Working Paper Series Department of Economics
University of Verona
A remark on 'Decomposition of bivariate inequality indices by attributes' by Abul Naga and Geoffard, Economics Letters 90
(2006), pp. 362-367
Marco Giovanni Brambilla, Eugenio Peluso
WP Number: 5 March 2010
ISSN: 2036-2919 (paper), 2036-4679 (online)
Α ρεµαρκ ον ∀∆εχοµποσιτιον οφ βιϖαριατε ινεθυαλιτψ ινδιχεσ βψ αττριβυτεσ∀ βψ Αβυλ Ναγα ανδ Γεο⁄αρδ, Εχονοµιχσ Λεττερσ 90
(2006), ππ. 362−367.
Μαρχο Γιοϖαννι Βραµβιλλα
∆ΕΦΑΠ − Χατηολιχ Υνιϖερσιτψ οφ Μιλαν.
Ευγενιο Πελυσο
ψ∆επαρτµεντ οφ Εχονοµιχσ, Υνιϖερσιτψ οφ ςερονα.
Φεβρυαρψ, 2010
Αβστραχτ
Ωε χορρεχτ τηε γενεραλιζεδ ϖερσιον οφ τηε δεχοµποσιτιον οφ µυλτιϖαριατε ινεθυαλιτψ ινδιχεσ βψ αττριβυτεσ προποσεδ βψ Αβυλ Ναγα ανδ Γεο⁄αρδ ∀Αβυλ Ναγα, Ρ. Η. ανδ Γεο⁄αρδ, Π. Ψ., 2006.
∆εχοµποσιτιον οφ βιϖαριατε ινεθυαλιτψ ινδιχεσ βψ αττριβυτεσ. Εχονοµιχ Λεττερσ 90, ππ. 362−367.∀
Κεψ Ωορδσ: Μυλτιδιµενσιοναλ ινεθυαλιτψ; Χορρελατιον ινχρεασινγ τρανσφερσ; Χοπυλασ ϑΕΛ χοδεσ: ∆31, ∆63.
Αβυλ Ναγα ανδ Γεο⁄αρδ (2006) σηοωεδ αν ελεγαντ δεχοµποσιτιον οφ α βιδιµενσιοναλ ινεθυαλιτψ ινδεξ οφ τηε Ατκινσον−Κολµ−Σεν χλασσ ιντο λεϖελ οφ ινεθυαλιτψ ιν εαχη διµενσιον, ασσεσσεδ τηρουγη ΑτκινσονΚολµΣεν ινδιχεσ φορ εαχη αττριβυτε, ανδ α ρεσιδυαλ στατιστιχ τηατ δεπενδσ ον τηε δεγρεε οφ ασσοχιατιον αµονγ τηε διστριβυτιον οφ αττριβυτεσ. Τηισ ισ αν ιµπορταντ ρεσυλτ βοτη φορ τηε αξιοµατιχ χηαραχτεριζατιον προϖιδεδ ιν τηε παπερ ανδ φορ ιτσ ποτεντιαλ ιντερεστ φορ αππλιεδ ωορκσ (σεε Χροχι Ανγελινι ανδ Μιχηελανγελι 2008 φορ α ρστ αττεµπτ).
Πιαζζα Βυοναρροτι 30, 20145 Μιλανο (Ιταλψ). Ε−µαιλ: µαρχο.βραµβιλλα≅υνιχαττ.ιτ.
ψΧορρεσπονδινγ αυτηορ. ςια δελλΥνιϖερσιτ◊ 3, 37129 ςερονα (Ιταλψ). Τελ +390458028104, φαξ +398028529. Ε−µαιλ:
ευγενιο.πελυσο≅υνιϖρ.ιτ.
1
Αχχορδινγ το Αβυλ Ναγα ανδ Γεο⁄αρδ, ωηεν τηε νυµβερ οφ διµενσιονσ ισ σετ εθυαλ το π 2; τηε µυλτιδιµενσιοναλ εξτενσιον οφ τηε µοδελ αχχουντσ φορ τηε ασσοχιατιον αµονγ τηε αττριβυτεσ τηρουγη τηε φολλοωινγ τερµ (εθ. 16, π. 366):
= ν
ν
Π
ι=1
ξ ι11:::ξ ιππ
ν
Π
ι=1
ξ ι11:::::
ν
Π
ι=1
ξ ιππ :
Τηισ φορµυλα, ωηιχη ισ εξτρεµελψ ρελεϖαντ φορ (συιταβλε) εµπιριχαλ αππλιχατιονσ, υνφορτυνατλψ χονταινσ α µιστακε. Βελοω ωε προϖε τηατ τηε χορρεχτ µεασυρε οφ ασσοχιατιον ισ:
= νπ 1
ν
Π
ι=1
ξ ι11:::ξ ιππ
ν
Π
ι=1
ξ ι11:::::
ν
Π
ι=1
ξ ιππ Τηε προπερ χοε′χιεντ ατ τηε νυµερατορ ισ νπ 1 ανδ νοτ ϕυστ ν.
Προοφ. Ωε στυδψ τηε γενεραλ χασε ωιτη ν ινδιϖιδυαλσ (ινδεξεδ βψ ι) ανδ π αττριβυτεσ (ινδεξεδ βψ ϕ).
Ρεταινινγ τηε δε νιτιονσ οφ τηε παπερ φορ ; ϕ ανδ ϕ;ανδ σταρτινγ φροµ
(1) 1(2) 2:::(κ) π= ( 11) 1
π
Ψ
ϕ=2
ϕϕ;
αφτερ σιµπλε µανιπυλατιονσ ωε γετ:
π
Ξ
ϕ=1
ϕλν = 1λν 1+ 2λν 2:::+ πλν π+ λν Θπ
ϕ=2 ϕϕ Θπ
ϕ=2 ϕϕ
! :
Τηε τερµ ωε αρε λοοκινγ φορ ισ:
= Θπ
ϕ=2 ϕϕ Θπ
ϕ=2 ϕϕ
!
: (1)
Φροµ
ω0= ( ηη) ηΨ
ϕ6=η
ϕϕϕϕ= 1 ν
Ξ
ι
ξ ιηΨ
ϕ6=η
ϕϕϕϕ
ωε γετ:
η= 1
η
∀1 ν
Ξ
ι
ξ ιηη
# η1
φορ ανψ η = 1; ::π: (2)
Ωε αλσο κνοω τηατ:
ω0= 1 ν
ν
Ξ
ι=1
ξ ι11:::ξ ιππ= 1 ν
ν
Ξ
ι=1
ξ ι11
π
Ψ
ϕ=2
ϕϕϕϕ
2
τηατ γιϖεσ:
π
Ψ
ϕ=2
ϕϕ =
ν
Π
ι=1
ξ ι11:::ξ πιπ Θπ
ϕ=2 ϕϕ
ν
Π
ι=1
ξ ι11
: (3)
Ρεπλαχινγ (3) ανδ (2) ιντο (1), ωε γετ τηε ρεσυλτ:
=
Πν ι=1
ξ 1
ι1:::ξ πιπ Θπ
ϕ=2 ϕϕ Πν
ι=1
ξ 1
ι1
Θπ ϕ=2
∀
1
ϕ
1 ν
ν
Π
ι=1
ξ ιϕϕ
ϕ1 # ϕ = νπ 1
ν
Π
ι=1
ξ ι11:::ξ ιππ Θπ
ϕ=1 ν
Π
ι=1
ξ ι11 :
Ρεφερενχεσ
[1] Αβυλ Ναγα, Ρ. Η. ανδ Γεο⁄αρδ, Π. Ψ., 2006. ∆εχοµποσιτιον οφ βιϖαριατε ινεθυαλιτψ ινδιχεσ βψ αττριβυτεσ. Εχονοµιχσ Λεττερσ 90, ππ. 362−367.
[2] Χροχι Ανγελινι, Ε. ανδ Μιχηελανγελι, Α., 2008. Μεασυρινγ Ωελλ−Βεινγ δι⁄ερενχεσ αχροσσ ΕΥ Χουν−
τριεσ. Α Μυλτιδιµενσιοναλ Αναλψσισ οφ Ινχοµε, Ηουσινγ, Ηεαλτη, ανδ Εδυχατιον. Ωορκινγ Παπερσ 15−2008, Μαχερατα Υνιϖερσιτψ, ηττπ://ωωω.υνιµχ.ιτ/σϖιλυπποεχονοµιχο/ωπαπερ/ωπαπερ00015
3