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RISPOSTA IN FREQUENZA DEGLI AMPLIFICATORI

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Academic year: 2022

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(1)

Università degli Studi di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ingegneria Elettronica

corso di

ELETTRONICA ANALOGICA

Prof. Ernesto LIMITI

RISPOSTA IN FREQUENZA

DEGLI AMPLIFICATORI

(2)

Distorsioni Lineari negli Amplificatori I

L’introduzione del comportamento in frequenza dei dispositivi attivi (BJT o FET o altri) porta naturalmente a considerare il comportamento in frequenza degli amplificatori con essi costruiti.

Chiaramente le caratteristiche di questi ultimi saranno parimenti influenzate dagli elementi passivi costituenti, non soltanto resistivi ma anche reattivi (induttori, condensatori…).

In definitiva, le caratteristiche degli amplificatori sono in generale una funzione della frequenza di utilizzazione e quindi potremo porre in generale, per il guadagno (in tensione, in corrente o altro) di un amplificatore, nel dominio dei fasori :

( ) ( )

j arg G( )

G = G ω = G ω ⋅ e

− ⋅ ω

Quindi un eventuale segnale in ingresso vedrà in generale modificata, nell’attraversare l’amplificatore, sia la sua ampiezza che la sua fase, in maniera dipendente dalla sua frequenza.

Detto ssssiiii il segnale di ingresso, tono puro a frequenza ωωωω e ssssoooo quello di uscita, si avrà in generale

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

arg ( )

cos

cos arg

j i i i

j G

o o

o

S A e

s s t A t

s s t A G t G

S A G e

ϕ

ϕ ω

ω

ω ϕ

ω ω ϕ ω

ω

= ⋅

= = ⋅ +

  →

= = ⋅ ⋅ + −   = ⋅ ⋅

(3)

Distorsioni Lineari negli Amplificatori II

Di norma i segnali che hanno contenuto informativo sono costituiti da molte componenti in frequenza (a spettro continuo) ed occupano una banda finita. Di conseguenza ciascuna componente del segnale, per sovrapposizione degli effetti, verrà amplificata in modulo e fase in generale in maniera diversa dalle altre.

Scopo fondamentale di qualsiasi amplificatore è quello di riprodurre all’uscita un segnale che sia una replica fedele ed amplificata di quello in ingresso. Le componenti in frequenza del segnale in ingresso devono quindi subire un trattamento tale da non alterare tale fedeltà. Questo è possibile soltanto se si impone

( ) ( )

arg '

G cost

G cost

ω

ω ω

=

  = ⋅

 

In questo modo tutte le componenti del segnale saranno amplificate in ampiezza della stessa quantità e ritardate (nel tempo) di un valore costante (non dipendente dalla frequenza).

Se questo non accade, sono presenti nel segnale di uscita Distorsioni Lineari di Ampiezza e/o di Fase (se sono violate l’una o l’altra delle condizioni sopra). Per eliminare tali distorsioni lineari si devono introdurre, a monte o a valle dell’amplificatore, opportuni circuiti (equalizzatori di ampiezza o equalizzatori di fase)

(4)

Frequenza di Taglio – Introduzione I

Rimane quindi il problema di progettare e valutare, per un dato amplificatore, l’andamento in frequenza dei parametri esterni (essenzialmente i guadagni, ma anche le impedenze di ingresso e di uscita).

Un amplificatore tipico è mostrato in figura (amplificatore R-C):

(5)

Frequenza di Taglio – Introduzione II

Passa-basso Passa-alto

La progettazione viene effettuata in maniera che esista una banda di frequenze (quella corrispondente alla gamma di frequenze dei segnali che si vuole amplificare) in cui sia possibile trascurare l’effetto di tutti gli elementi reattivi. Questo operativamente significa cortocircuitare i condensatori nella figura precedente e considerare dei circuiti aperti i condensatori del circuito equivalente dei dispositivi attivi (CCCCeeee,,,, CCCCcccc) . Questa regione di frequenze viene denominata ‘zonazonazonazona delle

delle delle

delle mediemediemedie frequenzemedie frequenzefrequenzefrequenze, ed in essa si considera quindi una amplificazione costante ed uno sfasamento nullo (circuito resistivo).

La zona delle medie frequenze è limitata inferiormente da una zona nella quale l’amplificatore si comporta come un circuito passa-alto (detta zonazona dellezonazona delledelledelle bassebassebassebasse frequenzefrequenzefrequenze), nella quale è possibilefrequenze trascurare soltanto l’effetto delle capacità interne ai dispositivi.

Superiormente la limitazione viene dalla zonazonazonazona delledelledelle altedelle altealtealte frequenzefrequenzefrequenzefrequenze, nella quale l’amplificatore si comporta come un passa-basso e in cui è possibile tralasciare l’effetto dei condensatori interni agli attivi (considerati cortocircuitati).

Complessivamente quindi il comportamento di un amplificatore è quello di un circuito passa- banda.

(6)

Frequenza di Taglio – Introduzione III

( )

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

o i

v j R C

G f v j R C j j f

R C f

ω ω

ω

= = = =

+ − −

1

1 1

1 f 2

π R C

=

( )

2

1

1 1 G f

f f

=

  +  

 

( )

1

arg arctan f

G f f

 

  =  

 

 

Passa-alto

(7)

Frequenza di Taglio – Introduzione IV

Passa-basso ( )

2 2

2

1 1

1 1

o i

G f v

v j R C j f

f

= = ω =

+ +

2

2 2

1 f 2

π R C

=

( )

2

2

1 1 G f

f f

=

  +  

 

( )

2

arg arctan f

G f f

 

  = −  

 

 

(8)

Frequenza di Taglio – Introduzione V

L’analisi di un circuito contenente elementi reattivi può essere molto complessa ed i moderni circuiti, costituiti da migliaia di elementi possono essere studiati soltanto con l’ausilio di programmi di analisi dedicati, che implementino la risoluzione numerica sistematica di circuiti.

Per contro, l’analisi semplificata per circuiti non particolarmente complessi è ancora possibile e sono stati sviluppati metodi appositi.

Il metodo più diretto per valutare le frequenze di taglio e quindi la banda passante di un amplificatore consiste nel calcolarne la funzione di trasferimento:

( ) ( )

( )

o i

v s G s = v s

risolvendo poi l’equazione

( )

0

2 G s = G

essendo GGGG0000 il guadagno dell’amplificatore alle medie frequenze. Il metodo è esatto ma complesso e poco pratico. Si utilizzano piuttosto due metodi approssimatiapprossimatiapprossimatiapprossimati:

• IlIlIlIl metodometodometodometodo deideideidei polipolipolipoli

• IlIlIlIl metodometodometodometodo delledelledelledelle costanticostanticostanti dicostanti dididi tempotempotempotempo ininin cccc....aaaa.... eeee cccc....cccc....in

(9)

Metodo dei Poli I

( ) ( )

( ) ( )

1 1

inf 1

2

sup

2

2

L

a H

a

K s s

G s f

s s K s

G s f

s s

π π

= → =

= → =

approssimazione a bassa frequenza

approssimazione a alta frequenza

frequenza di taglio inferiore

frequenza di taglio superiore

Si fa l’ipotesi che gli zerizerizerizeri della G(s)G(s)G(s) siano ininfluenti nel calcolo della frequenza di taglio,G(s) inferiore e superiore, e la si particolarizza ad alta frequenza ed a bassa frequenza, evidenziando i poli delle due espressioni. Collassando tutti gli zeri nell’origine, si ha così

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

2 n L

n

H

a z

G s K s

s s s s

G s K

s s s s

= →

− −

= →

− −

Nel caso più semplice, di un un un un solo polo con molteplicità 1solo polo con molteplicità 1solo polo con molteplicità 1solo polo con molteplicità 1, è immediato determinare la

ffff

infinfinfinf e la

ffff

supsupsupsup. Sarà infatti:

(10)

Metodo dei Poli II

( )

2

1 inf 1 inf

inf 2 2 1

2 2 inf 1

inf 1

1

inf 1

1 2 2

1

2 2 1

n

L n n

n

K K

G j

s s

f s

ω ω

ω ω ω

π

= = → =

  +

 + 

 

=

(

sup

)

2 2 2 2 2 1

2 2 sup

sup

1 sup

1 1

2 2

1 2 1

2

H n n n

a a a

a

n a

K K

G j

s s s

s

f s

ω ω

ω

π

= = → =

  +

 + 

 

= −

frequenza di taglio inferiore

frequenza di taglio superiore

Nel caso di polipolipolipoli multiplimultiplimultiplimultipli ma coincidenticoincidenticoincidenticoincidenti, il calcolo della

ffff

infinfinfinf viene effettuato a partire dalla relazione approssimata della G(s)G(s)G(s) valida a bassa frequenzaG(s)

Analogamente, il calcolo della

ffff

supsupsupsup viene effettuato a partire dalla relazione approssimata della G(s)G(s)G(s)

G(s) valida a alta frequenza e risolvendo la

(11)

frequenza di taglio inferiore

Metodo dei Poli III

Nel caso più generale di polipoli multiplipolipoli multiplimultiplimultipli e distintidistintidistintidistinti, si consideri l’espressione della G(s)G(s)G(s) valida aG(s) bassa frequenza. La

ffff

infinfinfinf viene ottenuta dalla soluzione della

(

inf

)

1 inf 1

2 2 2

2 2 2

inf 1 inf 2 inf

2

n L

n

K K

G j

s s s

ω ω

ω ω ω

= =

+ + ⋯ +

quadrando e semplificando

2 2 2

1 2

2 2 2

inf inf inf

1 s 1 s 1 s

n

2

ω ω ω

    

 +  +   +  =

    

    

(

1 2 2 2 2

) (

1 2 2 2 1 2 2 2 2 2

)

2 4

inf inf

1 1

1 s s s

n

s s s s

n

s s

n

2

ω ω

+ + + ⋯ + + + ⋯ + + ⋯ + ⋯ =

2 1 2 inf

1

1 2

n

j j

f s

π

=

 

=    

 ∑ 

Limitandosi ai primi due termini dello sviluppo:

(12)

Metodo dei Poli IV

inf

s

p sup

s

j

ω ≈ ω ≈

frequenza di taglio superiore

Si tenga presente che il metodo descritto è applicabile quando:

1.

1.

1.

1. Gli zeri sono sufficientemente lontani dai poliGli zeri sono sufficientemente lontani dai poliGli zeri sono sufficientemente lontani dai poliGli zeri sono sufficientemente lontani dai poli 2.2.

2.2. Le radici di s sono realiLe radici di s sono realiLe radici di s sono realiLe radici di s sono reali 3.

3.

3.

3. SeSeSeSe è agevole il calcolo dei poli, se cioè le capacità presenti non sono interagenti. In tal è agevole il calcolo dei poli, se cioè le capacità presenti non sono interagenti. In tal è agevole il calcolo dei poli, se cioè le capacità presenti non sono interagenti. In tal è agevole il calcolo dei poli, se cioè le capacità presenti non sono interagenti. In tal caso

caso caso

caso

||||ssss

xxxx

|=( |=( |=( |=(R R R R

xxxx

C C C C

xxxx

))))

----1111

Analogamente si consideri l’espressione della G(s)G(s)G(s) valida ad alta frequenza. LaG(s)

ffff

supsupsupsup viene ottenuta dalla soluzione della

Quadrando, semplificando e limitandosi ai primi due termini dello sviluppo

( )

( )

2 2

sup 2 2 2 2 2 2

sup sup sup

1

a b z

2

a b z

K K

G j s s s s s s

ω

ω ω ω

= =

+ + ⋯ + ⋯

sup

2

1 1

2

z

1

p a p

f

s π

=

=

Utilizzando il metodo dei poli si ottengono risultatirisultatirisultatirisultati approssimatiapprossimatiapprossimatiapprossimati perperper eccessoper eccessoeccessoeccesso. LaLa bandaLaLa bandabandabanda passante

passantepassante

passante effettivaeffettivaeffettiva èèèè infattieffettiva infattiinfatti piùinfatti piùpiùpiù strettastrettastretta distretta dididi quellaquellaquellaquella cosìcosìcosìcosì calcolatacalcolatacalcolatacalcolata. Il risultato è comunque tanto più vicino all’effettivo quanto più uno dei poli è maggiore (caso di ffffinfinfinfinf) o minore (caso ffffsupsupsupsup) degli altri. In tal caso viene detto dominantedominantedominantedominante e si ha :

(13)

Metodo delle Costanti di Tempo in C.A. e C.C. I

inf

1 sup

1 1

n z

j

j p a p

s s

ω =

=

ω =

=

inf

1 1 sup

1 1 1

n n z z

j po

j j js p a p p a

s s

ω τ

τ ω

= = = =

≈ ∑ = ∑ ≈ ∑ = ∑

È la costante di tempo della p-esima capacità del circuito di alta frequenza, calcolata con calcolata con calcolata con calcolata con

tutte le altre capacità in circuito aperto tutte le altre capacità in circuito apertotutte le altre capacità in circuito aperto tutte le altre capacità in circuito aperto È la costante di tempo della j-esima capacità

del circuito di bassa frequenza, calcolata con calcolata con calcolata con calcolata con tutte le altre capacità in corto circuito tutte le altre capacità in corto circuitotutte le altre capacità in corto circuito tutte le altre capacità in corto circuito

τ js τ po

Come detto, il metodo dei poli non è applicabile se i condensatori presenti nel circuito sono interagenti, cioè se l’impedenza vista dai morsetti di un condensatore non è puramente resistiva.

Se nelle espressioni di ωinfinfinfinf2222 e 1111////ωsupsupsupsup2222 si aggiungono al secondo membro i doppi prodotti avremo

Chiaramente, visto l’artificio, tali espressioni consentono di calcolare il valore della banda passante approssimato per difetto (al contrario del caso del metodo dei poli). Dimostriamo che si può porre

(14)

Metodo delle Costanti di Tempo in C.A. e C.C. II

( ) ( )

1

0 1

1

1 1

1 1 1

q q q

q q

k k

k k k k

a s a s

s

=

= =

= − ∏ = − ∏ ∑

2 3 4

1 1

1

q

q k

k

s s s s s

s

=

= ∏

q

1 a =

A tale scopo analizziamo il denominatore della funzione di trasferimento G(s)G(s)G(s), detto D(s)G(s) D(s)D(s):D(s)

( ) ( )

1 0

q q

k

k k

k k

D s s s a s

= =

= ∏ − = ∑

aaaa

0000 è il prodotto di tutti i termini noti (i poli).

aaaa

1111 si ottiene sommando i prodotti ottenuti considerando uno alla volta i termini noti e moltiplicando tutti gli altri, ossia

quindi termini del tipo

1 3 4

2 1

1

q

q k

k

s s s s s

s

=

= ∏

1

1 q

q k

k

a

s

=

= − ∑

(15)

Metodo delle Costanti di Tempo in C.A. e C.C. III

1 1

1 1

0 sup 0

1 1 1

q q

k k k k

a a

a

=

s

=

s ω a

= − ∑ = − ∑ → ≈ + pulsazione di pulsazione di pulsazione di pulsazione di taglio superiore taglio superiore taglio superiore taglio superiore

1 1

inf

1 1

q q

q q

k k

k k

q q

a a

s s

a

ω a

= =

= − ∑ = − ∑ → ≈ + pulsazione di pulsazione di pulsazione di pulsazione di taglio inferiore taglio inferiore taglio inferiore taglio inferiore

In definitiva, se si considera l’approssimazione di alta frequenza,

Se si considera quella di bassa frequenza,

(16)

Metodo delle Costanti di Tempo in C.A. e C.C. IV

[ ]

1

1

0 0 0

0 0

0

0 0 0

P

C

C C

C

 

 

 

 

=  

 

 

 

⋮ ⋱

La rete resistiva p-porte è descritta dalla matrice

[g] [g] [g] [g]

delle ammettenzeammettenzeammettenzeammettenze dididi cortodi cortocortocorto circuitocircuitocircuitocircuito per cui vale:

[I] = [g] [V]

[I] = [g] [V] [I] = [g] [V]

[I] = [g] [V]

Considerando poi il circuito costituito da pppp porte e completamente resistivo, chiuso sui pppp condensatori

(17)

Metodo delle Costanti di Tempo in C.A. e C.C. V

[ ] [ ] [ ]

11 1 12 1

1 2

p

p p pp p

g sC g g

Y g s C

g g g sC

 + 

 

= + =  

 + 

 

⋮ ⋮ ⋱

Poiché l’insieme dei condensatori è descritto dalla matrice [C][C][C], la[C]

rete della figura sarà descritta dalla matrice [Y][Y][Y] data da:[Y]

Le frequenzefrequenze naturalifrequenzefrequenze naturalinaturalinaturali della rete, cioè i polipolipolipoli delladelladella funzionedella funzionefunzionefunzione dididi trasferimentodi trasferimentotrasferimento, sono quelle chetrasferimento annullano il determinante della matrice [Y][Y][Y]. Determinante che possiamo porre nella forma[Y]

[ ]

0 1 1

1 1 1 1

det

p p

p p

kk

k kk p k p k

k k k k k

a g a C G a C g a C

C

= = = =

= = ∑ = ∏ ∑ = ∏

[ ]

0 1 2 2 1 1

det Y = a + a s + a s + ⋯ + a

p

s

p

+ a s

p p

essendo GGGGkkkkkkkk il minoreminoreminore del termine kkkk----esimominore esimoesimoesimo di [g[g[g[g]]]]....

(18)

[ ]

0 1 1

1 1 1 1

det

p p

p p

kk

k kk p k p k

k k k k k

a g a C G a C g a C

C

= = = =

= = ∑ = ∏ ∑ = ∏

[ ]

0 1 2 2 1 1

det Y = a + a s + a s + ⋯ + a

p

s

p

+ a s

p p

1

1 1

sup 0

1

p p

ko k ko

k k

a R C

a τ

ω = =

=

=

=

essendo GGGGKKKKKKKK il minoreminoreminoreminore del termine kkkk----esimoesimoesimoesimo di [g[g[g[g]]]]....

Ricordando ora che

gggg

kkkkkkkk è lalalala conduttanzaconduttanzaconduttanzaconduttanza d’ingressod’ingressod’ingressod’ingresso della porta k con le altre in corto e

G G

G G

kkkkkkkk

////det det det[g] det [g] [g] [g]

è la resistenzaresistenzaresistenzaresistenza d’ingressod’ingressod’ingressod’ingresso della porta k con le altre aperte avremo:

1 inf

1 1

1 1

p p

p

k k

p ks k ks

a

a R C

ω τ

= =

= = ∑ = ∑

Metodo delle Costanti di Tempo in C.A. e C.C. VI

(19)

1 z 1

ω

=

s 2

sup,

1 z 1

poli p a s

ω =

=

2 inf,

n

poli

s

j

ω = ∑

inf,

n

s

j

ω

τ

= ∑

ω

sup

( )

0

2 G j ω = G

Il Il Il

Il calcolo esattocalcolo esattocalcolo esattocalcolo esatto richiede la richiede la richiede la richiede la soluzione dell’equazionesoluzione dell’equazionesoluzione dell’equazionesoluzione dell’equazione

Frequenze di Taglio: Riepilogo I

ω

inf

( )

G j ω

f

(20)

2 2 inf

1

1

1

n m

p X

p m X

i is

s s

s ω

τ

=

=

 

=   +

 

=

2 inf

1 n

p p

ω s

=

= ∑

inf

1 n

j j

ω s

=

= ∑

Se è sufficiente una valutazione approssimata, si possono distinguere tre casi:

1. n capacità non interagenti 2. n capacità tutte interagenti 3. n capacità di cui m interagenti

(1) (1)

(1) (1)

nnnn capacità non interagenti

(*) (*) (*) (*) (2) (2) (2) (2)

nnnn capacità tutte interagenti

(3) (3) (3) (3)

nnnn capacità di cui mmmm interagenti

In questo caso il risultato è poco inferioreinferioreinferioreinferiore a quello

reale

In questo caso il risultato è poco superioresuperioresuperioresuperiore a quello

reale

in cui

ssss

XXXXè il polo

“equivalente” agli m condensatori interagenti

(*) (*) (*)

(*)

Se i poli sono coincidenti è più precisa la

Frequenze di Taglio: Riepilogo II

1

inf 1

2

n

1 ω = s

(21)

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante I

L’analisi esatta del circuito comporta il calcolo di una funzione di trasferimento alquanto complessa per la presenza di 8 condensatori e quindi di altrettanti poli (funzione di ottavo ordine).

L’analisi approssimata consiste invece nella valutazione del comportamento del circuito a bassabassabassabassa frequenza

frequenza frequenza

frequenza (si valuta l’influenza dei 4444 condensatoricondensatoricondensatoricondensatori CCCCbbbb eeee CCCCzzzz) considerando assenti i condensatori Ce e Cc; del comportamento del circuito ad altaaltaaltaalta frequenzafrequenzafrequenzafrequenza (sono presentipresenti iiii 2222 Cpresentipresenti CCCeeee edededed iiii 2222 CCCCcccc e cortocircuitati Cb e Cz); del comportamento a mediamedia frequenzamediamedia frequenzafrequenzafrequenza (sono assentiassentiassentiassenti CCCCeeee eeee CCCCcccc eeee cortocircuitati

cortocircuitati cortocircuitati

cortocircuitati CCCC eeee CCCC ).

(22)

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante II

2 inf

1

1 1

2

j js

f = π ∑

=

τ

La risposta in bassa frequenza di uno stadio è fatta a partire dal circuito equivalente semplificato.

C C C

Cbbbb e CCCCzzzz sono interagenti e perciò possiamo usare la:

(23)

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante III

( ) ( )

1 1 2

1 2

2

1 1

bs s b s ie b s ie

s ie s ie

zs s z e z e

fe fe

C R h R R C R h

R R R h R h

C R C R

h h

τ τ τ τ

= = + ≈ +

  +     +  

= =       +       ≈       +      

( )

inf

1 1

1 2

b s ie s ie

z e

fe

C R h R h

C R

f h

π

+ +  + 

 

 + 

 

=

Si noti inoltre che il condensatore Cz è connesso con un capo sempre a massa. Ciò consente l’uso di condensatori

condensatori condensatori

condensatori elettroliticielettroliticielettroliticielettrolitici di grande capacità (n100 µF) e quindi si può porre:

( )

inf

1 1

f 2

C R h

= π

+

(24)

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante IV

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2

1 1

1 1 2

2 1 2

1 1

i

k k k k

b s ie b s ie

b c ie b c ie

C R h R R C R h

C R h R R C R h

τ ω τ

τ τ

= =

 

> >  

 

= + ≈ +

= + ≈ +

∑ ∑

1

inf inf

1 2 1

, 1.55 2 1 2

ω f

ω = πτ

Con questa approssimazione il calcolo della

ffff

infinfinfinf del doppio stadio può farsi più agevolmente.

Avremo infatti, considerando come cortocircuiti i due condensatori CCCCzzzz

La risposta a bassa frequenza, detto

A A A A

0000 il guadagno a media frequenza, vale:

Se poi si assume RRRRssss= = = = RRRRcccc avremo ττττ1 1 1 1 = = = = ττττ2222 e quindi conviene usare la:

( )

0

1

inf

A A

j f f ω =

(25)

La risposta del singolo stadio viene calcolata usando il circuito equivalente per le alte frequenze

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante V

2

sup 1

1 2

ko

f π

k

τ

=

= ∑

C C C

Ceeee e CCCCcccc sono interagenti e perciò possiamo usare la:

(26)

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante VI

Relativamente al singolo stadio, possiamo semplificare l’analisi trascurando sia RRRR1111 //////// RRRR2222, che rrrrcbcbcbcb’’’’

e rrrrcececece .

Mediante il teorema di teorema di Miller, possiamo introdurre il condensatore CCCCcccc((((1111+g+g+g+gmmmmRRRRLLLL)))) in parallelo all’ingresso ed il condensatore CCCCcccc[[[[1111 ++++ 1111/(/(/(gggg/( mmmmRRRRLLLL)])])])] in parallelo all’uscita.

Quest’ultimo poi può essere trascurato perché introduce una costante di tempo molto più piccola di quella relativa al condensatore all’ingresso equivalente CCCCtttt ==== CCCCeeee ++ C++ CCCcccc((((1111+g+g+g+gmmmmRRRRLLLL)))).

Avremo in conclusione:

( ) ( )

sup

' '

sup

'

1

1

1 1 2

b e bb s e c m L

b e t

r r R C C g R

f r C

ω

π

=   +     + +  

(27)

Il calcolo di ffffsupsupsupsup per il doppio stadio comporta l’analisi del circuito

Come nel caso del singolo stadio, per semplificare l’analisi, si trascurano RRRR1111//////// RRRR2222, rrrrcece1cece111, rrrrb’cb’c1b’cb’c111,,,, rrrrcececece2222, rrrrb’cb’cb’cb’c2222 e si applica il teorema di Miller.

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante VII

(28)

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante VIII

Trascurando come nel caso precedente il contributo dei condensatori riportati in parallelo all’uscita dei singoli stadi, il circuito da analizzare diventa:

dove si è posto:

1 1 '2 ' 2

2

1

C bb b e

t

Z R r r

j C ω

 

=  + 

 

e per i condensatori totali

( )

( )

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

t e c m

t e c m C

C C C g Z

C C C g R

= + +

= + +

(29)

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante IX

Poiché i due condensatori CCCCt1t1t1t1 e CCCCt2t2t2t2 sono chiaramente interagenti avremo:

ovvero introducendo nelle relazioni CCCCt1t1t1t1 e CCCCt2t2t2t2 e semplificando

2

1 2

sup 1

1

po o o

p

τ τ τ ω =

=

= +

in cui:

Di nuovo, la risposta in alta frequenza del doppio stadio, con

A A A A

0000 guadagno di media frequenza, è:

( )

0

sup

1 A A

j f f ω =

+

sup

1 ' 1 2 ' 2

1 1

2

t b e t b e

f π C r + C r

( )

{ } ( )

[ ]

{ } ( )

1 1 1 1 '2 ' 2 '1 ' 1

2 2 2 2 1 '2 ' 2

1

1

o e c m C bb b e S bb b e

o e c m C C bb b e

C C g R r r R r r

C C g R R r r

τ

τ

   

= +  + +   + 

 

= + +  + 

(30)

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante X

L’amplificazione

A A A A

0000 alle medie frequenze può determinarsi a partire dal circuito :

0 2 2 ' 2

' 2 ' 2

1 1

' 1 '2 ' 2 1

' 1 ' 1

'1 ' 1

c m b e

b e b e

m c

b e bb b e c

b e b e

i bb b e S

v R g v

v r

v g R r r R

v r

v r r R

= −

= − + +

= + +

(31)

quindi

oppure approssimando

e ricordando che

' 2 ' 1

0 1 2 1 2

'2 ' 2 1 '1 ' 1

o b e b e

m m c c

i bb b e c bb b e S

v r r

A g g R R

v r r R r r R

= =

+ + + +

( )

1 '2 ' 2

c bb b e

Rr + r

' ' '

bb b e ie m ie m b e fe

r + r = h g hg r = h

2

0 1 2

1 c fe fe

ie S

A h h R

h R

= +

Amplificatore R-C a due stadi : Banda Passante XI

(32)

Le frequenze di taglio ffffinfinfinfinf e ffffsupsupsupsup di un amplificatore R-C possono essere variate con tecniche di compensazione, aggiungendo cioè all’amplificatore elementi circuitali che compensino le cause che ne limitano inferiormente e superiormente la banda.

La tecnica che verrà descritta, abbandonata nei circuiti discreti, ha trovato nuovo uso nei circuiti integrati ad altissima frequenza

( )

0 m C L

A = g R R

Amplificatore R-C a FET

Tecniche di Compensazione I

Amplificatore R-C a FET Compensato

(33)

Per la compensazionecompensazionecompensazionecompensazione alleallealle bassealle bassebassebasse frequenzefrequenzefrequenzefrequenze, assumiamo l’induttore cortocircuitato al pari dei condensatori CCCC1111 e C

C C

Cssss. L’obiettivo è infatti quello di compensare l’effetto dei condensatori di blocco della continua, quali CCCCCCCC

Dal circuito equivalente, trascurando RRRR3333 (RRRR3333 > > 10 X> > 10 X10 X10 XC3C3C3C3)

0 3

0

3

1 ; 1

1

m L C

L

m L A L

i A L A c L C

v Y g R j C j C

A g R ove Y Y

v Y Y Y j R C j R C

Y

ω ω

ω ω

= = − = − = =

+ + + +

Tecniche di Compensazione II

(34)

0

1

3

m L L c

m

L c

C

g R R R

A g

C R R

C

= − = −

+ +

Imponendo

3

c L C

R C = R C

Tecniche di Compensazione III

Per la compensazionecompensazionecompensazionecompensazione alleallealle altealle altealtealte frequenzefrequenzefrequenzefrequenze, si assumano cortocircuitati tutti i condensatori esterni ai dispositivi attivi ed si indichi con CCCCTTTT il condensatore equivalente risultante dalla capacità di uscita di uno stadio e da quella di ingresso del successivo, legato quindi alle capacità interne dei dispositivi coinvolti.

Tale condensatore può ottenersi applicando il Teorema di Miller ai due stadi considerati. Il circuito di uscita è quindi schematizzabile come

(35)

Tecniche di Compensazione IV

L’amplificazione dello stadio risultante vale

sup 2 2

0

sup sup

1 1 1

1

v c

T c T

j L jm

A R

A LC j R C

m j

ω ω

ω

ω ω ω ω

ω ω

+ +

= =

− +  

−     +

 

sup sup

2

1

c T c

T

m L

R C R

LC m ω ω

→ = ω

≜ ≜

( ) 1

2

1

c

v m c L m

T T c T

R j L

A g R j L R g

j C LC j R C

ω ω

ω ω ω

  +

= −  +  = −

− +

 

con

Confrontandola con quella a medie frequenze

(36)

Nella precedente, ωωωωsupsupsupsup è la pulsazione di taglio superiore dell’amplificatore non compensato ed mmmm è il fattore di merito del circuito oscillante alla frequenza ωωωωsupsupsupsup .

Si imponga ora che l’effetto del circuito risonante sia quello di avere un guadagno, alla precedente frequenza di taglio, ancora pari ad AAAA0000 . Si ottiene

0 sup

2

sup

1

0.5

2 2

v

c c T

A A

m

R R C

L

ω ω

ω

=

=

=

= =

Tecniche di Compensazione V

(37)

Quanto alla nuova frequenza di taglio superiore (

f ’ f ’ f ’ f ’

supsupsupsup) dovrà essere:

Da cui ponendo

m = 0.5 m = 0.5 m = 0.5 m = 0.5

e risolvendo per

ω ω ω ω = = = = ω ω ω ω ’’’’

supsupsupsup :

Si noti che nel circuito compensato, il roll-off del guadagno (la pendenza) oltre la frequenza di taglio è di ---- 40 dB / decade40 dB / decade40 dB / decade40 dB / decade

Tecniche di Compensazione VI

' sup

' 2 sup sup

2 2 2

' '

0

sup sup

sup sup

1

1 2 1

v

m A

A

m

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

=

 

+    

 

= =

     

 −      +    

     

 

4 2

' '

sup sup '

sup sup

sup sup

2 4 0 1.84

ω ω

ω ω

ω ω

   

− − = → =

   

   

   

(38)

Esempio Esempio Esempio

Esempio di compensazione in alta e bassa frequenza di compensazione in alta e bassa frequenza di compensazione in alta e bassa frequenza di compensazione in alta e bassa frequenza ffff

infinfinfinf= 1 1 1 1 KHzKHzKHz , KHz

ffff

supsupsupsup = 1 1 1 1 MHzMHzMHzMHz

ffff

inf,cinf,cinf,cinf,c = 90 Hz90 Hz90 Hz , 90 Hz

ffff

sup,csup,csup,csup,c= 1,8 1,8 1,8 1,8 MHzMHzMHzMHz

Tecniche di Compensazione VII

(39)

Amplificatore Cascode I

È una tipologia di amplificatore a banda larga che può essere considerato come la connessione di uno stadio a emettitoreemettitoreemettitoreemettitore comunecomunecomunecomune caricato da uno stadio a basebasebasebase comunecomunecomunecomune.

L’emettitore comune ha così la propria banda passante limitata superiormente dalla sola CCCCeeee, considerando il valore molto basso della resistenza di ingresso del base comune (guadagno in tensione dell’emettitore comune quindi molto basso).

, ,

, ,

i c ie o c ob

f c fe fb r c re rb

h h h h

h h h h h h

≈ ≈

= =

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