La produzione cumulativa è data dalla somma di tutti i rettangoli in cui è suddiviso il grafico di produzione annua.

Il petrolio

La figura 1 rappresenta un modello grafico della produzione annua nazionale del petrolio, a confronto con la curva della produzione cumulativa. I parametri in gioco nel modello sono tre:

➢ il tempo necessario per portare la produzione al livello desiderato

➢ la durata del periodo in cui è possibile mantenere il livello raggiunto (plateau)

➢ il tasso di declino della produzione alla fine del plateau .

Figura 1: In rosso la fase di salita, in viola la fase di plateau e in giallo il declino. La curva nera è la produzione cumulativa il cui valore si legge nella scala di destra e che è ovviamente la somma delle produzioni annuali.

I valori scelti per i tre parametri descritti nel testo sono, nel caso di questa figura, 5 anni per la salita, 10 anni per la durata del plateau seguito da un declino al tasso di 5% annuo.

a. Spiega come si può costruire la curva di produzione cumulativa , calcola il valore complessivo, fino al 2100, e confrontalo con il valore che si legge in figura

b. Valuta, secondo il modello considerato, fino a che anno la produzione può essere economicamente sostenibile tenendo conto che le riserve di petrolio, secondo i dati ufficiali, ammontano attualmente a 177,90 Mt.ufficiali

c. Approssima la curva di produzione annua con il grafico di una funzione P(t) continua definita “a tratti”, tenendo conto del fatto che nel primo intervallo si può pensare a una crescita lineare, nel secondo la funzione è costante, nel terzo il tasso di variazione percentuale è costante.

In un opportuno riferimento cartesiano scrivi l’espressione analitica e traccia il grafico sia della funzione P(t) , sia della funzione F(t) che rappresenta la produzione cumulativa d. Stabilisci, motivando la risposta, se P(t) è derivabile nell’intervallo considerato e traccia il

grafico di P’(t) indicandone il significato fisico

Soluzione

a. Modello discreto

La produzione cumulativa è data dalla somma di tutti i rettangoli in cui è suddiviso il grafico di produzione annua.

Poichè il tempo è misurato in anni e la produzione annua in Mt/anni, il risultato corrisponde alla produzione cumulativa in Mt

Primo intervallo

Progressione aritmetica di ragione 6/5 e primo termine uguale a 6 𝑎_𝑛= 6 + ( 𝑛 − 1)6

5

𝑆₅= 56 + 6 + ( 5 − 1)6 5

2 = 42

Secondo intervallo

Area di un rettangolo di base 19 e altezza 12 = 120

La produzione cumulativa corrispondente alle prime due fasi è quindi pari a 162 Mt, inferiore al valore delle riserve disponibili, pari a 177,90 Mt.

Terzo intervallo

Progressione geometrica di ragione 0,95 e primo termine uguale a 12 𝑎_𝑛= 12 ∙ 0,95^𝑛−1

𝑆₇₀= 121 − 0,95⁷⁰

1 − 0,95 ≅ 233,38 Produzione totale

(42 + 120 + 233,38)𝑀𝑡 ≅ 395,38 𝑀𝑡 il grafico della produzione cumulativa elaborato con Excel

b. la fase di declino dovrebbe arrestarsi nel momento in cui il valore della produzione cumulativa è uguale al valore delle riserve disponibili

Imponiamo che 162 + 12^{1−0,95𝑛−1}

1−0,95 = 177,90 → 0,95^𝑡=0,93375 dove t è una variabile continua Essendo 𝑡 =^{ln 0,93375}

ln 0,95 ≅ 1,34 sarà n=2, cioè la fase di declino durerebbe circa 2 anni e le riserve si esaurirebbero tra il 2030 e il 2031.

Modello continuo

Consideriamo un riferimento cartesiano in cui sull’asse delle ascisse l’origine corrisponde all’anno 2015 e l’unità di misura corrisponde a un anno

𝑃(𝑡) = {

6 +6

5𝑡 0 ≤ 𝑡 < 5

12 5 ≤ 𝑡 < 15

12 ∙ 𝑒ln(0,95)(𝑡−15) 15 ≤ 𝑡 ≤ 85

Funzione integrale

𝑭(𝑡) =

{

∫ (6 +6 5𝑡)

𝑡 0

𝑑𝑡 0 ≤ 𝑡 < 5

∫ (6 +6 5𝑡)

5 0

𝑑𝑡 + ∫ 12

𝑡 5

𝑑𝑡 5 ≤ 𝑡 < 15

∫ (6 +6 5𝑡)

5 0

𝑑𝑡 + ∫ 12

15 5

𝑑𝑡 + ∫ 12 ∙ 𝑒^{𝑙𝑛(0,95)}(𝑡 − 15)

𝑡 15

𝑡 > 15

→

{

6𝑡 +³

5𝑡² 0 ≤ 𝑡 < 5 45 + 12(𝑡 − 5) 5 ≤ 𝑡 < 15 398,95 +_ln(0,95)¹² 𝑒𝑙𝑛(0,95)(𝑡−5) 𝑡 > 15

P(t) è continua ma non derivabile nei punti di raccordo , in cui solo una delle due derivate , destra o sinistra è nulla,

𝑃^′(𝑡) = {

6

5 0 ≤ 𝑡 < 5

0 5 ≤ 𝑡 < 15

12

ln (0,95)∙ 𝑒ln(0,95)(𝑡−15) 𝑡 > 15

Significato fisico: velocità di crescita della produzione annnua , positiva nella prima fase, nulla nella seconda, negativa nella terza.

e. Se la produzione annua dura un tempo infinto, la produzione cumulativa tende a lim

𝑡→+∞398,95 +

12

ln(0,95)𝑒𝑙𝑛(0,95)(𝑡−5)= 398,95 Mt ( asintoto orizzontale del grafico di F(t)