Dagli specchi di Archimede ... alle lenti multistrato
Primo Brandi - Anna Salvadori Dipartimento di Matematica e Informatica
Università degli Studi di Perugia e-mail: mateas@unipg.it
Introduzione. La propagazione della luce ha incuriosito ed appassionato gli uomini fin dagli albori della civiltà. La questione, strettamente collegata alla visione, interagisce con l’anatomia e la fisiologia umana e la sua interpretazione in termini “scientifici” ha coinvolto nei secoli illustri filosofi e scienziati.
La modellizzazione matematica, nota come ottica geometrica, gioca un ruolo fondamentale per l’interpreta-zione di alcuni fenomeni quali la riflessione e la rifrazione e permette di dare una spiegazione del funziona-mento di specchi, lenti e sistemi ottici costruiti con essi.
In questa nota proponiamo una rilettura di alcuni passi fondamentali dell’evoluzione dell’ottica geometrica, “mettendo in luce” aspetti che a nostro avviso presentano una interessante valenza didattica.
1. Il fenomeno della riflessione e gli specchi.
Gli specchi ustori di Archimede. L’uso degli specchi risale alla più remota antichità; i primi specchi erano di rame o bronzo, successivamente di una lega di rame e alluminio. Nella valle del Nilo gli archeologi hanno rinvenuto uno specchio in perfette condizioni che risale al 1900 a.C.
La caratteristica fondamentale degli specchi doveva essere quindi ben nota agli antichi. Aristofane (450 a.C. circa – 388 a.C. circa) nella commedia Le nuvole (424 a.C.) fa riferimento agli specchi ustori che, concentrando i raggi riflessi del sole in uno stesso punto, erano in grado di accendere un fuoco.
E’ quindi verosimile la leggenda secondo cui Archimede (287-212 a.C.) avrebbe adottato specchi ustori come strumento di difesa della città di Siracusa dall’assedio romano durante la seconda guerra punica.
Dai resoconti dello storico Plinio (23-79 a.C.) risulta che anche i Romani disponessero successivamente di specchi ustori. Resti di specchi o sfere di cristallo che dovevano servire ad accendere il fuoco sono stati rinvenuti in scavi archeologici (fra cui quelli di Pompei).
La propagazione della luce e la dinamica della visione hanno appassionato alcuni tra i più grandi filosofi greci come Pitagora, Platone ed Aristotele, che hanno sviluppato diverse ipotesi sulla natura della luce.
Il principio di Erone. L’indagine assunse un “indirizzo scientifico” ad Alessandria per opera di Euclide (IV-III secolo a.C.) che, abbandonate le speculazioni filosofiche, fondò una trattazione geometrica della questione. Nel trattato in due parti Ottica e Catottrica
1, Euclide crea il modello di raggio luminoso rettilineo, fondamento dell’ottica geometrica: Tutto ciò che si vede, si vede secondo una direzione rettilinea.
Per primo dà una spiegazione razionale della formazione delle immagini negli specchi piani e sferici,
inoltre studia alcune questioni connesse alla propagazione della luce come ombre, immagini prodotte
attraverso piccole aperture, grandezze apparenti degli oggetti e loro distanza dall’occhio. Nell’ultima
proposizione della Catottrica si legge che con gli specchi concavi opposti al sole si può riuscire ad
Applicazioni e suggerimenti didattici della legge di rifrazione.
Il fenomeno della riflessione totale trova la sua principale applicazione nelle guide d’onda (per esempio le fibre ottiche).
Quesito 3. Il problema del bagnino. Un bagnino è sulla propria torretta di osservazione sulla spiaggia ad una certa distanza al mare, vede un bagnante che sta annegando, “spostato” rispetto alla propria posizione. Sapendo che sulla spiaggia può correre ad una velocità v1 mentre nell'acqua può nuotare ad una velocità v2, minore di v1. In quale punto deve tuffarsi per raggiungere il bagnante nel minor tempo possibile?
Quesito 4. Sbarco veloce. Un uomo si trova su una barca a 3 km dal punto A più vicino sulla costa, che in quel tratto è supposta rettilinea. Egli vuol raggiungere un punto B sulla costa, a 6 km da A, nel minor tempo possibile. In quale punto della costa deve sbarcare sapendo che può remare ad una velocità massima di 6 km/h e camminare ad una velocità massima di 8 km/h?
Quesito 5. Strada alternativa. Tra due località A e B che distano 4 km, c’è una zona pietrosa Z a forma circolare del raggio di 1 km. A è sul bordo di Z e B è in posizione diametralmente opposta.
Si vuole costruire una strada che unisca A e B, costituita da due tratti rettilinei: AP attraverso Z e PB fuori di Z.
Determinare il percorso di costo minimo, sapendo che il rapporto tra i costi di costruzione (a parità di lunghezza) dentro e fuori Z, è pari a
3
.Quesito 6. Gara di velocità. Un tratto di costa rettilineo è interrotto da una insenatura semicircolare AB del raggio di 1 km. Un atleta partecipa ad una gara di velocità con partenza da A ed arrivo in un altro punto sulla costa al di là dell’insenatura a 4 KM da A in linea d’aria. Il percorso è costituito da due tratti rettilinei, il primo a nuoto ed il secondo di corsa. Sapendo che il rapporto tra le due velocità nel nuoto e nella corsa è pari ad
1 3
, determinare il percorso di minimo tempo.Quesito 7. Centrale elettrica. Si vogliono collegare con un cavo una centrale elettrica ed una fabbrica situate sugli argini opposti di un fiume largo 40 m. La fabbrica si trova 400 m più a valle rispetto alla centrale. Supposto nel che nel tratto tra la centrale e la fabbrica il fiume sia rettilineo e che il rapporto tra il costo unitario del cavo subacqueo e quello del cavo aereo sia
1
, discutere l’esistenza di un percorso a costo minimo, al variare del parametro
.Quesito 8. Collegamenti ferroviari. In una mappa, con riferimento cartesiano
Oxy
a scala chilometrica, due città sono localizzate nei puntiA (1, 0)
eB (0. 2)
. Determinare il collegamento ferroviario di minimo costo tra le due città sapendo che il costo di costruzione nelle regioniy 0
ey 0
è rispettivamente di
e
euro/km.Quesito 9. Appuntamento galante. Mario si trova sulla riva di un bacino artificiale di forma circolare ad ha un appuntamento con Maria che si trova nel punto diametralmente opposto. Se Mario dispone di un’imbarcazione che viaggia ad una velocità pari a
k
volte quella con cui può correre, discutere, al variare del parametrok 0
, quale è la traiettoria che gli permette di raggiungere Maria nel minimo tempo.Quesito 10. Bretella di minima lunghezza. In un appezzamento di terreno compreso tra due strade perpendicolari, è piantato un albero ad una distanza dalle due strade pari rispettivamente a 10 m e 80 m. Determinare, se esiste, il cammino rettilineo di minima lunghezza che collega le due strade costeggiando l’albero.
Multistrato rifrangente. Sino ad ora abbiamo considerato solo mezzi omogenei, ove l’indice di rifrazione è costante. Nel mondo reale questo si verifica assai raramente ed è quindi importante trattare anche mezzi in cui l’indice di rifrazione sia variabile.
Iniziamo con il considerare un mezzo stratificato, cioè consideriamo strati paralleli di mezzi rifrangenti (sandwich rifrangente).
Figura 5 Indichiamo con
v
j la velocità di propagazione e conˆ
i
j l’angolo di incidenza relativo allo stato j- esimo.Applicando ripetutamente la (3) risulta
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
sin i sin i sin i sin i sin i
v v v v v
ovvero
(4)
sin ˆ
costante
j
j
i
v
.In particolare, se
v
0 v
4 ovvero se il primo e l’ultimo strato del sandwich sono a contatto con lo stes- so mezzo, allora il raggio incidente è parallelo al raggio uscente, ma non allineato con esso.Si osservi che se la densità del mezzo decresce con la quota, la velocità di propagazione aumenta
1
j j
v v
, l’angolo di rifrazione è maggiore dell’angolo di incidenza. Di conseguenza la traiettoria è una spezzata concava.Stratificazione rifrangente a indice continuo. Consideriamo un mezzo rifrangente in cui l’indice di rifrazione vari in modo continuo con la statificazione, ovvero la velocità di propagazione della luce sia una funzione continua
v v z ( )
della quotaz .
Figura 6
In altre parole tutti i punti appartenenti ad un piano orizzontale hanno la stessa proprietà di rifrazione, cosicché il mezzo è pensato stratificato “orizzontalmente”. La sorgente
S
e l’obiettivoB
siano due punti distinti che, senza restrizione di generalità, possiamo supporre appartenenti al semipianoxz
Figura 7
Sia
z z x ( )
una curva “sufficientemente regolare” che congiungeS
conB
.Nel passaggio da una stratificazione discreta ad una stratificazione continua la relazione (4) deve essere valida in ogni punto della traiettoria, ovvero deve risultare16
(5)
sin ˆ costante ,
( ( ))
x
S B
i x x x
v z x
ove
ˆ
i
x è l’angolo che la retta tangente alla traiettoria nel puntoP x z x , ( )
forma con la“verticale”.
Per quanto osservato nel punto precedente, se la densità del mezzo decresce con la quota, la traiettoria è una curva concava.
Semipiano di Poincarè Consideriamo ora un caso particolare di notevole importanza, quello lineare.
Supponiamo cioè che la velocità sia una funzione lineare della quota, ad esempio sia
v v z ( ) z
. In altre parole modelliamo il semipianoxz
conz 0
, assunto che la velocità di propagazione della luce sia costante nei punti di rette orizzontali e aumenti linearmente via via che cresce la quotaz
. L’asse delle ascisse, costituito da punti in cui la luce ha velocità nulla, è detto orizzonte.Come modello reale si pensi ad un liquido viscoso (ad esempio olio o miele) con il pelo libero costituito da una patina “solida” ove sarebbe impedito il movimento. Riscaldando via via gli strati sottostanti, la viscosità del liquido diminuirebbe, permettendo movimenti sempre più veloci.
In questo semipiano, quali sono le traiettorie estremali, ovvero quelle in accordo con il principio di minimo tempo di Fermat?
Vediamo di individuarle.
Siano
S x z
S,
S
eB x z
B,
B
due punti distinti del semipianoxz
conz 0
.Nel caso
x
S x
B, la traiettoria, in accordo con l’ottica geometrica, si riduce al segmento “verticale”SB
. Supponiamo allorax
S x
B. L’equazione (5) diventa(5’)
sin ˆ ,
( )
x
S B
i k x x x
z x
.Come è noto, la derivata
z x '( )
della funzionez z x ( )
nel puntox
coincide con la tangente dell’angolo 2ˆ
i
x
; d’altra parte, in virtù di note relazioni trigonometriche, risulta
2 2
ˆ 1
sin 1 ˆ
x
x
i
tg
i
quindi la (5’) equivale alla “equazione differenziale”
(5’)
2
1
( ) 1 '
k
z x z x
.Procedendo alla soluzione formale dell’equazione, si ottiene
2 2
2
1 1
0 '( )
( ) 1 ' ( )
k z x
k z x
k z x
z x z x
da cui (per separazione delle variabili)
1
2k z dz dx z
ed integrando si ha
2
22 2 2 2 2 2
2
1 1
1 k z x c 1 k z k x c x c z
k k
che è l’equazione di una circonferenza di centro
C c ,0
e raggio1 k
.Quindi le traiettorie ottimali, oltre ai segmenti verticali, sono archi di circonferenza con centro in un punto dell’orizzonte17.
Definendo rette le semicirconferenze con centro in un punto dell’orizzonte e aggiungendo ad esse le semirette verticali con origine in un punto dell’orizzonte, si definisce, in modo naturale, un “piano non euclideo” (di tipo iperbolico), detto semipiano di Poincarè.
Figura 8
La nota distanza logaritmica18 introdotta in questo piano altro non è che il tempo che la radiazione impiega nell’andare da un punto all’altro lungo la traiettoria ottimale.
Il suo calcolo si riduce ad un integrale di una funzione razionale fratta.
Il fenomeno del miraggio. Il modello di propagazione della luce in un mezzo a indice di rifrazione stratificato orizzontalmente trova un’immediata applicazione nel fenomeno del miraggio. Il fenomeno si osserva d’estate sulla vasta distesa di sabbia risvaldata dal sole o più frequentemente sulle strade asfaltate: si ha l’impressione che il manto stradale sia bagnato e le auto si rispecchiano sul terreno.
Questa illusione è dovuta all’incurvamento dei raggi solari nell’attraversare strati d’aria non omogenei.
Infatti
gli strati a contatto con l’asfalto si surriscaldano, mentre quelli sovrastanti hanno temperature decrescenti con l’altezza dal suolo. Di conseguenza, la densità dell’aria diminuisce considerando strati più vicini al suolo.
In forza del modello illustrato nel presente paragrafo, i raggi luminosi si incurvano descrivendo una curva convessa.
Figura 9
