UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTA' DI INGEGNERIA
PROGRAMMA DI MATEMATICA B - A.A. 2001/2002 CORSO DI LAUREA IN
INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO Prof. D.Averna
Conoscenze prerequisite: Insegnamenti di Matematica A e Matematica C.
Obiettivi del corso: Obiettivi del corso sono quelli di fornire alcuni strumenti del calcolo infinitesimale per funzioni scalari o vettoriali di due o più variabili reali e di introdurre allo studio delle equazioni differenziali. Allo studente sarà richiesta capacità nello studio di: insiemi di definizione, limiti, continuità, differenziabilità, semplici problemi di ottimizzazione libera e vincolata, calcolo integrale multiplo, curvilineo e di superficie, forme differenziali lineari piane, semplici equazioni differenziali.
SPAZI EUCLIDEI
Lo spazio euclideo Rn. Prodotto interno in Rn. Norma e distanza euclidea. Intorni. Insiemi aperti.
Insiemi chiusi. Insiemi limitati. Funzioni tra spazi euclidei. Campi scalari e campi vettoriali. Limiti.
Continuità.
FUNZIONI VETTORIALI DI VARIABILE REALE. CURVE REGOLARI
Derivate delle funzioni vettoriali di una variabile reale. Integrazione delle funzioni vettoriali di una variabile reale.
Curve in R2 e in R3. Curve semplici. Curve orientate. Curve regolari. Rappresentazione integrale della lunghezza di un arco di curva regolare data in rappresentazione parametrica (enunciato), polare o ordinaria. Tangente.
Archi regolari a tratti. Insiemi connessi per archi. Domini regolari del piano. Convenzione sull'orientamento di una curva chiusa regolare del piano.
FUNZIONI REALI DI DUE E PIU' VARIABILI REALI
Calcolo di limiti di funzioni di due variabili reali. Uso delle coordinate polari. Derivate parziali e direzionali per le funzioni reali di due variabili reali. Differenziabilità delle funzioni reali di due variabili reali. Differenziale. Significato geometrico della differenziabilità: piano tangente. Vettore Nabla. Gradiente. Esistenza e rappresentazione delle derivate direzionali delle funzioni
differenziabili. Condizione sufficiente per la differenziabilità (enunciato). Derivabilità delle funzioni composte. Derivate parziali di ordine superiore per le funzioni di due variabili. Teorema di Schwarz (enunciato).
Estensione del calcolo differenziale alle funzioni reali di più variabili reali. Estensione del calcolo differenziale alle funzioni vettoriali di più variabili reali. Matrice Jacobiana e differenziabilità.
Divergenza di un campo vettoriale del piano e dello spazio. Rotore di un campo vettoriale del piano e dello spazio.
Massimi e minimi liberi delle funzioni reali di più variabili reali. Determinante Hessiano. Massimi e minimi vincolati (vincoli d'uguaglianza): metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
INTEGRALI MULTIPLI
Partizioni di un intervallo pluridimensionale. Integrali inferiore e superiore di una funzione limitata in un intervallo pluridimensionale. Integrale secondo Riemann in un intervallo pluridimensionale e sue proprietà di linearità, monotonia, additività (enunciati). Integrabilità delle funzioni composte (enunciato). Relazione tra integrabilità di f e integrabilità di f , integrabilità del prodotto.
Insiemi di misura nulla secondo Lebesgue e criterio di integrabilità di Lebesgue (enunciato).
Formule di riduzione per gli integrali multipli.
Cenni sulla misura di Peano-Jordan di un sottoinsieme limitato di Rn. Integrale secondo Riemann in insiemi pluridimensionali limitati e misurabili secondo Peano-Jordan e sue proprietà.
Rappresentazione integrale della misura di un insieme limitato misurabile secondo Peano-Jordan.
Insiemi normali e formule di riduzione per gli integrali multipli in insiemi normali. Uso delle coordinate polari nel calcolo degli integrali doppi. Uso delle coordinate cilindriche e delle coordinate sferiche nel calcolo degli integrali tripli.
Volume di un solido di rotazione. Teorema di Guldino per i volumi.
INTEGRALI CURVILINEI. FORME DIFFERENZIALI LINEARI
Integrali curvilinei estesi ad una curva. Integrali curvilinei al differenziale delle coordinate.
Forme differenziali lineari in R2. Forme differenziali lineari esatte. Forme differenziali lineari esatte in aperti connessi per archi. Forme differenziali lineari chiuse. Formule di Green nel piano.
Applicazioni delle formule di Green nel piano: teorema del rotore; teorema della divergenza; area di un dominio piano regolare; integrazione per parti per gli integrali doppi. Regioni semplicemente connesse. Forme differenziali lineari chiuse in regioni piane semplicemente connesse.
INTEGRALI DI SUPERFICIE
Superfici regolari. Area di una superficie regolare. Definizione di integrale di superficie. Cenni sui teoremi della divergenza e del rotore.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazioni differenziali ordinarie. Soluzione di un'equazione differenziale.
Problema di Cauchy per l'equazione y f( yx, ). Teorema di esistenza ed unicità in grande in I
R. Teorema di esistenza ed unicità in piccolo.
Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del 1° ordine. Cenni sulle equazioni di Bernoulli.
Equazioni differenziali lineari. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di una equazione differenziale lineare omogenea. Rappresentazione dell'insieme delle soluzioni di una equazione differenziale lineare. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Abbassamento dell'ordine di una equazione differenziale lineare della quale si conosca un integrale particolare non nullo.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti omogenea. Metodo di somiglianza per la determinazione di un integrale particolare di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa.
Bibliografia:
G.GILARDI, Analisi matematica di base, McGraw-Hill (2001).
M.BRAMANTI, C.D.PAGANI, S.SALSA, Matematica (Calcolo infinitesimale e algebra lineare), Zanichelli (2000).
P. MARCELLINI, C.SBORDONE, Esercitazioni di matematica, 2° volume, parti prima e seconda, Liguori (1995).
V.E.BONONCINI, Esercizi di analisi matematica, volume secondo, Cedam (1974).
Ulteriore materiale didattico è disponibile presso il sito internet: http://pc1amov.math.unipa.it
Commissione: Prof. D.Averna (presidente), Prof. N.Giovannelli, Prof. G.La Spina
