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23 giugno 2004 matricola cognome nome Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A 1

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(1)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A

1. Nella partita di stasera tra Germania e Repubblica Ceca, si definiscano i seguenti eventi :

E1= “la Germania vince”, Ex= “le due squadre pareggiano”, E2 = “la Repubblica Ceca vince”.

Si supponga che un book-maker abbia stabilito le seguenti scommesse : E1 1.8 :1 (ossia versando una somma α in caso di vittoria della Germania si riceve 1.8α e si guadagna 0.8α), EX 3.6 :1, E2 6 :1. Stabilire se si tratta di scommesse coerenti (cerchiare la risposta giusta) .

COERENTI ? SÌ

NO

2. Un numero aleatorio avente distribuzione normale è tale che P (X > 5) = 1

2, e IP(X2) = 34. Calcolare P (X > 2).

P (X > 2) =Φ(1)

3. Su un tavolo si trovano le seguenti carte (3 scoperte e 2 coperte) di un mazzo di carte francesi di 32 carte (dal 7 all’Asso) .

¨ 10 ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ 10 ¨

« 9 «

« « «

« «

« 9 «

A A

A « A

Scoprendo le due carte, calcolare la probabilità α di ottenere un tris, e la probabilità β di ottenere due coppie.

α = 9

406 β = 27 406

(2)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito B

1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {2, 3, 5, 6} e distribuzione pX = 5 12,1

6,1 4,1

6



. Ricavare la funzione di ripartizione del numero aleatorio X, e calcolare P (3 ≤ X < 6).

F (x) =













0 x < 2

5

12 2 ≤ x < 3

7

12 3 ≤ x < 5

5

6 5 ≤ x < 6

1 x ≥ 6

P (3 ≤ X < 6) = 5 12

2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme su C = [1, 3] × [1, 2]. Calcolare la probabilità p dell’evento condizionato E|H, con E = (X < 2Y ), H = (Y > 3/2), stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta rY X di regressione di Y su X.

p =1 X e Y indipendenti ? SÌ

NO rY X :y = 32

3. Cinque dadi vengono lanciati uno alla volta. I primi tre mostrano le seguenti facce : l

l l

l l

l l

l

l

Dado 1 Dado 2 Dado 3

Calcolare la probabilità α che, lanciando gli altri due, almeno due mostrino la stessa faccia, e la probabilità β di ottenere cinque numeri consecutivi.

α = 5

6 β = 1

9

(3)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito C

1. Siano dati due eventi A e B tali che A ∪ B = Ω e A ∩ B 6= ∅. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 2

7, P (B) = 3

5 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .

COERENTE ? SÌ

NO

2. Un’urna contiene venti palline di cui alcune bianche e le altre nere. Da essa si estraggono con restituzione palline fino ad ottenere per la prima volta pallina nera. Sapendo che la probabilità di fare almeno 4 estrazioni è pari a 27

64, determinare il numero b di palline bianche presenti nell’urna.

b =15

3. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Si facciano 10 estrazioni con restituzione. Calcolare la probabilità α di ottenere 4 palline bianche e la probabilità β di ottenere la seguente sequenza

l m l l m l m l m l

α =10 4

  2 5

4

 3 5

6

β = 2 5

4

 3 5

6

(4)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito D

1. Si abbiano tre urne come mostrato in figura :

m m l m

l m l

m m

l m l m l m

U

1

U

2

U

3

Le tre urne sono poste dietro una tenda ; un uomo nascosto alla nostra vista sceglie a caso un’urna da cui estrae in blocco due palline ottenendole entrambe bianche. Quale è la probabilità p che abbia estratto dalla prima urna ?

p =1 2

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson ed è tale che IP(3X2) = 90. Calcolare P (X ≥ 1).

P (X ≥ 1) =1 − e−5

3. Un’urna contiene 20 palline bianche e 30 nere. Da essa vengono estratte senza restituzione le palline fino a svuota- mento completo. Sia Ei =“pallina bianca alla i-esima estrazione”, calcolare P (E27∩ E32c |E32∪ E39c ).

P (E27∩ E32c |E32∪ E39c ) = 29 148

(5)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito E

1. Dati gli eventi A,B,C, tali che Ac ⊂ Bc ⊂ Cc, e tali che P (A) è doppia della probabilità di B, che a sua volta è tripla di quella di C, determinare l’insieme E dei valori coerenti p di P (C) e calcolare (in funzione di p) la previsione del numero aleatorio X = |A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|.

E ={p : 0 ≤ p ≤ 1/6} IP(X) =5p

2. Un numero aleatorio continuo X(> 0) è tale che ∀t, s > 0 si ha P (X > t + s) = P (X > t)P (X > s). Sapendo che P (X > 3) = e−3, calcolare IP(X2)

IP(X2) =2

3. Un’urna contiene quattro palline numerate bianche e nere come mostrato in figura :

¬ ­

¸ ¹

Da essa vengono estratte una alla volta e senza restituzione tre palline. Definiti gli eventi Bi =“si ottiene pal- lina bianca alla i-esima estrazione”, Di =“si ottiene pallina dispari alla i-esima estrazione”, i = 1, 2, 3, calcolare α = P (B1c ∩ D2 ∩ D3|D1 ∪ B2c ∪ B3c) e stabilire se gli eventi Bi e Di sono stocasticamente indipendenti per i = 1, 2, 3 (cerchiare la risposta giusta) .

α = 1

11 Bie Diindipendenti ? SÌ

NO

(6)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 23 giugno 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito F

1. Un’urna contiene 25 palline bianche, 15 nere e 10 rosse. Da essa vengono estratte con restituzione le palline fino a quando si ottiene un colore diverso dal bianco. Calcolare la probabilità p che le estrazioni terminino con l’estrazione di una pallina rossa.

p =2 5

2. Mario ha giocato sulla ruota del lotto di Venezia i seguenti numeri : 10,37,55,71. Egli assiste in diretta alla estrazione dei cinque numeri, e i primi tre numeri usciti sono i seguenti

· ¿ ¼

Calcolare la probabilità α che egli realizzi un terno e β che realizzi un ambo.

α = 1

1247 β = 84

1247

3. Ad un pub un gruppo di cinque persone si siede (a caso) attorno ad un tavolo rotondo. Sapendo che il gruppo è composto da due coppie di fidanzati e un single, calcolare la probabilità q che nessun fidanzato si trovi vicino al proprio partner.

q = 1 3

(7)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A

1. In una scuola il 70% degli alunni ha il computer a casa. La probabilità che uno di essi si appassioni a usare il computer in classe è pari a 9/10 se ha il computer a casa, altrimenti è pari a 1/4. Sapendo che uno studente ha usato il computer, determinare la probabilità p che egli abbia il computer a casa.

p = 42 47 2. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente distribuzione

f (x, y) =

 xy (x, y) ∈ [1,√

3] × [1,√ 3]

0 altrove Calcolare IP

 1 XY



, stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta rY X

di regressione di Y su X.

IP

 1 XY



=2(2 −√

3) X e Y indipendenti ? SÌ

NO rY X:y =3 −13

3. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Da essa vengono estratte le palline nel seguente modo, se è bianca viene reinserita nell’urna, altrimenti no. Calcolare la probabilità α di ottenere di ottenere la seguente sequenza

l m l l m

α = 8 189

(8)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito B

1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {−6, −3, x3, 6} e distribuzione pX =

 p1,1

3, p3,1 6



. Sapendo che IP(X) = 0, var(X) = 18, determinare i valori x3, p1, p3.

x3 =3 p1 = 1

6 p3 = 1

3

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale standard. Calcolare IP(X3).

IP(X3) =0

3. Su un tavolo si trovano le seguenti carte (3 scoperte e 2 coperte) di un mazzo di carte francesi di 32 carte (dal 7 all’Asso) .

¨ 10 ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ 10 ¨

« 8 «

« «

« «

« 8 «

¨ 8 ¨

¨ ¨

¨ ¨

¨ 8 ¨

Scoprendo le due carte, calcolare la probabilità α di ottenere un full (un tris più una coppia), e la probabilità β di ottenere un poker.

α = 9

406 β = 1

406

(9)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito C

1. Siano A, B, C tre eventi tali che B ⊆ A ∩ Cc. L’assegnazione P (B) = 0.6, P (C) = 0.5 è coerente (cerchiare la risposta giusta) ?

COERENTE ? SÌ

NO

2. Due persone hanno un mazzo di carte per ciascuno da cui estraggono contemporaneamente, indipendentemente e con restituzione una carta alla volta fino a quando ottengono due carte con lo stesso seme. Determinare il numero medio N di estrazioni che ognuna di esse fa.

N =4

3. Un’urna contiene sei palline numerate bianche e nere come mostrato in figura :

¬ ­ ®

¹ º »

Da essa vengono estratte in blocco tre palline. Definiti gli eventi

E = “la pallina più piccola è maggiore di 1”, F = “la pallina più grande è minore di 6”,

G = “sono state estratte più palline bianche che nere”,

stabilire se gli eventi E, F, G sono stocasticamente indipendenti e logicamente indipendenti (cerchiare la risposta giusta) .

E, F, G stocasticamente indipendenti ? SÌ

NO E, F, G logicamente indipendenti ? SÌ

NO

(10)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito D

1. Un vettore aleatorio ha distribuzione uniforme sul quadrato di vertici (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1). Determinare fX(x), calcolare cov(X, Y ) e stabilire se X e Y sono indipendenti.

fX(x) =

1 + x −1 ≤ x ≤ 0 1 − x 0 < x ≤ 1 0 altrove

cov(X, Y ) =0 X e Y indipendenti ? SÌ

NO 2. Siano dati i tre numeri 4, 10, 25 ; di essi calcolare la media aritmetica ¯x, la media armonica α e la media geometrica

γ.

¯

x =13 α = 100

13 γ =10

3. Cinque dadi vengono lanciati uno alla volta. I primi tre mostrano le seguenti facce : l

l l

l l

l l

l l l

Dado 1 Dado 2 Dado 3

Calcolare la probabilità α che, lanciando gli altri due, quattro mostrino la stessa faccia, e la probabilità β di ottenere una coppia più un tris.

α = 1

36 β = 1

12

(11)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito E

1. Siano dati gli eventi A,B,C, tali che Cc ⊂ Ac∩ Bc, e il numero aleatorio X = 3|A| − 2|B| + |C|. Esprimere X in una opportuna forma canonica, e calcolarne la previsione supponendo tutti i costituenti equiprobabili.

X =2|C1| + 4|C2| − |C3| + |C4| IP(X) = 6 5 avendo posto

C1 = A ∩ B ∩ C, C2 = A ∩ Bc∩ C, C3 = Ac∩ B ∩ C, C4 = Ac∩ Bc∩ C.

2. Ad un esame sono presenti 50 studenti. Ognuno di essi può prendere un voto (aleatorio) con valor medio 20 e scarto quadratico 5. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa) α che la media aritmetica di tutti gli studenti sia superiore a 21.

α =1 − Φ(√ 2)

3. Si abbiano tre urne come mostrato in figura :

m m l m

l m l

m m

l m l m l m

U

1

U

2

U

3

Dalla prima viene estratta una pallina che viene inserita nella seconda ; dalla seconda viene estratta una pallina che viene inserita nella terza ; dalla terza viene estratta una pallina che viene inserita nella prima. Quale è la probabilità p che al termine delle operazioni le tre urne mantengano la stessa composizione iniziale ?

p = 5 14

(12)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 16 luglio 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito F

1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità f (x) =

 kx2 x ∈ [−1, 1]

0 altrove Determinare k e la densità g(y) di Y = 2 − X.

k = 3

2 g(y) =

( 3

2(2 − y)2 y ∈ [1, 3]

0 altrove

2. Siano dati i seguenti valori numerici 12, 32, 43, 2, 22, 32, 4 ; determinare la moda x, la mediana m e la media arit- metica ¯x.

x =32 m =22 x =¯ 21

3. Un pulmann per gite scolastiche ha 15 posti a sedere. In esso sono presenti 10 studenti di cui 3 ragazze. Dopo una sosta ad un autogrill, tutti gli studenti risalgono sul pulmann occupando a caso i posti a sedere. Determinare la probabilità p che almeno una ragazza occupi un posto su cui sedeva (prima della sosta) un ragazzo.

p = 57 65

(13)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A

1. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) è distribuito uniformemente sui punti (0, 0), (1, 2), (−2, 3), (−2, −1), (3, −1).

Determinare la funzione di ripartizione F (z) del numero aleatorio Z = cos(πXY ).

F (z) =





0 z < −1 1

5 −1 ≤ z < 1 1 z ≥ 1

2. Si abbiano n numeri aleatori X1, X2, ..., Xn, con lo stesso scarto standard σ =√

10 e tali che ρ(Xi, Xj) = − 1 10 per qualunque coppia di indici i, j. Qual è il valore massimo (S) che può assumere var(X1+ X2+ ... + Xn) ?

S =30

3. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti, e il numero aleatorio X = 3|Ac| − 2|B|. Esprimere X3 in funzione di |A| e di |B|.

X3 =27 − 27|A| − 26|B| + 18|A| · |B|

Il seguente testo è stato dato per errore Si considerino n numeri aleatori X1, X2, ..., Xn, con lo stesso scarto standard σ e tali che ρ(Xi, Xj) = ρ ≤ − 1

10 per qualunque coppia di indici i, j. Qual è il valore massimo che può assumere n ?

nmax= 11

(14)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito B

1. Riempire la seguente tabella con i giusti valori, sapendo che X e Y sono stocasticamente indipendenti, e che var(Y ) = 3.

X -1 0 1 pY

Y

0 p11=1

4 p21=1

4 p31= 1

4 p001 =3 4

y2=4 p12= 1

12 p22= 1

12 p32= 1 12

1 4

pX 1

3

1

3 p03=1 3

2. La probabilità che un cacciatore colpisca un uccello in volo è pari a 1

100. Calcolare la probabilità p che su 200 tentativi colpisca almeno due uccelli, prima in modo esatto (α), e poi con una opportuna approssimazione (β).

α =1 − 2.99 99 100

199

β =1 − 3e−2 α ' β ' 0.59

3. In un’ urna ci sono tre dadi : uno normale, uno con tutte e sei le facce che mostrano ‘2’, e uno con tutte e sei le facce che mostrano ‘5’. Da essa ne vengono estratti due a caso e vengono lanciati senza guardarli. Sapendo che la somma delle facce mostrate è 7, calcolare la probabilità p che il dado normale sia rimasto nell’urna.

p =3 4

(15)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito C

1. Un numero aleatorio X è equidistribuito sul codominio CX = {−4, −2, 2, 4}. Determinare previsione e varianza del numero aleatorio Y = log2

 1

|X|

 .

IP(Y ) =−3

2 var(Y ) = 1

4

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con scarto quadratico (σ) doppio del valor medio (m).

Calcolare α = P (−σ ≤ X < m| − m < X < σ).

α = Φ(1) − 12 Φ(1) − 1 + Φ 12

3. Una persona ha davanti a sé due mazzi di carte italiane, ad uno dei quali tutte le figure sono state sostituite con assi.

Egli ne sceglie uno a caso e compie estrazioni con restituzione fino ad ottenere per la prima volta un asso. Avendo compiuto 4 estrazioni, quale è la probabilità p che abbia scelto il mazzo non modificato ?

p = 27 59

(16)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito D

1. Un vettore aleatorio (X, Y ) ha la seguente distribuzione f (x, y) =

 ke2x−3y (x, y) ∈ (−∞, 0] × [0, +∞)

0 altrove

Determinare k, stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta rY X di regressione di X su Y .

k =6 X e Y indipendenti ? SÌ

NO rXY :x = −12

2. La conoscenza del peso θ (espresso in grammi) di un bullone è rappresentata dalla densità β(θ) = N10,2(θ). Per migliorare la conoscenza il bullone viene pesato 8 volte con una bilancia che commette un errore attorno al va- lore effettivo (θ) avente distribuzione normale con scarto quadratico pari a 1. Sapendo che le misure sono state (8, 10, 11, 10, 12, 10, 9, 10), determinare la distribuzione finale.

β(θ|x) =N10,2 33

(θ)

3. Un signore decide di puntare sempre sul numero ‘43’ sulla ruota del lotto di Roma. Quante estrazioni (N ) deve attendere mediamente prima che esso venga estratto ?

N =18

(17)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito E

1. Due dadi vengono lanciati contemporaneamente. Determinare codominio e distribuzione di Z =‘massimo numero uscito’.

CZ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

pZ = 1 36, 3

36, 5 36, 7

36, 9 36,11

36



2. Siano X, Y due numeri aleatori, con Y = arctan(2 + kX). Esistono valori di k tali che il coefficiente di correlazione ρ(X, Y ) valga 1 (cerchiare la risposta giusta) ?

NO

3. In un’urna le palline bianche sono il doppio di quelle nere. Da essa si estraggono senza restituzione le palline fino a dimezzarne il contenuto, e sia X =‘numero di palline bianche estratte’. Sapendo che var(X) = 8

11 quante palline (n) sono state estratte ?

n =6

(18)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 24 settembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito F

1. Un numero aleatorio X ha la seguente densità di probabilità f (x) =

 kx2 x ∈ [−1, 1]

0 altrove Determinare k e la densità g(y) di Y = 1 − X2.

k = 3

2 g(y) =

( 3 2

p1 − y y ∈ [0, 1]

0 altrove

2. In una classe di 40 studenti si sta svolgendo il tema di italiano. Il numero (aleatorio) di errori di ortografia che ognuno di essi commette ha valor medio pari a 1

20. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità (approssimativa) α che in tutta l’aula si abbiano almeno 2 errori.

α = 1 2

3. Siano dati due eventi A e B. È coerente l’assegnazione P [(A ∩ B)c] < P (Ac∩ Bc) (cerchiare la risposta giusta) ?

COERENTE ? SÌ

NO

(19)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica

Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A

1. Siano dati due eventi A e B tali che A ∪ B = Ω e A ∩ B 6= ∅. Stabilire se l’assegnazione di probabilità P (A) = 2

7, P (B) = 11

21 è coerente (cerchiare la risposta giusta) .

coerente SÌ

NO

2. Quattro studenti riempiono a caso la matrice numerica 2 × 2 mostrata in figura con i rispettivi numeri di matricola.

 . . . . . . . .



Calcolare la previsione di X =‘determinante della matrice’.

IP(X) =0

3. Un numero aleatorio continuo X > 0 è tale che P (X > t)P (X > s) = P (X > t + s) ∀t, s > 0 ; sapendo che P (X > 4) = 0.7, determinarne il valore medio M .

M = 4

ln 10 − ln 7

4. La quantità di sodio (misurata in mg/litro) presente in un tipo di acqua è un numero aleatorio (θ) avente distribuzione uniforme tra 3 e 4. Per avere una stima più precisa si effettua una nuova misura con uno strumento che è soggetto ad un errore avente distribuzione normale centrata sul valore effettivo e scarto quadratico medio pari a 1. Avendo ottenuto il valore 3.5, determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.

α(x|θ) =N3.5,1(θ) β(θ|x) =

N3.5,1(θ)

2Φ(0.5) − 1 θ ∈ [3, 4]

0 altrove.

(20)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica

Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito B

1. La probabilità che uno studente che si è prenotato si presenti ad un esame è positiva ; la probabilità che egli consegni l’elaborato sapendo che si è presentato è pari a 5

7; la probabilità che egli superi la prova sapendo che ha consegnato l’elaborato è pari a 7

10. Determinare la probabilità p che uno studente che si è presentato all’esame sia promosso.

p =1 2

2. Un’urna contenente una pallina bianca e nove nere viene ripartita in parti uguali in due urne U1 e U2. Quale è la probabilità α che la pallina bianca si trovi in U1? Successivamente da U2 si estraggono a caso tre palline in blocco rivelandosi tutte nere. Quale è la probabilità β che la pallina bianca si trovi in U2?

α = 1

2 β = 2

7

3. Un numero aleatorio X ha densità

f (x) =

 kx3(1 − x)8 0 < x < 1

0 altrove.

Determinare k e calcolare IP(X).

k = 12!

3!8! IP(X) = 4 13

4. Un secchio S1di 10 litri contiene una quantità aleatoria (X) di litri d’acqua avente distribuzione uniforme su [0, 10]. Il suo contenuto viene riversato in un secondo secchio S2della capacità di 5 litri. Determinare la funzione di ripartizione Y = ‘contenuto in litri di S2dopo il travaso’.

FY(y) =

0 y < 0

y

10 0 ≤ y < 5 1 y ≥ 5

(21)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica

Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito C

1. Un docente propone ai ragazzi la scelta (come voto finale) tra la media geometrica γ e la media armonica α dei voti presi alla prova scritta e alla prova orale. Quale scelta conviene ai ragazzi (cerchiare la risposta giusta) ?

γ α

2. Un’urna contiene palline bianche e nere. Sapendo che in 5 estrazioni con restituzione si sono ottenute 3 bianche e 2 nere, calcolare la probabilità α che si sia avuta la seguente sequenza :

m l m l m

α = 1 10

3. Un numero aleatorio X ha densità

f (x) =

 kx3e−2x x > 0

0 x ≤ 0

Determinare k e calcolare IP(X).

k = 8

3 IP(X) =2

4. Una fabbrica produce cilindri con diametro (misurato in millimetri) avente distribuzione normale N20,1. Una ditta acquirente ritiene accettabili solo i cilindri che abbiano il diametro compreso tra 19 e 21 mm. Applicando il teorema centrale si determini il numero minimo min di cilindri che deve produrre la fabbrica affinché la probabilità di avere almeno 100 cilindri accettabili sia maggiore del 50% ?

min =

 100 2Φ(1) − 1



= 147

(22)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica

Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 17 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito D

1. Cinque calciatori di una squadra di calcio di serie A, durante l’ultimo campionato hanno disputato rispettivamente (Xi) 3, 11, 15, 13, 8 incontri, realizzando rispettivamente (Yi) 3, 4, 9, 3, 1 reti. Determinare la covarianza di X e Y .

cov(X, Y ) =7

2. Per vincere un premio si hanno a disposizione 10 tiri per colpire un bersaglio. Sapendo che Marco ha probabilità 25%

di colpire e che ha vinto il premio, quale è la probabilità α che egli abbia colpito il bersaglio all’ultimo colpo ?

α = pq9

1 − q10 = [con p = 1/4, q = 3/4] = 39 410− 310

3. Un numero aleatorio X ha densità N3,2(x). Determinare la densità di probabilità di Y =

X − 3 2

.

fY(y) =

√2

2πe12y2 y ≥ 0

0 y < 0

4. Durante un giorno in un supermercato vanno a fare la spesa 100 clienti. Ognuno di essi spende una somma (aleatoria, misurata in euro) avente varianza pari a 25 e valor medio m. Sapendo che la probabilità che l’incasso dell’intera giornata sia inferiore a 2100 euro è pari a Φ(2), determinare il valore medio speso da ogni cliente.

m =20

(23)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A

1. Un pendolare è solito prendere sempre lo stesso treno. In base a passate osservazioni è noto che quando egli arriva in stazione prima dell’orario di partenza il treno parte in ritardo con probabilità 0.9. Quando invece arriva in ritardo in stazione il treno parte in orario con probabilità 0.8. Determinare il valore minimo (min) e quello massimo (max) della probabilità che il pendolare parta in orario.

min =0 max =0.1

2. Due amici escono a caccia. Il primo ha probabilità 7/10 di colpire un uccello in volo, mentre il secondo ha probabilità 9/10. Essi terminano la caccia quando ognuno di loro ha catturato un uccello. Quanti colpi complessivi (N ) dovranno sparare mediamente i due amici ?

N = 160 63 3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha la seguente densità

f (x, y) = (

ky

x (x, y) ∈ [1, 2] × [1, 2]

0 altrove.

Determinare k e il punto P di intersezione tra la retta rY X (di regressione di Y su X) e la retta rXY (di regressione di X su Y ).

k = 2

3 ln 2 P ≡

 1 ln 2,14

9



4. In una cittadina, il numero di feriti a causa dei mortaretti nella notte di capodanno segue la distribuzione di Poisson con parametro θ incognito avente densità

β(θ) =

( 6

θ7 θ > 1 0 altrove.

Sapendo che nella notte di capodanno 2005 ci sono stati 7 feriti, determinare la distribuzione finale di θ.

β(θ|x) =

 e1−θ θ > 1 0 altrove.

(24)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito B

1. Un numero aleatorio X ha distribuzione binomiale. Sapendo che la previsione è pari a 5 volte la varianza e che P (X = 0) = 1

125, determinare il valore massimo (max) che può assumere X.

max =3

2. In una ditta che vende dispositivi di un certo tipo il 50% proviene da una fabbrica A, il 30% da una fabbrica B e il 20%

da C. Le percentuali di dispositivi difettosi prodotti da A,B,C sono rispettivamente il 3%, il 5% e il 10%. Calcolare la probabilità p che un dispositivo venduto dalla ditta e risultato difettoso sia stato prodotto da B.

p = 3 10

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con m = 1, σ = 2. Calcolare P (X < 3|X > 1). Determinare la densità di probabilità di Y = X − 1

2 .

P (X < 3|X > 1) =2Φ(1) − 1 fY(y) =N (y)

4. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul triangolo di vertici (2, 2); (4, 4); (4, 0). Determi- nare la funzione di ripartizione di X.

FX(x) =

0 x < 2

x 2 − 12

2 ≤ x ≤ 4 1 x > 4

(25)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito C

1. Un numero aleatorio X ha codominio CX = {−2, −1, 1, 2} e distribuzione pX =  1 3,1

6,1 6,1

3



. Determinare var(|X|).

var(|X|) = 2 9

2. In una carrozza di un treno per pendolari ci sono 12 posti a sedere divisi a gruppi di 4. Durante il viaggio essi sono tutti occupati ; alla fermata successiva scendono 6 persone. Calcolare la probabilità p che un gruppo di 4 posti a sedere si sia svuotato.

p = 1 11 3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme in

C =

 −1 < x < 1 0 ≤ y ≤ x2 Determinare la funzione di ripartizione di Y e calcolare IP(Y ).

FY(y) =

0 y < 0

y(3 − 2√

y) 0 ≤ y ≤ 1

1 y > 1

IP(Y ) = 3 10

4. Un vettore aleatorio discreto (X, Y ) è distribuito uniformemente sui punti (−1, −1), (−1, 1), (0, 0), (1, −1), (1, 1).

Stabilire se X, Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e determinare la retta di regressione di X su Y . X e Y indipendenti ? SÌ

NO rXY :x = 0

(26)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito D

1. In un sacchetto ci sono 12 palline numerate (da 1 a 12). Nell’estrazione di due palline con restituzione, si definiscano i seguenti eventi :

A =“almeno una è multiplo di 2”, B =“almeno una è multiplo di 3”, C =“almeno una è multiplo di 4”.

Stabilire quali coppie di eventi sono indipendenti logicamente e stocasticamente.

coppie logicamente indipendenti → (A, B), (B, C) coppie stocasticamente indipendenti → (A, B), (B, C)

2. In una classe ci sono 20 alunni che seguono la lezione e 10 che disturbano. La probabilità che un alunno che segue la lezione sia promosso è del 70%, mentre quella di un alunno che disturba la lezione è del 90%. Calcolare il valore medio M degli alunni promossi a fine anno.

M =23

3. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha distribuzione uniforme in C =

 −∞ < x < +∞

0 ≤ y ≤ e−x2/2

Stabilire se X e Y sono indipendenti (cerchiare la risposta giusta) e calcolare IP(Y ).

X e Y indipendenti ? SÌ

NO IP(Y ) = 212

4. Sia X un numero aleatorio qualunque. Quali sono i valori di k tale che il coefficiente di correlazione tra X e Y = kX3 sia pari a 1 ? Sia ora X un numero aleatorio tale che CX = {−1, 0, 1}, quali sono i valori di h tali il coefficiente di correlazione tra X e Y = hX3sia pari a 1 ?

knessuno ; h> 0

(27)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito E

1. Un numero aleatorio X ha distribuzone di Poisson ed è tale che IP(X2) = 4IP(X). Calcolare α = P [X = IP(X)].

α = 9 2e−3

2. Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere. Carlo ne estrae un certo numero senza restituzione ottenendo 4 palline bianche. Quale è la probabilità p che Carlo abbia estratto 5 palline sapendo che il numero di palline da estrarre lo ha deciso in base al lancio di un dado ?

p = 5 21

3. Una ditta imbottigliatrice confeziona bottiglie da un litro ciascuna. Ad ogni bottiglia toglie una quantità aleatoria (espressa in litri) avente distribuzione esponenziale con parametro λ = 1000. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità β che dopo 1000 bottiglie manomesse riesca a risparmiare almeno un litro.

β = 1 2 4. Un numero aleatorio X ha la seguente densità

f (x) =

 xe−x x > 0

0 x ≤ 0

Determinare la funzione di rischio.

h(x) =

( x

x + 1 x > 0

0 x ≤ 0

(28)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito F

1. Ad un concorso (per graduatoria) i test sono strutturati in quiz dove bisogna barrare una risposta tra cinque presenti.

In caso di risposta giusta si guadagna 1 punto, in caso di risposta sbagliata si riceve una penalità di 0.2 punti, in caso di risposta assente non si riceve alcun punto. In caso di completa impreparazione del candidato, conviene barrare una risposta a caso oppure non barrare niente (cerchiare la risposta giusta) ?

Conviene barrare ? SÌ

NO

2. In una griglia di 2 righe e 3 colonne debbono essere inserite a caso 4 palline (al massimo una per casella) come mostrato in figura.

I colonna II colonna III colonna

↓ ↓ ↓

I riga →

II riga →

⇐= l l l l

Sia X =‘numero di palline nella terza colonna’ e Y =‘numero di palline nella seconda riga’, calcolare cov(X, Y ).

cov(X, Y ) =0

3. Un numero aleatorio X > 0 ha funzione di rischio h(x) =

 x x > 0 0 x ≤ 0 Determinare la densità.

f (x) = (

xex22 x > 0

0 x ≤ 0

4. Calcolare la probabilità p che sull’intero tabellone delle 10 ruote del lotto, alla prossima estrazione non vi sia nem- meno un ‘37’.

p = 17 18

10

' 0.565

(29)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito G

1. Siano dati n eventi E1, E2, . . . , En stocasticamente indipendenti ed equiprobabili (P (Ei) = p). Sapendo che la probabilità che se ne verifichi almeno uno è pari a 15

16, mentre quella che si verifichino tutti è pari a 1

16, determinare p e n.

p = 1

2 n =4

2. Un numero aleatorio X ha la seguente funzione di ripartizione

F (x) =













0 x < −1

1

8 −1 ≤ x < 0

1

4 0 ≤ x < 2

5

8 2 ≤ x < 5

1 x ≥ 5

Determinare il codominio e calcolare P (2 ≤ X < 5).

CX ={−1, 0, 2, 5} P (2 ≤ X < 5) = 3 8

3. Un numero aleatorio X ha densità

f (x) =

 kx2e−2x x > 0

0 x ≤ 0

Determinare k e calcolare IP(X).

k =4 IP(X) = 3

2

4. Un’urna contiene 6 palline azzurre, 6 gialle e 6 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione le palline, e siano definiti i seguenti eventi :

Ai= “pallina azzurra alla i-esima estrazione”, Gi = “pallina gialla alla i-esima estrazione”, Vi = “pallina viola alla i-esima estrazione”.

Calcolare la probabilità α = P (A3∪ G7∪ V13).

α = 47

(30)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 21 dicembre 2004

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito H

1. Siano dati 3 eventi A, B, C tali che A e C siano disgiunti e il numero aleatorio X = |Bc| − |Ac∩ Cc|. Esprimere X e X2in una opportuna forma canonica e calcolare var(X) supponendo tutti i costituenti equiprobabili.

X =|H1| − |H3| + |H5|, X2 =|H1| + |H3| + |H5| avendo posto H1 = A ∩ Bc∩ Cc, H2 = A ∩ B ∩ Cc, H3= Ac∩ B ∩ Cc, H4= Ac∩ B ∩ C, H5= Ac∩ Bc∩ C, H6= Ac∩ Bc∩ Cc.

var(X) = 17 36 2. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha la seguente distribuzione

f (x, y) =

 k 1

x2y2 (x, y) ∈ [2, 4] × [2, 4]

0 altrove

Determinare k e calcolare IP X2Y2.

k =16 IP X2Y2 =64

3. Un numero aleatorio continuo X ha la seguente densità

f (x) =

k x ∈ [2, 4]

2k x ∈ [5, 6]

0 altrove Determinare k e la funzione di ripartizione.

k = 1

4 F (x) =









0 x < 2

x−2

4 2 ≤ x ≤ 4

1

2 4 < x < 5

x−4

2 5 ≤ x ≤ 6 1 x > 6

4. Un signore va a pesca con una canna. Il tempo d’attesa fino alla cattura del primo pesce ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 10 minuti ; quanto tempo (M ) dovrebbe attendere mediamente se pescasse con due canne ? (N.B. Si supponga che le due canne non si influenzino a vicenda)

M =5

(31)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica

Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 gennaio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A

1. Un numero aleatorio X ha densità

f (x) =

 kx9e−5x x > 0

0 x ≤ 0

Determinare k e calcolare IP(X).

k = 510

9! IP(X) =2

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione geometrica con parametro p. Calcolare la previsione di Y = sin

π 2X

 .

IP(Y ) = p 1 + q2

3. Un numero aleatorio X ha la seguente densità 1

2√ π exp

"

− x − 3 2

2#

per −∞ < x < +∞.

Calcolare P (X ≤ 3 +√ 2).

P (X ≤ 3 +√

2) =Φ(1)

4. In un’urna ci sono 5 palline (bianche e/o nere). Il numero aleatorio

Q =‘numero di palline bianche presenti nell’urna’

ha distribuzione (iniziale) uniforme. Nell’estrazione di 3 palline con restituzione si è ottenuta la seguente sequenza :

m l m

Determinare la distribuzione finale di Q.

P (Q = i|E) = 1

50i2(5 − i) i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 → pQ|E =

 0, 2

25, 6 25, 9

25, 8 25, 0



(32)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica

Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 14 gennaio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito B

1. Un numero aleatorio X ha densità

f (x) =

 kx7(1 − x)15 0 < x < 1

0 altrove.

Determinare k e calcolare IP(X).

k = 23!

7!15! IP(X) = 1 3

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ. Calcolare la previsione di Y = cos

π 2X

 .

IP(Y ) = cos λ eλ

3. Ad un esame venti studenti hanno preso i seguenti voti :

13 8 21 8 23 25 8 8 15 12 24 30 16 19 25 25 21 30 23 26

Determinare media x, moda xe mediana m.

x =19 x =8 m =21

4. Un’urna contiene 99 palline nere e una che può essere con uguale probabilità bianca o nera. Da essa vengono fatte una serie di estrazioni (con restituzione) di 10 palline in blocco. Dopo quante estrazioni (N ) in blocco che presentano sempre 10 palline nere si può affermare che la probabilità che nell’urna ci siano solo palline nere è maggiore di 99/100 ?

N =44

(33)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A

1. Un numero aleatorio continuo X è distribuito uniformemente sull’intervallo (0, 4) ; si determini la funzione di rischio in tale intervallo.

h(x) = 1

4 − x per 0 < x < 4

2. Quattro eventi A, B, C, D sono tali che A ⊂ C, B ⊂ D, B ∩ C = ∅, A ∩ D = ∅ ; inoltre si ha P (A) = P (B) = 0, P (C) = P (D) = 1. Elencare tutti i costituenti che si formano ed esprimerli in funzione di A, B, C, D.

costituenti

C1 = Ac∩ Bc∩ Cc∩ Dc C2 = Ac∩ Bc∩ Cc∩ D C3 = Ac∩ Bc∩ C ∩ Dc C4 = Ac∩ Bc∩ C ∩ D C5 = Ac∩ B ∩ Cc∩ D C6 = A ∩ Bc∩ C ∩ Dc 3. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità

X 0 1 3

Y

1 1

6 1 3

1 9

3 2

9 1 18

1 9

Determinare la distribuzione condizionata p0h|2= P (X = xh|Y = y2) e calcolare IP(X|Y = 3).

p0h|2= 4 7,1

7,2 7



IP(X|Y = 3) =1

4. Una vetrata è costituita da un telaio di larghezza 2 (metri) e altezza 1 su cui possono scorrere liberamente due vetri di misura (1 x 1) ; si suppongano nulle le misure delle cornici. I due vetri vengono posizionati completamente a caso.

Determinare la densità di probabilità di Z =‘superficie dell’ apertura’.

fZ(z) =

 2z 0 ≤ z ≤ 1 0 altrove.

(34)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito B

1. Siano dati 3 eventi A, B, C tali che A ∪ B ∪ C = Ω e A ∩ B ∩ C = ∅. Determinare il codominio e la varianza di X =p|A ∩ Cc|(4 − 3|B|) sapendo che P (A ∩ Bc∩ Cc) = P (A ∩ B ∩ Cc) = 1

3.

CX ={0, 1, 2} var(X) = 2 3

2. Un’urna contiene 4 palline bianche e 4 nere ; da essa si estraggono senza restituzione 5 palline. Calcolare la probabilità p di ottenere un numero pari di palline bianche.

p =1 2

3. Un numero aleatorio discreto X ha CX = {−2, 0, 2}. Dato il numero aleatorio Y = arctan X, calcolare ρ.

ρ =1

4. Franco e Simone hanno una scatola per ciascuno da riempire con palline bianche e nere. Franco riempie la sua scatola seguendo il seguente criterio : lancia 3 volte una moneta, se esce testa inserisce una pallina bianca, altrimenti una pallina nera. Simone invece lancia 2 volte un dado, se esce il ‘4’ inserisce una pallina bianca, altrimenti una pallina nera. Successivamente il contenuto delle due scatole viene riversato in un’urna U da cui viene in seguito estratta una pallina ; calcolare la probabilità α di ottenere una pallina bianca.

α = 11 30

(35)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito C

1. Un numero aleatorio ha distribuzione di Poisson con valore medio pari a 3. Calcolare P (X ≥ 1).

P (X ≥ 1) =1 − e−3

2. Siano dati 3 eventi A, B, C tali che P (C) > 0. Calcolare p = P [(A ∪ B) ∩ Cc|(Ac∩ Bc) ∪ C].

p =0

3. Una fabbrica produce componenti la cui durata (espressa in anni) ha distribuzione esponenziale con parametro θ incognito avente la seguente densità di probabilità

β(θ) =

( c

θ2 θ > 1 0 altrove.

Sapendo che gli ultimi componenti hanno funzionato rispettivamente per 3 e 5 anni, determinare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale di θ.

α(x|θ) =θ2e−8θ β(θ|x) =

 8e8(1−θ) θ > 1 0 altrove.

4. Un’urna contiene 8 palline azzurre, 8 gialle e 8 viola. Da essa si estraggono una alla volta e senza restituzione le palline ; siano definiti i seguenti eventi :

Ai= “pallina azzurra alla i-esima estrazione”, Gi = “pallina gialla alla i-esima estrazione”, Vi = “pallina viola alla i-esima estrazione”.

Calcolare la probabilità α = P (Ac20∩ Gc4∩ V11c).

α = 232 759

(36)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito D

1. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti con P (A) = 0.3, P (B) = 0.4 e P (A ∩ B) = 0.1. Esprimere il numero aleatorio X = 2|A| − |B| in forma canonica, e il numero aleatorio X2 in funzione degli eventi A e B.

Calcolare var(X).

X =−|C1| + 2|C4| + |C3| avendo posto C1= Ac∩ B, C2 = Ac∩ Bc, C3= A ∩ B, C4 = A ∩ Bc

X2 =4|A| − 4|A||B| + |B| var(X) =1.16

2. Ciccio ha davanti a sé una scatola al cui interno si trovano delle letterine come mostrato in figura.

C C C I I O

Egli estrae una alla volta le letterine. Calcolare la probabilità che egli riesca a formare il proprio nome in caso di estrazioni senza restituzione (α), e con restituzione (β).

α = 1

60 β = 1

432

3. Due amici si trovano nel deserto a distanza L (misurata in chilometri) l’uno dall’altro. Ognuno di essi ha una quantità di carburante (aleatoria e indipendente l’una dall’altra) che permette di coprire una distanza avente distribuzione esponenziale di valore medio pari a L/2. Qual è la probabilità p che essi riescano ad incontrarsi ?

p =3e−2

4. In una grande città esistono 100 locali in cui c’è il divieto di fumare. In ognuno di essi la probabilità che il gestore permetta di fumare è pari a 1

5. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità γ che durante un controllo effettuato su tutta la città ci siano al massimo 30 locali che trasgrediscono la legge.

γ =Φ 5 2



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matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito E

1. Un banco organizza scommesse sugli esiti di estrazioni da un’urna contenente palline di due soli colori (bianche e nere) in proporzioni incognite. Sono definiti i seguenti eventi nell’estrazione di una pallina :

A =“si ottiene una pallina bianca”, B =“si ottiene una pallina nera”.

Il banco paga 1.5 : 1 le scommesse sull’evento A (ossia versando una somma α in caso di vincita si riceve 1.5α e si guadagna 0.5α), e 2.5 : 1 le scommesse sull’evento B. Stabilire se si tratta di scommesse coerenti (cerchiare la risposta giusta) .

COERENTI ? SÌ

NO

2. Un numero aleatorio continuo ha distribuzione uniforme, ed è tale che IP(X) = 0 e var(X) = 1

12. Calcolare var(X2).

var(X2) = 1 180

3. Un numero aleatorio X ha distribuzione normale ed è tale che P (X < 14) = Φ(2), e σ = 3m. Stabilire la densità di X.

f (x) =N2,6(x)

4. In una griglia di 2 righe e 2 colonne debbono essere inserite a caso 4 palline numerate (una per casella) come mostrato in figura.

I colonna II colonna

↓ ↓

I riga →

II riga →

⇐= ¬ ­ ® ¯

Sia X =‘somma dei numeri nella seconda colonna’ e Y =‘somma dei numeri nella prima riga’, calcolare cov(X, Y ).

cov(X, Y ) =0

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matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito F

1. Un numero aleatorio ha distribuzione esponenziale con valore medio pari a 5. Calcolare P (X < 5).

P (X < 5) =1 − e−1

2. Sia data la seguente distribuzione congiunta di probabilità

X 1 2 4

Y

1 1

24 1 6

1 8

2 1

4 1 12

1 3

Determinare codominio, distribuzione e varianza di Z = log2 Y X

 .

CZ ={−2, −1, 0, 1} pZ = 1 8,1

2,1 8,1

4



var(Z) =1

3. Un dispositivo è composto da 3 componenti posti in parallelo. Il primo ha probabilità 1/2 di funzionare, il secondo 1/3, il terzo 1/6. Sapendo che il dispositivo funziona e che i componenti sono tra loro indipendenti, quale è la probabilità γ che il secondo componente sia guasto ?

γ = 7 13

4. Nel gioco della morra cinese la forbice (F) batte carta (C) ; carta batte sasso (S) che a sua volta batte forbice.

Due amici, Massimo e Patrizio giocano alla morra cinese. È noto che Massimo ad ogni giocata mostra F, C, S con probabilità rispettivamente 1

2,1 3,1

6, mentre Patrizio mostra F, C, S con probabilità rispettivamente 7 15,1

3,1 5. Calcolare la probabilità che in una singola giocata vinca Massimo (α), e la probabilità che vinca Patrizio (β). In una partita in cui vince chi arriva per primo a 1, quale è la probabilità p che vinca Massimo ?

α = 14

45 β = 14

45 p =1

2

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Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005

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Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito G

1. Un vettore aleatorio ha distribuzione uniforme sul rettangolo [0, 2] × [0, 1]. Calcolare P (E|H) con E =

 Y > 1

2

 , H = (X > 1).

P (E|H) = 1 2

2. In un cassetto ci sono 6 bottoni verdi, 6 bianchi e 6 gialli. Una sarta li estrae a caso senza restituzione uno alla volta fino ad ottenerne 2 di uno stesso colore. Quante estrazioni (M ) deve compiere mediamente ?

M = 101 34

3. Un numero aleatorio continuo X ha distribuzione uniforme nell’intervallo (−1, 1). Determinare la densità di proba- bilità di Y = 1 − X2.

fY(y) =

 1 2√

1 − y 0 < y < 1

0 altrove.

4. Due amici tirano alternativamente un colpo per ciascuno fino a far scoppiare un palloncino. Andrea comincia per primo e ha probabilità 2

7 di avere un successo ; mentre Ugo ha probabilità 3

5. Calcolare la probabilità p che vinca Ugo.

p =3 5

(40)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005 Polo di Latina

Corsi di Laurea in Ingegneria: Elettronica - Informatica - Telecomunicazioni Esame di “CALCOLO delle PROBABILITÀ” - 17 gennaio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito H

1. Un numero aleatorio discreto X ha CX = {3, 5, 7} e pX = 3 15, 5

15, 7 15



. Determinare la funzione di ripartizione.

F (x) =





0 x < 3

1

5 3 ≤ x < 5

8

15 5 ≤ x < 7 1 x ≥ 7

2. Sei amici (Aldo, Bruno, Carlo, Danilo, Enzo e Fabrizio) devono andare da Roma a Milano e devono dividersi nel seguente modo : 3 in macchina, 2 in aereo e 1 in treno. In quanti modi (N1) è possibile la suddivisione ? Supponendo che solo Aldo abbia la patente, Bruno e Carlo soffrano il mal d’auto, e Danilo ed Enzo abbiano paura dell’aereo, in quanti modi (N2) è possibile la suddivisione ?

N1 =60 N2 =5

3. Un vettore aleatorio (X, Y ) è tale che ρ2 = 1. Stabilire l’ampiezza dell’angolo ϕ formato dalle due rette di regres- sione.

ϕ =0

4. In un’urna ci sono 10 palline che possono essere di due soli colori (bianche e nere). Il numero aleatorio discreto Q =‘numero di palline bianche presenti nell’urna’

ha distribuzione (iniziale) uniforme. Sapendo che estraendo due palline in blocco si sono ottenute una bianca e una nera, determinare la distribuzione finale di Q.

PF(Q = k) = k(10 − k)

165 k = 0, . . . , 10 → pQ|E =

 0, 3

55, 16 165, 7

55, 8 55, 5

33, 8 55, 7

55, 16 165, 3

55, 0



(41)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 22 febbraio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito A

1. Siano dati due eventi A e B logicamente indipendenti e tali che i costituenti da essi formati siano equiprobabili.

Esprimere in forma canonica il numero aleatorio X = 22|A|+|B|e calcolarne la previsione e la varianza.

X =8|C1| + 4|C2| + 2|C3| + 1|C4|

avendo posto C1= A ∩ B, C2 = A ∩ Bc, C3= Ac∩ B, C4= Ac∩ Bc IP(X) = 15

4 var(X) = 115

16

2. Un circuito elettrico è composto di due interruttori in serie tra loro indipendenti. Il primo è chiuso (permette il passaggio di corrente) con probabilità 1/3, mentre il secondo è chiuso con probabilità 2/3. Sapendo che ai capi del circuito non c’è passaggio di corrente, qual è la probabilità p che siano entrambi aperti ?

p =2 7

3. Un numero aleatorio continuo X non ha memoria ed è tale che P (X > 2|X < 4) = 1

1 + e. Determinare il valore medio (M ) di X.

M =2

(42)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2003/2004

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile - Ingegneria dei Trasporti Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA 1” - 22 febbraio 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati Compito B

1. Un’urna contiene 10 palline bianche e 10 nere. Un ragazzo estrae ripetutamente e con restituzione 2 palline in blocco fino ad ottenere due palline di colore diverso. Quante estrazioni dovrà compiere mediamente ?

M = 19 10

2. Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è distribuito uniformemente all’interno della circonferenza di centro l’origine degli assi e raggio 1 (C). Determinare fY(y|x).

fY(y|x) =





 1 2√

1 − x2 (x, y) ∈ C

non definita (x ≤ −1) ∪ (x ≥ 1)

0 altrove

3. Nella battitura di una tesi si commettono mediamente 5 errori di battitura a pagina, mentre lo scarto quadratico medio è pari a 2. Applicando il teorema centrale calcolare la probabilità che in una tesi di 100 pagine si commettano almeno 480 errori.

p =Φ(1)

(43)

Facoltà di Ingegneria - a.a. 2004/2005

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica Esame di “PROBABILITÀ e STATISTICA” - 15 aprile 2005

matricola cognome nome

Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati 1. Dieci ragazzi hanno le seguenti età : 10 13 11 9 10 13 12 8 13 11

Determinare media x, moda xe mediana m.

x =11 x =13 m =11

2. Un numero aleatorio X ha distribuzione di Poisson con parametro λ < 1. Calcolare IP(X!).

IP (X!) = e−λ 1 − λ

3. Un recipiente avente la capacità di un litro contiene acqua e vino, quest’ultimo con percentuale (aleatoria) X avente distribuzione fX(x) = B2,1(x). Un secondo recipiente (uguale al primo) contiene anch’esso acqua mista a vino avente percentuale (aleatoria) Y con distribuzione fY(y) = B1,2(y). I due contenuti vengono mescolati insieme in un terzo recipiente. Determinare la densità di Z =‘percentuale di vino nel terzo recipiente’.

fZ(z) =

16z2323z3 0 ≤ z < 1/2

16

3 − 16z2+323 z3 1/2 ≤ z < 1

0 altrove

4. Per misurare la temperatura (θ) alla sorgente di una certa acqua si usano 5 termometri simili. Ognuno di essi commette un errore che ha distribuzione uniforme centrata sul valore effettivo (θ) e ampiezza dell’intervallo pari a 2, ossia è del tipo :

f (xi|θ) =

 1/2 per θ − 1 ≤ xi≤ θ + 1 0 altrove

dove Xi =‘lettura dell’i-esimo termometro’. Sapendo che la distribuzione iniziale della temperatura dell’acqua è β(θ) = N10,5(θ), e che i 5 termometri hanno dato rispettivamente le seguenti misure (10, 10.5, 9.5, 9, 10), determi- nare la funzione di verosimiglianza e la distribuzione finale.

α(x|θ) =

 1/32 per 9.5 ≤ θ ≤ 10

0 altrove . β(θ|x) =

N10,5(θ)

Φ (0.1) − 1/2 per 9.5 ≤ θ ≤ 10

0 altrove .

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