M557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2007 Seconda prova scritta

M557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei 10 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Si considerino i triangoli la cui base è AB = 1 e il cui vertice C varia in modo che l’angolo C ˆ A B ^si mantenga doppio dell’angolo A ˆ B C ^.

1. Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l’equazione del luogo geometrico γ descritto da C.

2. Si rappresenti γ, tenendo conto, ovviamente, delle prescritte condizioni geometriche.

3. Si determini l’ampiezza dell’angolo A ˆ B C che rende massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai lati AC e BC e, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato in gradi e primi (sessagesimali).

4. Si provi che se

2 1 è 5

allora

ˆ C = 36 ° AC = −

B

A .

PROBLEMA 2

Si consideri un cerchio C di raggio r.

1. Tra i triangoli isosceli inscritti in C si trovi quello di area massima.

2. Si denoti con S l’area del poligono regolare di n lati inscritto in C. Si dimostri che _n sen n

n r

S _n 2 π

2

= 2 e si trovi un’analoga espressione per l’area del poligono regolare di n lati circoscritto a C.

3. Si calcoli il limite di S per _n n → ∞ ^.

4. Si spieghi in che cosa consista il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si

tratti di un problema risolubile o meno.

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M557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO

Tema di: MATEMATICA QUESTIONARIO

1. La regione R delimitata dal grafico di y 2 = x , dall’asse x e dalla retta x = 1 (in figura) è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S.

2. Le misure dei lati di un triangolo sono 40, 60 e 80 cm . Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali.

3. Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:

x ³ – x ² – k + 1 = 0

4. Un serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 1 metro. Si dica quanti litri di olio il serbatoio può contenere.

5. Si mostri che la funzione y = x ³ + 8 soddisfa le condizioni del teorema del valor medio (o teorema di Lagrange) sull’intervallo [-2, 2]. Si determinino i valori medi forniti dal teorema e se ne illustri il significato geometrico.

6. Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito?

7. Se f(x) è una funzione reale dispari (ossia il suo grafico cartesiano è simmetrico rispetto all’origine), definita e integrabile nell'intervallo [-2, 2], che dire del suo integrale esteso a tale intervallo?

Quanto vale nel medesimo intervallo l'integrale della funzione 3+ f(x)?

8. Si risolva l’equazione: ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

3 15 2

4 4 n n

9. Si calcoli l’integrale indefinito ∫ ^{1 −} x ² dx e, successivamente, si verifichi che il risultato di

dx

∫ ⁻ x

1

0

1 2 è in accordo con il suo significato geometrico.

10. Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento a meridiani e a paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo

che la Terra sia una sfera S e che l'asse di rotazione terrestre sia una retta r passante per il centro di S, come si

può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli e introdurre un sistema di coordinate

geografiche terrestri?

PROBLEMA 1.

1. Fissiamo un sistema di riferimento in cui ^{A  0; 0  , B   1; 0 ,} C x y : siano  ^;  D l’angolo ABC ^ˆ e 2 D l’angolo , CAB ^ˆ con 0

3 D S

  . Ricordando che il coefficiente angolare di una retta è la tangente trigonometrica dell’angolo da essa formato col semiasse positivo delle ascisse, le equazioni delle rette

AC e BC sono, rispettivamente, ^{y  tan 2 D  x e y  tan  S D     x  1    tan D  x  . Le 1} 

coordinate del punto C si possono determinare, in funzione di D , come intersezione delle due rette:

risolvendo il sistema si ottiene

tan tan 2 tan tan 2 tan

tan 2 tan x

y

D

D D

D D

D D

­ °° 

® ° ˜

° 

¯

. Indicando con t tan D , ricordando che

2

tan 2 2 1

t D t

 e sostituendo, otteniamo le equazioni parametriche del luogo geometrico:

2

2

2

1 3

2 3 x t

t y t

t

­ 

°° 

® °

° 

¯

.

Eliminiamo t, ricavando ^{2 1 3} 1 t x

x



 dalla prima relazione e sostituendolo nella seconda, elevata al quadrato: si ha, così, y ^{2  1 3  x  1  x}  , che è l’equazione del luogo geometrico J ^.

2. Sviluppando i calcoli indicati, si ottiene y ²  3 x ²  4 x  , che è 1 0 l’equazione di una iperbole centrata nel punto 2

3 ; 0

§ ·

, con

¨ ¸

© ¹

parametri a= ¹

3 e b= 1

3 , come si nota raccogliendo un fattore 3,

2 2 4 1

3 0

3 3

y  § ¨ x  x  · ¸

© ,

¹ e completando il quadrato come

2 2 4 4 1

3 0

3 9 3

y  § ¨ x  x  · ¸ 

© ¹ , da cui

2

2 2 1

3 § ¨ x  3 · ¸  y 3

© ¹ , che dà

2

2 2

9 3

x 3 y

§ ·

 

¨ ¸

© ¹

ˆ 2 ˆ

CAB ABC

1 . Poiché per poter ottenere un triangolo con , dev’essere ¹

x  2 , si deve considerare soltanto il di iperbole di vertice

ramo 1

3 ; 0

§ ·

¨ ¸

© ¹ . Il grafico di J può essere

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO A.S. 2006-2007

CORSO DI ORDINAMENTO Soluzioni tema di MATEMATICA

Prof. Franco Fusier Pag. 1

ottenuto anche attraverso lo studio delle funzioni y r 3 x ²  4 x  , sempre tenendo conto delle 1 Sia

condizioni geometriche.

3. AH l’altezza relativ a al lato BC : osserviamo che, per i teoremi sui triangoli rettangoli, sin

AH AB D e l’altezza BK relativa al lato AC è BK AB sin 2 D . Ricordando che AB 1 , la

da rend massima è

 

funzione ere

2 2

A B

C

L

36°

36°

72° 72°

2 2

sin sin 2

S D AH  BK D  D , con 0

3 D S

  .

fondamentale, la funzione si può riscrivere come

  ^{sin 2 4 sin 2 cos 2 sin 2  1 4 cos 2  5sin}

S

Usando le formule di dupl icazione e la form ula

2 4

4 sin

D D  D D D  D

   ² 

' 2 sin cos 5 8sin S

D  D . La derivata di tale funzione è

D D D  D che, nell’intervallo

da del segno del terzo

fattore: l’angolo che rende massima la somma dei quadrati è dato da considerato, cambia segno a secon

arcsin 5 52 14 '

E 8 q .

4. Posto 36 D q , il triangolo ABC risulta isoscele sulla bas e AC . Tracciando la bisettr ice CL dell’angolo ACB ^ˆ , i t rian goli ALC , BLC e ABC risultano isosceli di base, rispettivam ente , AL , BC e AC , quindi AC CL LB e

1

AB BC . Dal teo rema della bise ttrice risu lta

: :

AL AC LB BC , quindi AL LB : LB BC : e, applicando la proprietà del comporre, si ha

 ^{AL  LB  : LB  LB  BC  : BC , da cui 1: AC  AC  1 :1  .}

Si conclude che AC soddisfa l’equazione AC ²  AC  , 1 0 che ha come unica so luzione accettabile 5 1

AC 2 

, c.v.d.

A B

K C H

2a a

PROBLEMA 2

C

A B

1. Posto CH = x, con 0<x<r, si ha AH r ²  x ² .

L’area del triangolo è pertanto 1 ^{2 2}

( ) ( )

A x 2 AB DH r  x r  x . Per determinare il massimo di tale funzione calcoliamo

2 2

2 2

2 2 2 2

1 2

'( ) ( 2 )( )

2

x rx r

A x x r x r x

r x r x

  

   

  ^C

A B

D

H r

r

x

Posto A’(x ) = 0 si ottengono due soluzioni x= -r e x = r/2; dallo studio del segno di A’(x) si ricava che si ha un massimo in x = r/2 che

corrisponde al triangolo equilatero.

2. Con riferimento alla figura a fianco, l’area del poligono di n lati

inscritto in una circonferenza di raggio r può essere ottenuta come somma delle aree degli n triangoli isosceli congruenti ad , che ha lato r, base AB e angolo al vertice C di ampiezza

ABC 2

n

S . Quindi

2

2

1 2 1

2 2

1 2

2

ABC

n ABC

A AC CB sen r sen

n n

S nA nr sen

n

S 2 S

S

˜ ˜ ²

n S

c.v.d.

Analogamente si può dire che l’area del poligono di n lati

circoscritto ad una circonferenza può essere ottenuta come somma delle aree degli n triangoli uguali avente per base il lato DE e come altezza il segmento CK. L’angolo ECK , metà dell’angolo al vertice C di ciascuno di questi triangoli, misura

n

S , quindi

2

2 cos

2 2 , , 1 ,

2 1

2

CDE

poligonocir critto CDE

DE EK r tg CK r A DE CK r tg

n n

A nA nr tg

n

S S

S

C

D

E K

n S

3. ^{2 2 2}

2 2

1 2

lim lim lim lim

2 2

n 2

n n n n

sen sen

n n

S nr sen r r

n

n n

r 2

S S

S S S

S

of of of of

4. Il problema consiste nel determinare un quadrato equivalente ad un cerchio di raggio dato. Benché il problema ammetta una soluzione in campo reale (il lato del quadrato equivalente ad un cerchio di raggio r misura infatti l S r ), tale lato non è costruibile con riga e compasso. Per questo il problema della quadratura del cerchio non è risolubile con riga e compasso, come si può vedere in un testo approfondito di geometria.

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QUESTIONARIO

1. L’area di un generico triangolo equilatero di lato _" è ^{3 2}

A 4 " . Se il lato misura 2 x , allora l’area di ogni sezione triangolare è 3x , quindi il volume del solido si ottiene dall’integrale seguente

1 1

2

0 0

3

S ³ x dx ₂ ³ x ₂ ^{3 .} Il quesito è piuttosto impegnativo...

2. Detti D,E,J gli angoli del triangolo, applicando il teorema del coseno (Carnot) risulta:

2 2 2

40 60  80  2 60 80 cos D da cui cos 7 , (28, 95) 28 57 '

D 8 D q q .

Analogamente

cos 11 , (46, 57) 46 34 '

E 16 E q B A

C

40 60

80 E D

g J

q e cos 1 , (104, 48) 104 29 '

J  4 J q q .

3. Si tratta di determinare il numero di intersezioni della cubica di equazione y x ³  x ² con il fascio di rette orizzontali di equazione y = k-1. Dallo studio del segno della derivata prima risulta che la cubica, il cui è grafico è rappresentato nella figura a fianco, possiede un massimo e un minimo relativo nei punti M(0; 0) e N (2/3; -4/27).

Pertanto, se k-1 >0 cioè k>1, oppure k-1< ⁴

 27 , cioè k< ²³

27 l’equazione avrà una sola soluzione; se k =1 oppure k = ²³

27 , l’equazione avrà tre soluzioni di cui due coincidenti; se ²³ 27 <k<1 l’equazione avrà tre soluzioni distinte.

4. Detta x l’altezza del cono (0<x<1), il raggio di base è 1 x  ² , quindi il volume del cono, in funzione di x , è   ^{1 (1 2 )}

V x 3 S x  x , la cui derivata è ^{'   1 (1 3 2}

V x 3 S  x ) . Il cono di

volume massimo si ottiene per 1

x 3 e il volume massimo è

3 3 3

1 2 1

0, 403 m 0, 403 10 dm 403 litri

3 3 3 3

V ^{§ ·} S

¨ ¸ ˜

¨ ¸

© ¹

5. La funzione è definita, continua e derivabile su tutto l’asse reale, in particolare è continua

sull’intervallo [-2, 2] e derivabile sull’intervallo (-2, 2). I valori x compresi tra -2 e 2 c

6. Dopo l’aumento del 6% il prezzo p diventa ^{6 106}

100 100

p  p p ; dopo la diminuzione del 6%

il prezzo finale risulta ^{106 6 106 106 94} 1 ³⁶ 100 100 100 p 10000 ˜ p 10000

§ · §

 ˜ 

¨ ¸ ¨

© ¹ © · p

¸ ¹ . Allo stesso prezzo finale si giunge invertendo le variazioni. Complessivamente il prezzo risulta diminuito dello 0,36%, cioè è il 99,64% del prezzo iniziale.

7. L’integrale di una funzione dispari definito su un intervallo simmetrico rispetto all’origine vale 0, come si può intuire dal significato geometrico dell’integrale definito. Quindi, si ha

2 2 2

2 2

2 _ 2 2

(3 f x dx ( )) 3 dx f x dx ( ) 3 x _ 0 12

 

  

³ ³ ³ ^.

8. L’equazione è definita per 4 . 2 3 5

n n

n

­ t

® Ÿ t

¯  t

2

! (

4 15

4!( 4)!| 3!( 5)!

( 1)( 2)! 15( 2)

( 4)! ( 5)!

( 1) 15( 4)

16 60 0

n n

n n

n n n n

n n

n n n

n n

2)!

!



 

  

 

 

 

da cui le soluzioni dell’equazione data sono n 10, n 6 entrambe accettabili.

9. L’integrale si risolve ponendo x sin t , da cui dx cos t dt . Si ottiene, quindi,

 

2 2

2

1 cos 2 1 1 1 1

1 cos sin 2 sin cos

2 2 4 2 2

1 arcsin 1

2

x dx t dt t dt t t c t t t c

x x x c

     

  

³ ³ ³

Inoltre,  

1

2

0

1 1

1 arcsin1

2 2 2

I x dx

4

S S

 ˜

³ , in accordo col significato geometrico

dell’integrale, che è l’area della parte di cerchio di centro l’origine e raggio unitario racchiusa nel primo quadrante (cioè un quarto).

10. I meridiani sono le circonferenze che si ottengono intersecando la superficie sferica con i piani contenenti la retta r; tali circonferenze hanno tutte raggio pari al raggio della sfera. I paralleli sono le circonferenze che si ottengono intersecando la superficie sferica con piani ortogonali alla retta r che distano meno di r dal centro della sfera; i raggi dei paralleli

misurano R ²  d ² con R raggio di S e d distanza del piano dal centro O di S. La latitudine di un punto P è l’angolo che il raggio OP forma con il piano ortogonale a r e passante per O (piano equatoriale). La longitudine di un punto P è l’angolo che il piano per P contenente l’asse r forma con un piano per r di riferimento (meridiano di Greenwich).

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COMMENTO ALLA PROVA:

A giudizio di molti insegnanti, il compito era piuttosto impegnativo.

Il primo problema, sovrabbondante di calcoli, poteva mettere in seria difficoltà anche u no studente preparato, il secondo problema, decisamente più fattibile, richiedeva comunque buona padronanza geometrica e trigonometrica. I quesiti erano quasi tutti affrontabili da un o studente rigoroso: il primo e l’ultimo non erano molto intuibili e riguardavano

argomenti che di norma non si riescono a trattare in modo esauriente.

Questa prova sembra sottolineare l'importanza di una preparazione organica e non

limitata agli argomenti "classici" dell'ultimo anno di corso.