono ragionevoli. Nell’analisi in accelerazione, rettilineo, frenata, Mz era già stato supposto trascurabile in quanto la forza laterale è generata dalla sola spinta di camber, il cui valore è molto piccolo e si attesta intorno ai 200 N; il valore di Mz che ne consegue è approssimativamente in-torno a 2.5 Nm, tale da indurre incrementi di carico sul cuscinetto del 2%, quindi ancora trascurabili.

Inoltre nella manovra in curva, evitando brusche frenate o accelerazioni, si hanno pic-coli scorrimenti longitudinali del pneumatico rispetto alla strada, tanto da poter essere trascurati. Viene inoltre considerata l’ipotesi di piccoli angoli di sterzo e quindi di curve ad ampio raggio: in questo modo la Fx sul pneumatico necessaria a mantenere le con-dizioni di curva a regime pu`o essere ragionevolmente trascurata (vedi Guiggiani).

Passando alle equazioni di equilibrio alla rotazione attorno al punto II e I come al solito si ha:

(28)

−FrIq + Fz(1 − µyγ) e + Fz(µy + γ) R = 0, FrIIq − Fz(1 − µyγ) (q − e) + Fz(µy + γ) R = 0, (4.43) da cui FrI = Fz(1 − µyγ) ε1+ Fz(µy + γ) ε2, FrII = Fz(1 − µyγ) (1 − ε1) − Fz(µy+ γ) ε2, (4.44) e quindi FaI = FrItan α = (Fz(1 − µyγ) ε1+ Fz(µy+ γ) ε2) tan α, Fa_II = Fr_IItan α = (Fz(1 − µyγ) (1 − ε1) − Fz(µy + γ) ε2) tan α. (4.45)

Considerando l’quilibrio del sistema alla traslazione lungo Zc e Yc si ha: (

FaI − FaII + Fz(µy + γ) − Fa= 0, Fr− FrI − FrII = 0.

(4.46)

dove sostituendo le (4.44) e (4.45), si ottiene Fr = Fz(1 − µyγ) , Fa = 2ε1F_z(1 − µ_yγ) + 2ε2F_z(µ_y+ γ) − F_z(1 − µ_yγ) tan α + Fz(µy + γ) , Fz = mgb 2l 1 + 2Rφay h t + 2 ay g h t . (4.47) P = XFr+ Y Fa. Equilibrio nel caso di di ruota interna alla curva

Per questa prova in curva, valgono le stesse ipotesi fatte in precedenza di ruota al limite di aderenza Fy = µyFz; il valore dell’accelerazione laterale a regime deve essere ay < 0 in modo che continui a valere la (4.40) e si abbia un alleggerimento del carico Fz sulla ruota.

(29)

Fz Fy Piano s tradale q e R I II α γ FrI FrII FaI FaII

Fa

Zc Yc Fz+ Fzµyγ Fzγ − Fz µy

(30)

Il valore dell’angolo di camber considerato `e di γ = 0.4 .

Ragionando in maniera analoga alla curva con ruota tamponata e facendo riferimento allo schema dei carichi di figura4.14 si hanno le seguenti equazioni:

−FrIq + Fz(1 + µyγ) e + Fz(γ − µy) R = 0, FrIIq − Fz(1 + µyγ) (q − e) + Fz(γ − µy) R = 0, (4.48) da cui FrI = Fz(1 + µyγ) ε1 + Fz(γ − µy) ε2, FrII = Fz(1 + µyγ) (1 − ε1) − Fz(γ − µy) ε2, (4.49) e quindi FaI = FrItan α = (Fz(1 + µyγ) ε1+ Fz(γ − µy) ε2) tan α, Fa_II = Fr_IItan α = (Fz(1 + µyγ) (1 − ε1) − Fz(γ − µy) ε2) tan α. (4.50)

Considerando l’quilibrio del sistema alla traslazione lungo Zc e Yc si ha: (

Fa_I − Fa_II + Fz(γ − µy) − Fa= 0, Fr− Fr_I − Fr_II = 0.

(4.51)

dove sostituendo le (4.49) e (4.50), si ottiene Fr = Fz(1 + µyγ) , Fa = 2ε1F_z(1 + µ_yγ) + 2ε2F_z(γ − µ_y) − F_z(1 + µ_yγ) tan α + Fz(γ − µy) , Fz = mgb 2l 1 + 2Rφay h t + 2 ay g h t . (4.52) P = XFr+ Y Fa.

(31)

4.3 Applicazione delle formule di Palmgren Miner:

determinazione della funzione di carico dinamico

equivalente medio

Avendo determinato le funzioni di carico equivalente in ogni prova, `e necessario adesso individuare la funzione risultante dello stesso tale da poter essere confrontata successiva-mente con la formula (3.12).

In molte applicazioni l’entità del carico agente sul cuscinetto varia continuamente; in questi casi è necessario procedere secondo la teoria di Palmgren Miner (da manuale SKF) secondo la quale è possibile determinare un carico equivalente medio Pm tale da avere sul cuscinetto la stessa influenza di quello variabile reale.

Nel caso di questa analisi, in cui le Fr ed Fa agenti sul cuscinetto variano in modulo per ogni prova, il carico equivalente Pj relativo alla j-esima prova `e esprimibile come:

Pj = XjFr j+ YjFaj, (4.53)

con Xj e Yj dipendenti dal rapporto Faj/Fr j e quindi da calcolarsi per ciascuna delle missioni veicolo.

Il carico equivalente medio relativo ad un prefissato cuscinetto obliquo a due corone di sfere della serie scelta, si ricava come:

Pm = 3 p P1 3 U1+ P2 3 U2+ · · · + P8 3 U8, (4.54)

con j = 1, . . . , 8 essendo otto le missioni considerate. Le Uj rappresentano invece la frazione di vita che il cuscinetto trascorre sotto l’effetto del j-esimo carico equivalente di missione Pj; la stima degli Uj (cos`ı come delle axj ed ay j) `e il risultato di dati interni al CRF unitamente a suggerimenti di esperienza da parte di SKF.

`

E necessario fare una breve puntualizzazione sui parametri di prova axj, ay j ed Uj riportati in tabella 4.1, in quanto dalla loro scelta dipende fortemente il valore di Pm e quindi dell’offset cuscinetto successivamente ottenuto.

Innanzitutto è stato adottato un valore della axj nelle prove di accelerazione e frenata che in modulo è costante e pari 0.5 g; dal momento che si ipotizza un veicolo che per il 7% della sua vita accelera costantemente a 0.5 g, ovvero la cui velocità può variare linearmente di circa 18 (Km/h)/s,tale condizione può essere considerata cautelativa. Infatti avremmo una vettura in grado di accelerare o frenare da 0 a 100 Km/h e viceversa in circa 6 s; questi valori applicati per il 14% (7% accelerazione, 7% frenata) della vita rendono il dimensionameto di carico cautelativo.

Lo stesso si pu`o dire della marcia rettilinea valevole per l’80% della vita e per la quale non viene trascurata l’influenza della spinta di camber sul momento ribaltante indotto sul cuscinetto.

(32)

Prova Valore axj Valore ay j Frazione di vita Accelerazione T interna ax1 = 0.5 g ay1 = 0 g U1 = 0.035 Accelerazione T esterna ax2 = 0.5 g ay2 = 0 g U2 = 0.035 Frenata T interna ax3 = −0.5 g ay3 = 0 g U3 = 0.035 Frenata T esterna ax4 = −0.5 g ay4 = 0 g U4 = 0.035 Rettilineo T interna ax5 = 0 g ay5 = 0 g U5 = 0.4 Rettilineo T esterna ax6 = 0 g ay6 = 0 g U6 = 0.4 Curva ruota esterna ax7 = 0 g ay7 = 0.5 g U7 = 0.03 Curva ruota interna ax8 = 0 g ay8 = −0.5 g U8 = 0.03 Tab. 4.1: Valori diaxj, ay j, Uj utilizzati nelle varie missioni.

Per quanto riguarda l’accelerazione laterale a regime nelle due condizioni di curva considerate si sono usati valori di accelerazione laterale pari in modulo a 0.5 g per il 6% della vita utile, con l’influenza di un modello lineare di rollio; si pensi solo che le prove al limite di aderenza sono intorno agli 0.8 g.

A questo punto, per valutare la cautelativit`a dei carichi introdotta, si pensi a cosa significherebbe se su 100 Km di viaggio, un normale conducente fosse sottoposto a queste condizioni di accelerazione. . . Per non parlare del fatto che tutte le prove (salvo quella in marcia rettilinea) sono considerate al limite di aderenza.

Una volta fatte queste considerazioni si pu`o scrivere la (4.54) in forma pi`u compatta

Pm = 3 v u u t 8 X j=1 Pj 3 Uj, (4.55) dove sostituendo la (4.53) si ha Pm = 3 v u u t 8 X j=1 XjFr j+ YjFaj 3 Uj. (4.56)

che dipende, a differenza della (3.12), dai parametri costruttivi del veicolo, dai vari parametri relativi alle condizioni di missione considerate e dalle dimensioni del cuscinetto selzionato su catalogo (attraverso la quota q), secondo una legge generale del tipo;

(33)

                                         Pm = Pm Fr j, Faj, Xj, Yj, Uj ! , Fr j = Fr j Fz j, µx, µy, γj , Faj = Faj Fz j, µx, µy, γj, α, Cγ, ε1 e, q, ε2 R, q , Fz j = Fz j m, b, l, h, t, axj, ay j, Rφ ; Xj, Yj = ( (1, 0.78) se |Faj|/Fr j ≤ 0.86 (0.63, 1.24) se |Faj|/Fr j > 0.86 , (4.57)

dove il rapporto |Faj|/Fr j viene calcolato tramite il modulo di |Faj| in quanto deve essere una quantit`a sempre positiva.