Capitolo 5 Collettore solare di bottiglie di plastica

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Collettore solare di bottiglie

di plastica

5.1 Introduzione

L’esigenza alla base della progettazione del collettore solare in esame, oltre al funzionamento minimo richiesto, è la possibilità di costruirlo con i materiali reperibili a basso costo nella zona delle Ande peruviane: non ha dunque lo scopo di massimizzare l’efficienza di captazione solare in assoluto (e questo è ben evidente dalle sue caratteristiche), bens`ı di essere funzionale all’obiettivo di riscaldamento esposto nel capitolo precedente pur risultando proponibile e facilmente autocostruibile nelle zone del progetto.

5.2 Il collettore

Uno degli obiettivi principali di questo studio è l’individuazione di un sistema di captazione dell’energia solare termica che soddisfi contempo-raneamente le esigenze dell’impianto ed i requisiti di reperibilità dei mate-riali ed accessibilità in termini di costo. A seguito di un’estesa ricerca sul

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territorio peruviano e considerate le caratteristiche del sistema di riscal-damento ad attivazione termica della massa proposto, si `e scelto di inda-gare una tipologia di collettore solare termico costruito prevalentemente con materiale di riciclo, derivato da un progetto brasiliano1.

Figura 5.1: Illustrazione schematica e sezione del collettore solare di bottiglie di plastica

I materiali utilizzati per il collettore, illustrati in ﬁgura nella sequenza di montaggio, sono

– tubazioni di polietilene (A) da irrigazione, resistente ai raggi

ultra-violetti, di diametro D = 16 mm

– tubazioni di PVC da scarico (B) di diametro Dcoll = 1 pollice, come

collettori di raccordo

– bottiglie in plastica vuote (C) da 625ml, con funzione di copertura

(eﬀetto serra, protezione vento)

– tetrapack usato tinto di nero -o scarti di lamiera ondulata- (D), per

aumentare la superﬁcie captante

1_{Progetto vincitore del Premio Super Ecologia 2004, da un’idea di J.A.Alano, pubblicato}

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– sacchetti di plastica rotti con funzione di isolamento, da posizionare

al di sotto del tetrapack

– derivazioni ad innesto per irrigazione per collegare le tubazioni captanti

ai collettori di raccordo

Figura 5.2: Fasi di costruzione ed elementi costitutivi del collettore solare di bottiglie (sempliﬁcazione)

`

E evidente già da una prima descrizione che l’efficienza di un collettore cos`ı costruito risulterà molto bassa, ma ciò che interessa per il raggiun-gimento degli obiettivi dichiarati è il rapporto tra efficienza e costo, oltre alla semplicità costruttiva (che si traduce in affidabilità).

5.3 Analisi termica

Per condurre l’analisi termica del collettore solare di bottiglie facciamo alcune ipotesi sempliﬁcative:

– le condizioni sono stazionarie

– la temperatura superﬁciale del tubo Ttsi considera uniforme su tutto

il diametro

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– il ﬂusso di calore tra tubazione ed ambiente `e radiale ed unidimen-sionale

– tutti i paramentri caratteristici possono essere considerati

indipen-denti dalla temperatura nell’intervallo di interesse

– tutto il collettore scambia con la medesima temperatura ambiente

Ta

– la portata totale ˙_{M si ripartisce equamente tra gli n tubi del}

collet-tore ed in ognuno vale ˙_m

5.3.1 Fattore d’eﬃcienza del collettore

Il guadagno termico utile del collettore `e principalmente determinato da due quantit`a, oltre alle sue dimensioni: la conduttanza termica

comples-siva u tra superﬁcie esterna della tubazione ed ambiente, che tiene conto

delle perdite termiche del sistema, e l’eﬃcienza di scambio termico tra tubi e ﬂuido termovettore.

Conduttanza termica complessiva

`

E comodo utilizzare il concetto di coeﬃciente di perdita complessivo

u del collettore solare, allo scopo di sempliﬁcare notevolmente l’analisi

matematica: lo riferiamo solamente a met`a superﬁcie (pari alla

semicir-conferenza della tubazione per la lunghezza considerata) e sommiamo i differenti contributi, sia superiori sia inferiori, nell’ipotesi di due valori di temperatura di scambio fissi, Tt e Ta. Al fine di risolvere agevolmente le

equazioni (sia manualmente sia tramite strumenti informatici) `e inoltre utile ricorrere a linearizzazioni, discretizzazioni e calcoli iterativi.

La radiazione incidente (ridotta delle perdite ottiche) si ripartisce tra perdite verso l’alto, perdite verso il basso e guadagno utile trasmesso al ﬂuido.

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Per iniziare con una conﬁgurazione sempliﬁcata, analizziamo separata-mente i due casi:

– a. collettore di bottiglie senza tetrapack n`e sacchetti di plastica

– b. collettore di bottiglie con tetrapack e sacchetti di plastica isolanti

e cerchiamo di comprendere l’inﬂuenza dei diﬀerenti meccanismi di scam-bio termico. Partiamo con l’assumere la seguente ulteriore

sempliﬁcazio-ne:

– c. la plastica delle bottiglie `e completamente opaca alla radiazione emessa dagli elementi al suo interno (tubazione ed eventualmente tetrapack)

per poi rimuoverla in un terzo caso, introducendo la trasmittanza e l’e-missivit`_{a della plastica nello spettro delle radiazioni superiori a 3 μm.} Iniziamo con il prendere in esame un singolo tubo, per poi arrivare a valutare l’inﬂuenza tra le tubazioni del collettore, adiacenti una all’altra, nella riduzione delle dispersioni.

caso a: collettore di bottiglie senza tetrapack n`e sacchetti di plastica isolanti

Tra la superficie esterna della tubazione e l’ambiente troviamo alcune resistenze termiche: consideriamo separatamente la metà superiore della sezione, definendo la temperatura della bottiglia Tb,up, e la metà inferiore,

con la temperatura Tb,down. In parallelo tra il tubo e la superﬁcie interna

della bottiglia ci sono uno scambio radiativo ed uno convettivo2, in se-rie a questi ma in parallelo tra loro troviamo a seguire, tra bottiglia ed ambiente esterno, uno scambio radiativo con la temperatura equivalente del cielo ed uno convettivo (dettato dalle condizioni del vento) per la parte superiore, ed uno scambio convettivo -trascuriamo lo scambio ra-diativo in virt`u della vicinanza delle temperature- per la parte inferiore.

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Scopo di questo paragrafo `e trovare una resistenza equivalente che possa descrivere l’intero scambio tra superﬁcie della tubazione ed ambiente.

Figura 5.3: Sezione del collettore di bottiglie senza tetrapack n`e isolamento

Troviamo per prima la resistenza tra la tubazione a temperatura Tt e

la bottiglia a temperatura Tb,up (R2 in ﬁgura 5.4): il ﬂusso termico per

unità di superficie si può esprimere come

q_perd = hct,b(Tt− Tb,up) + hrt,b(Tt− Tb,up) (5.1)

nella quale i coeﬃcienti di scambio radiativo e convettivo tra cilindri concentrici sono trattati in appendice B (equazione 2.24). La resistenza complessiva R2 risulta allora

R2 =

1

hct,b+ hrt,b

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Calcoliamo adesso la resistenza R1. Lo scambio radiativo tra la

botti-glia ed il cielo pu`o essere espresso3 tramite la temperatura equivalente del cielo, calcolata in B all’equazione 2.43, invece lo scambio convettivo dipende dalle condizioni del vento tramite hw deﬁnito nel paragrafo B

nella medesima appendice:

R1 = 1

hw,up+ hrb,a

(5.3)

Figura 5.4: Rete resistenze del collettore senza tetrapack n`e isolamento

Il coeﬃciente superiore di perdita tra la tubazione a Tt e l’ambiente `e

allora la serie tra le due resistenze:

Rup = R1+ R2 uup=

1

Rup

(5.4)

3_{Per sempliﬁcare l’analisi, utilizziamo il coeﬃciente equivalente come nell’equazione}

2.49 dell’appendice B, riferendolo per`o alla temperatura ambiente: h_r_b,a = σε_b(T_b,up4 −

T4

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Lo scambio nella parte inferiore `_{e dato dalla serie delle due resistenze R}₃ ed R4; in questo caso R3 ha la stessa espressione di R2, ed anche

numeri-camente possiamo assumerla uguale, data la vicinanza delle temperature superiore ed inferiore della bottiglia:

R3 ≈ R2 =

1

hct,b+ hrt,b

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La resistenza R4 dipende dalle condizioni del vento ed `e semplicemente

R4 =

1

hw,down

(5.6)

Allora possiamo scrivere il coeﬃciente inferiore di perdita tra la tubazione a Tt e l’ambiente come:

Rdown= R3+ R4 udown =

1

Rdown

(5.7)

Infine, il coefficiente di perdita totale, u, è il parallelo dei due coefficienti di perdita superiore ed inferiore, ovvero

u = uup+ udown = Rup−1+ Rdown−1 = (5.8) = 1 hw,up+ hrb,a + 1 hct,b+ hrt,b ₋₁ + 1 hct,b+ hrt,b + 1 hw,down ₋₁

La procedura per calcolare u `e iterativa. Inizialmente `e necessaria, per ogni lato, una stima della temperatura della bottiglia Tb per trovare i

coeﬃcienti convettivi e radiativi suddetti, in seguito si trova lo scambio termico totale tra Tt e Ta, che `e uguale allo scambio tra Tt e Tb: da

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l’iterazione ﬁno alla convergenza.

Le propriet`a dello strato d’aria tra tubazione e bottiglia vengono ogni volta, per ciascun lato, calcolate alla temperatura media

Tm = Tt+ Tb

2 (5.9)

caso b: collettore di bottiglie con tetrapack e sacchetti di pla-stica isolanti

In aggiunta al caso precedente viene adesso inclusa la parte inferiore alla tubazione, costituita da un foglio metallico (tetrapack o avanzo di lamie-ra da tetto) incollato alla tubazione, come in figulamie-ra 5.3. Consideriamo però in questo paragrafo solamente la differenza nella resistenza inferiore

R3, diventata esclusivamente conduttiva nell’attraversamento del

mate-riale plastico, per valutare il cambiamento nel coefficiente globale. Altri effetti importanti di questa modifica sono l’apporto addizionale di calore che dal tetrapack arriva al tubo tramite irraggiamento e l’innalzamento della temperatura nell’intercapedine d’aria, ma il considerarli fa divenire la trattazione analitica troppo pesante, causandone una diminuzione di utilità. Tali aspetti verranno inclusi nella simulazione ad elementi finiti, e si procederà poi ad una valutazione della loro influenza analizzando le differenze tra risultati analitici e di calcolo numerico.

La nuova resistenza R3 si scrive semplicemente come

R3 = s

ks

(5.10)

dove lo spessore dell’isolante risulta uguale alla diﬀerenza tra i raggi della bottiglia e del tubo, ovvero s = rb−rt= rb−D₂e e la conducibilit`a termica

del materiale `_{e pari a k}_s. La rete di resistenze si modiﬁca allora come in ﬁgura 5.6.

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Figura 5.5: Sezione del collettore di bottiglie con tetrapack e isolamento

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caso c: plastica parzialmente opaca alla radiazione long-wave

I materiali plastici in realtà, a differenza del vetro, non sono completa-mente opachi alla radiazione superiore ai 3μm: per includere questa ca-ratteristica, modifichiamo il coefficiente di perdita superiore uup, tenendo

conto del fatto che una parte della radiazione passa attraverso la botti-glia e scambia direttamente con il cielo ed una parte invece interagisce con la superﬁcie della bottiglia, come nei casi precedenti.

Deﬁniamo τb il coeﬃciente di trasmissione della plastica della bottiglia

nello spettro del lungo infrarosso, εb la sua emittanza e ρb il coeﬃciente di

riﬂessione; εt e ρt sono invece le caratteristiche della superﬁcie captante.

Scambio diretto con il cielo

Semplificando ad una configurazione piana, la situazione si presenta come in figura:

Figura 5.7: Percorsi dello scambio radiativo tra piastra e copertura in plastica

Quindi la componente che passa direttamente dalla superﬁcie captante al cielo risulta qrt,s = σεt(Tt4− Ts4)τb ∞ i=0 ρi_bρi_t (5.11)

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La sommatoria dell’espressione precedente `e una serie notevole, che equi-vale a n k=0 qk = 1− q n+1 1− q (5.12)

dalla quale segue immediatamente

n

k=0

qk= 1

1− q per q < 1 (5.13)

allora l’equazione 5.11 diventa

qrt,s =

στbεt(Tt4− Ts4)

1− ρ_b_ρ_t (5.14)

che equivale ad una componente addizionale uup,+ del coeﬃciente di

perdita superiore, riportatato alla temperatura ambiente Ta, pari a

uup,+ = qrt,s Tt− Ta = στbεt(T 4 t − Ts4) (1− ρ_b_ρ_t_)(T_t− T_a) (5.15) da aggiungere a quanto gi`a calcolato nei casi precedenti.

Scambio tra superﬁcie captante e bottiglia

Parallelamente però varia anche il coefficiente radiativo equivalente tra superficie captante e bottiglia. Sempre approssimando ad una geometria piana, risulta evidente dalla figura 5.7 che possiamo scrivere lo scambio come:

qrt,b =

σεbεt(Tt4 − Tb4)

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dunque il nuovo coeﬃciente hrt,b risulta

hrt,b =

σεbεt(Tt2+ Tb2)(Tt+ Tb)

1− ρ_b_ρ_t (5.17)

ed `e da sostituire al precedente nell’equazione 5.9.

Coeﬃciente di perdita superiore complessivo

Sommando i contributi calcolati, inﬁne si ottiene il nuovo coeﬃciente superiore: uup= στbεt(T 4 t − Ts4) (1− ρ_b_ρ_t_)(T_t− T_a)+ 1 hw,up+ hrb,a + 1 hct,b+ hrt,b ₋₁ (5.18)

Eﬃcienza di scambio termico

Con le ipotesi assunte inizialmente, possiamo scrivere il ﬂusso termico entrante nell’unit`a di lunghezza della tubazione come:

qu = DeS − u

π

2De(Tt− Ta) (5.19) Tutto il ﬂusso viene trasferito al ﬂuido, passando attraverso la resistenza conduttiva della parete del tubo e la resistenza convettiva interna:

q_u = Tt− Tf 1 hfiπDi + ln(De/Di) 2πk (5.20)

Nel sistema formato dalle precedenti due equazioni possiamo allora rica-vare Tt dalla seconda e sostituirlo nella prima, ovvero:

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⎧ ⎨ ⎩ Tt = Tf + qu 1 hfiπDi + ln(De/Di) 2πk q_u = DeS − uπ₂De Tf + qu 1 hfiπDi + ln(De/Di) 2πk − Ta

Risolviamo per q_u e troviamo:

q_u = DeS − u π 2De[Tf − Ta] 1 + uπ 2De 1 hfiπDi + ln(De/Di) 2πk (5.21)

Se introduciamo, analogamente al caso del collettore piano vetrato, un

fattore di eﬃcienza del collettore F pari a

F = 1 1 + uπ₂De 1 hfiπDi + ln(De/Di) 2πk (5.22)

il flusso termico per unità di lunghezza può essere espresso come

q_u = FDe S − uπ 2(Tf − Ta) (5.23)

ovvero scritto in funzione della temperatura del ﬂuido termovettore piut-tosto che della temperatura superﬁciale della tubazione.

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5.3.2 Guadagno complessivo del collettore

Analizziamo adesso la direzione y del ﬂusso: il bilancio entalpico per un tratto di tubazione dy diviene

˙ mcpdTf dy = F _D e S − uπ 2(Tf − Ta) (5.24) Separando le variabili dTf S − uπ₂ (Tf − Ta) = F _D e ˙ mcp dy (5.25) ed integrando, si ottiene ln Tf − Ta− 2S uπ Tf i− Ta−_uπ2S =−uπF _D e 2 ˙_mc_p y (5.26) dunque la temperatura del ﬂuido al variare dell’ascissa y `e data dall’e-spressione: Tf(y) = Ta+2S uπ + Tf i− Ta− 2S uπ e−uπF De2 ˙mcp y _(5.27) `

E comodo definire una quantità che lega il guadagno utile del collettore al guadagno che si avrebbe se tutta la superficie captante fosse alla tem-peratura del fluido in ingresso (quindi in condizione di perdite minime), chiamata coefficiente di rimozione termica FR:

FR= n ˙mcp(Tf o− Tf i ) nLDe S − π₂u (Tf i− Ta) (5.28)

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FR = n ˙mcp nLDeπ₂u Tf o− Tf i 2S πu − (Tf i− Ta) = 2n ˙mcp nLDeπu [2S/πu − (Tf i− Ta)]− [2S/πu − (Tf o− Ta)] 2S/πu − (Tf i− Ta) = 2n ˙mcp nLDeπu 1− 2S/πu − (Tf o− Ta) 2S/πu − (Tf i− Ta) = 2n ˙mcp nLDeπu 1− Tf o− Ta− 2S/πu Tf i− Ta− 2S/πu (5.29)

Ricordando l’equazione 5.26, che esprime l’andamento della temperatura del ﬂuido lungo y, il secondo termine all’interno dell’ultima parentesi quadra di 5.29 equivale all’esponenziale del secondo membro della 5.26 valutato in y = L, ovvero FR = 2n ˙mcp nLDeπu 1− e−uπF De2 ˙mcp L (5.30)

Facendovi comparire l’area del collettore Ac = nLDe e la portata totale

˙ M = n ˙m, si ottiene inﬁne FR= 2 ˙_Mc_p Acπu 1− e−AcπuF 2 ˙Mcp (5.31)

La quantit`_{a F}_R può essere vista come l’equivalente dell’efficienza di uno scambiatore di calore tradizionale, poichè è il rapporto tra il guadagno totale effettivo ed il massimo possibile4. Il trasferimento termico totale al fluido termovettore si può dunque esprimere come:

Qu = AcFR S − π 2u (Tf i− Ta) (5.32)

4_{Come gi`}_{a precisato, il massimo guadagno possibile per il collettore si ha nella situazione}

-solo ipotetica- di perdite di calore minime, con tutta la superﬁcie captante a temperatura

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Riportiamo nelle ﬁgure dalla 5.8 alla 5.13 gli andamenti della tempera-tura in funzione della lunghezza della tubazione per alcuni valori signiﬁ-cativi.

Figura 5.8: Temperatura del ﬂuido termovettore in funzione della coordinata assiale per S = 1200 W, v = 0.001 m/s

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