€ 16=4

ESTRAZIONE DI RADICE

La radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza e quando si calcola non si dice “fare la radice”, ma si dice “estrarre la radice”.

Le particolarità della radice sono:

• l’esponente della potenza è l’indice della radice che può essere: quadrata (=2); cubica (=3);

quarta (=4).

• la base della potenza è il radicale, ovvero il risultato dell’operazione di radice

• il risultato della potenza è il radicando, ovvero il numero da cui estrarre la radice

Noi studieremo solo le radici quadrate, cioè quelle con indice 2 che per tale motive viene sottointeso

LA RADICE QUADRATA

La radice quadrata di un numero è un numero (radicale) che elevato alla seconda ci da come risultato il radicando

Es:

€

16 = 4

€

4

= 16

Le radici quadrate possono essere:

• PERFETTE - Il radicale (risultato) è un numero intero o decimale finito

• APPROSSIMATE - Il radicale (risultato) è un numero decimale periodico o illimitato non periodico

(irrazionale)

METODI DI CALCOLO

S

ü Scomporre il radicando in fattori primi;

ü Separo ciascun fattore sotto la propria radice (applicando le proprietà delle radici moltiplicate tra loro);

ü Divido a metà tutti gli esponenti e tolgo il segno di radice:

Es:

€

400 = 2

× 5

= 2

× 5 = 20

2. RADICI APPROSSIMATE

ü Scomporre il radicando in fattori primi;

ü Separo ciascun fattore sotto la propria radice (applicando le proprietà delle radici moltiplicate tra loro);

ü I fattori con esponente pari vengono dimezzati; PIPUB

ü I fattori con esponente dispari vengono scomposti con le proprietà inverse delle potenze di uguale base, lasciando sotto radice i fattori con esponente uguale a 1.

Es:

€

36000 = 2⁵× 3²× 5³= 2⁴× 2¹× 3²× 5²× 5¹ = 2²× 2 × 3 × 5 × 5 = 4 × 3 × 5 × 2 × 5 = 60 10

C

’

1. RADICI PERFETTE

NUMERI INFERIORI A 1000

Si cerca il radicando nella colonna di n, la sua radice (radicale) sarà il numero sulla stessa riga ma nella colonna di n che, se non è perfetto, dovrà essere approssimato per eccesso o difetto.

Es: 110 = 10, 4881 = 10, 49

NUMERI SUPERIORI A 1000 FINO A 1000000

Si cerca il radicando nella colonna di n². Si trova la radice in n.

• NUMERI INTERI

Es: 82944 = cerco82944 = trovo82944 = 288

• DECIMALI LIMITATI - si deve riposizionare la virgola successivamente al calcolo, in modo tale che le cifre decimali nel risultato siano la metà di quelle sotto radice. Per cui sotto radice avremo sempre un numero pari di cifre decimali (2 decimali nel radicando danno 1 decimale nel radicale)

Es: 1246, 09 = cerco124609 = trovo124609 = 353 = 35, 3

2. RADICI APPROSSIMATE

NUMERI SUPERIORI A 1000 FINO A 1000000

Si cerca il radicando nella colonna di n², ma non lo si trova.

Allora si osservano i due numeri che lo contengono (il precedente ed il successivo). Si sceglie quello più vicino e si guarda la sua radice (radicale) che sarà il numero sulla stessa riga ma nella colonna di n. A seconda del numero scelto avremo la radice approssimata per difetto (se abbiamo scelto il precedente) o per eccesso (se abbiamo scelto il successivo) all’unità richiesta:

• NUMERI INTERI - se devono essere approssimati ai decimali, si deve aggiungere la virgola al radicando e un numero doppio di zeri in base a quante cifre decimali richiede la radice.

Es: ₁₀₄₃^0,1_{= 1043,00}^0,1= cerco 104300 = trovo 104329 = 323 = 32, 3

• DECIMALI LIMITATI - si devono aggiungere un numero doppio di cifre dopo la virgola in base all’approssimazione richiesta, utilizzando gli zeri nei posti mancanti.

Es: _{344, 7}^0,1= 344, 70 = cerco 34470 = trovo 34596 = 186 = 18, 6

Con le proprietà delle radici - Si trasforma il decimale nella frazione generatrice corrispondente

e si trovano le radici separate del numeratore e del denominatore.

Es:

€

8,9^0,1= 8,90 = 890 100 =29

10= 2,9 oppure

€

32,7^0,01= 32,7000 = 327000 10000 =572

100= 5,72

• PERIODICI - si deve aggiungere un numero doppio di cifre dopo la virgola in base all’approssimazione richiesta, utilizzando le cifre del periodo.

ES: 278, 8^0,1= 278, 88 = cerco 27888 = trovo 27889 = 167 = 16, 7

OPERAZIONI CON LE RADICI

Tra le radici è possibile anche effettuare delle operazioni. Ogni radice ha delle caratteristiche da tenere in considerazione per operare:

Tra il coefficiente e la radice è sottointesa una moltiplicazione

• SOMMA E SOTTRAZIONE

La somma è possibile solo con i radicali simili.

Due radicali si dicono simili se hanno la stessa radice e coefficiente diverso.

Es.: _{2 7} ; 3 7 ; ⁴

5 7 sono radicali simili.

La somma di due o più radicali simili è un radicale che ha come coefficiente la somma dei coefficienti, mentre la radice rimane uguale.

Es.: _{3 2 −}⁴

5 2 = 3 −4 5

"

#$

%

&' 2 = 15 − 4 5

"

#$

%

&' 2 =11 5 2

IMP: il coefficiente 1 viene sottointeso, ma è importante

considerarlo.

Es: 5 + 5 = 1 5 +1 5 = 2 5

• MOLTIPLICAZIONE

Il prodotto di due o più radicali è un radicale che ha per radicando il prodotto dei radicandi e per coefficiente il prodotto dei coefficienti.

Es.: 3 7 ⋅ 4 2 = 3 ⋅ 4( ) 7 ⋅ 2 = 12 14 ³

4 5 ⋅ 2 5 = 3 4⋅ 2

"

#$

%

&' 5 ⋅ 5 =3

2 25

7 12 2 15 35

8 2 15 35

8 ⋅ = ⋅ =

Proprietà inversa delle radici moltiplicate - se abbiamo una moltiplicazione sotto radice, possiamo calcolare la radice del numero scomposto in fattori, separandoli ciascuno in una radice

Es:

• D^IVISIONE

Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) è un radicale che ha per radicando il quoziente dei radicandi e per coefficiente il quoziente dei coefficienti.

Es.: 15 36 : 5 3 = 15 : 5( ) 36 : 3 = 5 12 8 4 : 7 3 =8 7

4 3

5 36 5 14 7 18 14 : 5 7

18 = ⋅ =

Proprietà inversa delle radici divise - se abbiamo una frazione sotto radice, possiamo calcolare la radice del numeratore e del denominatore separatamente

Es:

NOTA BENE: In generale, la moltiplicazione e la divisione possono essere eseguite solo tra radicali aventi lo stesso indice. Non applicare tali proprietà quando c’è una somma o sottrazione tra le radici perché il risultato non è lo stesso.

Es:

• POTENZA

Per elevare a potenza un radicale basta elevare a quella potenza sia il radicando che il coefficiente Es.:

(

)

Proprietà importante:

( )

9 + 16 ≠ 9 + 16 3 + 4 ≠ 25 7 ≠ 5

30 = 3 ⋅10 = 3 ⋅ 10

16 25= 16

25=4 5

( )

$

%&

2

=5 3

ESPRESSIONI CON LE RADICI

1. UNA SOLA RADICE

• Intera

Sotto il segno di un’unica radice è posta un’espressione numerica il cui risultato è in frazione. Si deve calcolare separatamente il numeratore e il denominatore con la proprietà inversa delle radici divise.

Es:

• Da Approssimare

Sotto il segno di un’unica radice è posta un’espressione numerica il cui risultato è in frazione. Si deve calcolare anche il valore della frazione e successivamente calcolare la radice con l’approssimazione richiesta tramite le tavole

Es:

2. DUE O PIU’ RADICALI

• Semplice

Prima risolvo le moltiplicazioni e le divisioni. Poi calcolo le somme. I radicandi sono già ridotti ai minimi termini. Infine devo solo sommare i coefficienti dei radicali simili intervallandoli con i segni più.

Es:

• Complessa

Prima risolvo le moltiplicazioni e le divisioni Poi opero con i radicandi che devono essere ridotti ai minimi termini, scomponendoli in fattori primi e portando fuori radice gli esponenti maggiori o uguali a 2. Infine devo solo sommare i coefficienti dei radicali simili ottenuti intervallando le varie somme dai segni più.

Es:

1, 3²− 0, 15 −1 11

"

#$ %

&

' : 2 33

0,01

=

= 13−1 9

"

#$ %

&

'

2

− 15 99−1

11

"

#$ %

&

' : 2 33

0,01

=

= 4

3

"

#$ %

&

'

2

− 15 − 9 99

"

#$ %

&

' : 2 33

0,01

=

= 16 9− 6

99⋅33 2

0,01

=

= 16 9−1

0,01

= 16 − 9 9

0,01

= 7 9

0,01

= 0, 7^0,01= 0, 7777 = cerco7777 = trovo7744 = 0,88 3

4−2 3

"

#$

%

&':15 28:1

5+ 1 =

= 9 − 8 12

"

#$

%

&'⋅28 15⋅5

1+ 1 =

= 1

12⋅28 15⋅ 5 + 1 =

= 7

9+ 1 = 16 9 = 16

9 =4 3

2 3 + 4 5 ⋅ 2 + 3 10 + 2 2 +1 3 30 :1

3 6 + 3 5 + 5 2 = 2 3 + 4 10 + 3 10 + 2 2 + 5 + 3 5 + 5 2 =

2 + 5

( ) 2 + (4 + 3) 10 + 3 + 1( ) ^{5 + 2 3 =}

= 7 2 + 7 10 + 4 5 + 2 3

2 5 + 147 + 3 72 ⋅1

3 10 − 160 : 2 = 2 5 + 3 ⋅ 7²+ 720 − 80 =

2 5 + 7 3 + 2⁶⋅ 5 − 2⁴⋅ 5 = 2 5 + 7 3 + 2³ 5 − 2² 5 = 2 5 + 7 3 + 8 5 − 4 5 =

2 + 8 − 4

( ) ^{5 + 7 3 =}

6 5 + 7 3

ESERCIZI:

1.

11

4

7 + 7

− 1 2

7 =

−4 3 + 7

2 5 + 3 − 1 8 5 =

− 15

4 2

3 + 6 2 − 4

5 2 − 8 2 3 =

4. 3 6 + 6 − 3 + 5 3 − 5 + 7 5 + 5 − 2 3 =

5. 5 18 − 7 12 + 75 − 98 = 6.

75 + 3 18 − 2 12 − 2 50 =

3 128 − 2 72 − 2 50 − 8 =

9.

32 + 98 − 12 + 75 − 3

2 2 + 27 − 18 + 5 =

11.

2

3 63 + 4

5 28 + 6

7 245 − 12 5 20 =

4

5 8 − 2 + 7

9 75 − 2

3 27 + 98 + 192 =