Vettori e Calcolo vettoriale

Vettori e Calcolo vettoriale

Ci poniamo nello spazio ordinario S, in cui valgono gli assiomi della geometria euclidea. I vettori vengono rappresentati mediante frecce, con un punto iniziale e un punto finale. Si usa la notazione −→

AB, dove A è il punto iniziale o punto di applicazione e B è il punto finale. −→

AB è anche dettovettore applicatoin A. Il modulo del vettore −→

AB è la lunghezza AB.

Definizione

Diciamoequivalenti due vettori paralleli, aventi stesso modulo e stesso verso.

In questo modo, l’insieme dei vettori applicati dello spazio S viene ripartito in tante classi, in ognuna delle quali vi sono i vettori applicati paralleli, con stesso modulo e verso. Ognuna di queste classi è dettavettore libero.

Se ~v =−→

AB è un vettore libero, allora scriviamo anche ~v = B − A. Se−→

CD è un altro vettore applicato equivalente a −→

AB, si può anche scrivere

~

v = D − C .

Il modulodi ~v =−→

AB è |v | = AB. Il vettore libero A − A = ~0 è il vettore nullo. Ha modulo 0, ma direzione e verso sono indeterminati. È l’unico vettore ad avere modulo 0.

Se fissiamo un qualunque punto O dello spazio, per ogni vettore libero ~v esiste uno ed un solo rappresentante di ~v applicato in O.

Operazioni sui vettori

Definizione Siano ~v =−→

AB e ~w =−→

BC due vettori liberi. Lasomma dei vettori è:

~v + ~w =−→

AB +−→

BC =−→

AC . Si può anche scrivere:

~

v + ~w = (B − A) + (C − B) = C − A.

Dati tre vettori liberi ~v , ~w , ~z, si ha:

~v + ~w = ~w + ~v ,

cioè vale la proprietà commutativa. Inoltre, ~0 è l’elemento neutro della somma e ogni vettore ~v ammette l’opposto −~v .

Somma di vettori

Vale la proprietà associativa:

(~v + ~w ) + ~z = ~v + (~w + ~z)

Dunque, l’insieme V dei vettori liberi dello spazio costituisce un gruppo abeliano.

Siano ~v =−→

AB un vettore libero e a ∈ R. Vogliamo definire il prodotto a~v , che sarà un vettore.

Definizione

Il vettore a~v ha modulo |a|· |~v |. Se questo numero è 0, allora a~v = ~0.

Altrimenti, a~v è il vettore libero rappresentato dai vettori applicati paralleli al vettore applicato−→

AB e verso concorde con quello di −→

AB per a > 0, opposto per a < 0.

Proposizione

Siano a, b ∈ R e ~v , ~w vettori liberi. Allora:

1. (a + b)~v = a~v + b~v 2. a(~v + ~w ) = a~v + a ~w 3. a(b~v ) = (ab)~v 4. 1 · ~v = ~v .

Prodotto di un vettore per uno scalare

Proposizione (Condizione di parallelismo tra vettori liberi) Due vettori liberi non nulli ~v e ~w sono paralleli ⇔ esiste uno scalare λ ∈ R \ {0} tale che ~v = λ~w.

Siano ~v =−→

AB e ~w =−→

AC due vettori liberi. L’angolo~^dv ~w è l’angolo convesso formato dai due vettori.

Definizione

Dati due vettori liberi ~v e ~w ,il prodotto scalare~v · ~w è un numero definito in questo modo:

I è 0 se ~v = ~0 o ~w = ~0

I se ~v , ~w 6= ~0, allora ~v · ~w = |~v | · |~w | cos~^dv ~w .

Prodotto scalare di due vettori

Osserviamo che ~v · ~w = ~w · ~v , cioè per il prodotto scalare vale la proprietà commutativa. Se ~v , ~w 6= ~0, allora ~v ⊥ ~w ⇔ ~v · ~w = 0. Con la convenzione di considerare il vettore nullo ortogonale ad ogni vettore, si può dire che due vettori liberi ~v e ~w sono ortogonali ⇔ ~v · ~w = 0.

Condizione di ortogonalità tra due vettori

Definizione

Dati due vettori liberi ~v =−→

AB e ~w =−→

AC , il prodotto vettoriale~v ∧ ~w è un vettore di modulo |~v | · |~w | sen~v ~^dw . Se questo numero è 0, allora poniamo

~v ∧ ~w = ~0. Altrimenti, ~v ∧ ~w ha direzione ortogonale al piano individuato dai vettori−→

AB e −→

AC . Per quel che riguarda il verso, se si guarda il piano individuato da−→

AB e−→

AC dalla parte in cui si trova ~v ∧ ~w , ~v per sovrapporsi a ~w deve percorrere l’angolo~^dv ~w in senso antiorario.

Prodotto vettoriale

Osserviamo che ~v ∧ ~w = −~w ∧ ~v , cioè per il prodotto vettoriale non vale la proprietà commutativa. Inoltre, per due vettori non nulli ~v e ~w si ha

~

v k ~w ⇔ ~v ∧ ~w = ~0.

Il prodotto mistodi tre vettori liberi ~u, ~v , ~w è ~u · ~v ∧ ~w . Condizione di complanarità

Il modulo del prodotto misto |~u · ~v ∧ ~w| rappresenta il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori.

Dunque, condizione necessaria e sufficiente perché tre vettori ~u, ~v, ~w siano complanari è che ~u · ~v ∧ ~w = 0.

~u ~v

w~

Condizione di parallelismo tra vettori

Prodotto misto

Definizione

Chiamiamoversore un vettore di modulo unitario.

Se ~v è un vettore, allora ~v · ~v = |~v | · |~v | cos 0 = |~v |². In particolare, se ~v è un versore ~v · ~v = 1.

Proposizione

Sia ~r una retta orientata e sia ~i un versore su ~r avente lo stesso verso di ~r.

Allora ~v ·~i è pari alla lunghezza con segno del segmento proiezione di ~v su

~r. In particolare, il vettore (~v ·~i)~i è laproiezione ortogonale di ~v sulla retta

~r.

VERSORI E COMPONENTI DI UN VETTORE

Nello spazio ordinario S assegnare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale significa assegnare un punto O, origine delle coordinate, un’unità di misura u e tre rette orientate ~x , ~y , ~z passanti per O, a due a due perpendicolari e tali che i versori ~i,~j, ~k che ne determinano

l’orientamento siano tali che ~k = ~i ∧~j.

O

x y

z

~i ~j

~k

Ad un punto P dello spazio associamo una terna ordinata di numeri reali (x , y , z), che si dicono coordinate cartesianedi P.

Consideriamo il vettore libero ~v =−→

OP. Siano P_x, P_y, P_z le proiezioni ortogonali di P sui tre assi cartesiani. ~v è la diagonale del parallelepipedo costruito su −−→

OPx,−−→

OPy,−−→

OPz, per cui:

~v =−−→

OPx+−−→

OPy +−−→

OPz.

x y

z

O P

P_x Py

Pz

~i ~j

~k

−−→OP_x,−−→

OP_y,−−→

OP_z sono le proiezioni ortogonali di ~v sugli assi ~x , ~y , ~z, per

cui: −−→

OP_x = (~v ·~i)~i

−−→OPy = (~v ·~j)~j

−−→OP_z = (~v · ~k)~k

⇒ ~v = (~v ·~i)~i + (~v ·~j)~j + (~v · ~k)~k.

~

v = (~v ·~i)~i + (~v ·~j)~j + (~v · ~k)~k, dove ~v ·~i, ~v ·~j, ~v · ~k sono le coordinate del punto P e sono anche dette componenti del vettore ~v. Poniamo ~v ·~i = v_x,

~v ·~j = vy, ~v · ~k = vz, per cui:

~v = v_x~i + v_y~j + v_z~k

e le componenti di ~v sono (vx, vy, vz). Inoltre, |~v | =^qv_x²+ vy2+ vz2. Se P₁= (x₁, y₁, z₁) e P₂ = (x₂, y₂, z₂), allora:

−−−→

P₁P₂ =−−→

OP₂−−−→

OP₁ = x₂~i + y₂~j + z₂~k − (x₁~i + y₁~j + z₁~k) =

= (x₂− x₁)~i + (y₂− y₁)~j + (z₂− z₁)~k.

|P₁P₂| = |−−−→

P₁P₂| =^q(x₂− x₁)²+ (y₂− y₁)²+ (z₂− z₁)². Vediamo adesso le operazioni tra vettori espressi mediante componenti.

Se~v=vx~i+vy~j+vz~k e w~ =wx~i+wy~j+wz~k, allora:

~v +~w = v_x~i+v_y~j+v_z~k+w_x~i+w_y~j+w_z~k = (v_x+w_x)~i+(v_y+w_y)~j+(v_z+w_z)~k.

Se a ∈ R, allora:a~v = a(v_x~i + v_y~j + v_z~k) = (av_x)~i + (av_y)~j + (av_z)~k.

Prodotto scalare

~v · ~w = (vx~i + v_y~j + v_z~k) · (wx~i + w_y~j + w_z~k) =

= v_xw_x~i ·~i + v_xw_y~i ·~j + v_xw_z~i · ~k + v_yw_x~j ·~i + v_yw_y~j ·~j + v_yw_z~j · ~k+

+ vzwx~k ·~i + vzwy~k ·~j + vzwz~k · ~k.

Ma dal momento che ~i ·~j = ~i · ~k = ~j · ~k = 0 e ~i ·~i = ~j ·~j = ~k · ~k = 1, si ha:

~v · ~w = v w + v w + v w .

Somma

Prodotto per uno scalare

Se ~v , ~w 6= ~0, allora:

cos~^dv ~w = ~v · ~w

|~v | · |~w | = vxwx+ vywy + vzwz

qv_x²+ v_y²+ v_z^2qw_x²+ w_y²+ w_z² In particolare, ~v ⊥ ~w ⇔ v_xw_x+ v_yw_y + v_zw_z = 0. Notiamo che:

cos~v~i =^b v_x qv_x²+ v_y²+ v_z²

, cos~^cv~j = v_y qv_x²+ v_y²+ v_z²

,

cos~v~^ck = v_z qv_x²+ v_y²+ v_z²

.

Questi numeri sono detti coseni direttori di ~v.

Coseno dell'angolo formato da due vettori

Coseni direttori:

Dato che ~i ∧~j = ~k, ~k ∧~i = ~j, ~j ∧ ~k = ~i e ~i ∧~i = ~j ∧~j = ~k ∧ ~k = ~0, allora:

~v ∧ ~w = (vywz− v_zwy)~i + (wxvz− v_xwz)~j + (vxwy − v_ywx)~k =

=       

~i ~j ~k v_x v_y v_z w_x w_y w_z

Se ~u = ux~i + u_y~j + u_z~k, allora:

~u · ~v ∧ ~w = (vywz− v_zwy)ux + (wxvz− v_xwz)uy + (vxwy− v_ywx)uz =

=       

u_x u_y u_z v_x v_y v_z wx wy wz

       Prodotto vettoriale

Prodotto misto

~v ∧ ~w = (v_x~i + vy~j + vz~k) ^ (wx~i + wy~j + wz~k)

ESEMPIO

(usando la formula:

)

ESERCIZI sul Calcolo vettoriale

1) Individuare l’angolo (convesso) compreso tra i due vettori.

v = (4, −3) e w = (5, 12).

Si calcola il prodotto scalare usando le componenti :

v • w =4 · 5 + (−3) · 12 = −16

e d’altro lato, usando la definizione, v • w = |v| · |w| cos θ =√

4²+3²·√

5²+12²cos θ = 5·13 cos θ

e, uguagliando, cos θ = −16 65, cio `e θ =arccos



−16

' 1. 819 radianti.

65

In generale, per risolvere il problema di trovare l’angolo (convesso) compreso tra v e w si può usare la formula

θ =arccos

 v • w  .

Esercizi

(2) Dire per quali valori di k i seguenti vettori sono ortogonali:

v := (1, k − 2, 3) , w := (k , 2, 5) soluzione:

(1, k − 2, 3) · (k , 2, 5) = k + 2k − 4 + 15 = 0

k = −11 3

Esercizi

(3) Dire per quali valori di k l’angolo tra i seguenti vettori è di π/3 :

v := (k , 1) , w := (1, −2) soluzione:

cos π/3 = v · w

|v ||w |,

|v | =√

k²+1²,|w | =√

1²+4²=√ 5, v · w = k − 2, cos π/3 = ¹₂ →

1

4 = (k − 2)² (k²+1) 5

5k²+5 = 4



k²+4 − 4k



5k²+5 = 4

k²+4 − 4k

5k²+5 = 4k²+16 − 16k

k²+16k − 11 = 0 soluzioni:

k₁= −8 +√

64 + 11 =−8 + 5√ 3, k₂= −8 − 5√

3

(4) Calcoliamo il prodotto vettoriale tra i vettori v = (1, 2, 3) e w = (1, 1, 1).Si pu `o scrivere

u = v ∧ w = det





i j k

1 2 3 1 1 1



= 

2 3 1 1

i+

3 1 1 1

j+

1 2 1 1    

k =−1i+2j−1k =(−1, 2, −1).

θ a

O x

y

a _x a _y

5) Si trovino le componenti x ed y del vettore che giace sul piano xy, ha modulo a = 10 e forma un angolo θ = 30° con l’asse x.

a _x =10 cos(30 °) = 8,66

a _y =10 sen(30 °) = 5

6) Si trovino i moduli dei vettori a, b, e a+b sapendo che a e b che hanno le seguenti componenti:

a _x = 1, a _y = -4, b _x = 2, b _y = 6 . a = ( 1 ) ² + (-4) ² = 4,12

b = ( 2 ) ² + (6) ² = 6,32

O x

y

b

a

-4

2 1 6

s _x = (a+b) _x = 1 + 2 = 3

s _y = ( a +b) _y = (-4) + 6 = 2 s = a+b = 3 ² + 2 ² = 3,6

s s _x s _y

Componenti deil vettore somma:

Il vettore a + b = (3, 2) e il suo modulo è 3,6

ESERCIZIO PROPOSTO