Esercizi Dinamica dei Fluidi

Esercizi Dinamica dei Fluidi

1. Per risolvere il primo punto bisogna semplicemente applicare la legge di Stevino:

𝑝 = 𝑝_#+ 𝜌𝑔ℎ

Il termine 𝑝( che rappresenta la pressione atmosferica sul livello del mare è del tutto trascurabile in quanto la profondità a cui bisogna calcolare la pressione è molto grande.

𝑝 = 𝑝_#+ 𝜌𝑔ℎ = 𝜌𝑔ℎ = 1030 𝑘𝑔 𝑚^.∙ 9,81 𝑚 𝑠⁴∙ 11034 𝑚 ≈ 1115×10^: 𝑃𝑎

La pressione a tale profondità è più di 1000 volte la pressione atmosferica.

Risolviamo il secondo punto del problema calcolandoci intanto il valore della superficie dell’oblò.

𝑆 = 𝜋𝑟⁴ = 𝜋 0,25 𝑚 ⁴ = 0,20𝑚⁴

Quindi la forza sull’oblò sarà: (utilizzando la formula inversa della pressione)

𝐹 = 𝑝 ∙ 𝑆 = 1115×10^: 𝑃𝑎 ∙ 0,20𝑚⁴≈ 220×10^: 𝑁

2. In riferimento alla figura proposta possiamo calcolarci la velocità di fuoriuscita del flusso d’acqua con il teorema di Torricelli:

𝑣 = 2𝑔ℎ_D

L’acqua uscendo dal foro compie un moto parabolico per raggiungere il secondo serbatoio:

𝑥 = 𝑣𝑡 𝑦 = ℎ + 𝐻 − ℎ_D −1

2𝑔𝑡⁴

dalla prima equazione ricavo il tempo di caduta

𝑡 =𝑥

𝑣= 𝑑

2𝑔ℎ_D

sostituisco nella seconda equazione imponendo 𝑦 = 0

0 = ℎ + 𝐻 − ℎ_D −1

2𝑔 𝑑

2𝑔ℎ_D

4

A questo punto trovo la mia unica incognita ℎD:

0 = ℎ + 𝐻 − ℎ_D− 𝑑⁴ 4ℎ_D Moltiplico per −4ℎ_D e ottengo un’equazione di secondo grado:

4ℎ_D⁴− 4 ℎ + 𝐻 ℎ_D+ 𝑑⁴= 0

Risolvo l’equazione di secondo grado con la formula risolutiva:

ℎ_D =2(ℎ + 𝐻) ± 4(ℎ + 𝐻)⁴− 4𝑑⁴

4 =44 𝑐𝑚 ± 1936𝑐𝑚⁴− 324𝑐𝑚⁴

4 =44 𝑐𝑚 ± 1612𝑐𝑚⁴

4

≈44 𝑐𝑚 ± 40 𝑐𝑚

4 = 1 𝑐𝑚

3. Per l’equazione di continuità a seguito di una variazione di sezione la velocità varia con essa:

𝑆_P𝑣_P= 𝑆₄𝑣₄

𝑣₄=𝑆_P𝑣_P

𝑆₄ = 𝜋 𝑑 2 ⁴𝑣_P 𝜋 𝑑 2 ∙ 1 3 ⁴

= 9𝑣_P = 11,7 𝑚 𝑠

Per ricavare invece la pressione, dall’equazione di Bernoulli:

𝑝_P+ 𝜌𝑔ℎ_P+1

2𝜌𝑣_P⁴= 𝑝₄+ 𝜌𝑔ℎ₄+1 2𝜌𝑣₄⁴

imponiamo che sia un tubo orizzontale chiedendo che le altezze siano le medesime:

𝑝_P+1

2𝜌𝑣_P⁴= 𝑝₄+1 2𝜌𝑣₄⁴

calcoliamo la pressione nel secondo tratto:

𝑝₄= 𝑝_P+1

2𝜌𝑣_P⁴−1

2𝜌𝑣₄⁴=50 𝑘𝑃𝑎 +1

2∙ 920 𝑘𝑔 𝑚^.∙ 1,3 𝑚 𝑠 ⁴−1

2∙ 920 𝑘𝑔 𝑚^.∙ 11,7 𝑚 𝑠 ⁴

=110 𝑘𝑃𝑎 + 777,4 𝑃𝑎 − 63𝑘𝑃𝑎 = 47,7 𝑘𝑃𝑎

4. È ovvio che per sollevare l’acqua fino all’ultimo piano è necessaria una pressione almeno pari a quella idrostatica prodotta dalla colonna di acqua alta quanto l’intero palazzo (54 𝑚).

𝑝 = 𝜌𝑔ℎ = 1000 𝑘𝑔 𝑚^.∙ 9,81 𝑚 𝑠⁴∙ 54 𝑚 = 5,29×10^:𝑃𝑎 = 5,29 𝑎𝑡𝑚

5. Per calcolare il valore della forza necessaria per tappare la falla dobbiamo servirci della definizione di pressione e della sua formula inversa:

𝐹 = 𝑝 ∙ 𝑆

Dove possiamo ricavarci il valore della pressione tramite la legge di stevino:

𝑝 = 𝑝_#+ 𝜌𝑔ℎ = 10^:𝑃𝑎 + 1000 𝑘𝑔 𝑚^.∙ 9,81 𝑚 𝑠⁴∙ 3 𝑚 = 10^:𝑃𝑎 + 0,29 ∙ 10^:𝑃𝑎

= 1,29 ∙ 10^:𝑃𝑎

Di conseguenza la forza necessaria:

𝐹 = 𝑝 ∙ 𝑆 = 1,29 ∙ 10^:𝑃𝑎 ∙ 2 𝑚⁴≅ 258 𝑘𝑁

6. Creiamo un disegno che ci aiuti a comprendere il problema, dove inseriamo tutte le forze in gioco.

Trovandoci in una situazione di equilibrio dobbiamo eguagliare le forze dirette verso l’altro con le forze dirette verso il basso.

𝐹_ST+ 𝑆_U = 𝑃 𝑘∆𝑥 + 𝑉_XY𝑔𝑑_Z[\ = 𝑚𝑔 Ricavo il valore dello spostamento ∆𝑥

∆𝑥 =𝑚𝑔 − 𝑉_XY𝑔𝑑_Z[\

𝑘 =710 𝑘𝑔 𝑚^.0,23 𝑚^.∙ 9,81 𝑚 𝑠⁴− 0,23 𝑚^.∙ 9,81 𝑚 𝑠⁴1000 𝑘𝑔 𝑚^. 480 𝑁 𝑚

=1602 𝑁 − 2256 𝑁

480 𝑁 𝑚 = −1,3 𝑚

7. Consideriamo il teorema di Bernoulli considerando ovviamente che l’aria al di sopra e al di sotto delle ali si trova alla stessa altezza essendo le ali sottili. Tenendo conto inoltre che l’aria sotto le ali è ferma posso impostare la seguente relazione: (effetto Venturi)

𝑝_P= 𝑝₄+1 2𝜌_#𝑣_#⁴

Quindi la differenza di pressione tra il sopra e il sotto dell’ala è:

∆𝑝 =1

2𝜌_#𝑣_#⁴=1

21,29 𝑘𝑔 𝑚^. 68 𝑚 𝑠 ⁴ = 2982,5 𝑃𝑎

Il velivolo si alzerà in volo quando la spinta idrodinamica sarà al pari uguale alla forza peso.

∆𝑝 ∙ 𝑆 = 𝑃 Quindi la superficie delle ali è:

𝑆 =𝑚𝑔

∆𝑝 =4500 𝑘𝑔 ∙ 9,81 𝑚 𝑠⁴

2982,5 𝑃𝑎 = 14,80 𝑚⁴

8. Durante un uragano a causa dei forti venti si crea una differenza di velocità tra l’interno della casa e l’esterno. Per l’effetto Venturi, considerando che all’interno della casa l’aria sia ferma:

1 ₄

Quindi la differenza di pressione a cavallo del tetto è:

∆𝑝 =1

2𝜌_#𝑣_#⁴=1

21,29 𝑘𝑔 𝑚^. 77,7 𝑚 𝑠 ⁴= 3901,8 𝑃𝑎

La differenza di pressione genera una forza che tende a scoperchiare il tetto della casa, tale forza può essere calcolata come:

𝐹 = ∆𝑝 ∙ 𝑆 = 3901,8 𝑃𝑎 ∙ 9 𝑚 × 6 𝑚 = 210,7 𝑘𝑁

9. Per l’equazione di continuità si conserva la portata del fluido nel passaggio dall’idrante alla manichetta. La portata del fluido è data dalla relazione:

𝑞 = 𝑆 ∙ 𝑣 = 𝜋𝑟⁴∙ 𝑣 = 𝜋 0,35 𝑚 ⁴∙ 0,4 𝑚 𝑠 = 0,15 𝑚^. 𝑠 In due ore di tempo il volume di acqua che uscirà sarà quindi:

𝑉 = 𝑞 ∙ Δ𝑡 = 0,15 𝑚^. 𝑠 ∙ 3600 𝑠 ∙ 2 = 1108 𝑚^.

L’equazione di continuità mi determina inoltre la variazione di velocità del liquido al variare della sezione trasversale.

In questo caso quindi a seguito di un restringimento della sezione al livello della manichetta si ha un incremento della velocità.

𝑣₄=𝑆_P𝑣_P

𝑆₄ =𝜋𝑟_P⁴𝑣_P

𝜋𝑟₄⁴ =0,35𝑚⁴∙ 0,4 𝑚 𝑠

0,05 𝑚⁴ = 19,6 𝑚 𝑠

Successivamente la lancia riduce ulteriormente il raggio portandolo a soli 3,0 𝑐𝑚 incrementando la velocità del getto.

𝑣_.=𝑆₄𝑣₄

𝑆_. =𝜋𝑟₄⁴𝑣₄

𝜋𝑟_.⁴ =0,05𝑚⁴∙ 19,6 𝑚 𝑠

0,03 𝑚⁴ = 54,4 𝑚 𝑠 Per calcolare la quota raggiunta dall’acqua devo utilizzare la relazione di Bernoulli:

𝑝_P+ 𝜌𝑔ℎ_P+1

2𝜌𝑣_P⁴= 𝑝₄+ 𝜌𝑔ℎ₄+1 2𝜌𝑣₄⁴

Dove con posizione 1 intendo all’uscita della manichetta, e posizione 2 invece in corrispondenza della quota massima. Le due pressione sono chiaramente identiche e pari ad un’atmosfera terrestre, ℎP= 0 dato che sono sul livello del suolo e 𝑣4= 0 dato che l’acqua raggiunta la quota massima ha velocità nulla.

1

2𝜌𝑣_P⁴= 𝜌𝑔ℎ₄

e di conseguenza, a seguito della formula inversa:

ℎ₄= 𝑣_P⁴

2𝑔= 54,4 𝑚 𝑠 ⁴

2 ∙ 9,81 𝑚 𝑠⁴= 151 𝑚

10. La portata di un fluido è definita come prodotto tra velocità e sezione:

𝑞 = 𝐴 ∙ 𝑣 = 𝜋𝑟⁴𝑣 = 𝜋 𝑑 2

4

𝑣 = 𝜋 1,2𝑚 ⁴∙4440 𝑚 𝑠 = 20076 𝑚^. 𝑠

11. Prima di arrivare al calcolo della sezione del condotto nella seconda parte rialzata devo andare a calcolare la velocità del petrolio in tale tratto. Per far ciò applico l’equazione di Bernoulli:

𝑝_P+ 𝜌𝑔ℎ_P+1

2𝜌𝑣_P⁴= 𝑝₄+ 𝜌𝑔ℎ₄+1 2𝜌𝑣₄⁴

con

𝑝_P= 1,7×10^: 𝑃𝑎 , ℎP = 0,70 𝑚, 𝑣P = 15 𝑚 𝑠, 𝑝⁴= 1,3×10^: 𝑃𝑎, ℎ4= ℎ_P+ 5𝑚

calcolo la formula inversa rispetto alla velocità per 𝑣4:

𝑣₄ = 𝑝_P+ 𝜌𝑔ℎ_P+1

2 𝜌𝑣^P4− 𝑝₄− 𝜌𝑔ℎ₄ 12 𝜌

prima di sostituire devi ricordarmi di portare la densità del petrolio nel sistema internazionale

𝜌_` = 0,80 𝑔 𝑐𝑚^.= 800 𝑘𝑔 𝑚^.

𝑣₄= 4×10^a 𝑃𝑎 + 0,55×10^a 𝑃𝑎 + 9×10^a 𝑃𝑎 − 4,47×10^a 𝑃𝑎

400 𝑘𝑔 𝑚^. = ⋯ = 15𝑚 𝑠

Mantenendosi costante la velocità del fluido per l’equazione di continuità anche la sezione è la stessa di quella di partenza.

12. Per prima cosa, sfruttando l’equazione di continuità, calcoliamoci la velocità del fluido che arriva nelle abitazioni:

𝑆_P𝑣_P= 𝑆₄𝑣₄

𝜋𝑅_P⁴𝑣_P= 𝜋𝑅₄⁴𝑣₄

di conseguenza la velocita “2”

𝑣₄= 𝑣_P 𝑅_P 𝑅₄

4

= 0,35 𝑚 𝑠 4 𝑐𝑚 3 𝑐𝑚

4

= 0,62 𝑚 𝑠

Per ricavarmi invece la quota raggiunta dall’acqua all’interno del tubo utilizzo la solita equazione di Bernoulli e la rendo esplicita rispetto ℎ₄. (ℎ_P = 0)

𝑝 + 𝜌𝑔ℎ +1

𝜌𝑣⁴= 𝑝 + 𝜌𝑔ℎ +1 𝜌𝑣⁴

ℎ₄=𝑝_P+1

2 𝜌𝑣^P4− 𝑝₄−1 2 𝜌𝑣⁴⁴

𝜌𝑔 =7,1×10^: 𝑃𝑎 − 2,5×10^: 𝑃𝑎 1000𝑘𝑔

𝑚^.∙9,81 𝑚 𝑠⁴ ≅ 46,9 𝑚

Da notare che le componenti delle velocità non sono state considerate in quanto il loro contributo è minimo sul conto totale.

Dato che ogni piano mediamente è di 2,3 𝑚, l’acqua arriverà al massimo al 20° piano circa.

13. In riferimento alla figura, sul palloncino sono applicate solamente due forze. La prima (in giallo) è la forza peso, la seconda ( in rosso) è la spinta di Archimede.

La differenza tra le due forze è la forza ascensionale che porta il palloncino ad alzarsi.

𝐹_dXe = 𝑆_U− 𝑃 = 𝜌_U𝑉_XYY𝑔 − 𝑚𝑔 + 𝜌_ZS𝑉_ZS𝑔

= 51𝑚𝑁 − 19,6𝑚𝑁 − 7𝑚𝑁 = 24 𝑚𝑁

La componente della forza peso è dato dalla massa del palloncino e della massa dell’elio che riempie il palloncino.

14. Per prima cosa convertiamo i dati che ci vengono forniti nel sistema internazionale:

𝑣_P= 40 𝑐𝑚 𝑠 = 0,4 𝑚 𝑠

𝜌 = 1,06 𝑔 𝑐𝑚^.= 1060 𝑘𝑔 𝑚^.

Calcoliamo la variazione di velocità a seguito della dilatazione vascolare attraverso l’equazione di continuità. Ponendoci nella condizione limite il la sezione incremento del 50%, quindi 𝑆₄= 𝑆_P+ 0,5𝑆_P= 1,5𝑆_P

𝑆_P𝑣_P= 𝑆₄𝑣₄

𝑆_P𝑣_P= 1,5 ∙ 𝑆_P𝑣₄

𝑣₄= 𝑣^P 1,5 = 0,27 𝑚 𝑠

Attraverso l’equazione di Bernoulli calcoliamo la differenza di pressione:

∆𝑝 =1

2𝜌𝑣_P⁴−1

2𝜌𝑣₄⁴=1

21060 𝑘𝑔 𝑚^. 0,4 𝑚 𝑠 ⁴−1

21060 𝑘𝑔 𝑚^. 0,27 𝑚 𝑠 ⁴

= 84,8 𝑃𝑎 − 38,63 𝑃𝑎 = 46,16 𝑃𝑎

La differenza di pressione nell’aneurisma può provocare la lacerazione dell’arteria e di conseguenza un’emorragia interna.