Dinamica trasversa

Introduzione agli acceleratori e loro applicazioni - Parte II:

Dinamica trasversa

Gabriele Chiodini

Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

Sezione di Lecce

Lezioni per il Dottorato di Ricerca in Fisica dell’Università del Salento Anno accademico 2015-2016 II Semestre

(20 ore, 4 CFD)

Sommario

• Dinamica trasversa

• Bending: dipoli

• Oscillazioni di betatrone

• Focalizzazione forte: quadrupoli

• Funzione beta e tune

• ^Stabilità

• Emittanza e fascio

• Dispersione del momento

• Dispersione nei dipoli

•

Dinamica trasversa e longitudinale

• La dinamica longitudinale e’ quella lungo la direzione di accelerazione

• La dinamica trasversa e’ quella ortogonale alla direzione di accelerazione

• In prima approssimazione conviene considerarle separatamente (sincrotrone per adroni)

• Useremo il sincrotrone come esempio ma concetti

applicabili direttamente a Linac (piu’ semplice) e

ciclotroni (piu’ complicato)

Dinamica trasversa

Spegniamo la radiofrequenza V=0

• Dipoli magnetici mantengono le particelle lungo l’orbita

• Le particelle girano a energia (velocita’) costante

Il problema della dinamica trasversa

• La sorgente emette un numero enorme di particelle (ad esempio 10 ¹⁰ per pacchetto)

• Come fare a mantenere tutte queste particelle all’interno dell’acceleratore(appena toccano le pareti sono perse)

• Se il moto trasverso non e’ inferiore al raggio del tubo a vuoto le particelle sono perse

Iniezione o sorgente

Orbita ideale

Forza centrifuga = Forza centripeta

F

= ma = m v

ρ ⁼

pv ρ

Forza centripeta = Forza di magnetica

p

q = ρ ^{B p(GeV / c)}

z = 0.3 ρ ^(m)B(T)

rigidita’ magnetica

F

= qvB

Dipolo (blu)

B = µ

^nI h

dove μ

=4π10

H/m, n=numero di spire, I corrente nelle spire, h altezza del traferro

p

q = ρ ^{B p(GeV / c)}

z = 0.3 ρ ^(m)B(T)

rigidita’ magnetica 1

ρ ^{= 0.3}

B(T)

p(GeV / c)

Sezioni dritte e archi del sincrotrone

L=Sezioni dritte A=Archi

Φ=angolo 
 dell’arco

Lunghezza orbita = C = 4xL + 4xA

ρ=raggio 


di curvatura dell’arco Lunghezza arco = A=ρΦ[rad]

Bending arco = Φ[rad]=A/ρ

Somma du tutti gli archi (Φi) = 2π

• Archi riempiti di dipoli magnetici di deflessione per realizzare orbita chiusa.

! • Sezioni dritte usate per: iniezione, esperimenti, cavita’ risonanti, estrazione.

• ! LHC ha 8 archi e 8 sezioni dritte

• Dipoli magnetici mantengono le particelle lungo la direzione di accelerazione

Sezioni dritte caso limite degli archi: raggio=infinito e B=0.

Orbita reale

orbita reale

r = ρ + x y = y s = vt

"

# $

% $

orbita ideale

r = ρ y = 0 s = vt

"

# $

% $

v

= 0 v

= 0 v

= v

!

"

##

$

# #

v

= v

v

= v

v

~ v

!

"

##

$

# #

posizioni

velocita’

v

/ v = x' v

/ v = y'

!

"

##

#

angoli trasversi

orbita ideale

orbita reale

L’orbita reale e’ piu’ semplice descriverla come deviazione dall’orbita ideale

Orbita ideale non ha moto trasverso: ρ~1-10m, x=y=0 Orbita reale ha moto trasverso: ρ~1-10m, x,y~mm


oscillazioni di betatrone

Spazio fasi trasverso: (x,y,x’,y’)

Sistema di riferimento

di Frenet (x,y,s) e lungo orbita ideale

Distanza percorsa e angoli trasversi

• Il tempo t non ci interessa.

• Interessa sapere la distanza s percorsa nell’anello per sapere dove sta la particella e se tocca le pareti.

• Il tempo e la distanza percorsa differiscono solo per la velocita’

tangenziale: s=vt.

t → s = vt

v

→ x ' = v

/ v a

→ a

' = a

/ v

• tempo moltiplicato per v diventa distanza percorsa

• velocita’ trasversa divisa per v diventa angolo

• accelerazione trasversa divisa per v

è la curvatura della traiettoria.

v

_{x ' = v} / v = x / s

a

' = a

/ v

Equezione del moto (1)

• Radialmente (orizzontalmente) agisce la forza centrifuga e la forza magnetica

• Verticalmente agisce la forza di gravita’ che pero’ trascuriamo

• Longitudinalmente agisce l’accelerazione delle cavita’ risonanti che in questa lezione non consideriamo (vedi lezione sulla dinamica longitudinale)

F

= mv

r = mv

ρ + x F

= qB

v

ma

= F

+ F

ma

= mv

ρ + x + qB

v

r -

-

Equzione del moto (2)

1

ρ + x = 1 ρ

1 1 + ^x _ρ

"

# $

%

&

' ( ^{x <<} (( ^ρ → 1

ρ ^{(1 −} x ρ ⁾

ma _x = mv ² 1

ρ ^{(1 −} x

ρ ^{) + qB} - ^{0 v}

Equazione del moto (3)

t → s = vt

v

→ v

/ v

a

→ a

(s) / v

→ a

(s) = a

v

• Tempo diventa posizione lungo l’anello

• Velocita’ trasversa diventa angolo

• Accelerazione trasversa si moltiplica per v

e diventa curvatura della traiettoria

ma _x (s)v ² = mv ² 1

ρ ^{(1 −}

x

ρ ^{) + qB - 0 v}

ma _x = mv ² 1

ρ ^{(1 −} x

ρ ^{) + qB} - ^{0 v}

Equzione del moto (4)

E’ l’equazione dell’oscillatore armonico con numero d’onda k=1/ρ=2π/λ x

a _x (s) = − x ρ ² a _x (s) = 1

ρ ^{(1 −} x

ρ ^{) +}

qB ₀

- mv ^p

q = ρ ^B ₀

Nella direzione di curvatura c’e’ una forza di richiamo F=-m/(v ² ρ ² )x

Oscillazione di betatrone con un solo dipolo

λ

= 2 πρ (solo dipolo)

L’oscillazione e’ lungo x ma la lunghezza d’onda e’ lungo l’orbita

P a r t i c e l l a

ideale P a r t i c e l l a

reale

p

q = ρ ^B ₀

Oscillazioni di betatrone

con dipoli _• La particella reale esegue attorno all’orbita ideale delle oscillazioni radiali dette di betatrone (orizzontale)

• Le oscillazioni orizzontali di betatrone dovute alla sola forza centripeta dei dipoli ha lunghezza d’onda pari alla circorferenza (una sola oscillazione)

• Per macchine grandi la forza attrattiva e’ piccola e la particella compie oscillazioni di betatrone molto ampie (“focalizzazione debole”)

• In assenza di una “focalizzazione forte” l’apertura dei magneti deve essere enorme ed i magneti disposti lungo tutto l’acceleratore

L’oscillazione e’ lungo x ma la lunghezza d’onda e’ lungo l’orbita

λ

Moto verticale

• Nella direzione verticale non c’e’

neppure la “focalizzazione debole” ed il moto e’ una parabola

• Anche se la velocita’ iniziale e’ nulla prima o poi tocca le pareti perche’ c’e’

la forza di gravita’ che e’ defocalizzante nella direzione verticale

• Come si spiega che gli acceleratori senza “focalizzazione forte” funzionano?

Equazione del moto nella direzione verticale tenendo conto della gravita’ e sua soluzione (moto uniformemente accelerato).

y(t) = y

+ v

t − 1 2 gt

a

= −g = −9.8 m

s

h

= 1

2 gt

→ t

= 2 h

g

h

=10cm → t

=0.14s

Necessita’ della

Focalizzazione forte

N e g l i a c c e l e r a t o r i c i rc o l a r i e s i s t e u n a focalizzazione debole naturale in entrambe le direzioni trasversali grazie ai dipoli guida:

• curvatura nella direzione orizzontale (debole per grandi macchine)

• effetto bordo nella direzione verticale (debolissimo)

!

Purtroppo la focalizzazione e’ debole:

• ampie oscillazioni di betatrone orizzontali e verticali

• magneti a larga apertura (bassi campi)

Focalizzazione

La focalizzazione consiste in un sistema che devia una particella con un angolo proporzionale alla distanza dal centro.

Elemento magnetico

di lunghezza l e B~x

Quadrupolo (rosso)

g = 2 µ

^nI r

• g[25-220T/m] gradiente del quadrupolo

• r apertura del quadrupolo

B

= −gy B

= −gx

"

# $

%$

g g(T / m)

• Una particella spostata lungo l’asse x sperimenta un aumento di B verticale e una forza attrattiva lungo x (focalizza orizzontalmente)

• Una particella spostata lungo l’asse y sperimenta un aumento di B orizzontale e una forza di richiamo lungo y (defocalizza verticalmente)

Particella entrante nel foglio

F

= −qvgx F

= qvgy

"

# $

%$

F

= qvgy

F

= −qvgx

Equazione del moto con quadrupolo

a

(s) = − k + 1 ρ

#

$%

&

'( x a

(s) = kx

)

* ++

, + +

k = 0.3 g(T / m) p(GeV / c) 1

ρ ^{= 0.3}

B(T) p(GeV / c)

x(s) = A

cos( 2πs

λ

+ ϕ

) Soluzione focalizzata forte

in direzione orizzontale

y(s) = A

cosh( 2 π ^s

λ

⁺ ϕ

⁾ Soluzione defocalizzata

in direzione verticale

cosh(z) = e

+ e

Coseno iperbolico

1

ρ

^{→ k +}

1 ρ

Rigidita’ magnetica

(dipolo) Gradiente normalizzato (quadrupolo)

ma

= mv

ρ + x + qB

v − qvgx = mv

ρ + x + qB

v − mv

gx mv / q = mv

ρ + x + qB

v − mv

kx ~ mv

ρ (1 − x

ρ ) + qB

v − mv

kx =

- -

- -

Dipolo Quadrupolo e Dipolo

Coseno trigonometrico

y

Oscillazioni di betatrone con quadrupoli

a

' = − k + 1 ρ

#

$%

&

'( x a

' = kx

)

* ++

, + +

1

ρ

^{→ k +}

1 ρ

Il quadrupolo introduce una forza di richiamo lungo una coordinata trasversa e di repulsione nell’altra molto più intensa di quella di dipolo

Le oscillazioni di betatrone sono molte lungo l’anello λ

<<2πρ

y

Traiettoria del moto di singola particella

Soluzione focalizzata forte in direzione orizzontale

Soluzione focalizzata forte in direzione verticale

Soluzione nello spazio di drift (sezioni dritte)

cos

cosh

linear

Focalizzazione forte a gradiente alterno

• I quadrupoli focalizzano in una direzione trasversa ma defocalizzano in quella trasversa ortogonale

• Due quadrupoli in serie uno focalizzante e uno defocalizzante hanno come effetto una focalizzazione forte

a_x' = − k + 1 ρ²

#

$%

&

'( x )

*++

a_x' = − −k + 1 ρ²

#

$%

&

'( x )

*++

D=Defocalizzante in x F=Focalizzante in x D

F

Principio generale: campi magnetici a gradienti

Focalizzazione a gradiente alternato

Cella FODO=FOCALIZZAZIONE+GUIDA+DIVERGENZA

=QUAD FOC.+DIPOLO GUIDA+QUAD DIV.

Le particelle compiono delle oscillazioni di betatrono attorno

all’orbita ideale ma rimangono all’interno dell’acceleratore

Funzione beta

x(s) = A _x cos( K x s + ϕ _x ⁾

K

= 1 β

A

= ε

β

#

$ %%

&

% %

β

e’ detta funzione beta, ha le dimensioni di una lunghezza e dipende dalla posizione lungo l’anello.

La funzione beta x (2π) e’ la periodicita’ spaziale locale delle oscillazioni di betatrone.

λ

= 2 πβ

β

= 1

K

= 1

k(Quadrupolo) + 1

ρ

(Dipolo)

La funzione beta e’ una proprieta’ dell’ottica dell’anello 
 (sezioni dritte, dipoli, quadrupoli, ...)

x(s) = ε

β

^{cos( s}

β

⁺ ϕ

⁾

K

= k + 1

ρ

Moto della particella e funzione beta

! • La particella esegue una oscillazione di betatrone con periodo spaziale locale 2πβ

• ! Caso particolare facile da capire: β = costante lungo l’anello (difficile nella pratica)

x

s

λ

=2πβ

A

= ε

β

Tune Q

Q

=numero di oscillazioni di betatrone orizzontali lungo l’anello = C/(2πβ

) = ρ/β

Q

=numero di oscillazioni di betatrone verticali lungo l’anello = C/(2πβ

) = ρ/β

4<Q<5 C=2πρ

Q=One turn phase advance

ρ

Smooth approximation

Avanzamento di fase del FODO

La singola particella compie una oscillazione di betatrone dopo 4 celle consecutive FODO quindi 0.25 oscillazioni in un FODO.

L’avanzamento di fase nel FODO e’ 2π/4=π/2

Stabilità

Q=3/2=1.5 


orbita chiusa dopo 2 giri Q=5/3=1.66 


orbita chiusa dopo 3 giri

Ogni p giri una qualsiasi perturbazione in fase cresce a

dismisura come su una altalena in cui c’e’ una giusta spinta.

E’ cruciale avere il TUNE lontano dalle risonanze

Punto di lavoro: tune shift

• Acceleratori di elettroni hanno il dumping di sincrotrone basta evitare fino alla 3a risonanza

• ! Acceleratori di adroni non hanno il dumping di sincrotrone bisogna evitare fino alla 12a risonanza

BLOW-UP del fascio da evitare durante inizione, accelerazione e plateau

Punto di lavoro: tune shift

(1,2)

Esempio 3rd order

p=Qx+2Qy Qx=1/3,

Qy=1/3 p=1

(risonanza)

1/3 1/2 2/3

1/3

1/2

2/3

Traiettoria nello spazio fasi

x(s) = ε

β

^{cos( s}

β

⁺ ϕ

⁾

x '(s) = − ε

β

^sin(

s

β

⁺ ϕ

⁾ x

x’

ε

β

ε

β

Area Elisse = π ab = π ε

β

ε

β

⁼ ε

La particella nello spazio fasi descrive una ellisse di area ε x

Ampiezza massima

Angolo massimo

Traiettoria nello spazio fasi

x x’

ε

β

ε

β

Ampiezza massima

Angolo massimo

x

s

Particella molto divergente rispetto orbita ideale ma vicina

all’orbita ideale

Particella parallela all’orbita ideale ma lontana all’orbita ideale

Particella dopo tanti giri

x tempo 0

x tempo T

x tempo 2T

x tempo nT

Siccome il tune Q deve essere lontano da un numero razionale l’orbita non si chiude su se stessa ed ad ogni giro la fase e’ diversa.

Circonferenza dell’ellisse riempita uniformemente dopo tanti giri.

x’

x’

x’

x’

Moto di piu’ particelle

ϕ

= ϕ

ϕ

= ϕ

, ϕ

ϕ

= ϕ

, ϕ

, ϕ

ϕ

= ϕ

, ϕ

, ϕ

, ϕ

v x

x

v x

x v x

v x

x

v x

x

• ^{10 10} particelle di fase diversa

• Circorferenza dell’ellisse e’ riempita

Moto di piu’ particelle

= fascio

• ^{10 10} particelle di fase, ampiezze e velocita’ trasversa diverse

• Ellisse piena

x v x

Questo e’ il fascio di particelle nella sezione trasversa

x v x

y

v y

Emittanza del fascio

x(s) = ε

β

^{cos( s}

β

⁺ ϕ

⁾

x '(s) = − ε

β

^sin(

s

β

⁺ ϕ

⁾

x x’

Area Elisse = π ab = π ε _x β _x ε _x

β _x ⁼ ε _x

ε x e‘ detta emittanza ed e‘ una proprieta‘ del fascio (dipendente dalla sorgente) e costante lungo tutto l’anello.

ε

β

ε

β

=π

Dimensione e

divergenza del fascio

Questo e’ il fascio di particelle nella sezione trasversa Dimensione del fascio = ^ε

_π ^β

ε

πβ

Divergenza del fascio =

Se la funzione beta aumenta il fascio si allarga e la divergenza si riduce

x x’

ε

β

ε

β

ε

β

ε _x β _x

Dimensione trasversa del fascio e accettanza

sezione del fascio = π × raggio orizzontale × raggio verticale = ε

β

ε

β

La sezione del fascio dipende dalla emittanza orizzontale e verticale (dipende dalla sorgente) e dalla ottica che propaga il

fascio (sezioni dritte, dipoli, magneti, ...)

Fasci densi si ottengono con bassa emittanza e basso beta

L’accettanza e’ la sezione del tubo a vuoto dove circola il fascio e deve essere piu’ grande della sezione del fascio medesimo altrimenti sara’ tagliato lungo le dimensioni eccedenti.

π

Teorema di Liouville

In un sistema fisico conservativo la densita’ di particelle nello spazio fasi si conserva qv=costante.

• ^ε

e’ l’area dell’elisse dello spazio fasi del fascio allora e‘ costante lungo tutto l’anello

• La forma dell’ellisse segue la periodicita’ della funzione beta cioe’ dell’anello.

β

(s) e’ una proprieta’ locale dell’ottica del anello e quindi ha la sua periodicita’ spaziale s x

v x

Grande β

:

grande ampiezza e ridotta pendenza angolare (fascio grande a bassa divergenza: focalizzazione) Piccolo β

:

F D F

Trasporto lungo l’anello

In una macchina a focalizzazione forte si ha x~mm e x’~mrad

Dopo un giro dell’anello la particella ha fatto circa Q~1.66 oscillazioni anche se β lungo l’anello ha periodicita’ 8 come il reticolo dell’anello.

s

x x ' = dx

ds

• Il moto di singola particella (linea verde) ha periodicita’ Q e β determina l’inviluppo

Cella FODO

Beta-Fascio-Liouville

s x

v x

F D F

β d e t e r m i n a

l’inviluppo (√εβ) di

tutte le particelle del

fascio quindi il fascio

ha periodicita‘ di β

lungo l’anello

Zona d’interazione

Nella zona d’interazione le dimensioni dei fasci che collidono devono essere piccole sia in x che in y per aumentare la probabilita’ di interazione.

!

Nella zona d’interazione sono collocati a destra ed a sinistra dei quadrupoli a basso beta a larga apertura e separati da una sezione diritta priva di magneti (eventualmente i magneti degli esperimenti)

β = β _min + s ² β _min

apertura = ε β

+ s

β

#

$%

&

'(

β _min

Domanda: dove non ci sono magneti il moto di drift è in linea retta. Perche’ il fascio è una

(prossima

lezione)

Dispersione del momento

p → p + Δp

Cosa succede se l’energia della particella e’ diversa da quella della particella ideale?

• I dipoli causano lo spostamento orizzontale dell’orbita detto DISPERSIONE D

• I quadrupoli causano la variazione del TUNE detta CROMACITA’ Q’

Motivi: sorgente e accelerazione RF implicano emittanza longitudinale finita (oscillazione di sincrotrone, vedi parte III)

Δφ

Δp

Dispersione

ρ

x

(s) = D

(s) Δp

x

(s) p Valori tipici

Δp

p ~ 10

;D

~ 1m;x

~ 1mm D

(s) = x

(s)

Δp / p La funzione di dispersione e’ l’orbita ideale per Δp/p=1

La funzione di dispersione D

(s) e’ la proporzionalita’ tra lo spostamento dall’orbita ideale e la variazione percentuale del momento della particella.

p → p + Δp

Dispersione

qB

mv = qB

p ' = qB

p + Δp = qB

p 1 − Δp p

#

$%

&

'( = qB

p − qB

Δp

p

= 1 ρ ⁻

Δp ρ ^p

x(s) = x

(s) + x

(s)

La dispersione del momento introduce un termine disomogeneo nella equazione del moto quindi la soluzione generale e’ data dalla somma delle soluzioni dell’equazione omogena (vedi slide precedenti) ed una soluzione speciale.

La soluzione speciale normalizzata rispetto alla variazione percentuale del momento e’ detta funzione di dispersione D

(s).

p → p + Δp

D

(s) = x

(s)

Δp / p La funzione di dispersione e’ l’orbita ideale per Δp/p=1

a _x (s) + xy = 1 ρ

Δp

+K

x(s)= p K

= k + 1

ρ

La funzione di

dispersione Dx(s)

1. La funzione di dispersione e’ l’orbita della particella ideale per Δp/p=1 cioe’ con momento doppio

!

2. L’orbita di qualsiasi particella e’ l’ orbita senza dispersione più la dispersione moltiplicata per dp/p

!

3. La funzione di dispersione come qualsiasi orbita e’

soggetta alla focalizzazione del reticolo

Dispersione causata dai dipoli

Energia ideale

Energia <

Energia ideale Energia >

Energia ideale

D x ~(L dipolo ) ² /ρ

!

D y = 0

Calcolo dispersione nei dipoli

Nel dipolo Kx e’ costante

La funzione di dispersione e’ la soluzione del moto per una variazione del momento del 100%

Equazione della funzione di dispersione x(s) soluzione della omogenea e’ una sovrapposizione di seno e coseno e dipende dalle condizioni al contorno

Soluzione particolare

Dispersione e sezione

del fascio

Beta e Dispersione lungo l’anello

Orizzontale Verticale

IP: low beta q u a d r u p o l e s (No dipoli=No dispersione)

Errore di quadrupolo

Q=One turn phase advance determinato dalla forza dei quadrupoli

Un errore dk nella forza del quadrupolo compor ta un errore di TUNE dQ proporzionale all’errore e alla funzione beta

Gradiente normalizzato

(quadrupolo)

Aberrazione cromatica dei quadrupoli

Energia ideale

Energia <

Energia ideale

Energia >

Energia ideale

Piu’ alto e’ il momento della particella meno focalizzante e’ il quadrupolo

Come varia il TUNE con il momento

p → p + Δp

Cromacità Q’

ΔQ = Q ' Δp

p → Q ' = ΔQ / Δp p

#

$%

&

'(

La cromacita’ Q’ e’ la variazione del numero di giri (TUNE) per

Δp/p=1 o equivalentemente il fattore di proporzionalita’ tra la

variazione di TUNE e la variazione relativa del momento p.

Cromacità di un quadrupolo

ΔQ = Q ' Δp

p → Q ' = ΔQ / Δp p

#

$%

&

'(

La dispersione del momento Δp/p comporta un errore sul quadrupolo k=eg/p pari a Δk=-egΔp/p^2=-kΔp/p.

!

!

!

Quindi il quadrupolo ha una cromaticità intrinseca inevitabile.

Il reticolo ha intrisecamente una cromacità:

La funzione cromacità

La cromaticità Q’ e’ dovuta al reticolo cioe’ alla focalizzazione mediante quadrupoli

!

Il TUNE non e’ uno SPOT ma un PANCAKE

!

La cromaticità Q’ determina la dimensione del TUNE nel

punto di lavoro sul diagramma (Qx,Qy)

Sestupolo (verde)

Il TUNE determina la stabilita’ del fascio e deve essere sempre tenuto lontano da numeri razionali q/p con q e p piccoli per tutti i valori tra p-Δp e p+Δp.

!

La cromaticita’ della macchina e’ quindi molto importante perche’ ne determina la stabilita’.

!

Un modo per correggere la cromaticita’ della macchina e’ mettere dei sestupoli dopo ogni quadrupolo

Quadrupolo Sestupolo

Correzione cromacità (tune spread) con sestupolo

Sestupolo

Campo quadratico nella posizione

Gradiente lineare nella posizione. Gradiente di “quadrupolo” normalizzato.

Sommario

• Dinamica trasversa

• Bending: dipoli

• Oscillazioni di betatrone

• Focalizzazione forte: quadrupoli

• Funzione beta e tune

• ^Stabilità

• Emittanza e fascio

• Dispersione del momento

• Dispersione nei dipoli

•

D x ~(L dipolo ) ² /ρ

ε

β

ε

β

r= d=

Q’ =-L β k /2π