Problemi assegnati durante la I a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica
Problema 1
1) Utilizzando la seguente “identit`a di Jacobi”:
[F
a, {F
b, F
c}] + [F
b, {F
c, F
a}] + [F
c, {F
a, F
b}] = 0 ,
e la seguente relazione per i generatori F
a(f )nella rappresentazione fonda- mentale di SU (N ):
{F
a(f ), F
b(f )} = 1
N δ
ab1 + d
abcF
c(f ), si dimostri che vale la seguente identit`a:
f
aedd
bce+ f
bedd
cae+ f
cedd
abe= 0 .
2) Si utilizzi questa identit`a per dimostrare che, in ogni rappresentazione, vale la seguente regola di commutazione:
[D
a, F
b] = if
abcD
c, con : D
a≡ 2
3 d
abcF
bF
c.
3) Si dimostri, infine, che G
(3)≡ F
aD
a=
23d
abcF
aF
bF
c`e un “operatore di Casimir (cubico)” per il gruppo SU (N ). (Si osservi che tale operatore `e identicamente nullo nel caso di SU (2), in cui d
SUabc(2)= 0.)
Problema 2
Si dimostri che tutti i componenti di un dato multipletto adronico di U – spin hanno la stessa carica elettrica.
(Suggerimento. Si ricordi che l’operatore di carica elettrica, in unit`a di
|e|, `e Q = T
3+
Y2, . . .)
Problema 3
Si calcoli, su una data rappresentazione irriducibile (p, q) di SU (3), con dimensione d(p, q) =
12(p + 1)(q + 1)(p + q + 2), il valore dell’“operatore di Casimir (quadratico)”
F
(2)≡
8
X
a=1
F
a2, dimostrando che vale:
F
(p,q)(2)= C
F(p,q)1
d(p,q)×d(p,q), con : C
F(p,q)= 1
3 (p
2+ pq + q
2) + (p + q).
(Suggerimento. Si consideri lo stato |ψ
maxi con “peso massimo” t
3= t
max3=
12(p + q), nel “diagramma peso” della rappresentazione irriducibile (p, q) considerata. Per esso valgono le seguenti relazioni:
T
+|ψ
maxi = V
+|ψ
maxi = U
−|ψ
maxi = 0 ; T
3|ψ
maxi = t
max3|ψ
maxi = 1
2 (p + q)|ψ
maxi ; U
3|ψ
maxi =
− q 2
|ψ
maxi ; V
3|ψ
maxi = p
2 |ψ
maxi ; Y |ψ
maxi = 1
3 (p − q)|ψ
maxi .
Scrivendo F
(2)nella forma F
(2)=
12{T
+, T
−} +
12{U
+, U
−} +
12{V
+, V
−} + T
32+
34Y
2, si verifichi, con l’aiuto di queste relazioni e usando l’algebra di SU (3) per i generatori T
±, U
±, V
±, T
3, Y , che F
(2)|ψ
maxi = C
F(p,q)|ψ
maxi, essendo C
F(p,q)il numero sopra riportato.)
Problema 4
1) Per una data rappresentazione irriducibile “r” di SU (N ) vale la re- lazione seguente:
Tr[F
a(r)F
b(r)] = δ
abT
R(r),
dove la costante reale positiva T
R(r)viene chiamata “indice di Dynkin” della
rappresentazione (irriducibile) r.
Si dimostri che, per SU (N ):
T
R(r)= 1
N
2− 1 d(r) C
F(r),
essendo d(r) la dimensione della rappresentazione e C
F(r)il valore dell’
“operatore di Casimir (quadratico)”, F
(r)(2)= C
F(r)1
d(r)×d(r).
In particolare, per SU (3) si ha che (noto il valore di C
F(r)dal risultato del problema precedente):
T
R(p,q)= 1
8 d (p, q) C
F(p,q)= 1
16 (p + 1)(q + 1)(p + q + 2) 1
3 (p
2+ pq + q
2) + (p + q)
. Si osservi che, per la rappresentazione fondamentale: T
R(f )= T
R(1,0)=
12; mentre, per la rappresentazione aggiunta: T
R(agg)= T
R(1,1)= 3.
In generale, per SU (N ), si trova che, per la rappresentazione fondamentale [d(f ) = N ]: T
R(f )=
12, C
F(f )=
N2N2−1; mentre, per la rappresentazione aggiunta [d(agg) = N
2− 1]: T
R(agg)= C
F(agg)= N .
2) Per dimostrare quest’ultima affermazione, si verifichi innanzitutto che vale la seguente “relazione di completezza” per i generatori F
a(f )del gruppo SU (N ) nella rappresentazione fondamentale:
N2−1
X
a=1
(F
a(f ))
ij(F
a(f ))
kl= 1 2
δ
ilδ
jk− 1 N δ
ijδ
kl.
(Suggerimento. Si usi il fatto che l’identit`a 1
N×Ne le matrici F
a(f )for- mano la base per la pi` u generale matrice hermitiana H
N×N: H = c
01 + P
N2−1a=1
c
aF
a(f ), con c
0, c
anumeri reali. Da cui, esprimendo c
0e c
ausando la “condizione di normalizzazione” Tr[F
a(f )F
b(f )] =
12δ
abe TrF
a(f )= 0 . . .) Si verifichi che, da questa identit`a, segue immediatamente che:
N2−1
X
a=1
(F
a(f )F
a(f ))
ij= N
2− 1 2N δ
ij,
N2−1
X
a=1
(F
a(f )F
b(f )F
a(f ))
ij= − 1
2N (F
b(f ))
ij.
(Dalla prima di queste relazioni si ricava nuovamente che: C
F(f )=
N2N2−1.) Infine, si utilizzino queste due relazioni, assieme alle relazioni di commu- tazione dell’algebra di SU (N ), [F
a(f ), F
b(f )] = if
abcF
c(f ), e alla “condizione di normalizzazione”, Tr[F
a(f )F
b(f )] =
12δ
ab, per dimostrare che:
f
acdf
bcd= N δ
ab,
e si verifichi che questo implica (come si `e detto sopra) che: T
R(agg)=
C
F(agg)= N .
Problemi assegnati durante la II a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica
Problema 1
Si verifichi, sia utilizzando il “metodo grafico”, che fa uso dei “diagrammi peso” (t
3, y), sia utilizzando il “metodo tensoriale”, la seguente relazione per le rappresentazioni irriducibili di SU (3): 3 ⊗ 6 = 8 ⊕ 10.
(Da questa relazione e dalle altre relazioni: 3 ⊗ 3 = 3
∗⊕ 6 e 3 ⊗ 3
∗= 1 ⊕ 8, segue immediatamente che: 3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10.)
Problema 2
Si dimostri che uno stato adronico del tipo “qqq” non pu`o essere un “sin- goletto di colore” ed `e quindi vietato dal cosiddetto “postulato del confina- mento”.
Problema 3
Si calcoli, per il processo di annichilazione e
−+ e
+→ q + q, essendo “q”
un quark di un dato “sapore” e di un dato “colore”, di carica elettrica Q |e| e massa m, la sezione d’urto differenziale
ddσΩnel sistema del centro di massa e la sezione d’urto totale σ, mediando sulle polarizzazioni iniziali e sommando sulle polarizzazioni finali, all’ordine pi` u basso nell’interazione elettromagnetica.
Si verifichi che, nel limite di alte energie s = E
c2≫ m
2, m
2e: dσ
dΩ ≃ Q
2α
24s (1 + cos
2θ) , σ ≃ Q
24πα
23s ,
essendo θ l’angolo tra l’impulso del quark prodotto e l’impulso dell’elettrone incidente (“angolo di diffusione”) nel sistema del centro di massa.
Problema 4
Si ripeta il calcolo del problema precedente, assumendo che il quark q e
l’antiquark q abbiano spin 0, anzich`e spin 1/2.
Si dimostri che in tal caso, nel limite di alte energie s = E
c2≫ m
2, m
2e,
la sezione d’urto differenziale
ddσΩnel sistema del centro di massa (mediata
sulle polarizzazioni iniziali) `e proporzionale a 1 − cos
2θ = sin
2θ.
Problemi assegnati durante la III a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica
Problema 1
Si consideri una trasformazione di gauge infinitesima U = e
iθ≃ 1 + iθ, con θ ≡ θ
bT
b, e si dimostri che, al prim’ordine in θ:
δψ ≡ ψ
′− ψ ≃ iθψ ;
δA
µ≡ A
′µ− A
µ≃ i[θ, A
µ] − 1 g ∂
µθ ; δF
µν≡ F
µν′− F
µν≃ i[θ, F
µν] .
In termini di componenti dei campi, queste relazioni assumono la forma seguente:
δψ
i≡ ψ
i′− ψ
i≃ iθ
a(T
a)
ijψ
j; δA
aµ≡ A
′aµ− A
aµ≃ −f
abcθ
bA
cµ− 1
g ∂
µθ
a= iθ
b(T
(agg)b)
acA
cµ− 1
g ∂
µθ
a; δF
µνa≡ F
µν′a− F
µνa≃ −f
abcθ
bF
µνc= iθ
b(T
(agg)b)
acF
µνc.
Utilizzando quest’ultima relazione, si verifichi che la quantit`a F
µνaF
aµν`e invariante di gauge.
Problema 2
Si consideri il trasporto parallelo attorno a un parallelogramma infinitesimo formato dai vettori dx e dy, x → x + dx → x + dx + dy → x + dy → x.
Indicando con C
x←xtale percorso chiuso infinitesimo e con W (C
x←x) il corrispondente trasporto parallelo, si ha che:
W (C
x←x) = W (C
x←x+dy)W (C
x+dy←x+dx+dy)W (C
x+dx+dy←x+dx)W (C
x+dx←x)
= W (C
x+dy←x)
−1W (C
x+dx+dy←x+dy)
−1W (C
x+dx+dy←x+dx)W (C
x+dx←x) . Ricordando che, per un trasporto parallelo infinitesimo,
W (C
x+dx←x) ≃ exp[−igA
µ(x)dx
µ] , e utilizzando la “formula di Campbell–Baker–Haussdorf”:
e
λAe
λB= e
λ(A+B)+λ22 [A,B]+O(λ3),
si dimostri che:
W (C
x←x) ≃ exp[−igF
µν(x)dx
µdy
ν] ,
dove F
µν≡ ∂
µA
ν− ∂
νA
µ+ ig[A
µ, A
ν] `e il tensore dell’intensit`a di campo.
Problema 3
Si verifichi che le “equazioni di Eulero–Lagrange” (equazioni del moto) per la Lagrangiana della “Cromo–Dinamica Quantistica” (QCD), i.e.,
L = − 1
4 F
µνaF
aµν+
Nf
X
f=1
ψ
f(iγ
µD
µ− m
f)ψ
f(H. Fritzsch, M. Gell-Mann, H. Leutwyler, Phys. Lett. 47B (1973) 365), hanno la seguente forma:
(iγ
µD
µ− m
f)ψ
f= 0 ; (1)
(D
µ(agg)F
µν)
a= gJ
aν, (2)
dove con
J
aν≡
Nf
X
f=1
ψ
fγ
νT
aψ
fabbiamo indicato le cosiddette “correnti di colore”, mentre con il simbolo D
(agg)µabbiamo indicato la derivata covariante nella rappresentazione ag- giunta, ovvero (D
µ(agg)F
µν)
a≡ (D
µ(agg))
acF
cµν, dove:
(D
(agg)µ)
ac≡ ∂
µδ
ac+ igA
bµ(T
(agg)b)
ac= ∂
µδ
ac− gf
abcA
bµ.
Si verifichi anche che, definendo J
ν≡ J
aνT
ae D
(agg)µF
µν≡ (D
(agg)µF
µν)
aT
a, la (2) pu`o essere riscritta nella forma seguente:
D
(agg)µF
µν= ∂
µF
µν+ ig[A
µ, F
µν] = [D
µ, F
µν] = gJ
ν,
dove con D
µ≡ ∂
µ+ igA
µ(A
µ≡ A
aµT
a) si continua a indicare la derivata
covariante nella rappresentazione fondamentale.
Problema 4
Facendo uso della seguente “identit`a di Jacobi”:
[D
ν, [D
ρ, D
σ]] + [D
ρ, [D
σ, D
ν]] + [D
σ, [D
ν, D
ρ]] = 0 , e ricordando che [D
µ, D
ν] ≡ igF
µν, si dimostri che:
ε
µνρσ[D
ν, F
ρσ] = 0 .
Ovvero, con la notazione introdotta nel problema precedente:
ε
µνρσ(D
ν(agg)F
ρσ)
a= 0 .
Questa equazione `e detta “identit`a di Bianchi” di una teoria di gauge non
Abeliana ed `e l’analogo delle equazioni di Maxwell omogenee in Elettrodi-
namica.
Problemi assegnati durante la IV a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica
Problema 1
Si consideri il seguente integrale multiplo Gaussiano:
I ≡
Z
+∞−∞
[dα]e
−Q(α)[dα] ≡ Y
r
dα
r! ,
dove Q(α) `e una forma quadratica:
Q(α) = 1
2 α
tAα + B
tα + C
= 1 2
X
r,s
α
rA
rsα
s+ X
r
B
rα
r+ C ,
con A matrice reale, simmetrica e non singolare (i.e., invertibile).
1) Eseguendo una traslazione delle variabili di integrazione, α = ˜ α −A
−1B, si dimostri che:
Q(α) = 1
2 α ˜
tA α ˜ − 1
2 B
tA
−1B + C . Per cui, se la matrice A `e definita positiva, si trova che:
I = e
(12BtA−1B−C)Z
+∞−∞
[d ˜ α]e
−21α˜tAα˜= e
(12BtA−1B−C)1 q
det
2πA.
2) Si dimostri che questo risultato pu`o essere riscritto nella forma:
I = 1
q
det
2πAe
−Q(α),
dove α(= −A
−1B ) `e il punto stazionario della funzione quadratica Q(α),
i.e.,
∂Q(α)∂αa|
α=α= 0.
Problema 2
Si dimostri, utilizzando il metodo degli integrali funzionali, che la funzione di Green bosonica a quattro punti
G
4(x
1, x
2, x
3, x
4) ≡ hΩ|T [ ˆ φ(x
1) ˆ φ(x
2) ˆ φ(x
3) ˆ φ(x
4)]|Ωi ,
per la teoria di un campo scalare neutro libero di massa m, descritto dalla (densit`a di) Lagrangiana
L
0= 1
2 ∂
µφ∂
µφ − 1
2 m
2φ
2,
`e data dalla seguente espressione (in accordo con il teorema di Wick per il caso bosonico):
G
4(x
1, x
2, x
3, x
4) = G
2(x
1, x
2)G
2(x
3, x
4) + G
2(x
1, x
3)G
2(x
2, x
4) + G
2(x
1, x
4)G
2(x
2, x
3) , essendo
G
2(x, y) ≡ hΩ|T [ ˆ φ(x) ˆ φ(y)]|Ωi =
Z d
4k (2π)
4i
k
2− m
2+ iε e
−ik·(x−y)la funzione di Green a due punti (ovvero il “propagatore” bosonico).
Problema 3
Si dimostri, utilizzando il metodo degli integrali funzionali, che la funzione di Green fermionica a quattro punti
G
F4(x
1, x
2, x
3, x
4)
ijkl≡ hΩ|T [ ˆ ψ
i(x
1) ˆ ψ
j(x
2)ˆ ψ
k(x
3)ˆ ψ
l(x
4)]|Ωi ,
per la teoria di un campo fermionico libero di massa m, descritto dalla (densit`a di) Lagrangiana
L
F0= ψ(iγ
µ∂
µ− m)ψ ,
`e data dalla seguente espressione (in accordo con il teorema di Wick per il caso fermionico):
G
F4(x
1, x
2, x
3, x
4)
ijkl= G
F2(x
1, x
4)
ilG
F2(x
2, x
3)
jk− G
F2(x
1, x
3)
ikG
F2(x
2, x
4)
jl, essendo
G
F2(x, y)
ij≡ hΩ|T [ ˆ ψ
i(x)ˆ ψ
j(y)]|Ωi =
Z d
4k (2π)
4i(γ
µk
µ+ m)
ijk
2− m
2+ iε e
−ik·(x−y)la funzione di Green a due punti (ovvero il “propagatore” fermionico).
Problema 4
Si calcoli la “matrice di Faddeev–Popov”,
(M
G(x, y))
ab≡ δ (G
µA
(U )aµ(x)) δθ
b(y) |
θ=0,
dove A
(U )µ≡ U A
µU
−1+
gi(∂
µU )U
−1, con U = e
iθaTa, per le seguenti scelte del termine di “gauge fixing” G
µA
µ, verificandone i corrispondenti risultati:
1) G
µ= (0, −∇) (“gauge di Coulomb”):
(M
G(x, y))
ab= − 1
g (−δ
ab∇
2+ gf
abc∇ · A
c)δ
(4)(x − y) ; 2) G
µ= ∂
µ(“gauge di Lorenz”, detta anche “gauge covariante”):
(M
G(x, y))
ab= − 1
g (δ
ab+ gf
abc∂
µA
cµ)δ
(4)(x − y) ;
3) G
µ= n
µ, con n
µquadrivettore costante di tipo spazio, i.e., n
2≡ n
µn
µ<
0 (“gauge assiale”):
(M
G(x, y))
ab= − 1
g (δ
abn · ∂ + gf
abcn · A
c)δ
(4)(x − y) ; 4) G
µ= (1, 0, 0, 0) (“gauge temporale”):
(M
G(x, y))
ab= − 1
g (δ
ab∂
0+ gf
abcA
c0)δ
(4)(x − y) .
Problemi assegnati durante la V a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica
Problema 1
Si consideri l’“ansatz” di Faddeev–Popov per la Lagrangiana della QCD (nelle cosiddette “α–gauge covarianti di Lorenz”):
L
(F P )QCD= L
G+ L
F+ L
GF+ L
F P, (1) dove : L
G= − 1
4 F
µνaF
aµν, L
F=
Nf
X
f=1
ψ
f(iγ
µD
µ− m
f)ψ
f, L
GF= − 1
2α (∂
µA
aµ)
2, L
F P= c
a(−∂
µ)(D
(agg)µc)
a.
Ovviamente tale Lagrangiana (a differenza di L
Ged L
F) non `e invariante sotto le usuali trasformazioni di gauge locali per i campi ψ
fe A
µ.
Si verifichi, tuttavia, che esiste una simmetria anche per la teoria con
“gauge fixing”, descritta dalla Lagrangiana (1), che coinvolge anche i campi dei “ghost” ed ha la forma seguente:
δA
aµ= −ε(D
(agg)µc)
a, δψ
f= ig(εc
a)T
aψ
f, δψ
f= −igψ
fT
a(εc
a) ,
δc
a= − 1
2 εgf
abcc
bc
c, δc
a= ε 1
α (∂
µA
aµ) ,
essendo ε un parametro infinitesimo di Grassmann costante. Tale simme- tria `e nota come “simmetria BRST”, dal nome degli scopritori:
C. Becchi, A. Rouet, R. Stora, Ann. Phys. 98 (1976) 287;
I.V. Tyutin, Lebedev Institute preprint (1975, non pubblicato);
M.Z. Iofa, I.V. Tyutin, Theor. Math. Phys. 27 (1976) 316.
Problema 2
1) Si calcoli, all’ordine pi` u basso nella teoria delle perturbazioni, l’ampiezza per il processo di annichilazione:
q
f i+ q
f j→ g
a+ g
b,
essendo “q
f i” un quark di sapore f , colore i e quadri–impulso p, “q
f i” un antiquark dello stesso sapore f , di colore j e quadri–impulso p, mentre g
ae g
bsono due gluoni di colore a e b e quadri–impulso k
1e k
2rispettivamente.
2) In particolare, indicando tale ampiezza come ε
∗µ(~k
1)M
ab,ijµνε
∗ν(~k
2) ,
dove ε(~k
1) e ε(~k
2) sono i quadri–vettori di polarizzazione dei due gluoni finali, si dimostri che valgono le seguenti relazioni:
M
ab,ijµνk
2ν= M
ab,ijghostk
1µ, k
1µM
ab,ijµν= M
ab,ijghostk
2ν,
dove si `e indicato con M
ab,ijghostl’ampiezza, all’ordine pi` u basso nella teoria delle perturbazioni, per il processo virtuale:
q
f i+ q
f j→ c
a+ c
b,
essendo c
ae c
bun ghost e un antighost di colore a e b e quadri–impulso k
1e k
2rispettivamente. Dalle suddette relazioni si ricava immediatamente che:
k
1µM
ab,ijµνk
2ν= 0 , ε
∗µ(~k
1)M
ab,ijµνk
2ν= 0 , k
1µM
ab,ijµνε
∗ν(~k
2) = 0 ,
per polarizzazioni trasverse dei gluoni finali, i.e., ε(~k
1) · k
1= ε(~k
2) · k
2= 0.
Problema 3
Si consideri la funzione β della QCD in due diversi schemi di rinormaliz- zazione, ma alla stessa scala µ
′= µ:
β ≡ µ dg
R(µ)
dµ , β
′≡ µ dg
′R(µ)
dµ .
Le due costanti di accoppiamento rinormalizzate g
R(µ) e g
R′(µ) sono legate tra loro da una rinormalizzazione finita:
g
R= ˜ Z
gg
R′= (1 + ˜ z
0g
R′ 2+ ˜ z
1g
′R4+ . . .)g
R′. Sapendo che (e.g., nello schema di rinormalizzazione M S):
β = −β
0g
R3− β
1g
5R− β
2g
R7+ . . . ,
e usando il fatto che, almeno per µ ≫ m
R, la costante ˜ Z
gdipende da µ solo attraverso g
′R(µ), per cui `e: g
R(µ) = g
R(g
′R(µ)), ovvero g
R′(µ) = g
′R(g
R(µ)), si verifichi che:
β
′= −β
0′g
R′ 3− β
1′g
R′ 5− β
2′g
R′ 7+ . . . , con : β
0′= β
0, β
1′= β
1. In altre parole, i primi due coefficienti β
0e β
1della funzione β (ottenuti calcolando β fino a 2 loop) non dipendono dallo schema di rinormalizzazione adottato, mentre i coefficienti successivi β
2, β
3, etc. (ottenuti da un calcolo oltre i 2 loop), in generale vi dipendono.
Problema 4
Una data grandezza fisica “f ” (e.g., una sezione d’urto) pu`o essere svilup- pata in serie della costante di accoppiamento rinormalizzata g
R(µ) in un qualsivoglia schema di rinormalizzazione (e ad una qualsivoglia scala di rinormalizzazione µ):
f = f
0+ f
1g
R2+ f
2g
R4+ . . . .
Si verifichi che, sviluppando f rispetto alla costante g
R′in un altro schema di rinormalizzazione, si ottiene:
f = f
0′+ f
1′g
R′ 2+ f
2′g
R′ 4+ . . . , con : f
0′= f
0, f
1′= f
1.
In altre parole, i primi due coefficienti f
0ed f
1dello sviluppo perturbativo
di f non dipendono dallo schema di rinormalizzazione adottato, mentre i
coefficienti successivi f
2, f
3, etc., in generale vi dipendono.
Problemi assegnati durante la VI a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica
Problema 1
Si dimostri, utilizzando il metodo degli integrali funzionali, che la funzione di Green Euclidea a due punti (ovvero il “propagatore Euclideo”),
S
2(x
E, y
E) ≡ h ˆ φ
E(x
E) ˆ φ
E(y
E)i
E≡ Z
[dφ
E]φ
E(x
E)φ
E(y
E)e
−R d4x′ELEZ
[dφ
E]e
−R d4x′ELE,
per la teoria di un campo scalare neutro libero di massa m, descritto dalla (densit`a di) Lagrangiana
L
E= 1
2 ∂
Eφ
E· ∂
Eφ
E+ 1
2 m
2φ
2E,
`e data dalla seguente espressione:
S
2(x
E, y
E) ≡ h ˆ φ
E(x
E) ˆ φ
E(y
E)i
E=
Z d
4k
E(2π)
41
k
E2+ m
2e
−ikE·(xE−yE). (NOTA. A
E· B
E≡ P
4µ=1
A
EµB
Eµdenota il “prodotto scalare Euclideo”
tra due quadri–vettori Euclidei. Allo stesso modo: A
2E≡ A
E· A
E≡ P
4µ=1
A
2Eµ.)
Problema 2
E noto che una matrice U ∈ SU (2) pu`o essere parametrizzata come: `
U = x
01 + i~x · ~σ , (x
0, ~ x ) ∈ R
4,
(essendo ~σ = (σ
1, σ
2, σ
3) le tre matrici di Pauli) con la condizione sui parametri:
det U = x
20+ ~x
2= 1 .
1) Si dimostri che la “misura uniforme” sulla superficie sferica (tridimen- sionale) di raggio unitario, S
3= {(x
0, ~ x ) ∈ R
4|x
2≡ x
20+ ~x
2= 1}, i.e.:
dU = 1
π
2d
4xδ (x
2− 1) (d
4x ≡ dx
0dx
1dx
2dx
3) , (1)
`e una “misura invariante di Haar” per SU (2), i.e.:
dU = d(V U ) = d(U V ) , ∀ V ∈ SU (2) .
NOTA. Introducendo coordinate sferiche (in quattro dimensioni), i.e.:
x
0= |x| cos α
1,
x
1= |x| cos α
2sin α
1,
x
2= |x| cos α
3sin α
2sin α
1, x
3= |x| sin α
3sin α
2sin α
1, con |x| ≡ √
x
2= px
20+ x
21+ x
22+ x
23, α
1,2∈ [0, π], α
3∈ [0, 2π], si ha che:
d
4x = |x|
3d|x|dΩ
3, con dΩ
3≡ sin
2α
1dα
1sin α
2dα
2dα
3.
Per cui la (1), integrando in d|x| con la funzione δ(x
2− 1) = δ(|x|
2− 1), diventa:
dU = 1
2π
2dΩ
3= 1
2π
2sin
2α
1dα
1sin α
2dα
2dα
3. (2) Siccome R dΩ
3= 2π
2, si vede che la costante moltiplicativa nella (1) `e stata scelta in maniera che valga la condizione di normalizzazione:
Z
dU = 1 .
2) Utilizzando per la matrice U l’usuale parametrizzazione:
U = e
i~θ·~σ2= e
iφ~n·~σ2= cos φ
2 1 + i~n · ~σ sin φ 2 ,
con ~θ = φ~n, |~n| = 1, |~θ| = φ ∈ [0, 2π], si dimostri che la (2) pu`o essere riscritta come:
dU = 1
4π
2sin
2φ
2 dφdΩ
2(~n) , con : dΩ
2(~n) ≡ sin α
2dα
2dα
3. (3)
Ovvero, in termini dei parametri ~θ = φ~n:
dU = 1 4π
2sin
2 |~θ|2|~θ|
2d
3~ θ (d
3~ θ ≡ dθ
1dθ
2dθ
3) . (4) Si osservi che per U ≃ 1, ovvero per |~θ| = φ ≃ 0, la (4) diventa:
dU |
|~θ|≃0≃ 1
16π
2d
3~ θ .
Problema 3
Si calcoli, all’ordine perturbativo pi` u basso (“livello albero”), il potenziale statico quark–quark e quark–antiquark per diverse scelte della “funzione d’onda di colore”, verificando che (per N
c= 3):
i) due quarks di colore uguale (AA), oppure di colori diversi, A 6= B, in uno stato simmetrico di colore (AB)
simm, si respingono con una energia potenziale data da:
V
qq(simm)(r) =
+ 1
3
g
24πr ;
ii) due quarks di colori diversi, A 6= B, in uno stato antisimmetrico di colore (AB)
anti, si attraggono con una energia potenziale data da:
V
qq(anti)(r) =
− 2 3
g
24πr ;
iii) un quark e un antiquark in uno stato di singoletto di colore, 1 =
√1 3
P
3A=1
(AA), si attraggono con una energia potenziale data da:
V
qq(1)(r) =
− 4 3
g
24πr ;
iv) un quark e un antiquark in uno stato di ottetto di colore, 8 = (AB), con A 6= B, si respingono con una energia potenziale data da:
V
qq(8)(r) =
+ 1
6
g
24πr .
(Suggerimento. Si faccia uso della seguente “relazione di completezza” per i generatori T
adel gruppo SU (N
c) nella rappresentazione fondamentale:
Nc2−1
X
a=1
(T
a)
ij(T
a)
kl= 1 2
δ
ilδ
jk− 1
N
cδ
ijδ
kl,
con la “condizione di normalizzazione”: Tr[T
aT
b] =
12δ
ab.)
Problema 4
Si consideri il seguente semplice “modello a stringa” di un mesone qq (P. Goddard, J. Goldstone, C. Rebbi, C.B. Thorn, Nucl. Phys. B 56 (1973) 109; si veda anche: S. Gasiorowicz, J.L. Rosner, “Hadron spectra and quarks”, Am. J. Phys. 49 (1981) 954): un quark e un antiquark di massa zero sono connessi da una stringa di lunghezza d, che ha una energia per unit`a di lunghezza (a riposo) σ (la cosiddetta “tensione di stringa”) e ruota attorno a un asse ortogonale passante per il centro. (In tal modo, un punto della stringa a distanza r dal centro, con r ∈ [0, d/2], ha velocit`a v(r) = 2r/d, nel sistema di unit`a naturali in cui c = 1.)
Si calcoli (in funzione della lunghezza d della stringa) la massa totale M del mesone e il suo momento angolare totale J (trascurando lo spin del quark e dell’antiquark, oppure considerando stati di singoletto di spin to- tale, S = 0) e si verifichi la seguente relazione:
J = α
′M
2, con : α
′= 1 2πσ .
Questa relazione (nella sua forma pi` u generale: J = α
0+ α
′M
2) `e nota con il nome di “traiettoria di Regge–Chew–Frautschi”.
Sperimentalmente si trova che α
′≃ 0.9 ÷ 1 GeV
−2, da cui, in base alla
relazione trovata sopra, si ricava che: σ ≃ (0.40 ÷ 0.42 GeV)
2.
Problemi assegnati durante la VII a settimana del corso di Cromodinamica Quantistica
Problema 1
Si dimostri che la pi` u generale trasformazione del campo spinoriale ψ (a L componenti) sotto il gruppo G ≡ SU (L)
L⊗ SU (L)
R:
G : ψ
L→ ψ
G L′= V
Lψ
L, ψ
R→ ψ
G R′= V
Rψ
R, V
L, V
R∈ SU (L) , si pu`o sempre scrivere come una composizione di una trasformazione SU (L) vettoriale [SU (L)
V], cio`e tale per cui V
R= V
L≡ V , e di una trasformazione SU (L) assiale [SU (L)
A], cio`e tale per cui V
R†= V
L≡ A.
Problema 2
Si considerino le correnti di Noether J
µ, J
5µ, V
aµ, A
µa(a = 1, . . . , L
2− 1), associate rispettivamente alle simmetrie U (1)
V, U (1)
A, SU (L)
V, SU (L)
Adella Lagrangiana della QCD nel caso di L sapori di quark a massa zero:
J
µ= ψγ
µψ , J
5µ= ψγ
µγ
5ψ , V
aµ= ψγ
µT
aψ , A
µa= ψγ
µγ
5T
aψ ,
dove ψ indica un vettore (ψ
1, . . . , ψ
L) formato con i campi degli L sapori di quark a massa zero e T
a(a = 1, . . . , L
2− 1) sono i generatori dell’algebra del gruppo SU (L) nella rappresentazione fondamentale.
Utilizzando le equazioni del moto (classiche) per i campi ψ, si dimostri che, nel caso in cui gli L sapori abbiano una matrice di massa M = diag(m
1, . . . , m
L) diversa da zero, valgono le seguenti relazioni (classiche):
∂
µJ
µ= 0 ,
∂
µJ
5µ= 2iψγ
5M ψ = 2i
L
X
f=1
m
fψ
fγ
5ψ
f,
∂
µV
aµ= iψ[M, T
a]ψ = i
L
X
i,j=1
(m
i− m
j)ψ
i(T
a)
ijψ
j,
∂
µA
µa= iψγ
5{M, T
a}ψ = i
L
X
i,j=1