Questionario 1 Risposte 1.

Questionario 1 Risposte 1.

Sia f : R → R continua tale che

x→−∞

lim f (x) = −∞ lim

x→+∞

f (x) = +∞

allora

(a) f ` e suriettiva. X (b) f ` e iniettiva.

(c) f ` e crescente.

(d) f ` e strettamente crescente.

2.

Se una successione (a

_n

) converge a ` ∈ R, allora:

(a) a

_n

− a

_n+1

→ 0 X (b) a

_n

/a

_n+1

→ 1

(c) l’estremo superiore dell’insieme dei valori di a

_n

` e uguale a ` (d) nessuna delle altre risposte ` e corretta.

3.

h→0

lim

−1 + √ 1 + h

h ` e uguale a:

(a) 0 (b) −

¹₂

(c)

¹₂

X (d) +∞

4.

Il limite lim

x→0

x

²

sin 1 x : (a) Vale 0. X

(b) Vale 1.

(c) Non esiste.

1

(d) Vale +∞.

5.

Poniamo:

R \ {1, −5} −→ R,

^f

f (x) = x

²

+ x − 2 x

²

+ 4x − 5 Una estensione continua ˜ f di f a:

(a) R \ {−5}, esiste: basta porre ˜ f (1) = 0.

(b) R \ {1} esiste: basta porre ˜ f (−5) =

¹₅

. (c) R \ {1} esiste: basta porre ˜ f (−5) = 0.

(d) R \ {−5} esiste: basta porre ˜ f (1) =

¹₂

. X 6.

Sia J

_n

⊆ R, n ∈ N, una qualunque successione di intervalli inscatolati:

J

_n

⊇ J

_n+1

, per ogni N. Chiamiamo J = \

n∈N

J

_n

l’intersezione di tutti gli intervalli.

(a) Si ha sempre J = ∅ (l’insieme vuoto).

(b) Si ha sempre J 6= ∅.

(c) Se tutti i J

_n

sono limitati, J 6= ∅.

(d) Se tutti i J

n

sono chiusi e limitati, J 6= ∅. X 7.

Per h → 0:

(a) sin(2h) ∼ h (b) 1 − cos h ∼ h.

(c) e

^h

− 1 ∼ h. X (d) log

_e

(1 + h) ∼ h

²

. 8.

Per n ∈ N, denotiamo con [n] = {1, ..., n} un insieme con n elementi.

Allora, per ogni n, k ∈ N:

(a) Le funzioni da [k] a [n] sono k

ⁿ

. (b) Le funzioni da [k] a [n] sono kn.

2

(c) Le funzioni da [k] a [n] sono n

^k

. X (d) Le funzioni da [k] a [n] sono

ⁿ_k

.

9.

Sia f : R → R. La condizione

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R 0 < |x| < δ ⇒ |f(x) + 5| < ε definisce:

(a) lim

_x→0

f (x) = −5 X (b) lim

_x→0

f (x) = 5

(c) lim

_x→+∞

f (x) = +5 (d) lim

_x→+∞

f (x) = −5 10.

L’equazione

x

⁵

+ 1

5 x − 1 = 0

(a) ha un’unica soluzione reale, e tale soluzione appartiene all’inter- vallo [0, 1]. X

(b) ha 5 soluzioni reali, una delle quali appartiene all’intervallo [0, 1].

(c) non ha soluzioni reali.

(d) ha infinite soluzioni.

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