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Problemi assegnati durante la I

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Academic year: 2021

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(1)

Problemi assegnati durante la I a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica

Problema 1

1) Utilizzando la seguente “identit`a di Jacobi”:

[F

a

, {F

b

, F

c

}] + [F

b

, {F

c

, F

a

}] + [F

c

, {F

a

, F

b

}] = 0 ,

e la seguente relazione per i generatori F

a(f )

nella rappresentazione fonda- mentale di SU (N ):

{F

a(f )

, F

b(f )

} = 1

N δ

ab

1 + d

abc

F

c(f )

, si dimostri che vale la seguente identit`a:

f

aed

d

bce

+ f

bed

d

cae

+ f

ced

d

abe

= 0 .

2) Si utilizzi questa identit`a per dimostrare che, in ogni rappresentazione, vale la seguente regola di commutazione:

[D

a

, F

b

] = if

abc

D

c

, con : D

a

≡ 2

3 d

abc

F

b

F

c

.

3) Si dimostri, infine, che G

(3)

≡ F

a

D

a

=

23

d

abc

F

a

F

b

F

c

`e un “operatore di Casimir (cubico)” per il gruppo SU (N ). (Si osservi che tale operatore `e identicamente nullo nel caso di SU (2), in cui d

SUabc(2)

= 0.)

Problema 2

Si dimostri che tutti i componenti di un dato multipletto adronico di U – spin hanno la stessa carica elettrica.

(Suggerimento. Si ricordi che l’operatore di carica elettrica, in unit`a di

|e|, `e Q = T

3

+

Y2

, . . .)

(2)

Problema 3

Si calcoli, su una data rappresentazione irriducibile (p, q) di SU (3), con dimensione d(p, q) =

12

(p + 1)(q + 1)(p + q + 2), il valore dell’“operatore di Casimir (quadratico)”

F

(2)

8

X

a=1

F

a2

, dimostrando che vale:

F

(p,q)(2)

= C

F(p,q)

1

d(p,q)×d(p,q)

, con : C

F(p,q)

= 1

3 (p

2

+ pq + q

2

) + (p + q).

(Suggerimento. Si consideri lo stato |ψ

max

i con “peso massimo” t

3

= t

max3

=

12

(p + q), nel “diagramma peso” della rappresentazione irriducibile (p, q) considerata. Per esso valgono le seguenti relazioni:

T

+

max

i = V

+

max

i = U

max

i = 0 ; T

3

max

i = t

max3

max

i = 1

2 (p + q)|ψ

max

i ; U

3

max

i = 

− q 2

 |ψ

max

i ; V

3

max

i = p

2 |ψ

max

i ; Y |ψ

max

i = 1

3 (p − q)|ψ

max

i .

Scrivendo F

(2)

nella forma F

(2)

=

12

{T

+

, T

} +

12

{U

+

, U

} +

12

{V

+

, V

} + T

32

+

34

Y

2

, si verifichi, con l’aiuto di queste relazioni e usando l’algebra di SU (3) per i generatori T

±

, U

±

, V

±

, T

3

, Y , che F

(2)

max

i = C

F(p,q)

max

i, essendo C

F(p,q)

il numero sopra riportato.)

Problema 4

1) Per una data rappresentazione irriducibile “r” di SU (N ) vale la re- lazione seguente:

Tr[F

a(r)

F

b(r)

] = δ

ab

T

R(r)

,

dove la costante reale positiva T

R(r)

viene chiamata “indice di Dynkin” della

rappresentazione (irriducibile) r.

(3)

Si dimostri che, per SU (N ):

T

R(r)

= 1

N

2

− 1 d(r) C

F(r)

,

essendo d(r) la dimensione della rappresentazione e C

F(r)

il valore dell’

“operatore di Casimir (quadratico)”, F

(r)(2)

= C

F(r)

1

d(r)×d(r)

.

In particolare, per SU (3) si ha che (noto il valore di C

F(r)

dal risultato del problema precedente):

T

R(p,q)

= 1

8 d (p, q) C

F(p,q)

= 1

16 (p + 1)(q + 1)(p + q + 2)  1

3 (p

2

+ pq + q

2

) + (p + q)

 . Si osservi che, per la rappresentazione fondamentale: T

R(f )

= T

R(1,0)

=

12

; mentre, per la rappresentazione aggiunta: T

R(agg)

= T

R(1,1)

= 3.

In generale, per SU (N ), si trova che, per la rappresentazione fondamentale [d(f ) = N ]: T

R(f )

=

12

, C

F(f )

=

N2N2−1

; mentre, per la rappresentazione aggiunta [d(agg) = N

2

− 1]: T

R(agg)

= C

F(agg)

= N .

2) Per dimostrare quest’ultima affermazione, si verifichi innanzitutto che vale la seguente “relazione di completezza” per i generatori F

a(f )

del gruppo SU (N ) nella rappresentazione fondamentale:

N2−1

X

a=1

(F

a(f )

)

ij

(F

a(f )

)

kl

= 1 2



δ

il

δ

jk

− 1 N δ

ij

δ

kl

 .

(Suggerimento. Si usi il fatto che l’identit`a 1

N×N

e le matrici F

a(f )

for- mano la base per la pi` u generale matrice hermitiana H

N×N

: H = c

0

1 + P

N2−1

a=1

c

a

F

a(f )

, con c

0

, c

a

numeri reali. Da cui, esprimendo c

0

e c

a

usando la “condizione di normalizzazione” Tr[F

a(f )

F

b(f )

] =

12

δ

ab

e TrF

a(f )

= 0 . . .) Si verifichi che, da questa identit`a, segue immediatamente che:

N2−1

X

a=1

(F

a(f )

F

a(f )

)

ij

= N

2

− 1 2N δ

ij

,

N2−1

X

a=1

(F

a(f )

F

b(f )

F

a(f )

)

ij

= − 1

2N (F

b(f )

)

ij

.

(4)

(Dalla prima di queste relazioni si ricava nuovamente che: C

F(f )

=

N2N2−1

.) Infine, si utilizzino queste due relazioni, assieme alle relazioni di commu- tazione dell’algebra di SU (N ), [F

a(f )

, F

b(f )

] = if

abc

F

c(f )

, e alla “condizione di normalizzazione”, Tr[F

a(f )

F

b(f )

] =

12

δ

ab

, per dimostrare che:

f

acd

f

bcd

= N δ

ab

,

e si verifichi che questo implica (come si `e detto sopra) che: T

R(agg)

=

C

F(agg)

= N .

(5)

Problemi assegnati durante la II a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica

Problema 1

Si verifichi, sia utilizzando il “metodo grafico”, che fa uso dei “diagrammi peso” (t

3

, y), sia utilizzando il “metodo tensoriale”, la seguente relazione per le rappresentazioni irriducibili di SU (3): 3 ⊗ 6 = 8 ⊕ 10.

(Da questa relazione e dalle altre relazioni: 3 ⊗ 3 = 3

⊕ 6 e 3 ⊗ 3

= 1 ⊕ 8, segue immediatamente che: 3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10.)

Problema 2

Si dimostri che uno stato adronico del tipo “qqq” non pu`o essere un “sin- goletto di colore” ed `e quindi vietato dal cosiddetto “postulato del confina- mento”.

Problema 3

Si calcoli, per il processo di annichilazione e

+ e

+

→ q + q, essendo “q”

un quark di un dato “sapore” e di un dato “colore”, di carica elettrica Q |e| e massa m, la sezione d’urto differenziale

d

nel sistema del centro di massa e la sezione d’urto totale σ, mediando sulle polarizzazioni iniziali e sommando sulle polarizzazioni finali, all’ordine pi` u basso nell’interazione elettromagnetica.

Si verifichi che, nel limite di alte energie s = E

c2

≫ m

2

, m

2e

: dσ

dΩ ≃ Q

2

α

2

4s (1 + cos

2

θ) , σ ≃ Q

2

4πα

2

3s ,

essendo θ l’angolo tra l’impulso del quark prodotto e l’impulso dell’elettrone incidente (“angolo di diffusione”) nel sistema del centro di massa.

Problema 4

Si ripeta il calcolo del problema precedente, assumendo che il quark q e

l’antiquark q abbiano spin 0, anzich`e spin 1/2.

(6)

Si dimostri che in tal caso, nel limite di alte energie s = E

c2

≫ m

2

, m

2e

,

la sezione d’urto differenziale

d

nel sistema del centro di massa (mediata

sulle polarizzazioni iniziali) `e proporzionale a 1 − cos

2

θ = sin

2

θ.

(7)

Problemi assegnati durante la III a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica

Problema 1

Si consideri una trasformazione di gauge infinitesima U = e

≃ 1 + iθ, con θ ≡ θ

b

T

b

, e si dimostri che, al prim’ordine in θ:

δψ ≡ ψ

− ψ ≃ iθψ ;

δA

µ

≡ A

µ

− A

µ

≃ i[θ, A

µ

] − 1 g ∂

µ

θ ; δF

µν

≡ F

µν

− F

µν

≃ i[θ, F

µν

] .

In termini di componenti dei campi, queste relazioni assumono la forma seguente:

δψ

i

≡ ψ

i

− ψ

i

≃ iθ

a

(T

a

)

ij

ψ

j

; δA

aµ

≡ A

′aµ

− A

aµ

≃ −f

abc

θ

b

A

cµ

− 1

g ∂

µ

θ

a

= iθ

b

(T

(agg)b

)

ac

A

cµ

− 1

g ∂

µ

θ

a

; δF

µνa

≡ F

µν′a

− F

µνa

≃ −f

abc

θ

b

F

µνc

= iθ

b

(T

(agg)b

)

ac

F

µνc

.

Utilizzando quest’ultima relazione, si verifichi che la quantit`a F

µνa

F

aµν

`e invariante di gauge.

Problema 2

Si consideri il trasporto parallelo attorno a un parallelogramma infinitesimo formato dai vettori dx e dy, x → x + dx → x + dx + dy → x + dy → x.

Indicando con C

x←x

tale percorso chiuso infinitesimo e con W (C

x←x

) il corrispondente trasporto parallelo, si ha che:

W (C

x←x

) = W (C

x←x+dy

)W (C

x+dy←x+dx+dy

)W (C

x+dx+dy←x+dx

)W (C

x+dx←x

)

= W (C

x+dy←x

)

−1

W (C

x+dx+dy←x+dy

)

−1

W (C

x+dx+dy←x+dx

)W (C

x+dx←x

) . Ricordando che, per un trasporto parallelo infinitesimo,

W (C

x+dx←x

) ≃ exp[−igA

µ

(x)dx

µ

] , e utilizzando la “formula di Campbell–Baker–Haussdorf”:

e

λA

e

λB

= e

λ(A+B)+λ22 [A,B]+O(λ3)

,

(8)

si dimostri che:

W (C

x←x

) ≃ exp[−igF

µν

(x)dx

µ

dy

ν

] ,

dove F

µν

≡ ∂

µ

A

ν

− ∂

ν

A

µ

+ ig[A

µ

, A

ν

] `e il tensore dell’intensit`a di campo.

Problema 3

Si verifichi che le “equazioni di Eulero–Lagrange” (equazioni del moto) per la Lagrangiana della “Cromo–Dinamica Quantistica” (QCD), i.e.,

L = − 1

4 F

µνa

F

aµν

+

Nf

X

f=1

ψ

f

(iγ

µ

D

µ

− m

f

f

(H. Fritzsch, M. Gell-Mann, H. Leutwyler, Phys. Lett. 47B (1973) 365), hanno la seguente forma:

(iγ

µ

D

µ

− m

f

f

= 0 ; (1)

(D

µ(agg)

F

µν

)

a

= gJ

aν

, (2)

dove con

J

aν

Nf

X

f=1

ψ

f

γ

ν

T

a

ψ

f

abbiamo indicato le cosiddette “correnti di colore”, mentre con il simbolo D

(agg)µ

abbiamo indicato la derivata covariante nella rappresentazione ag- giunta, ovvero (D

µ(agg)

F

µν

)

a

≡ (D

µ(agg)

)

ac

F

cµν

, dove:

(D

(agg)µ

)

ac

≡ ∂

µ

δ

ac

+ igA

bµ

(T

(agg)b

)

ac

= ∂

µ

δ

ac

− gf

abc

A

bµ

.

Si verifichi anche che, definendo J

ν

≡ J

aν

T

a

e D

(agg)µ

F

µν

≡ (D

(agg)µ

F

µν

)

a

T

a

, la (2) pu`o essere riscritta nella forma seguente:

D

(agg)µ

F

µν

= ∂

µ

F

µν

+ ig[A

µ

, F

µν

] = [D

µ

, F

µν

] = gJ

ν

,

dove con D

µ

≡ ∂

µ

+ igA

µ

(A

µ

≡ A

aµ

T

a

) si continua a indicare la derivata

covariante nella rappresentazione fondamentale.

(9)

Problema 4

Facendo uso della seguente “identit`a di Jacobi”:

[D

ν

, [D

ρ

, D

σ

]] + [D

ρ

, [D

σ

, D

ν

]] + [D

σ

, [D

ν

, D

ρ

]] = 0 , e ricordando che [D

µ

, D

ν

] ≡ igF

µν

, si dimostri che:

ε

µνρσ

[D

ν

, F

ρσ

] = 0 .

Ovvero, con la notazione introdotta nel problema precedente:

ε

µνρσ

(D

ν(agg)

F

ρσ

)

a

= 0 .

Questa equazione `e detta “identit`a di Bianchi” di una teoria di gauge non

Abeliana ed `e l’analogo delle equazioni di Maxwell omogenee in Elettrodi-

namica.

(10)

Problemi assegnati durante la IV a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica

Problema 1

Si consideri il seguente integrale multiplo Gaussiano:

I ≡

Z

+∞

−∞

[dα]e

−Q(α)

[dα] ≡ Y

r

r

! ,

dove Q(α) `e una forma quadratica:

Q(α) = 1

2 α

t

Aα + B

t

α + C

= 1 2

X

r,s

α

r

A

rs

α

s

+ X

r

B

r

α

r

+ C ,

con A matrice reale, simmetrica e non singolare (i.e., invertibile).

1) Eseguendo una traslazione delle variabili di integrazione, α = ˜ α −A

−1

B, si dimostri che:

Q(α) = 1

2 α ˜

t

A α ˜ − 1

2 B

t

A

−1

B + C . Per cui, se la matrice A `e definita positiva, si trova che:

I = e

(12BtA−1B−C)

Z

+∞

−∞

[d ˜ α]e

21α˜tAα˜

= e

(12BtA−1B−C)

1 q

det

A

 .

2) Si dimostri che questo risultato pu`o essere riscritto nella forma:

I = 1

q

det

A



e

−Q(α)

,

dove α(= −A

−1

B ) `e il punto stazionario della funzione quadratica Q(α),

i.e.,

∂Q(α)∂αa

|

α=α

= 0.

(11)

Problema 2

Si dimostri, utilizzando il metodo degli integrali funzionali, che la funzione di Green bosonica a quattro punti

G

4

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ≡ hΩ|T [ ˆ φ(x

1

) ˆ φ(x

2

) ˆ φ(x

3

) ˆ φ(x

4

)]|Ωi ,

per la teoria di un campo scalare neutro libero di massa m, descritto dalla (densit`a di) Lagrangiana

L

0

= 1

2 ∂

µ

φ∂

µ

φ − 1

2 m

2

φ

2

,

`e data dalla seguente espressione (in accordo con il teorema di Wick per il caso bosonico):

G

4

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) = G

2

(x

1

, x

2

)G

2

(x

3

, x

4

) + G

2

(x

1

, x

3

)G

2

(x

2

, x

4

) + G

2

(x

1

, x

4

)G

2

(x

2

, x

3

) , essendo

G

2

(x, y) ≡ hΩ|T [ ˆ φ(x) ˆ φ(y)]|Ωi =

Z d

4

k (2π)

4

i

k

2

− m

2

+ iε e

−ik·(x−y)

la funzione di Green a due punti (ovvero il “propagatore” bosonico).

Problema 3

Si dimostri, utilizzando il metodo degli integrali funzionali, che la funzione di Green fermionica a quattro punti

G

F4

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

ijkl

≡ hΩ|T [ ˆ ψ

i

(x

1

) ˆ ψ

j

(x

2

)ˆ ψ

k

(x

3

)ˆ ψ

l

(x

4

)]|Ωi ,

per la teoria di un campo fermionico libero di massa m, descritto dalla (densit`a di) Lagrangiana

L

F0

= ψ(iγ

µ

µ

− m)ψ ,

(12)

`e data dalla seguente espressione (in accordo con il teorema di Wick per il caso fermionico):

G

F4

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

ijkl

= G

F2

(x

1

, x

4

)

il

G

F2

(x

2

, x

3

)

jk

− G

F2

(x

1

, x

3

)

ik

G

F2

(x

2

, x

4

)

jl

, essendo

G

F2

(x, y)

ij

≡ hΩ|T [ ˆ ψ

i

(x)ˆ ψ

j

(y)]|Ωi =

Z d

4

k (2π)

4

i(γ

µ

k

µ

+ m)

ij

k

2

− m

2

+ iε e

−ik·(x−y)

la funzione di Green a due punti (ovvero il “propagatore” fermionico).

Problema 4

Si calcoli la “matrice di Faddeev–Popov”,

(M

G

(x, y))

ab

≡ δ (G

µ

A

(U )aµ

(x)) δθ

b

(y) |

θ=0

,

dove A

(U )µ

≡ U A

µ

U

−1

+

gi

(∂

µ

U )U

−1

, con U = e

aTa

, per le seguenti scelte del termine di “gauge fixing” G

µ

A

µ

, verificandone i corrispondenti risultati:

1) G

µ

= (0, −∇) (“gauge di Coulomb”):

(M

G

(x, y))

ab

= − 1

g (−δ

ab

2

+ gf

abc

∇ · A

c

(4)

(x − y) ; 2) G

µ

= ∂

µ

(“gauge di Lorenz”, detta anche “gauge covariante”):

(M

G

(x, y))

ab

= − 1

g (δ

ab

 + gf

abc

µ

A

cµ

(4)

(x − y) ;

3) G

µ

= n

µ

, con n

µ

quadrivettore costante di tipo spazio, i.e., n

2

≡ n

µ

n

µ

<

0 (“gauge assiale”):

(M

G

(x, y))

ab

= − 1

g (δ

ab

n · ∂ + gf

abc

n · A

c

(4)

(x − y) ; 4) G

µ

= (1, 0, 0, 0) (“gauge temporale”):

(M

G

(x, y))

ab

= − 1

g (δ

ab

0

+ gf

abc

A

c0

(4)

(x − y) .

(13)

Problemi assegnati durante la V a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica

Problema 1

Si consideri l’“ansatz” di Faddeev–Popov per la Lagrangiana della QCD (nelle cosiddette “α–gauge covarianti di Lorenz”):

L

(F P )QCD

= L

G

+ L

F

+ L

GF

+ L

F P

, (1) dove : L

G

= − 1

4 F

µνa

F

aµν

, L

F

=

Nf

X

f=1

ψ

f

(iγ

µ

D

µ

− m

f

f

, L

GF

= − 1

2α (∂

µ

A

aµ

)

2

, L

F P

= c

a

(−∂

µ

)(D

(agg)µ

c)

a

.

Ovviamente tale Lagrangiana (a differenza di L

G

ed L

F

) non `e invariante sotto le usuali trasformazioni di gauge locali per i campi ψ

f

e A

µ

.

Si verifichi, tuttavia, che esiste una simmetria anche per la teoria con

“gauge fixing”, descritta dalla Lagrangiana (1), che coinvolge anche i campi dei “ghost” ed ha la forma seguente:

δA

aµ

= −ε(D

(agg)µ

c)

a

, δψ

f

= ig(εc

a

)T

a

ψ

f

, δψ

f

= −igψ

f

T

a

(εc

a

) ,

δc

a

= − 1

2 εgf

abc

c

b

c

c

, δc

a

= ε 1

α (∂

µ

A

aµ

) ,

essendo ε un parametro infinitesimo di Grassmann costante. Tale simme- tria `e nota come “simmetria BRST”, dal nome degli scopritori:

C. Becchi, A. Rouet, R. Stora, Ann. Phys. 98 (1976) 287;

I.V. Tyutin, Lebedev Institute preprint (1975, non pubblicato);

M.Z. Iofa, I.V. Tyutin, Theor. Math. Phys. 27 (1976) 316.

(14)

Problema 2

1) Si calcoli, all’ordine pi` u basso nella teoria delle perturbazioni, l’ampiezza per il processo di annichilazione:

q

f i

+ q

f j

→ g

a

+ g

b

,

essendo “q

f i

” un quark di sapore f , colore i e quadri–impulso p, “q

f i

” un antiquark dello stesso sapore f , di colore j e quadri–impulso p, mentre g

a

e g

b

sono due gluoni di colore a e b e quadri–impulso k

1

e k

2

rispettivamente.

2) In particolare, indicando tale ampiezza come ε

µ

(~k

1

)M

ab,ijµν

ε

ν

(~k

2

) ,

dove ε(~k

1

) e ε(~k

2

) sono i quadri–vettori di polarizzazione dei due gluoni finali, si dimostri che valgono le seguenti relazioni:

M

ab,ijµν

k

= M

ab,ijghost

k

1µ

, k

M

ab,ijµν

= M

ab,ijghost

k

2ν

,

dove si `e indicato con M

ab,ijghost

l’ampiezza, all’ordine pi` u basso nella teoria delle perturbazioni, per il processo virtuale:

q

f i

+ q

f j

→ c

a

+ c

b

,

essendo c

a

e c

b

un ghost e un antighost di colore a e b e quadri–impulso k

1

e k

2

rispettivamente. Dalle suddette relazioni si ricava immediatamente che:

k

M

ab,ijµν

k

= 0 , ε

µ

(~k

1

)M

ab,ijµν

k

= 0 , k

M

ab,ijµν

ε

ν

(~k

2

) = 0 ,

per polarizzazioni trasverse dei gluoni finali, i.e., ε(~k

1

) · k

1

= ε(~k

2

) · k

2

= 0.

Problema 3

Si consideri la funzione β della QCD in due diversi schemi di rinormaliz- zazione, ma alla stessa scala µ

= µ:

β ≡ µ dg

R

(µ)

dµ , β

≡ µ dg

R

(µ)

dµ .

(15)

Le due costanti di accoppiamento rinormalizzate g

R

(µ) e g

R

(µ) sono legate tra loro da una rinormalizzazione finita:

g

R

= ˜ Z

g

g

R

= (1 + ˜ z

0

g

R 2

+ ˜ z

1

g

R4

+ . . .)g

R

. Sapendo che (e.g., nello schema di rinormalizzazione M S):

β = −β

0

g

R3

− β

1

g

5R

− β

2

g

R7

+ . . . ,

e usando il fatto che, almeno per µ ≫ m

R

, la costante ˜ Z

g

dipende da µ solo attraverso g

R

(µ), per cui `e: g

R

(µ) = g

R

(g

R

(µ)), ovvero g

R

(µ) = g

R

(g

R

(µ)), si verifichi che:

β

= −β

0

g

R 3

− β

1

g

R 5

− β

2

g

R 7

+ . . . , con : β

0

= β

0

, β

1

= β

1

. In altre parole, i primi due coefficienti β

0

e β

1

della funzione β (ottenuti calcolando β fino a 2 loop) non dipendono dallo schema di rinormalizzazione adottato, mentre i coefficienti successivi β

2

, β

3

, etc. (ottenuti da un calcolo oltre i 2 loop), in generale vi dipendono.

Problema 4

Una data grandezza fisica “f ” (e.g., una sezione d’urto) pu`o essere svilup- pata in serie della costante di accoppiamento rinormalizzata g

R

(µ) in un qualsivoglia schema di rinormalizzazione (e ad una qualsivoglia scala di rinormalizzazione µ):

f = f

0

+ f

1

g

R2

+ f

2

g

R4

+ . . . .

Si verifichi che, sviluppando f rispetto alla costante g

R

in un altro schema di rinormalizzazione, si ottiene:

f = f

0

+ f

1

g

R 2

+ f

2

g

R 4

+ . . . , con : f

0

= f

0

, f

1

= f

1

.

In altre parole, i primi due coefficienti f

0

ed f

1

dello sviluppo perturbativo

di f non dipendono dallo schema di rinormalizzazione adottato, mentre i

coefficienti successivi f

2

, f

3

, etc., in generale vi dipendono.

(16)

Problemi assegnati durante la VI a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica

Problema 1

Si dimostri, utilizzando il metodo degli integrali funzionali, che la funzione di Green Euclidea a due punti (ovvero il “propagatore Euclideo”),

S

2

(x

E

, y

E

) ≡ h ˆ φ

E

(x

E

) ˆ φ

E

(y

E

)i

E

≡ Z

[dφ

E

E

(x

E

E

(y

E

)e

R d4xELE

Z

[dφ

E

]e

R d4xELE

,

per la teoria di un campo scalare neutro libero di massa m, descritto dalla (densit`a di) Lagrangiana

L

E

= 1

2 ∂

E

φ

E

· ∂

E

φ

E

+ 1

2 m

2

φ

2E

,

`e data dalla seguente espressione:

S

2

(x

E

, y

E

) ≡ h ˆ φ

E

(x

E

) ˆ φ

E

(y

E

)i

E

=

Z d

4

k

E

(2π)

4

1

k

E2

+ m

2

e

−ikE·(xE−yE)

. (NOTA. A

E

· B

E

≡ P

4

µ=1

A

B

denota il “prodotto scalare Euclideo”

tra due quadri–vettori Euclidei. Allo stesso modo: A

2E

≡ A

E

· A

E

≡ P

4

µ=1

A

2

.)

Problema 2

E noto che una matrice U ∈ SU (2) pu`o essere parametrizzata come: `

U = x

0

1 + i~x · ~σ , (x

0

, ~ x ) ∈ R

4

,

(essendo ~σ = (σ

1

, σ

2

, σ

3

) le tre matrici di Pauli) con la condizione sui parametri:

det U = x

20

+ ~x

2

= 1 .

(17)

1) Si dimostri che la “misura uniforme” sulla superficie sferica (tridimen- sionale) di raggio unitario, S

3

= {(x

0

, ~ x ) ∈ R

4

|x

2

≡ x

20

+ ~x

2

= 1}, i.e.:

dU = 1

π

2

d

4

xδ (x

2

− 1) (d

4

x ≡ dx

0

dx

1

dx

2

dx

3

) , (1)

`e una “misura invariante di Haar” per SU (2), i.e.:

dU = d(V U ) = d(U V ) , ∀ V ∈ SU (2) .

NOTA. Introducendo coordinate sferiche (in quattro dimensioni), i.e.:

x

0

= |x| cos α

1

,

x

1

= |x| cos α

2

sin α

1

,

x

2

= |x| cos α

3

sin α

2

sin α

1

, x

3

= |x| sin α

3

sin α

2

sin α

1

, con |x| ≡ √

x

2

= px

20

+ x

21

+ x

22

+ x

23

, α

1,2

∈ [0, π], α

3

∈ [0, 2π], si ha che:

d

4

x = |x|

3

d|x|dΩ

3

, con dΩ

3

≡ sin

2

α

1

1

sin α

2

2

3

.

Per cui la (1), integrando in d|x| con la funzione δ(x

2

− 1) = δ(|x|

2

− 1), diventa:

dU = 1

2

dΩ

3

= 1

2

sin

2

α

1

1

sin α

2

2

3

. (2) Siccome R dΩ

3

= 2π

2

, si vede che la costante moltiplicativa nella (1) `e stata scelta in maniera che valga la condizione di normalizzazione:

Z

dU = 1 .

2) Utilizzando per la matrice U l’usuale parametrizzazione:

U = e

i~θ·~σ2

= e

iφ~~σ2

= cos φ

2 1 + i~n · ~σ sin φ 2 ,

con ~θ = φ~n, |~n| = 1, |~θ| = φ ∈ [0, 2π], si dimostri che la (2) pu`o essere riscritta come:

dU = 1

2

sin

2

φ

2 dφdΩ

2

(~n) , con : dΩ

2

(~n) ≡ sin α

2

2

3

. (3)

(18)

Ovvero, in termini dei parametri ~θ = φ~n:

dU = 1 4π

2

sin

2 |~θ|2

|~θ|

2

d

3

~ θ (d

3

~ θ ≡ dθ

1

2

3

) . (4) Si osservi che per U ≃ 1, ovvero per |~θ| = φ ≃ 0, la (4) diventa:

dU |

|~θ|≃0

≃ 1

16π

2

d

3

~ θ .

Problema 3

Si calcoli, all’ordine perturbativo pi` u basso (“livello albero”), il potenziale statico quark–quark e quark–antiquark per diverse scelte della “funzione d’onda di colore”, verificando che (per N

c

= 3):

i) due quarks di colore uguale (AA), oppure di colori diversi, A 6= B, in uno stato simmetrico di colore (AB)

simm

, si respingono con una energia potenziale data da:

V

qq(simm)

(r) =

 + 1

3

 g

2

4πr ;

ii) due quarks di colori diversi, A 6= B, in uno stato antisimmetrico di colore (AB)

anti

, si attraggono con una energia potenziale data da:

V

qq(anti)

(r) =



− 2 3

 g

2

4πr ;

iii) un quark e un antiquark in uno stato di singoletto di colore, 1 =

1 3

P

3

A=1

(AA), si attraggono con una energia potenziale data da:

V

qq(1)

(r) =



− 4 3

 g

2

4πr ;

iv) un quark e un antiquark in uno stato di ottetto di colore, 8 = (AB), con A 6= B, si respingono con una energia potenziale data da:

V

qq(8)

(r) =

 + 1

6

 g

2

4πr .

(19)

(Suggerimento. Si faccia uso della seguente “relazione di completezza” per i generatori T

a

del gruppo SU (N

c

) nella rappresentazione fondamentale:

Nc2−1

X

a=1

(T

a

)

ij

(T

a

)

kl

= 1 2



δ

il

δ

jk

− 1

N

c

δ

ij

δ

kl

 ,

con la “condizione di normalizzazione”: Tr[T

a

T

b

] =

12

δ

ab

.)

Problema 4

Si consideri il seguente semplice “modello a stringa” di un mesone qq (P. Goddard, J. Goldstone, C. Rebbi, C.B. Thorn, Nucl. Phys. B 56 (1973) 109; si veda anche: S. Gasiorowicz, J.L. Rosner, “Hadron spectra and quarks”, Am. J. Phys. 49 (1981) 954): un quark e un antiquark di massa zero sono connessi da una stringa di lunghezza d, che ha una energia per unit`a di lunghezza (a riposo) σ (la cosiddetta “tensione di stringa”) e ruota attorno a un asse ortogonale passante per il centro. (In tal modo, un punto della stringa a distanza r dal centro, con r ∈ [0, d/2], ha velocit`a v(r) = 2r/d, nel sistema di unit`a naturali in cui c = 1.)

Si calcoli (in funzione della lunghezza d della stringa) la massa totale M del mesone e il suo momento angolare totale J (trascurando lo spin del quark e dell’antiquark, oppure considerando stati di singoletto di spin to- tale, S = 0) e si verifichi la seguente relazione:

J = α

M

2

, con : α

= 1 2πσ .

Questa relazione (nella sua forma pi` u generale: J = α

0

+ α

M

2

) `e nota con il nome di “traiettoria di Regge–Chew–Frautschi”.

Sperimentalmente si trova che α

≃ 0.9 ÷ 1 GeV

−2

, da cui, in base alla

relazione trovata sopra, si ricava che: σ ≃ (0.40 ÷ 0.42 GeV)

2

.

(20)

Problemi assegnati durante la VII a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica

Problema 1

Si dimostri che la pi` u generale trasformazione del campo spinoriale ψ (a L componenti) sotto il gruppo G ≡ SU (L)

L

⊗ SU (L)

R

:

G : ψ

L

→ ψ

G L

= V

L

ψ

L

, ψ

R

→ ψ

G R

= V

R

ψ

R

, V

L

, V

R

∈ SU (L) , si pu`o sempre scrivere come una composizione di una trasformazione SU (L) vettoriale [SU (L)

V

], cio`e tale per cui V

R

= V

L

≡ V , e di una trasformazione SU (L) assiale [SU (L)

A

], cio`e tale per cui V

R

= V

L

≡ A.

Problema 2

Si considerino le correnti di Noether J

µ

, J

5µ

, V

aµ

, A

µa

(a = 1, . . . , L

2

− 1), associate rispettivamente alle simmetrie U (1)

V

, U (1)

A

, SU (L)

V

, SU (L)

A

della Lagrangiana della QCD nel caso di L sapori di quark a massa zero:

J

µ

= ψγ

µ

ψ , J

5µ

= ψγ

µ

γ

5

ψ , V

aµ

= ψγ

µ

T

a

ψ , A

µa

= ψγ

µ

γ

5

T

a

ψ ,

dove ψ indica un vettore (ψ

1

, . . . , ψ

L

) formato con i campi degli L sapori di quark a massa zero e T

a

(a = 1, . . . , L

2

− 1) sono i generatori dell’algebra del gruppo SU (L) nella rappresentazione fondamentale.

Utilizzando le equazioni del moto (classiche) per i campi ψ, si dimostri che, nel caso in cui gli L sapori abbiano una matrice di massa M = diag(m

1

, . . . , m

L

) diversa da zero, valgono le seguenti relazioni (classiche):

µ

J

µ

= 0 ,

µ

J

5µ

= 2iψγ

5

M ψ = 2i

L

X

f=1

m

f

ψ

f

γ

5

ψ

f

,

µ

V

aµ

= iψ[M, T

a

]ψ = i

L

X

i,j=1

(m

i

− m

j

i

(T

a

)

ij

ψ

j

,

(21)

µ

A

µa

= iψγ

5

{M, T

a

}ψ = i

L

X

i,j=1

(m

i

+ m

j

i

γ

5

(T

a

)

ij

ψ

j

.

Problema 3

Utilizzando le regole di (anti–)commutazione canoniche per i campi ψ, si dimostri che vale la seguente relazione di commutazione a tempi uguali:

[Q

Aa

(0), ψγ

5

T

b

ψ(~0, 0)] = −ψ{T

a

, T

b

}ψ(~0, 0)

= − 1

L δ

ab

ψψ (~0, 0) − d

abc

ψT

c

ψ (~0, 0) , (1) essendo Q

Aa

(0) = R d

3

~ xA

0a

(~x, 0) la carica associata alla corrente SU (L) assiale definita nel problema precedente (A

µa

= ψγ

µ

γ

5

T

a

ψ ).

Prendendo il valore di aspettazione sullo stato di vuoto della equazione operatoriale (1) ed assumendo che la simmetria SU (L)

V

sia una simmetria esatta della teoria (cio`e, realizzata “alla Wigner–Weyl”), si trova che:

hΩ|[Q

Aa

(0), ψγ

5

T

b

ψ (~0, 0)]|Ωi = − 1

L δ

ab

hΩ|ψψ(~0, 0)|Ωi . (2)

Problema 4

Si dimostri che, se il condensato chirale `e diverso da zero, hΩ|ψψ|Ωi 6= 0, allora, oltre alla simmetria SU (L)

V

⊗ SU (L)

A

, anche la simmetria U (1)

A

non pu`o essere realizzata “alla Wigner–Weyl”.

(22)

Problemi assegnati durante la VIII a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica

Problema 1

Si consideri la Lagrangiana del “modello sigma” di Gell-Mann & L´evy per le interazioni pioni–nucleoni (M. Gell-Mann & M. L´evy, Nuovo Cimento 16 (1960) 705–713; J. Schwinger, Ann. Phys. (N.Y.) 2 (1957) 407):

L

GL

= iψγ

µ

µ

ψ − gσψψ + ig~π · ψγ

5

~τψ + L

σ

, (1) L

σ

= 1

2 ∂

µ

σ∂

µ

σ + 1

2 ∂

µ

~π · ∂

µ

~π − V (σ

2

+ ~π

2

) , (2) essendo ψ = (p, n) un campo doppietto di isospin descrivente i nucleoni (protoni e neutroni), σ un campo isoscalare descrivente un mesone scalare e

~π = (π

1

, π

2

, π

3

) un isotripletto di campi descriventi tre mesoni pseudoscalari (pioni); inoltre, ~τ = (τ

1

, τ

2

, τ

3

) sono le tre matrici di Pauli.

E utile riscrivere tale Lagrangiana rimpiazzando i quattro campi reali (σ, ~π) ` con un campo matriciale 2 × 2 complesso:

Σ ≡ σ 1 + i~τ · ~π =

 σ + iπ

3

π

2

+ iπ

1

−π

2

+ iπ

1

σ − iπ

3

 , con: Σ

Σ = ΣΣ

= (σ

2

+ ~π

2

) 1 e det Σ = σ

2

+ ~π

2

. Si trova che:

L

GL

= iψγ

µ

µ

ψ − gψ

L

Σψ

R

− gψ

R

Σ

ψ

L

+ L

σ

, (3) L

σ

= 1

4 Tr[∂

µ

Σ

µ

Σ] − V ( 1

2 Tr[Σ

Σ]) , (4)

dove ψ

R

1−γ2 5

ψ, ψ

L

1+γ2 5

ψ (con: γ

5

≡ −iγ

0

γ

1

γ

2

γ

3

).

Tale Lagrangiana `e invariante sotto le seguenti trasformazioni globali chirali del gruppo G ≡ SU (2)

L

⊗ SU (2)

R

:

G : ψ

L

→ ψ

G L

= V

L

ψ

L

, ψ

R

→ ψ

G R

= V

R

ψ

R

, Σ → Σ

G

= V

L

ΣV

R

, con V

L

∈ SU (2)

L

e V

R

∈ SU (2)

R

.

1) Si dimostri che, sotto una trasformazione chirale infinitesima, i.e., V

L

≃ 1 + iε

aL

T

a

, V

R

≃ 1 + iε

aR

T

a

, con T

a

= τ

a

/2 (a = 1, 2, 3), si ha che:

δψ = δψ

R

+ δψ

L

= iε

aR

T

a

ψ

R

+ iε

aL

T

a

ψ

L

= i(ε

a

+ ε

a5

γ

5

)T

a

ψ ,

δΣ = iε

aL

T

a

Σ − iΣε

aR

T

a

= δσ 1 + i~τ · δ~π ,

(23)

dove δσ e δ~π sono dati da:

δσ = −~ε

5

· ~π , δ~π = −~ε ∧ ~π + ~ε

5

σ , e abbiamo definito:

ε

a

≡ ε

aR

+ ε

aL

2 , ε

a5

≡ ε

aL

− ε

aR

2 .

2) In particolare, si dimostri esplicitamente che la Lagrangiana (1)–(2) `e invariante sotto una trasformazione di tipo SU (2)

V

(vettoriale), per cui ε

aR

= ε

aL

= ε

a

, mentre ε

a5

= 0, ovvero:

δ

V

ψ = iε

a

T

a

ψ , δ

V

σ = 0 , δ

V

~π = −~ε ∧ ~π ,

e si dimostri che le tre correnti di Noether V

µa

(a = 1, 2, 3) associate a tale invarianza sotto SU (2)

V

sono date da:

V

µa

= ψγ

µ

T

a

ψ + ε

abc

π

b

µ

π

c

.

3) Allo stesso modo, si dimostri esplicitamente che la Lagrangiana (1)–

(2) `e invariante sotto una trasformazione di tipo SU (2)

A

(assiale), per cui

−ε

aR

= ε

aL

= ε

a5

, mentre ε

a

= 0, ovvero:

δ

A

ψ = iε

a5

T

a

γ

5

ψ , δ

A

σ = −~ε

5

· ~π , δ

A

~π = ~ε

5

σ ,

e si dimostri che le tre correnti di Noether A

aµ

(a = 1, 2, 3) associate a tale invarianza sotto SU (2)

A

sono date da:

A

aµ

= ψγ

µ

γ

5

T

a

ψ − (∂

µ

π

a

)σ + (∂

µ

σ)π

a

.

Problema 2

Si consideri la Lagrangiana Chirale Efficace all’ordine pi` u basso [O(p

2

)]:

L

(2)ef f

= F

π2

4 Tr[∂

µ

U

µ

U ] .

Riferimenti

Documenti correlati

Si dimostri inoltre che tutte le soluzioni positive di tale congruenza hanno la cifra delle unit` a uguale a 9..

Si enunci e si dimostri la relazione fondamentale che, in un grafo finito, lega il numero dei lati e i gradi

Si dica inoltre se esiste una soluzione positiva di tale sistema la cui somma delle cifre sia uguale a 11..

Si terr` a conto non solo della correttezza dei risultati, ma anche della completezza e chiarezza delle spiegazioni..

Si terr` a conto non solo della correttezza dei risultati, ma anche della completezza e chiarezza delle spiegazioni..

(4a) esiste un grafo con tale score che abbia un 4–ciclo come una delle sue com- ponenti connesse;.. (4b) esiste un grafo con tale score che

Si terr` a conto non solo della correttezza dei risultati, ma anche della completezza e chiarezza delle spiegazioni..

Si terr` a conto non solo della correttezza dei risultati, ma anche della completezza e chiarezza delle spiegazioni..